101] 二.用以寻找基向量的复数域球解码算法一一算法CSVP-M
[0102] 考虑Minkowski规约的第k次迭代，并假设{gl，…，gj是上一次迭代最后得到的 一个基。此时的目标是寻找满足gcd(zk, . . .，zm) = 1条件的￡(G)最短格向量，这个问题可 以理解成一个一般化的最短向量问题（shortestvectorproblem,SVP)，因此可以用复数 域的球解码算法来解决。可以确定的是目标向量的长度一定不大于{gk，…，gj中最短的向 量的长度，令W。为{gk，一，gj中最短向量长度的平方。
[0103] 通过Gram-Schmidt正交化过程可以得到G的QR分解G=QR，由于.￡(R)与 /：(G)是等价的，因此目标也等同于寻找满足gcd(zk，. ..，zj= 1条件的高斯整数系数向 量?= [2l，…，，使得V =Ri尽可能短。令v]代表v的第j个元素，则v长度的平方等 于
。利用R的上三角特性，又可以将Vj表示为v_j=r(ZfCj)，其中
[0104]
[0105] 完全由zj+1,…，zm决定（cm= 0)。据此构造一棵m层的搜索树，其最顶层对应zm、 最底层对应Zl，依据这棵搜索树采用深度优先的方式，在限制条件
[0106]
[0107] 之下自上而下地对Zj(j=m，m_l，…，1)的候选高斯整数进行搜索。式中 [0108]
[0109] 是j层之前的累积权重，
[0110]
[0111] 即，Z,的全部候选高斯整数点被限定在以c]为圆心、γ,为半径的圆内。从几何角 度来看，这棵搜索树所规定的搜索区域是一个以原点为球心，以为半径的m复数维度 的球体。
[0112] 根据SE枚举方法所规定的，我们按照到(^的距离由近到远的顺序对这些点进行 搜索。因此当搜索到达第j层时，需要找出符合式（12)条件的所有高斯整数点，然后把其中 距Cj最近的一个赋值给z。为了保证gcd(zk, . . .，zm) = 1的条件能够得到满足，当搜索到 达第k层时，我们需要计算gcd(zk，. . .，zj并判断它是否为1 :若为1，那么搜索继续往下进 行，若不为1，则我们需要将这一层的剩余候选高斯整数点中距ck最近的一个赋值给zk，再 进行gcd(zk，. . .，zj的判断。一旦搜索到达最底层，我们就找到了一个长度更短、并且满足 gcd(zk，. ..，zj= 1的格向量，那么接下来就可以用这个格向量的长度作为新的·继续 进行搜索。如果在当前的球体中再也找不到长度比当前的半径更小且满足gcd(zk，. ..，zj=1的格向量时，搜索终止并返回最后找到的那个系数向量。
[0113] 我们将这个有gcd条件判断的复数域球解码算法命名为算法CSVP-M，并将这个算 法的流程进行总结。给定输入R和k，算法返回的是满足gcd(zk, . . .，zm) = 1的高斯整数 系数向量，…，.Ζ?Η]?，并且v=Ri是￡(R)中的满足gcd(zk,. . .，zm) = 1条件的最短 格向量（€1是￡(〇)中的满足gcd(zk，...，Zm) = 1条件的最短格向量）。描述中j是当 前搜索处于搜索树上的层数的索引。具体过程如图1所示。
[0114]输入：R，k;
[0115] 输出：…:,.?..]1且V=Ri是￡(R)中的满足gcd(zk, · · ·，zm) = 1 条件的 最短格向量；
[0116] 第一步（初始化）：找到R的后m-k+1个列向量中最短的那个，把它的索引记为I， 令W。为这个向量长度的平方（R与G对应列向量的长度是完全相等的）；令;|为％，即长度 为m、第（个元素为1、其他元素全部为0的向量，令z为一个长度为m的零向量，令WnS〇、 (^为 〇、j为m。
[0117] 第二步：根据式（14)计算出γ依此执行子程序CreateSet和NextCand。
[0118]第三步：坏e灰,+ :若Wnew<W。，执行第四步；否则，执行第六步。
[0119] 第四步：如果j=k，则计算d=gcd(zk,· · ·，zm):当d= 1 时，j-j-l，'-Wnew， 根据式（11)和（14)分别计算出Cj和γy依此执行子程序CreateSet和NextCand，返回第 三步；当d辛1时，执行子程序NextCand，回到第三步。如果j辛k，执行第五步。
[0120] 第五步：如果j辛1，则j-j_l，Wj-W_，根据式（11)和（14)分别计算出Cj和 Y_j，依此执行子程序CreateSet和NextCand，返回第三步。如果j= 1，则W。一Wnew， j-j+1，执行子程序NextCand，返回第三步。
[0121] 第六步：若k=m，返回i作为输出，终止程序。而若k乒m，则j-j+Ι，执行子程 序NextCand，并返回第三步。
[0122] 子程序CreateSet和NextCand的内容分别如下：
[0123] 1.CreateSet:新建一个集合Sj，计算出符合式（12)条件的全部高斯整数点并将 它们存储在$中；当不存在符合式（12)条件的高斯整数时，S^为空集。
[0124] 2.NextCand：
