与多模光纤有关的改进的制作方法

本发明涉及使用多模光纤的改进方法，并且涉及使用这种光纤的仪器和系统。例如，本发明可以用于诸如内窥镜的成像仪器中和通信系统中。

背景技术：

以与漫射器或其他高度散射的介质类似的方式，多模光纤(mmf)以明显随机混杂图案的形式递送相干光信号。与光沿复杂路径传播的其他随机环境相反，mmf具有显著可靠的圆柱对称性。

理想mmf内的光传输过程的理论描述已经发展了半个多世纪[1-4]。然而，通常认为这种复杂的理论模型不足以描述通过拉制熔融二氧化硅预成型件而制造的真实mmf。这样的光纤通常被认为是不可靠的，并且通过它们传播的光的固有随机化通常归因于自理想光纤结构的不可检测的偏差。人们普遍认为，这种额外的混乱是不可预测的，并且其影响随着光纤的长度而增大。尽管如此，通过mmf进行的光传输仍然是确定性的。

在mmf内的确定性光传播的前景直到最近才通过数字全息术的方法且通过采用变换矩阵(tm)的经验测量的概念被利用[5-11]。基于通过高度混浊介质的光传播的研究[12-17]开发的该技术开辟了使mmf成为极其狭窄且微创的内窥镜的一个新的机会窗口，从而允许在敏感组织的深层区域中的亚微米分辨率成像[9,18]。然而，引人注目的是，该技术受若干主要限制所困，最关键的是缺乏灵活的操作：光纤的任何弯曲或成环都会导致其tm的变化，因此致使成像严重受损。利用mmf成像的所有现有方法都需要在对tm的耗时的测量期间对光纤的远端的开放光学接入。此外，在系统可用于成像之前，对于焦平面在光纤后面的任何轴向距离和每种预期配置(变形)，都必须预先重复该表征(characterisation)[7,19]。因此，根据经验确定tm的必要性构成了该技术的主要瓶颈，并且通过另一路线获得tm将是极其有利的，理想的是基于数字建模。

我们的实验研究挑战了将多模光纤归类为不可预测的光学系统的普遍持有的观念。相反，我们证明市售的mmf能够充当极其精确的光学部件。我们表明，用足够准确的理论模型，mmf的直段或甚至显著变形段内的光传播直至超过几百毫米的距离都是可以预测的。利用这一新发现的成像可预测性，我们证明了基于mmf的内窥镜的无与伦比的强大功能，其在分辨率和仪器足迹方面都提供卓越的性能。这些结果因此为许多激动人心的应用铺平了道路，其中包括深入能动有机体内的高质量成像。

我们询问这种建模在多模光纤的据说混沌的环境中是否可行(然而，与其他随机介质不同，多模光纤具有显著的圆柱对称性)。事实上，许多研究已经表明，有序行为(模式的传播常数)的至少一些方面可以在非常大的距离上“生存”[20-23]。

我们的研究代表了这些努力的重大进展。随着存储在计算机内存中的实验测量的tm的可用性，所有的光传输过程都可以被非常准确地效仿，并且可以对光纤进行详细的调查研究[24]。虽然用相对较大数量的模式(≈500)进行工作，但我们最初使用了最短的实际光纤段(≈10mm)以使问题的复杂性最小化。该重要的中间步骤允许我们消除由我们的实验设置中的缺陷(不可避免的错位)引起的影响，并且重要的是以足够高的精度建立光纤的参数(芯部直径、数值孔径)。

只有在对这些方面进行了校正时，我们才能看到与所用理论模型的完美一致。这不仅证实了光纤内存在传播不变模式(propagation-invariantmode)，而且非常准确地匹配了它们的输出相位，这对于成像应用是至关重要的。进展到约等于100mm(≈100mm)长的光纤段，我们面临与偏振耦合以及折射率自理想阶跃折射率分布的显著偏差有关的最初挑战，这需要我们的数字建模和实验方法的重大增强。

利用这种新开发的预测光纤内甚至经过这种距离的光传播的能力，我们可以首次严格地研究光纤变形(弯曲)对所得到的tm的影响。研究显示，即使显著弯曲的光纤也可完美地预测，因此允许纯粹基于对光纤几何结构的观察来计算它们的tm。最后，所有这些新方面汇集在一起，以测试在这种增强的系统中的成像性能。我们已经显示，可以在没有实验性的tm采集的情况下在直光纤和变形光纤两者中在远端光纤面后的任意距离处实现成像。

技术实现要素：

相应地，本发明提供一种使用多模光纤设计光传输系统的方法，其中通过对给定光纤的传输矩阵进行数字建模来预测光纤的光传输特性。

另一方面，本发明提供了一种制造光传输系统的方法，其包括提供多模光纤，通过上述方法预测光纤的光传输特性，和以通过所述预测确定的方式将光纤耦合到光源和光检测器。

光传输系统可以结合到内窥镜或信号传输系统中。

本发明的优选特征将从说明书和权利要求中显而易见。

附图说明

现在将参考附图通过示例来描述本发明的实施例，其中：

图1图示对一小段光纤的分析。a)输入模式和输出模式的组织。b)实验测量的tm。c)理论预测的lppim。d)在fp和lppim的表示之间的转换矩阵。e)和f)分别是在优化程序之前和之后的经转换的tm。

图2图示mmf中的偏振耦合效应。a-c)10mm长的光纤的数据。a，lppim的tm。b)描绘lppim的偏振变化的庞加莱(poincaré)球。c)lppim偏振状态在金字塔模式上的投影。d-f)是(a-c)对于100mm长的光纤的等同物。g-i)使用cppim的100mm长的光纤的数据。j)在具有反向自旋的cppim之间的实验测量的相位差(soi的影响)。k)是(j)的数字模拟的等同物。l)cppim输出振幅。m)输入pim及其相应输出的实验合成。

图3示出pim的光学相位。

a-e)10mm长的光纤的数据。a)实验测量的相位。b)和c)通过数字模型预测的相位，其分别为解缠(unwrapped)的和2π缠绕(2π-wrapped)的。d)在实验测量的相位和理论预测的相位之间的差异。e)相位一致。

f-n)100mm长的光纤的数据。f)、g)和h)分别是对于理想阶跃折射率光纤的情况的假设的折射率分布、相位一致性、以及实验获得的pim的相位与理论预测的pim的相位之间的差异。i)、j)和k)对应于具有包含的掺杂剂扩散的模型，且l)、m)和n)表示对扩散的校正以及在光纤芯部上的精细折射率调制(fineindexmodulation)。

o)、p)和q)是l)、m)和n)对于300mm长的光纤的等同物。

图4图示光纤变形的影响。a)实验中使用的具有其罗马id编号的变形光纤的布置，b)和c)实验测量的do和理论预测的do，其对应于变形(v)。d)伸缩因子ξ的经验估计。e)和f)变形对pim的实验测量的影响和理论预测的影响。

图5示出对于三种长度的光纤执行的usaf1951分辨率目标的成像形式的成像应用：10mm(a-d)、100mm(e-h)和300mm(i-l)。在每种情况下，我们显示利用实验采集的变换矩阵(a、e、i)和对应于理想阶跃折射率光纤的三个理论预测的变换矩阵(b、f、j)的成像，具有对掺杂剂扩散的校正的分布(c、g、k)和具有完全校正的分布(d，h，l)。

图6。变形光纤的情况下的成像，a)直光纤的经验tm的情况下的成像，b)完全do校正之后的tm的情况下的成像，c)仅应用do的对角线分量的情况下的tm，d)仅应用do的对角线分量的相位的情况下的tm。

