一种基于混合加权全变分和非局部低秩的图像压缩感知重构方法与流程

本发明属于信号处理技术领域，涉及一种基于混合加权全变分和非局部低秩的图像压缩感知重构方法。

背景技术：

压缩感知(compressedsensing，cs)理论提出一种新的采样框架，以远低于奈奎斯特采样(nyquist)的采样速率对稀疏或可压缩的信号同时采样和压缩，通过相应的优化重构算法准确地重构出原始信号，有效地解决的奈奎斯特采样定理的不足。cs理论主要涉及三个部分：稀疏表示、观测矩阵的设计以及重构算法。有效地重构算法是压缩感知理论的关键技术之一，而图像的先验信息对于图像的重构具有极其的作用。

形式上，从观测值y∈r^m中重构原始图像u∈rⁿ的一般模型可以表示为：y＝φu+v，其中φ∈r^m×n(m＜＜n)是已知的测量矩阵，v是加性噪声。观测矩阵φ在观测过程中可以当作一种退化操作，所以信号重构从本质上来说，属于一种病态的逆问题。然而，如果原始信号在稀疏变换域上是足够稀疏(或可压缩)的，且观测矩阵与稀疏矩阵高度不相关，即满足限制等距性质(rip)的条件，则可以从欠采样量中精准地重构出原始信号，为了获得对噪声具有更为合理的精度和稳定性的估计，通常需要依赖于原始信号的先验信息，然后，可以将原始信号的估计表述为一个基于正则化的优化问题，其中，正则项中包含了图像的这些先验信息，求解该逆问题的一般优化模型可以表述为：其中第一项为数据保真项，用来度量估计值与数据之间的接近度。第二项为正则约束项，表示原始图像的先验信息，其主要作用是来惩罚表现预期性质的估计值。λ为正则项参数，用来权衡数据保真项与正则项。

经典的平滑先验信息正则项，如一阶全变分(totalvariation，tv)正则化方法，该方法在保护图像边缘信息的同时达到去噪的效果，但会在图像平滑区域产生“阶梯效应”，所谓的阶梯就是产生边缘状伪影，且该方法对图像所有梯度施加相同的惩罚，不能有效地区别图像边缘和噪声等高频像素点。为避免一阶全变分模型在平滑区域产生“阶梯效应”，许多研究将传统一阶全变分正则项替换成为更高阶的全变分正则项，如二阶全变分(secondordertotalvariation)，由于二阶全变分正则项约束得到的解是分段线性的，这样的解在图像的平滑区域能够更好地刻画图像灰度的变化，从而尽可能地抑制图像重构过程中出现的“阶梯效应”。然而，二阶全变分正则化方法在边缘保护方面又存在着不足之处。一些研究提出了将一阶全变分和高阶全变分结合起来以减弱阶梯效应的同时保护图像的边缘结构。传统的混合全变分模型，大多数都没有考虑图像的结构特征，不能有效地区分图像的边缘、噪声和平滑区域，使得图像重构效果不佳。针对传统一阶全变分模型对所有梯度惩罚一致这一问题，提出了一种加权策略，传统的加权策略主要思想是，对梯度较大的像素点设置较大权重，对梯度较小的像素点设置较小的权重，显然，该方法比传统全变分模型更好地保护了图像的边缘。但是，现有的加权策略普遍都是利用图像的一阶梯度来构造权重系数，不能充分利用图像的结构特征，这种加权策略，容易受噪声的影响，抗噪性能较弱，而且容易向重构的图像中引入错误的纹理，重构效果不好。

除了平滑稀疏先验外，非局部自相似性(non-localself-similarity，nss)也是自然图像中很重要的一个特性，它描述了图像结构的重复性，即处于不同位置的图像块往往表现出很强的相似性，基于图像非局部自相似性的方法广泛应用于图像处理和cs图像恢复。如dong等人提出的非局部低秩模型算法(nlr-cs)，该算法能有效地减少图像的冗余信息，并保留图像全局结构信息。然而，由于图像结构复杂，边缘信息较强的图像样本块很难找到足够多的相似块，因此，非局部低秩方法往往会破坏图像的关键细节，而不能有效地保护图像边缘结构。