[0125]条件判断1 :如果S,不为空，则将S,中距离c,最近的那个高斯整数点赋值给z,， 并从Sj中删除；
[0126] 条件判断2:如果Sj为空但k辛m，则k-k+Ι，并回到条件判断1;
[0127] 条件判断3 :如果$为空且k=m，则返回|作为输出，终止程序。
[0128] 三.复数域Minkowski规约中单模矩阵的构造算法--算法UNIM
[0129] 在Minkowski规约的第k次迭代中，用算法CSVP-M得到了?=[A,…,z"; ]1之后我 们需要做的就是将fgp...爲扩展成￡(G)的一个新基。在（一）引理证明中我们 已经给出了构造一个第k个列向量等于|的复数域单模矩阵uk的方法。在此我们将构造uk 的过程并命名为算法UN頂，并在图2中给出了这个算法的流程图。
[0130] 四.本发明的工作在复数域的Minkowski规约方法一复数域Minkowski规约算法 (简称：算法CMIN):
[0131] 以复数格￡(G)的任意给定的基G为输入，工作在复数域的Minkowski规约方法 (算法CMIN)最终给出的;??.￡(G)的一个Minkowski约化基和相应的复数域单模矩阵。如 图3所示，本发明的工作在复数域的Minkowski规约方法包括如下步骤：
[0132] 第一步（预处理）：对给定的基G进行复数域LLL规约，将规约得到的新基直接赋 给G，把规约得到的一个复数域单模矩阵赋给U。预处理的目的是降低利用复数域球解码算 法搜索基向量时的复杂度。
[0133] 第二步：对G中的基向量进行Gram-Schmidt正交化，得到正交向量§ι，..和正 交化系数{μ}u，进而得到G的QR分解G=QR。
[0134] 第三步（迭代过程）：对于k= 1，2, · · ·，m，依次进行下述操作：
[0135](1)以R和k作为输入，用算法CSVP-M找到满足gcd(zk，· · ·，zj= 1条件的￡(R) 的最短格向量的高斯整数系数向量^ = ;
[0136] (2)用算法UN頂构造式（10)所示的第k列等于i的复数域单模矩阵Uk，并用队更 新G和U:G-GUk，U-UUk;
[0137] (3)从第k个基向量开始使用Gram-Schmidt正交化，更新以及相应的正 交化系数，同时更新G的QR分解中的Q、R两个矩阵。
[0138] 本发明给出并证明了一个针对复数格的引理，依据这个引理给出了寻找 Minkowski约化基的基向量的一个复数域球解码算法：算法CSVP-M，同时给出了复数域 Minkowski规约中构造复数域单模矩阵的算法：算法IMM;最后以算法CSVP-M和算法IMM 为模块，构建了复数域的Minkowski规约算法：算法CMIN。由于算法CMIN是一个直接针对 复数格、工作在复数域的规约算法，因此在应用到ΜΜ0无线通信系统中时，将不需要将复 数的基带系统模型转化成等效的实数系统模型，所以相比现有的实数域Minkowski规约算 法，本发明给出的方法能够节省一半的迭代过程，从而节省大量的计算量。
[0139] 下面首先以Minkowski算法对ΜΙΜ0系统的丽SE线性接收机的性能改善为例，说 明Minkowski算法如何应用到ΜΙΜ0无线系统中，及其带来的技术优势；Minkowski算法在 其他ΜΜ0接收机中的应用方法和带来的技术优势与此类似。
[0140] 1.Minkowski算法应用到丽SE线性接收机中的方法
[0141] 针对一个采用QAM调制的ΜΜ0空间复用系统，假设其发射端有Ντ根天线，接收 端有NR根天线，且NR^NT。我们考虑基带模型。在一次信道使用中，每一根发射天线发 射的是一个取自QAM调制星座的、彼此间相互独立的符号Xl，l< 1 <Ντ，它们构成发射向 量[H…心,]%每根发射天线的平均发射功率被限定为P。假设Μ頂0的信道矩阵为 HeC~Xi\则接收向量可以表示为
[0142] y=Hx+z (15)
[0143] 其中teC：%是所包含元素都互相独立且服从均值为〇,方差为1的循环对称高斯 分布的噪声向量。传统MMSE线性接收机采用一个线性映射矩阵
[0144]
(16)
[0145] 对接收向量y进行线性映射，然后把映射结果B_SEy的每个元素量化到QAM调制星 座中距离它最近的点上，从而得到X中的每个元素的估计。
[0146] Minkowski算法协助的MMSE线性接收机的做法是：首先把ΗH看做一个生成矩阵 并对其进行Minkowski格基约化，从而得到一个单模矩阵A(注：ΗH是对Η的逆矩阵进行共 辄转置所得到的矩阵，即ΗΗ=(ΗΗΗ也称为Η的对偶矩阵）；然后采用线性映射矩阵
[0147]
(17)
[0148] 对接收向量y进行线性映射；接着把映射结果&Ry中的每个元素量化到距离它最 近的高斯整数点上，从而得到Αχ中的每个元素的估计；最后用A1去乘Ax，就能够恢复出来 X。Minkowski协助的MMSE线性接收之所以可行是因为A是一个单模矩阵，因此A中的元素 都是高斯整数并且A-定可逆，而QAM调制星座的点也是高斯整数，从而Αχ中的点也是，因 此Αχ