图s1至s16为正文中提到的补充图。

具体实施方式

该描述由解释本发明的实施例的一般描述以及给出计算和方法的额外细节的附录组成。

在提及补充信息和在线方法时，可以在http://www.nature.com/nphoton/journal/v9/n8/full/nphoton.2015.112.html找到这些补充信息和在线方法。补充信息包括这里不能复制的活动图像。

一般描述

传播不变模式的识别

在线方法中介绍的我们的实验几何结构允许在有时也称为“δ峰”的衍射受限焦点(fp)的表示中测量tm，从实验角度来看，这代表最方便的选择。(在光纤的近端处的)输入fp可以使用空间光调制器来产生，该调制器将聚焦的激光束简单地引导到输入光纤面处的所需位置中。输出(远端)面在ccd芯片上成像，并且从各个像素的值采集fp。

如图1a所示，所选择的一组fp在正交网格上布置，并如红线所指示的那样进行排序。10mm长的光纤段的实验测量的变换矩阵m示于图1b中。m的每一行表示发送到光纤中的单个输入fp模式的所有输出fp的振幅和相位。由于空间的限制，在这里，以及在图1d-图1f中，所示tm的模式的基础已经减小到全部尺寸的1/3。完整的变换矩阵在补充图s5-s7中呈现。

在tm采集之后，我们可以将光纤数字模拟为光学系统，并预测被发送到光纤中的任何光场的结果，从而验证任何理论预测的正确性。

最简单的理论描述形式(补充方法s1中回顾的标量和旁轴方法)预测了在通过光纤传播期间不改变其场分布的线性偏振(lp)模式的存在。一系列的这种传播不变模式(pim)(也称为传播算子或本征模式的本征矢量)示于图1c中。同样由于空间的限制，我们仅显示具有很少模式的光纤的pim。pim由一对指数m和l定义。指数l是指给定模式的轨道角动量，其大小等于/光子[25]。

现在可以使用实验测量的tm来测试这类模式在穿过真实光纤之后是否保持不变：这些理论预测的pim中的每一个都可以被构造为输入fp的叠加。然后可以将这种矢量虚拟地发送到光纤中，这通过使其矩阵乘以tm来实现。fp的所得输出矢量应该包含相同的pim，只有相位常数不同。同时对所有模式进行这样的操作在数学上等同于将实验测量的m转换成pim的表示。这通过构造图1d中所示的转换矩阵t来实现，其中每条线表示单个理论预测的pim，其被表示为输入fp的叠加。t中的pim如由图1c中的白色线所指示的那样进行排序。如果理论预测的pim是实验测量的变换矩阵m的真实本征矢量，则它转换成pim的表示将产生纯粹的对角矩阵，这指示每个输入模式都完美守恒。

经转换的变换矩阵被示于图1e中。显然，不是对角的，这可能带来光纤不遵循理论模型的结论。然而，即使光纤的非常小的错位，也可能导致出现非对角线分量。自由度的错位空间非常大：三维位置、两次倾斜和一次散焦，各自位于光纤的两侧。此外，这12个自由度本质上与光纤芯部的半径(a)和数值孔径(na)的值的不确定性相互交织。我们已经开发了在线方法中描述的优化程序(来源可在在线素材库中得到[26])，其同时针对对齐缺陷校正tm并调整a和na的值。图1f中示出的优化结果在主对角线上带有93％的光学功率，这显示在标量理论预测和经校正的实验数据之间的极好匹配。

模式的偏振耦合

每种模式可以以两个正交偏振状态进行定义，并且只有当两者都被考虑在内时，tm才能被认为是完整的。在线方法解释了我们可以如何控制我们的几何结构中的偏振，以便对tm进行这种完整的测量。在优化并转换成pim后，这一完整的tm现在将有四个象限，包含主对角线的那些象限指示给定模式的偏振是守恒的，而其余的象限指示偏振状态之间的相互耦合。对于10mm长的光纤，具有由两个正交线性偏振状态定义的输入pim的经优化的tm被呈现在图2a中(完整的数据集参见补充图s7-s10)。

在偏振状态之间的耦合显然存在，但相对较弱。如图2b中所示，各个lppim的偏振状态的变化可以在庞加莱球上有效地显现。可以看出，所有模式的偏振保持线性，但其取向旋转高达45°(这相当于沿庞加莱球上的赤道偏移90°)。通过将输出pim的偏振状态置于如图1c中定义l-m金字塔形状中，显现相同的数据。定义偏振状态的颜色对应于图2b中的庞加莱球的颜色。

对于100mm长的光纤进行了等效测量(见图2d-f)。我们再次看到输出偏振保持线性(除了稍后讨论的l＝±1的“行为不正常”模式以外)，但是这次偏振的旋转强得多。虽然该效应仍然是高度有序的，但观察到的偏振变化证明lppim不能再被认为是真正传播不变的。为了解释该效应，我们已经将理论描述增强到了全矢量模型(在补充方法s1.1中呈现)。这种先进的描述显示，只有圆形偏振(cp)的pim保持不受通过光纤的传播的影响。一致地，cppim具有与lppim几乎相同的场振幅分布，这大大简化了它们的建模。

使用圆形偏振模式通过100mm长的光纤段传播的实验研究被汇总在图2g-i中。正如所料，利用这些cppim，我们不再看到远离原始偏振状态的转变。cppim因此实际上代表如由我们的矢量理论模型预测的传播不变模式。有趣的是，在具有相同的l和m指数但相反的圆形偏振状态(自旋)的模式之间存在被打破的对称性。它们的光学场不再是对称的，因为波前螺旋性和自旋在一种情况下以相同方式取向，而在另一种情况下相反。矢量描述预测在这种模式对中的简并性(degeneracy)被去除，且结果是它们不会以相同的相位速度传播[4,27]。该效应在量子光学中被公知为自旋-轨道相互作用(soi)。这种行为可以在我们的实验数据中被非常精确地识别(图2j)，也可以通过我们的理论模型预测(图2k)。

图2l示出了输出pim的振幅(图2g中tm的对角线分量)。最主要的损失在l＝±1的模式中见到，如补充方法s1.1中所解释的，这是由这些模式的非常特殊的行为引起的，对此，基于cppim的模型不是有效的。为了确凿地确认这些发现的正确性，我们在我们的实验几何结构中测试了我们的结果，考虑了所有检测到的对准缺陷，并实验合成了完全正交的一组cppim(更多细节参见在线方法)。

在进入光纤之前以及在离开光纤之后，以两种圆形偏振状态记录了pim。图2m中示出显示具有相同的m指数但相反的l指数的两个这样的模式的叠加的一个示例。补充媒体sm2-sm5中呈现10mm和100mm长的光纤段的完全一组pim。

光学相位的检查

预测pim的光学相位的能力的评估对于本研究是极为重要的，并且在回答理论预测的tm是否可以用于成像方面是决定性的。在10mm长的光纤段中测量的cppims的相位示于图3a中。由于相位被缠绕在h-π,π]的区间内，除了镜像对称(由于在该长度上soi的贡献可忽略不计而可见)以外，没有有序的行为是立即显现的。使用我们的数字模型对pim的相位进行的模拟首先在图3b中示为解缠的，并且还在图3c中示为缠绕的。模拟与实验之间的差异示于图3d中。只有在已知光纤具有非常高的精度(在μm单位的数量级上)的长度时，才存在这种非常好的一致性。我们通过寻求被称为总相位一致性(pa)的数量最高值来确定光纤长度：