技术实现要素：

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于混合加权全变分和非局部低秩的压缩感知重构算法(hybridweightedtotalvariation-nonlocalrank，hwtv-nlr)，该重构算法主要利用图像的局部平滑稀疏先验和非局部自相似性先验，其中，非局部相似性先验用来保留图像的全局信息，局部平滑稀疏先验抑制噪声的同时，保留图像的细节信息，通过有效地调整这两项的权重，可以达到更好的效果。为了提高重构图像的质量，本发明对传统的全变分进行了改进，即在重构前，通过边缘检测算子，检测出图像高频区域(边缘，噪声等区域)和低频区域(平坦区域)，对图像的低频区域使用二阶全变分，对图像的高频区域使用一阶加权全变分。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于混合加权全变分和非局部低秩的图像压缩感知重构方法，该方法具体流程为：

s1：首先对原始图像进行cs处理，对原始图像进行二维cs观测，得到观测值y；然后利用平均曲率m构造的边缘检测器对观测后的图像进行分解，得到高频部分和低频部分；高频部分主要包括图像的边缘细节和噪声，低频部分主要包括图像的平坦区域；再对图像的低频部分进行二阶全变分处理，对图像的高频部分进行一阶加权全变分处理，权重系数由差分曲率c构造，从而得到一个混合加权全变分模型；

s2：对图像进行样本块的提取，在给定的区域内，找到一定数目的样本相似块，并将图像样本块和样本相似块按列聚合成为一个数据矩阵，该数据矩阵具有低秩的性质，从而得到一个非局部低秩模型；

s3：将混合加权全变分模型和非局部低秩模型联合，得到最终的目标函数，并通过交替方向乘子法对目标函数进行优化求解。

进一步，所示步骤s1中，利用基于二阶梯度的平均曲率m构造一种边缘检测器，自适应的将图像分解为高频部分和低频部分，对低频部分使用传统的二阶全变分处理，对高频部分使用一阶加权全变分进行处理，其中，利用基于二阶梯度的差分曲率边缘检测算子来构造权重系数，保护图像边缘细节的同时，有效地提高了算法对噪声的鲁棒性，最终，得到一个新的基于全变分模型，即混合加权全变分模型，即混合加权全变分模型表达式为：

其中，ωi为权重系数，αi为边缘检测算子，u表示原始重构图像，|du|i为一阶全变分，|d²u|i为二阶全变分。

进一步，所示步骤s1中，所述平均曲率m为：

其中，ux和uy分别表示原始图像当前像素点i沿水平方向和垂直方向的一阶梯度，uxx、uxy、uyx和uyy表示原始图像当前像素点沿不同方向的二阶梯度。

进一步，所示步骤s1中，边缘检测器通过设置阈值σ，自适应的判断图像的高频与低频部分，当mi＞σ时，αi为1，此时只有一阶全变分模型作用于高频部分；当mi≤σ时，αi为0，此时只有二阶全变分模型作用于平滑部分。

进一步，所示步骤s1中，权重系数ωi为：

其中，θ为常数，ci＝||(uηη)i|-|(uξξ)i||。

进一步，所示步骤s3中，在同一个框架内，同时刻画图像的局部光滑稀疏性和非局部自相似性，即将混合加权全变分模型与非局部低秩模型结合，并将联合模型作为正则项约束条件构建优化模型，即目标函数表示为：

其中，第一项为数据保真项，第二项为混合加权全变分正则项，第三项为非局部低秩正则项；λ1和λ2为正则项参数，ωi为各像素点的权重，riu表示样本块ui及其相似图像块组成的矩阵，li为低秩矩阵，φ表示观测矩阵，y表示观测值，η为平衡系数，rank(·)表示矩阵的秩。

本发明的有益效果在于：本发明考虑了图像局部平滑性和非局部自相似性，对传统混合全变分模型进行改进，通过对一阶全变分模型进行加权，用差分曲率构造权重系数，同时，利用平均曲率构造新的边缘检测算子，通过阈值策略自适应选取全变分模型。混合加权全变分模型结合了一阶全变分模型和二阶全变分模型的优点，在保护图像边缘的同时有效地避免“阶梯效应”。而非局部低秩模型保护图像全局结构信息的同时有效地减少冗余信息。此外，本发明以改进的混合加权全变分模型和非局部低秩模型为约束构造先验正则项，并分别采用软阈值函数和光滑非凸函数来求解全变分和低秩优化问题，充分利用图像自身结构特性，有效地提高了算法的适应性和抗噪性。最后，算法通过交替方向乘子法迭代策略将目标模型分离成多个子问题，针对每个子问题，采取最高效方法求解。与目前主流的压缩感知重构算法相比，该算法具有更高的重构质量，特别是在采样率较低的情况下。具体为：