其中n为pim的数量，且j为第j个pim的实验测量的相位和理论预测的相位之间的相位差。对于完美的一致性，该数量等于1。作为假定光纤长度的函数的pa被绘制在图3e中。由于pim的传播常数以优于10^-5的相对准确度匹配，所以其约为83％的峰值是非常令人满意的。此外，明显看出偏差不是随机的(噪音)，而是形成光滑的表面(图3d)。

用100mm长的光纤重复相同的实验产生在光纤长度的预期值附近的pa峰(图3g)，但pa峰值急剧减小。实验相位和理论相位之间的差别示于图3h中，这清楚地展示图3d中见到像差(aberration)随着光纤长度成比例地增长。我们的光学系统的任何像差都无法解释这种效应。因此我们推测观察到的相位差异可能是由折射率自图3f中所示的理想阶跃折射率分布的偏差引起的，例如来源于掺杂剂材料在芯和包层之间的扩散[28,29](图3i)。

为了量化该偏差，我们采用了在线方法中解释的扰动演算。通常通过扩散长度d来量化扩散，扩散长度d在我们的优化程序中成为额外的自由参数(参见在线方法)。利用考虑扩散的该新模型，pa显著增强(图3j)，但仍不能完全解释图3k中展示的观察到的偏差。因此，我们寻找光纤芯部内折射率的另外偏差，并使用扰动演算，我们得出使用零阶则涅克(zernike)多项式(z⁰4(r/a),z⁰6(r/a),z⁰8(r/a),…)的对它们的描述，发现只需该系列的前两个就能全面地解释观察到的相位偏差。

即使对折射率分布进行如此微小的修改(如图3l中所示)，pa也已经增强到超过0.95的值(图3m)。在pim的实验相位与理论相位之间的差异示于图3n中。光纤的长度进一步扩展到300mm，我们发现，为了图3o-q中所示的令人满意的一致性，我们不得不再补充一个精细调制的自由参数。

变形光纤的变换矩阵

我们的实验几何结构被设计成允许光纤以达到由制造商给出的长期损伤阈值的曲率进行弯曲。通过平移和旋转以高精度监测的光纤的输出端，我们已经实验测量了几种不同光纤几何结构的tm。使用该信息，我们通过使其弹性能量最小化来数字地重构光纤的形状。这些形状在图4a中由实线表示，并且由从相机图像中获得的光纤的实际布局(由黑点标记)补充。通过这种变形引入到tm上的变化可以通过变形算子(do)来最好地表征，其描述直光纤tm到弯曲光纤的tm的转变：

实验测量的do(在pim的表示中)的示例示于图4b中(只有一个偏振分量，对于完全do参见补充图s12)，其对应于我们引入光纤的最大曲率(v)。清楚地看出，即使对于达到损伤阈值的曲率，do仍保持高度对角化，因此指示大多数pim非常优良地守恒。因此，变形的主要效应只是pim的相对较小的相移。所有光纤变形的do的对角线分量(对pim的影响)呈现在图4e中。显然，具有低l和m指数的pim最容易受到这种变形的影响。

我们对弯曲光纤的理论描述在在线方法中详细描述。该分析模型仅可以直接处理具有均匀曲率的光纤段。因此，为了尽可能真实地建模我们的实验条件，我们已经根据300个段构造了相应的理论tm，其各自具有对应于最小弹性能量光纤布局的恒定曲率(图4a)。模拟的结果指示如实验观察到的相同类型的效应，但明显更强。因此，我们在数值上探寻经验伸缩因子，为此，我们不得不减小我们的模型中光纤的曲率，以获得与实验的最佳一致性。对于我们所有的光纤变形(ii)-(v)，找到的伸缩因子非常类似(见图4d)，且其值估计为0.77±0.02。进一步的理论研究揭示，该效应可能是由折射率相对于在变形诱发的应力的影响下发生变化的材料密度的线性变化而引起的。

这产生与光纤弯曲完全相同的效应，但作用相反。假设(n-1)与材料密度成正比[30]，伸缩因子可以表示为其中σ为泊松比(参见，在线方法)。在σ＝0.17的值(其为由许多制造商给出的熔凝二氧化硅的典型材料常数)的情况下，我们得到了ξ＝0.79的值，这与我们的实验完全一致。对应于光纤变形(v)的理论预测的do(应用经验伸缩因子的情况下)示于图4c中(对于所有偏振分量，参见补充图s13)，且理论预测的do的对角线分量描绘在图4f中。

重要的是，理论模型预测，如果变形光纤所处的平面的取向不同，do也不会改变。通过将本研究扩展到第三维证实了这一点，这在补充结果sr1中提供。

应用到成像

能够预测pim光场的正确空间分布以及它们在传播通过光纤后的正确相位，允许我们纯粹基于理论建模的依据来构造以任何模式表示的多模光纤的变换矩阵。为了成像目的，fp的表示是自然的选择。在该表示中，tm的每列都告诉我们为了在光纤的远端获得单个衍射受限的fp，我们需要提供什么样的输入fp的叠加。因此，我们可以(在考虑到所有检测到的错位缺陷的情况下)为我们的slm设计相应的全息调制，以便通过实验合成这种输出fp。使用各种形式的理论预测的tm，我们相应地在75×75个不同位置的正交网格上合成了一组fp，这些位置已经被slm顺序点亮以在图像采集期间有效地光栅扫描对象。所得图像的每个像素值通过在暴露于单个fp的同时测量传输通过对象的总光功率而获得。关于这种方法的更多细节以及近端成像的展示可以在补充结果sr2和补充媒体sm7中找到。

对于我们的成像展示，我们选择了一个负usaf1951分辨率目标作为成像对象，其被放置成极为靠近光纤的远端。在补充结果sr3中，我们示出了成像不限于光纤面的近处，而是通过使用自由空间传播算子，图像平面可以容易地偏移到光纤面后面的任意距离。我们的评估从10mm长的光纤开始。图5a示出用实验测量的tm的传统成像[7-9,18]。将该成像性能与在使用三种不同理论预测的tm时获得的成像性能相比较，其中这些不同理论预测的tm对应于理想阶跃折射率分布(图5b)、具有掺杂剂材料扩散的分布(图5c)和最终完全校正的分布(图5d)。

我们看到，在所有情况下，成像都是成功的，并且由于折射率分布缺陷产生的小像差(图3d)对成像质量的具有最小的影响。对于100mm长的光纤(图5e-h)和300mm长的光纤(图5i-l)进行了等效测试。在这些长度尺度上采用理想阶跃折射率光纤的理论预测的tm未能产生可识别的图像，这清楚地展示出先前所研究的相位校正的重要性。

在考虑折射率分布中的扩散效应之后，可以获得好得多但仍严重受损的成像(图5g、5k)。但是，只有在对折射率的精细调制实施额外校正(图5h、5l)之后，成像质量才接近实验测量的tm的情况(图5e、5i)。弯曲的影响展示在图6a中，其中在直光纤段上测量的tm被用于在(如图4a中的变形(v)所示的)光纤弯曲之后成像。在应用适当理论预测的do(图4c)之后获得的结果示于图6b中。此外，我们测试了所有非对角线分量设置为零的do(图6c)，并且额外还将对角线分量的绝对值设置为1(图6d)。这两种简化表现出对成像性能可以忽略不计的影响，因此确认了do是高度对角的，且因此几乎完美地彼此互换。这将极大地简化对更复杂变形的do的预测，因为沿着光纤的各个弯曲的顺序将不起重要作用。

讨论

我们已经展示mmf是高度可预测的光学系统。在考虑到折射率分布和光纤曲率的几个重要偏差的情况下，我们已经开发了用于测量并分析真实mmf的tm的方法以及用于描述光传输过程的复杂理论框架。我们还没有识别出在300mm长的光纤段中的任何显著的随机化过程，并且，基于所观察到的行为，高度有序的光传播非常不可能在甚至几米的长度尺度内受到妨碍。

从我们的结果中明显看出，哪种模式最容易受到光纤变形的影响，而哪些模式最具免疫力。这不仅对于内窥镜而且对于包括电信(模分复用)在内的许多其他学科也是至关重要的。

我们已经发现，通过选择折射率和泊松比，可以调整变形诱发的tm变化的强度。这可能会带来设计具有抑制弯曲效应的光纤(使ξ值最小)特征的令人兴奋的新可能性，然而设计ξ＝0的光纤(对其，光传输过程完全不随光纤变形而变化)的最终目标将需要负折射率或负泊松比，这两者都很难通过实验实现。

我们推测后者可能可以通过在光纤周围提供高度各向异性的套筒来解决。理论预测与实验现实的惊人一致，允许我们使用直光纤段和弯曲光纤段的理论预测的tm来进行成像，其中这些光纤段对于生命科学、医学和其他学科中的许多实际应用足够长。这些新可能性通过消除与经验测量的tm的要求相关的关键缺点以及灵活性的缺乏，对该技术带来了一步改变。我们相信目前没有阻碍这项令人兴奋的技术进一步快速发展的任何根本性的问题，并且在足够复杂的工程设计的情况下，我们可能不久就会看到许多令人兴奋的应用，诸如在无限制且清醒的动物模型中观察单个或多个神经元。

附录

在本部分中，我们给出了关于我们在开发本发明时所使用的方法和实验设置的进一步详细描述，之后是关于补充方法的部分。

方法

计算由折射率分布偏差引起的传播常数的变化

多模光纤中的光传输过程在理论上是熟知的，并且在补充方法s1中简要回顾了必要的理论思考。为了找到由于折射率分布的微小偏差而引起的传播常数的校正，我们使用了关于基本标量理论的扰动演算。然后将这些校正加到根据全矢量模型的弱导近似计算得到的传播常数上，以获得经校正的传播常数。

我们用n(r)表示理想阶跃光纤中的折射率，且用n0(r)表示稍微修改的折射率。从标量波动等式开始，并沿光纤将时间和z-坐标分离为ψ(r,φ,z,t)＝ψ(r,φ)exp[i(βz-ωt)])，我们得到阶跃折射率n(r)中波ψ(r,φ)的横向部分的亥姆霍兹(helmholtz)等式：

[δ⊥+k0²n²-β^2]ψ(r,φ)＝0,(3)

其中，δ⊥是拉普拉斯(laplacian)的横向部分。如前所述，可以通过角度指数l(角动量，或拓扑电荷)和径向指数m对解进行索引。一个类似的等式适用于扰动模式函数ψ0(r,φ)，但是其中n被n’代替，并且β被扰动传播常数β'代替。接着，我们将经修改的折射率的平方写成n’²(r)＝n²(r)+g(r)，其中g(r)是一个小扰动，将模式函数ψ’lm表示为未扰动模式函数ψlm的叠加，并执行标准扰动计算。以此方式，我们得出对模式的传播常数的一阶校正：

ψ’lm：

对于给定的经修改的折射率n0(r)，这些校正可以通过数值积分容易地计算。模式的偏振指数σ不影响校正。

计算由于光纤弯曲引起的变换矩阵的变化

弯曲光纤的本征模式不同于直光纤的那些本征模式。考虑到实际上曲率半径比芯部半径大几个数量级的事实，人们可能会认为这两组模式将仅仅略微不同。然而，这是不正确的，因为芯部和包层之间的折射率差异非常小。事实上，弯曲引入有效的指数变化，这些变化与该指数差异相当，因此扰动理论会产生不准确的结果。幸运的是，我们仍然可以使用使人想起扰动理论的计算来近似地描述弯曲光纤的模式，如在以下我们示出的那样。

考虑以笛卡尔(cartesian)坐标原点为中心的光纤的短元件，其中光纤轴沿z轴取向。现在假设光纤以曲率半径ρ>>a在xz平面中弯曲，其中曲率的中心在点(ρ,0,0)处。(沿z轴的)局部纵向波数在光纤横截面上不再是恒定的，而是将取决于x，因为kz(x)＝β’²(1+x/ρ)，其中β'是在轴上的纵向波数的值——传播常数。这为xy平面中的模式产生以下等式：

接着，我们将ψ'表示为直光纤模式的叠加，ψ’＝∑iciψi(为了简单起见，我们已经用单个指数i代替了指数对l、m)，并代入等式(5)中。还使用等式(3)，我们得到

通过在xy平面上积分，使用函数ψi的正交性，稍微地重新排列这些项并互换指数i和j来乘以这个等式，我们得到了

在此，我们已经定义了x坐标的矩阵元素

其中为第i种模式的归一化常数。等式(7)实际上是1/β’²的本征值问题。然后本征矢量(系数ci的序列)确定弯曲光纤的相应模式。通过利用传播常数βi受条件n包层k0<βi<n芯部k0限制并因此都非常接近n芯部k0的这一事实，可以进一步简化该等式。替换βi＝n芯部k0+δβi和β’＝n芯部k0+δβ’，插入等式(7)中，忽略包含乘积aijδβi的项并从δβi,δβ’返回到βi,β’，我们最终得到了等式

该等式显示传播常数是带有以下输入的矩阵b的本征值：

与等式(7)相比较，等式(9)的优势在于其本征值直接是新的传播常数。因此，沿长度为l的光纤段的状态的演变算子简单地为eibl。沿不均匀弯曲的光纤的演变可以表示为对应于其中曲率可以被认为恒定的足够短的光纤段的这种算子的乘积。

先前我们已经假设变形光纤的折射率分布与原始直光纤保持相同。然而，光纤变形引起局部密度变化，并因此也导致折射率改变，这影响光传播。当光纤被弯曲时，其外侧变长，而内侧变短。无限小光纤元件长度的这种纵向变化引起其相反符号的宽度的相应横向变化，并且以泊松比σ因子的量级变小。换句话说，变形张量的对角元素相关为εxx＝εyy＝-σεzz。然后，元件体积和密度的相对变化分别是和前提条件是变形很小。如果我们假设折射率具有n-1与密度成正比的特性(这对于制造光纤的熔凝二氧化硅是合理的)，那么我们获得经修改的折射率n’＝n-(n-1)εzz(1-2σ)。将经修改的指数n'代替n与εzz＝-x/ρ一起插入到等式(5)中，我们发现在忽略了一个无意义的项后：

我们看到所得等式与等式(5)的不同之处在于在曲率1/ρ前面有因子ξ＝1-(1-2σ)(n-1)/n。这意味着，光纤表现得好像折射率没有变化但弯曲以因子ξ减弱一样。这也意味着(由于光纤变形造成的)单独指数变化的效应与弯曲本身的效应具有类似的特征，只是符号相反。