1)本发明利用混合全变分对图像的高频和低频分开处理，二阶全变分处理图像的低频部分，抑制阶梯效应，一阶加权全变分处理图像的高频部分，抑制噪声的同时，保留了图像的边缘细节等。

2)本发明将混合加权全变分模型引入到非局部低秩重构算法中，即在一个统一的框架内同时有效地刻画了自然图像的非局部自相似性和局部平滑稀疏性，增强了算法的适应性和重构性能。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：

图1为本发明所述方法的流程示意图；

图2为本发明实施例中算法稳定性分析迭代图；

图3为本发明实施例中无噪观测下barbara在采样率为0.05的仿真结果主观视觉对比图，图3(a)为原始图像，图3(b)为采用tvnlr算法的视觉效果图(psnr＝22.64db)，图3(c)为采用nlr-cs算法的视觉效果图(psnr＝27.94db)，图3(d)为采用本发明算法的视觉效果图(psnr＝29.70db)；

图4为本发明实施例中无噪观测下cameraman在采样率为0.05的仿真结果主观视觉对比图，图4(a)为原始图像，图4(b)为采用tvnlr算法的视觉效果图(psnr＝24.39db)，图4(c)为采用nlr-cs算法的视觉效果图(psnr＝25.38db)，图4(d)为采用本发明算法的视觉效果图(psnr＝28.41db)；

图5为本发明实施例中有噪观测下仿真效果对比图，图5(a)为barbara仿真图，图5(b)为cameraman仿真图。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

请参阅图1～图5，图1为本发明所述的基于混合加权全变分和非局部低秩的压缩感知重构算法，具体处理流程为：

(1)首先，属于原始图像，对原始图像进行二维cs观测，得到观测值y，其中，观测矩阵φ为部分傅里叶矩阵，将观测值进行反傅里叶变换得到预重构图像u，并初始化各正则化参数。

(2)对于非局部低秩问题，先根据块匹配方法找到样本图像块的相似块，使用的相似块匹配方法是基于欧式距离的，然后，将样本图像块及其相似块按列排列聚合成一个矩阵，该矩阵具有低秩属性，称为非局部低秩矩阵，最后，将非局部低秩问题转换为求解秩的最小化问题，秩最小化问题的求解是利用非凸代理函数logdet(·)来近似的。

(3)对于全变分问题，先利用基于二阶导数的平均曲率m来构造一种新的边缘检测算子，将图像分为高频部分(如边缘，噪声)和低频部分(光滑区域)，对于低频区域，使用二阶全变分处理；对于高频区域，使用一阶加权全变分处理，其中，一阶加权系数由差分曲率c构造，在边缘区域，权重较小，在噪声区域，权重较大。最后将全变分问题转换为最小化优化问题，并利用软阈值函数进行高频分量和低频分量的梯度求解。

(4)联合混合加权全变分和非局部低秩构造正则项约束，得到重构目标函数，然后，利用交替方向乘子法(admm)将目标函数分解为多个子问题，并对每个子问题进行高效求解。

(5)最后，利用matlab进行实验仿真，通过与主流的图像压缩感知重构算法进行对比分析，验证本发明算法的有效性以及可行性。

一、混合加权全变分模型

为了提高传统混合全变分的适应性和抗噪性，本实施例提出一种新的自适应全变分策略和新的一阶tv加权模型。

(1)混合全变分模型

传统混合全变分模型一般表示为：

其中，

其中，αi为权衡系数，一般都是利用边缘检测算子构造平衡混合全变分模型，因此，边缘检测器的选择尤为重要。式(2)和式(3)分别为一阶全变分模型和二阶全变分模型，其中(dxu)i、(dyu)i分别为当前像素点沿水平方向和垂直方向的一阶差分算子；(dxxu)i、(dxyu)i、(dyxu)i、(dyyu)i分别为当前像素点沿不同方向上的二阶差分算子。由于图像结构复杂，基于图像梯度的传统边缘检测算子不能有效地区分图像的边缘、噪声和平滑区域，使得这两项正则项不能得到有效地权衡；而一阶全变分模型，对图像所有梯度惩罚一致，导致重构过程中保护图像边缘和去噪效果不佳。针对以上问题，提出了一种新的边缘检测算子，通过设置阈值，自适应性的选择全变分模型，并对一阶全变分模型设置权重，以提高算法的适应性和鲁棒性。

本实施例利用基于二阶导数的平均曲率m来构造新的边缘检测算子，平均曲率m能够有效地区分图像的高频部分(如边缘，噪声)和低频部分(平坦区域)，平均曲率的定义如下：

其中，ux和uy分别代表原始图像当前像素点i沿水平方向和垂直方向的一阶梯度，uxx、uxy、uyx和uyy表示原始图像当前像素点沿不同方向的二阶梯度。一阶全变分模型能够有效地保护图像的边缘结构，二阶全变分模型在图像平滑区域能够有效地去除阶梯效应，因此，本发明实施例提出一种自适应全变分策略。通过设置阈值σ来区分边缘、噪声混合区域与平滑区域，当mi＞σ时，αi为1，此时只有一阶全变分模型作用于边缘区域和噪声，保护图像边缘的同时去除噪声；当mi≤σ时，αi为0，此时只有二阶全变分模型作用于平滑区域，可以有效地避免“阶梯效应”。这种自适应策略充分利用了一阶全变分与二阶全变分的特点，达到更好地重构效果。

(2)混合加权全变分

针对传统一阶全变分模型对图像所有梯度惩罚一致这一问题，本发明实施例提出一种新的混合加权全变分模型，可以表示为：

其中，ωi为权重系数，传统加权全变分模型只利用图像一阶梯度来构造相应的权重，不能有效地区分图像边缘与噪声，本发明提出的加权策略，利用了基于二阶梯度的差分曲率c像素边缘检测器来构造权重系数，可以有效地区分图像边缘区域与噪声点，则像素点i处的权重系数可以表示为：

其中，

ci＝||(uηη)i|-|(uξξ)i||(7)

θ为一常数，在边缘处，|(uηη)i|很大，|(uξξ)i|很小，所以c很大，ω很小；在噪声点处，|(uηη)i|和|(uξξ)i|都大，且几乎相等，所以c很小，ω很大。因此根据差分曲率c能够有效地区分图像的边缘与噪声点，在边缘区域，一阶全变分模型权重较小，能够有效地保护图像的边缘；在噪声点，一阶全变分模型权重较大，能够更好地去除噪声，这种新的加权策略，有效地提高了模型的鲁棒性。

二、非局部低秩模型

自然图像中存在很多重复的相似结构，对于任意一个样本图像块，都能在图像中找到与其相似的相似块，该性质称为图像的非局部相似性。非局部低秩矩阵的构造如下：

假设在像素点i位置的样本块大小为记为ui∈rⁿ，ui在局部窗口(20×20)内查找与其相似的m个图像块：

其中，gi表示样本块i的所有相似块在图像中的位置，d(·)表示欧式距离，t表示相似度阈值，表示样本块i的第j个相似块。

找到ui的各个相似块后，再将各相似块按相似度从高到低的顺序依次按列展开，因此，我们获得一个数据矩阵xi＝[ui,0ui,1…ui,m-1]，xi∈r^n×m。由于这些图像块之间具有相似的结构信息，所以形成的数据矩阵xi具有低秩属性。实际上，xi可能会受到噪声的影响，一种解决的方案是将数据矩阵xi建模为xi＝li+si，其中li为低秩矩阵，si为高斯噪声矩阵，因此，nlr-cs算法模型可以表示为：

其中，表示加性高斯噪声的方差。将其转换为无约束形式为：

其中，riu＝[ri1u,ri2u,…rihu]表示样本块ui及其相似图像块组成的矩阵。

三、联合模型

上述基于混合加权全变分和非局部低秩cs图像重构算法的目标函数如下所示：

其中，λ1和λ2为正则项参数，ωi为各像素点的权重。第一项为数据保真项，第二项为混合加权全变分正则项，第三项为非局部低秩正则项。

由于式(11)包含了低秩矩阵最小化以及不同梯度优化问题，直接求解很复杂，为了简化算法模型的求解，本发明实施例采用admm方法框架对提出的目标函数进行优化求解，admm方法的优点是当模型满足一定的凸性条件时，无需要满足参数趋于无穷就可以收敛到原模型的最优解，并且，通过将原问题分开独立求解，使得模型的求解变得较为容易。该方法具体步骤如下所示：