通常，横向变形导致光纤芯部横截面形状的变化，这也会影响模式。然而，不难发现，对于所讨论的特定变形，即εxx＝εyy＝-σεzz＝σx/ρ，截面保持圆形(仍然具有半径a)上至a/ρ的一阶；自圆形的偏差是a/ρ二阶的，并且因此完全可以忽略不计。

实验系统

我们所有的研究都是使用半径a＝25.0±0.5μm且数值孔径(na)为0.22±0.02(这些值由光纤供应商thorlabs提供)的阶跃折射率mmf完成的。我们的系统基于傅立叶方案下的标准数字全息几何结构，其中通过由透镜l3和l4形成的4-f系统将slm成像在显微镜物镜mo1(20x，na＝0.25)的后孔上(简化方案参见补充图s14)。来自slm的信号(1064nm)被同时发送到该望远镜内的三个不同的区域内。一部分通过镜m1分离，并在tm采集期间用作参考信号。剩余的两部分被发送到半波片hwp1-3和偏振束置换器pbd1,2的系统中，以产生并重叠具有正交线性偏振态的两个场。

尽管这对于产生具有振幅、相位和偏振的任意空间分布的光场是足够的，但是将四分之一波片qwp1插入到几何结构中以获得更高的效率并降低噪声，因为大多数实验工作需要圆形偏振。发送到mo1的那部分信号被非偏振分束器npbs1分离，并成像到ccd1上，以消除光学像差，并测量slm辐照度(详见下一部分)，并监测发送到mmf中的场(在ccd1处记录的场是在mmf的输入面处的场的伸缩副本)。离开mmf的光学信号由显微镜物镜mo2(参数与mo1相同)收集，并由管透镜l6聚焦。圆形偏振模式通过hwp2转换成线性偏振模式，并且各个偏振分量在偏振分束器pbs上分离，并在ccd2和ccd3上成像。

参考信号通过在各端具有准直透镜l7和l8的单模光纤smf被递送到ccd2和ccd3两者。在偏振分量被npbs2分离之前，参考光学通路与成像通路合并。几何结构使我们能够产生被允许在光纤中传播的任何光场，并观察光场如何通过其经光纤的传输而被变换。关键的是，几何结构使我们能够分别合成并观察输入光场和输出光场的所有方面，即它们的强度、相位和偏振。ccd4仅在下面sr2部分中解释的近端成像测试中被采用。

波前校正

本文中的所有实验研究都需要具有极高保真度、几乎没有光学像差的光束控制。为了消除我们非常复杂的光学系统中的像差，我们使用[14]中开发的方法。该算法有效地处理小段slm的相位，以在ccd1的所选像素中获得最高信号，这意味着最佳聚焦。所得波前校正的质量会受到ccd噪声和slm闪烁噪声的影响，这两者都可以通过较久的数据收集进行统计平均。然而，随着程序的持续时间增加，我们面临着系统性漂移的强烈影响。为了克服这种折衷，我们用大量的不同像素(10000个)同时测量光学像差，并组合这些结果。由于像素是在正交网格上组织，所以这些测量中的每一种都会承载特定的线性相位调制(等同于棱镜)，可以对该线性相位调制进行预测并从数据中减去，之后取平均值。补充图s15展示了该增强。

变换矩阵的测量

在我们的先前研究[6、7]中，我们已经将变换矩阵的输入模式定义为源自一系列slm段的子束(beamlet)。该方法的一个显著问题是相对较弱的信号通常受到各种散射光源的显著影响。为了本研究的目的，我们使用在mmf的输入面处的最佳聚焦点的表示(如上所解释)。这不仅有益于获得更强的信号(利用从slm反射的总功率来分析每种模式)，而且有益于与理论预测进行较简单的比较。在该方案中的tm测量期间，slm在两个通路之间分割光学功率——一部分发送到smf充当参考信号，且另一部分在mmf的输入面的选定位置处产生fp输入模式。由于图s14中所示的一系列偏振光学元件，每个fp可以由信号的两种不同的slm调制来产生，导致产生一对相互正交的偏振态。输出fp模式在ccd2和ccd3的选定的(分组的)像素上被监测，其中输出光纤面被成像。

它们的相位根据与由smf递送的参考信号的干涉而建立。采用slm以均匀地改变在测试的输入模式和参考场之间的相位差δθ产生每个ccd像素的谐波信号：

其中fm和f参考分别是测试模式的场和参考场。通常，我们在这种测量中使用多于一个2π周期，例如，δθ＝2π/4·[0，1，...，7]。

分析检测的信号，我们可以立即隔离测试的输入模式在输出模式上的相位分布。根据所测量的谐波信号，我们也可以建立ac和dc分量的振幅，基于方程式(10)，该振幅允许恢复输出模式振幅。这样，该测量不受(由参考通路的各种光学部件处的干涉效应产生的)参考信号的高斯包络和小空间强度不均匀性的影响，这会显著影响tm的测量。与[6]类似，我们使用反馈回路来消除在mmf光学通路和参考光学通路之间的漂移。tm的初始测量包含1089个输入模式和5625个输出模式。在顺序地测量输入模式的同时，输出模式被同时测量，因此它们被有利地过采样以降低噪声。

处理原始数据

来自对tm的直接测量的数据受到各种来源的错位的严重影响。此外，输入模式和输出模式是用不同的采样获得的。在这种tm可以被用于与理论预测相比较之前，必须处理该数据以解决这些问题。可以根据tm的总传输分布粗略地估计错位的量，在理想情况下(没有错位)，tm的总传输分布将在光学系统的两侧完美地对称并聚焦。这些分布通过平均tm的行或列的绝对平方来获得，并且它们表明光纤端部相对于光学通路的位置错位。使用傅里叶变换，我们可以将所测量的tm转换成平面波的表示，其类似地提供传输分布，这时表明倾斜度和离焦。传输分布示于补充图s16(a-d)中。

所有错位算子都可以由模式或其傅立叶光谱的纯相位线性或二次调制表示，并且被组合成光纤的一个用于输入的矩阵a输入和一个用于输出的矩阵a输出。然后通过自任一侧的tm的矩阵乘法来实施校正：所得到的给出最佳图像对称性和清晰度的预优化被呈现在补充图s16(e-h)中。

在该程序之后，使用傅里叶变换的伸缩特性对输出模式重采样，以匹配输入模式的采样。最后，除去冗余的数据(其在补充图s16中本身显现为黑色边界)，产生图s5中呈现的具有729个输入模式和729个输出模式的矩阵。该操作也通过矩阵乘法来实现。

优化程序

我们的优化程序在本项目的过程上逐渐演变，以考虑一系列新识别的因子。在下文中，我们仅描述了最后一个因子，其被优化以研究传播通过100mm长的光纤段的cppim。利用对mmf中的光传输的完整的理论描述[1](在补充方法s1中回顾)及上文介绍的它的改进，我们可以计算转换矩阵t，其允许将所测量的tm转换成pim的表示：由于在光纤参数的估算中保留了错位缺陷和不足的精度，这无法产生令人满意的结果，并且需要进一步的优化。虽然通过m的矩阵乘法可以引入对错位的补偿，但是对光纤参数的校正需要在每次迭代处计算新的转换矩阵t，这是耗时的并且没有固定的尺寸，这需要更详尽的优化标准以收敛。因此，这两部分的优化被解耦。在错位优化程序的每次迭代(由j索引)中，我们对实验测量的tm实施错位校正，然后使其转换成pim：该算法在自由参数的12维空间上优化的质量度量在所得矩阵上被定义为tm的对角线分量承载的总光学功率(绝对平方)的分数乘以pa(上面介绍的相位一致性)。

在优化(直接影响转换矩阵t的)光纤参数期间，在所得上定义的质量度量是四种因子的组合。此时，我们不能使用由对角线分量承载的总功率比，因为这强烈有利于对应于低na和较小芯径的小型矩阵，其导致了优化算法的发散。对角线分量的总功率都没有证明本身是合适的标准，因为它有利于对应于高na和较大芯径的大型矩阵。因此，最佳的功率转换是通过逆变换回到衍射受限点的空间：并且使用最小二乘法与原始实验测量值相比较来实现。该值在增加光纤芯部的na和直径两者时急剧下降，但是在经过预期的值之后，它保持稳定。这通过引入确保对角线分量的最大均匀性的第二标准来补充。的对角线分量的标准偏差保持稳定，直到达到预期值，然后急剧上升。类似地，与先前情况一样，我们使用pa作为第三优化因子(在这种情况下，pa^-1作为我们探索的最小值)。最后，我们发现通过使表示与主对角线直接相邻的元素的总功率的第四标准的值最小化来确保快得多的收敛。这四个标准的组合的特征在于在所有光纤参数(na、芯部直径、扩散长度以及如上所述的另外的折射率校正)的多维空间中具有尖锐的最小值。

将优化程序的两部分循环数次，直到达到稳定点。算法的结果是最佳光纤参数、经优化的和t以及精细错位矩阵c输入和c输出的集合。该部分的具有详细指令的注释matlab代码以及预优化的实验数据样本(m)和取样可从[26]下载。

整个优化程序对于的偏振分量分别执行。我们只在分析以及错位因子的第一步骤中寻求最佳的光纤参数。该程序的记录在补充媒体sm1中呈现。接着分析其中我们只寻求错位参数(如图s14中所示，光跟随不同的光学通路)，并且对于到pim的转换，我们使用先前步骤中获得的光纤参数。对于分量和的转换，我们从对和的分析中知道系统的所有错位参数，因此不需要进一步的优化。

计算复杂的全息调制

我们的基于labview的控制系统被设计为合成将在slm上应用的复杂的全息调制。它使用实验测量的tm来组合一系列的(在fp的表示中的)输入模式，以实现离开光纤的任何输出光场，其具有任意分布的振幅、相位和偏振。这是使用gerchberg-saxton算法[32]的修改版本[31]实现的。

成像全息图的合成

由于通过扫描输出光纤面后面的fp实现成像，所以用实验测量的tm执行成像是通过顺序索引的行来完成的，这导致一次合成单个fp输出模式。对于利用理论预测的变换矩阵进行成像，我们可以利用在数据优化期间获得的矩阵对a、b和c：这里代表正文中介绍的任何修改，包括针对变形光纤和轴向偏移成像平面的那些修改。

产生pim

各个pim的产生使用先前情况中描述的相同程序。唯一的差异是我们加载到控制界面中的变换矩阵。我们不是进行完全反向的转换，而是只将输入模式转换为矩阵是使用fp表示的输入和由pim表示的输出之间的混合变换。所记录的完整一组pim被呈现在补充媒体sm2-sm5中。

补充方法

多模光纤中光传播的理论描述

mmf中光传播的最常见描述基于如下假设：通过它们传播的光场的偏振态保持不变。基于弱导模式的理论的这种标量和旁轴建模产生通过拼接分别在光纤芯部和包层上限定的第一类贝塞尔函数和第二类经修改的贝塞尔函数来识别具有简单描述的径向依赖性的一组正交线性偏振(lp)传播不变模式(pim)。该函数及其一阶导数的连续性的要求产生每一阶贝塞尔函数l的一组离散解(在本文中用字母m标记)。这些场的强度是方位角无关的，且它们的相位作为e^ilφ随着方位角坐标φ变化。该简化的方法很好地解释了几种重要的光传输过程，然而，在具有诸如在我们的实验中使用的那些参数的参数的mmf中的线性偏振光将只在几十毫米的距离上保持其偏振状态。严格的矢量建模也预测了一组pim的存在；然而，它们的偏振不再均匀，取向在模式截面上周期性地改变。非常幸运的是，对于大多数的模式，该理论预测传播常数值(k矢量的轴向分量)的简并性。此类简并模式的线性组合因此也产生传播不变的光场，这些传播不变的光场具有与简化的标量lppim几乎相同的场分布以及在模式截面上的均匀偏振，但是该偏振状态是圆形的。由于这些特性，我们选择这种表示以用于我们的实验研究，因为与具有空间不均匀的偏振分布的模式相比，产生圆形偏振(cp)模式要容易得多。对于此的唯一例外是方位角偏振模式和径向偏振模式，它们有时被称为刺猬(hedgehog)和面包圈(bagel)。虽然它们的叠加产生l＝±1的模式，但是这种简并在此不会发生。在我们的模型中，它们通过具有平均传播常数的圆形偏振模式来近似。此类模式的强度仍然是方位角无关的，但是它们的能量在相反的偏振状态之间周期性地振荡，因此它们不再是传播不变的。如图6中所示，该不足对成像性能具有可忽略不计的影响。

离散的圆形偏振模式的表示可以使用量子形式来方便地表达，该量子形式描述具有三个整数量子数l、m和σ的每种模式。在该形式中，l和σ分别指示轨道和自旋角动量的量，单位是/光子[25]。该表示也非常便于观察自旋轨道相互作用的影响。从量子物理学中已知的该影响使得具有相同但非零的l和相反的自旋态σ＝-1和σ＝1的两种模式以稍微不同的相速度传播。

矢量cp模式与标量lp模式的类似性使得该表示非常适合于对可以强烈影响实验观察的理想阶跃折射率分布的偏差实施校正。再次，这些像差的影响不会显著影响模式的光场的分布。最明显的影响是传播常数的小变化(相对偏差大约为10^-6的数量级)，然而，该变化可能显著影响模式在仅仅几十毫米的距离上的输出相位。正如我们将看到的，传播常数的这些小偏差可以使用标量lp模式通过采用扰动演算来充分精确地且有效地建模。因此，我们的建模技术是采用精确矢量cp模式的混合解，该精确矢量cp具有针对阶跃折射率分布中的缺陷被校正的传播常数。

矢量模式

cppim构成了考虑光传播的矢量特性的最简单的一组模场。在阶跃折射率分布圆形光纤中，cppim的横向电场分量可以表示为：

其中r＝r/a是无量纲径向参数，其中r是径向坐标且a是光纤芯部的半径。β是相应模式的传播常数，且我们已经通过δβl,+(l、σ具有相同的符号)和δβl,-(l、σ具有相反的符号)指示对标量传播常数βsc的偏振校正。和是单位笛卡尔(cartesian)坐标矢量，且flm(r)是由第一类贝塞尔函数(jl)和第二类贝塞尔函数(kl)的定义的模式的径向分布：

参数u与所考虑模式的横向波矢量成比例，其中k0＝ω/c是真空波数，且n芯部是光纤芯部的折射率。

等式(s1)描述了cp模式。如我们已经提到的，除了l+σ＝0的模式(即总角动量为零的模式)之外，它们是光纤的本征模式。这些例外的模式甚至不是矢量波方程的近似解，因此它们不是光纤的本征模式；然而，我们可以通过它们的等量叠加来构造本征模：

因此，严格地说，在l+σ＝0的情况下，等式(s1)中的传播常数β无法定义。出于同样的原因，我们无法定义校正δβ1,-为对模式ψ1,m,-1的传播常数的校正。因此，我们将保留该符号用于相对于刺猬模式定义的校正，并且面包圈模式的校正将由δβ’1,-指示。