先通过引入辅助变量x、z1和z2，将公式(11)无约束极小化问题改写为一个约束问题，如下：

与其对应的增广拉格朗日函数为：

其中μ1、μ2和μ3为控制线性约束的惩罚参数；a、b和c为拉格朗日乘子；admm方法可以看作是求鞍点问题(增广拉格朗日)的原始对偶方法，所以式(13)的鞍点即为原始问题(11)的最优解。接下来，我们将方程(13)分解为多个更简单的极小化子问题a-e，从而得到相应的解。

a、z1-子问题

固定u、li、x、和z2，则z1的优化问题可以表示为：

该子问题可以通过软阈值算子求解，可得：

其中，sign(·)是一个符号函数，当·大于等于0时，sign(·)＝1；当小于0时，sign(·)＝-1。

b、z2-子问题

同a子问题，固定u、li、x、和z1，则z2的优化问题可以表示为：

该子问题也可以通过软阈值算子求解，可得：

其中，i为单位矩阵。

c、li-子问题

固定u、x、z1和z2，则li的优化问题可以表示为：

由于矩阵的低秩解是一个np难问题，不能直接解决，基于此，dong等人利用平滑且非凸函数l(li,ε)去近似rank(li)，并有效地证明了logdet(·)低秩近似效果优于核范数||·||*(奇异值之和)。l(li,ε)可定义为：

l(li,ε)＝logdet((lili^τ)^1/2+γi)(19)

其中，γ为正常数，i为单位矩阵，其迭代过程如下：

其中，为xi的奇异值分解，τ＝η/2λ2，(x)+＝max(x,0)，ξj^(k)＝1/(σj^(k)+ε)，σj为li第j个奇异值。

d、x-子问题

固定u、li、z1和z2，则x的优化问题可以表示为：

式(21)本质上是严格凸二次函数极小化问题，所以，令x^k+1的导数为零可得其封闭解，如下所示

其中，i为单位矩阵。为对角矩阵，对角矩阵中的每个元素对应于图像像素位置，元素的值是覆盖像素位置的重叠斑块的数目。表示图像块的平均结果，为每个样本块平均所有收集到的相似块。

e、u-子问题

固定li、z1、z2和x，则u的优化问题可以表示为：

式(23)也是一个包含封闭型解的严格凸二次优化问题，令其导数为零，可得

为了更有效地求解式(24)，我们采用预处理共轭梯度(pcg)方法求解。

求解以上五个子问题后，再根据式(25)更新拉格朗日乘子，如下：

然后，执行下一次迭代，直到满足迭代终止条件为止。最后一次迭代的输出u^k+1是原始图像的重建图像

为了验证本本发明的有效性与可行性，我们对该发明实施例进行了实验仿真。选取了六幅图像进行仿真，分别为barbara、boats、cameraman、lena、monarch、parrots，其分辨率均为256×256。为了更客观的验证该发明，选取目前最主流的cs图像重构算法进行实验对比，分别为：nlr-cs算法、tvnlr算法。性能评价指标为psnr(峰值信噪比，db)。所有仿真实验都是在matlab2016a上进行的。

在对比实验中，相关参数的设置如下：m初始化为单位矩阵；k,t,k0分别为18,15和5；拉格朗日乘子a,b,c根据采样率来设置，不同的采样率可能对应不同的值；根据实验仿真，选取最合适的迭代次数为270次；样本相似块的数目为45个；相似块匹配窗口的大小设置为20×20，并且该窗口以当前像素点为中心；样本块的大小为6×6。

图2为本发明在采样率为0.05(图2(a))和0.20(图2(b))情况下稳定性的分析，从图中可以看出，不同采样率情况下，随着迭代次数的增加，psnr曲线单调递增，当迭代次数达到一定次数的时候，psnr曲线最终趋于稳定，该实验充分证明了本发明算法的稳定性。

图3和图4分别为barbara、camaraman图像在采样率为0.05的仿真结果主观视觉对比图。从图中可以看出本发明所提算法在相同的条件下，获得了最大的psnr值，并且图像重构效果最好，验证了该发明所提算法的有效性；为了验证提出算法对噪声的鲁棒性，我们在仿真的过程中，对观测值加入不同等级的噪声进行实验仿真，并比较所提算法和对比算法在噪声情况下的重构效果。以采样率0.05为例，噪声为高斯白噪声，图5(a)和图5(b)分别为图像barbara和cameraman在不同噪声等级下的重构性能曲线。从图5中可以看出，在受不同程度噪声干扰的情况下，本发明所提算法的psnr值均高于对比算法，这验证了本文算法对噪声具有更好的鲁棒性。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。