ψ1,m,-1和ψ-1,m,1本身不是光纤的本征模式的事实本身以非常特殊的方式显示：如果模式ψ1,m,-1被注入光纤中，则在某一距离(称为lm)之后，其完全变换成模式ψ-1,m,1。然后，在传播经过lm的附加距离之后，恢复原始模式ψ1,m,-1，并且状态继续沿着光纤在这两种模式之间振荡。这样，l+σ＝0的情况是轨道和自旋角动量没有沿光纤独立地守恒的唯一一种情况，然而，由于光纤的旋转对称性，它们的和仍然是守恒的。

面包圈模式和刺猬模式实际上是光纤模式的完整但稍微复杂些的表示的成员，我们可以将其称之为“广义的面包圈和刺猬”(gbhpim)。阶跃折射率分布光纤中的该模式表示被构造为cppim的线性叠加：

这些模式的第一指数(l+1或l-1)指示总角动量的大小，且δβl,±再次是传播常数相对于标量理论的校正。然而，在l+σ＝0的情况下，校正分为两个值，对于偶模式和奇模式(分别是刺猬和面包圈)是不同的，这在最后一个等式中以素数强调。对于l+σ≠0，校正βl,-和是相等的。具体地讲，校正可以以简单形式表示：对于所有的l≥0，δβl,+＝i1-i2；对于l≠1，δ且对于l＝1，δβl,-＝2(i1+i2)且在此，i1和i2是简单的积分[1]：

其中v＝ak0na是波导参数，其中na是光纤的数值孔径，是分布高度参数，且f(r)是无量纲分布形状函数。对于阶跃折射率光纤的情况，f(r)定义为：

这使得上述积分的计算相当简单，因为f‘(r)＝δ(r-1)。结果，仅仅必须计算归一化积分。表1汇总cp模式以及其相应gbh模式关于i1和i2积分的校正。如果该表中单独显示l＝0，则i2＝0，因此校正仅为i1。对于模式ψl,m,1和ψl,m,-1，校正i2是相反的。

表1.对标量传播常数βsc的校正δβi。

这意味着这些模式的传播常数略微不同。这是自旋-轨道相互作用的展示，如果具有给定l的线性偏振光传播经过光纤，该自旋轨道相互作用则导致偏振矢量方向的旋转，或者当叠加ψl,m,σ+ψ-l,m,σ传播时，该自旋轨道相互作用则导致强度图案的旋转。

为了完整性，我们还比较了使用积分i1和i2计算的弱导校正δβi(图s1a,b)并将其用以根据以下评估高阶矢量校正(图s1e,f)：

βvec-βsc＝δβi+(更高阶的校正)，(s5)

其示于(图s1c,d)中，其中βvec是全矢量传播常数。高阶校正在大约≈10^-6的数量级上。

上面的模态场构成矢量波方程的完全近似解集，并且具有与全矢量方法所使用的类似的eh，he-命名法。尽管gbhpim形成了一个完整的基础(包括有问题的l+σ＝0情况)，但是它们的实验缺点是它们的不均匀偏振在模式横截面上周期性地改变取向。如前所述，由于与具有空间不均匀的偏振分布的模式相比，产生圆形偏振模式要容易得多，这使得我们为我们的实验研究选择cppim表示。这种基础的选择对成像性能具有可以忽略不计的影响。

由于在我们的例子中弱导近似的准确性非常高，所以直接根据全矢量方法获得的上述gbh模式以及cp模式的传播常数β产生与应用有弱导偏振校正的标量波方程几乎相同的结果。然而，后一种方法具有优于全矢量方法的显著优势。例如，光纤表现出小的折射率变化。这些小的变化可以通过利用应用于标量模式的扰动理论来容易地解释，如我们将在下文所做的那样。同样的内容在全矢量描述中无法容易地完成。由于该明显的优势，我们选择具有弱导及扰动校正的标量理论作为我们计算中的主要工具。

三维的变形算子

理论模型预测，如果变形光纤所处的平面取向不同，则do不会改变，条件是输出成像系统保持根据所施加的变形进行取向。如果不满足该条件，do附带一个使所有输出模式旋转不同的角度γ的取向算子。为了证实该行为，我们将变形光纤(v)与成像设备一起围绕如图4a所示的原始直光纤的轴以各种角度β旋转。对于这种情况，模型预测γ＝β。这些情况的do的对角线分量呈现在图s2b中。为从这些数据中隔离出取向算子，我们可以有效地利用对于γ＝0，do的特征在于的对称性这一事实。因此我们寻找为了使该对称性最大化输出模式不得不旋转的公共角度。γ相对于实际取向β的经隔离的值示于图s2c中。消除取向算子情况下的所得的do呈现在图s2d中，清楚地确认了变形算子的取向不变性。

近端成像

在对图像进行图像采集期间，对于在75×75个位置的网格上生成的每个输出fp(图s3a)，使用桶检测器来检测总发送信号(ccd3上的积分信号)。因为有些人可能会争论这不是一种真正的内窥镜方法(检测器不在仪器的近端侧)，我们还使用ccd4将在近端从光纤返回的光积分。

相应的图像(图s3b)清晰地表现出在我们的成像通路中存在不想要的干扰效应。这些来源于光在我们几何结构的许多表面(包括光纤面)上被回射。这对于依赖于荧光发射的方法没有任何障碍，其中回射的激发波长可以被滤除并且仅检测到发射信号。为了使该效应最小化，我们拍摄了均匀反射表面的参考图像(图s3c)。图s3d中所示的两者的差别给出类似于远端成像(图s3a)的图像，但是由于该更复杂的过程，其更大程度地受到噪音的影响。由于该原因，我们选择在我们的演示中使用远端成像，因为它使得观察对成像质量的微妙影响更加明显。

在距光纤末端的任意距离中成像

在此，我们示出，在具有对于光纤tm(特别是输出模式的相位)的高度精确的知识的情况下，我们可以用自由空间传播算子来补充tm，且因此以数字方式修改成像平面的位置。如图s4按序列显示的那样，图像平面被设置得距光纤越远，可访问的视场越大，但是相应地获得的分辨率越低。在所有所示的情况下，成像的信息量保持相同。

图s1.a-b，根据i1和i2积分计算的对β的矢量校正。c-d，全矢量βvec和标量βsc之间的差异。e-f，通过从(c-d)中减去(a-b)推导的更高阶的矢量校正。

图s2.变形取向的影响。a，实验中使用的具有其罗马id编号的变形光纤的布置。b，曲率取向对pim的影响。c，经隔离的旋转算子的争论。d，在除去旋转算子后do对pim的影响。

图s3.近端成像的演示。a，直接远端成像。b，利用usaf目标的近端成像。c，反射表面的参考图像。d，(c)和(b)之间的差异。

图s4.使用数字更新的tm进行成像，以在光纤末端后的各种距离处成像。白色比例尺对应于光纤芯部的大小，50微米。

图s5.在进行在线方法中介绍的处理后的实验变换矩阵数据该示例代表线性偏振fp表示中10mm长的光纤段的tm。a，偏振分量s→s。b，偏振分量s→p。c，偏振分量p→s。d，偏振分量p→p。

图s6.转换矩阵。λ＝1064nm，na＝0.22且芯部直径d＝50μm。

图s7.10mm长的光纤段的经转换的变换矩阵。tm以lppim的表示来表示

图s8.100mm长的光纤段的经转换的变换矩阵。tm以lppim的表示来表示

图s9.100mm长的光纤段的经转换的变换矩阵。tm以cppim的表示来表示

图s10.300mm长的光纤段的经转换的变换矩阵。tm以cppim的表示来表示

图s11.pim的光学相位，300mm长的光纤的数据。a、b和c分别是对于理想阶跃折射率光纤的情况的假设的折射率分布、相位一致性以及实验获得的pim相位和理论预测的pim相位之间的差异。d、e和f对应于包含有掺杂剂扩散的模型。g、h和i表示对扩散的校正以及光纤芯部上的精细折射率调制(三个参数)。

图s12.对应于来自图4的光纤变形(v)的实验测量的变形算子。

图s13.对应于来自图4的光纤变形(v)的理论预测的变形算子。

图s14.实验几何结构。

图s15.波前校正的增强。a，单像素校正。b，平均10000个单像素校正获得的增强的波前校正。

图s16.粗错位补偿。a，在校准期间扫描的输入面区域的传输分布。b，输入角度谱的传输射分布。c，输出面的传输分布。d，输出角度谱的传输分布。(a)和(b)都被上采样以匹配传输分布的分辨率。(d)中传输光谱向左上角的大偏移通过调整参考信号在ccd上的入射角而有意引入到系统中。这样做是为了消除参考信号在我们系统内多次反射造成的强干扰效应。e-h，在对于错位应用粗校正后的(a-d)的等同物。

媒体sm1.在线方法中介绍的优化程序的进展的记录

媒体sm2.如在线方法中介绍的实验产生的完全一组pim。pim以圆形偏振方式产生，并通过10mm长的光纤段传播。颜色对应于各个偏振分量。左栏显示在进入光纤之前的模式图像(由ccd1记录)。右栏显示输出的pim，由ccd1和ccd2记录。

媒体sm3.具有相反l指数的实验产生的pim干扰对。pim以圆形偏振方式产生，并通过10mm长的光纤段传播。

媒体sm4.如在线方法中介绍的实验产生的完全一组pim。pim以圆形偏振方式产生，并通过100mm长的光纤段传播。

媒体sm5.具有相反l指数的实验产生的pim干扰对。pim以圆形偏振方式产生，并通过100mm长的光纤段传播。

媒体sm6.变形取向的不变性。

媒体sm7.在多模光纤的远端侧和近端侧的成像。a，在成像期间(在光纤的远端处的)ccd3的记录。我们故意将fp图像失焦地成像在ccd芯片上。这是为了将总功率散布到更大的区域上，因此允许检测更大的功率并降低整体噪声。b，从由ccd3获得的数据中采集图像的进展。c，成像期间(在光纤的近端侧处的)ccd4的记录。在此，我们收集从物体反射后自光纤返回的光。由于其通过光纤传播，所以信号看起来是散乱的。d，从由ccd4获得的数据中采集图像的进展。由于空间限制，(a)和(c)两者仅代表整个ccd芯片区域的一小部分。

参考文献

[1]snyder,a.w.&love,j.opticalwaveguidetheory(springerscience&businessmedia,1983).

[2]gloge,d.weaklyguidingfibres.appl.optics10,2252-2258(1971).

[3]snitzer,e.cylindricaldielectricwaveguidemodes.j.opt.soc.am.51,491-498(1961).

[4]liberman,v.s.&zel’dovich,b.y.spin-orbitpolarizationeffectsinisotropicmultimodefibres.pureappl.opt.2,367-382(1993).

[5]dileonardo,r.&bianchi,s.hologramtransmissionthroughmulti-modeopticalfibers.opt.express19,247-254(2011).

[6]cizmár,t.&dholakia,k.shapingthelighttransmissionthroughamultimodeopticalfibre:complextransformationanalysisandapplicationsinbiophotonics.opt.express19,18871-18884(2011).

[7]cizmár,t.&dholakia,k.exploitingmultimodewaveguidesforpurefibre-basedimaging.nat.commun.3,1027(2012).

[8]bianchi,s.&dileonardo,r.amulti-modefiberprobeforholographicmicromanipulationandmicroscopy.labchip12,635-639(2012).

[9]choi,y.etal.scanner-freeandwide-fieldendoscopicimagingbyusingasinglemultimodeopticalfiber.phys.rev.lett.109,203901(2012).

[10]papadopoulos,i.n.,farahi,s.,moser,c.&psaltis,d.focusingandscanninglightthroughamultimodeopticalfiberusingdigitalphaseconjugation.opt.express20,10583-10590(2012).

[11]nasiri,r.,mahalati,gu,r.y.&kahn,j.m.resolutionlimitsforimagingthroughmulti-modefiber.opt.express21,1656-1668(2013).

[12]vellekoop,i.m.&mosk,a.p.focusingcoherentlightthroughopaquestronglyscatteringmedia.opt.lett.32,2309-2311(2007).

[13]popoff,s.m.etal.measuringthetransmissionmatrixinoptics:anapproachtothestudyandcontroloflightpropagationindisorderedmedia.phys.rev.lett.104,100601(2010).

[14]cizmár,t.,mazilu,m.&dholakia,k.insituwavefrontcorrectionanditsapplicationtomicromanipulation.naturephoton.4,388-394(2010).

[15]popoff,s.,lerosey,g.,fink,m.,boccara,a.c.&gigan,s.imagetransmissionthroughanopaquematerial.nat.commun.1,81(2010).

[16]vellekoop,i.m.,lagendijk,a.&mosk,a.p.exploitingdisorderforperfectfocusing.naturephoton.4,320-322(2010).

[17]ji,n.,milkie,d.e.&betzig,e.adaptiveopticsviapupilsegmentationforhigh-resolutionimaginginbiologicaltissues.nat.methods7,141-147(2009).

[18]papadopoulos,i.n.,farahi,s.,moser,c.&psaltis,d.high-resolution,lenslessendoscopebasedondigitalscanningthroughamultimodeopticalfiber.biomed.opt.express4,260(2013).

[19]farahi,s.,ziegler,d.,papadopoulos,i.n.,psaltis,d.&moser,c.dynamicbendingcompensationwhilefocusingthroughamultimodefiber.opt.express21,22504-22514(2013).

[20]gambling,w.a.,payne,d.n.&matsumura,h.modeconversioncoefficientsinopticalfibers.appl.optics14,1538-1542(1975).

[21]friesem,a.a.,levy,u.&silberberg,y.paralleltransmissionofimagesthroughsingleopticalfibers.inproc.ieee,208-221(1983).

[22]kreysing,m.etal.dynamicoperationofopticalfibresbeyondthesingle-moderegimefacilitatestheorientationofbiologicalcells.nat.commun.5,5481(2014).

[23]vonhoyningen-huene,j.,ryf,r.&winzer,p.lcos-basedmodeshaperforfew-modefiber.opt.express21,18097-18110(2013).

[24]carpenter,j.,eggleton,b.j.&j.110x110opticalmodetransfermatrixinversion.opt.express22,96-101(2014).

[25]leach,j.,padgett,m.,barnett,s.,franke-arnold,s.&courtial,j.measuringtheorbitalangularmomentumofasinglephoton.phys.rev.lett.88,257901(2002).

[26]http://complexphotonics.dundee.ac.uk/.

[27]bliokh,k.y.,niv,a.,kleiner,v.&hasman,e.geometrodynamicsofspinninglight.naturephoton.2,748-753(2008).

[28]k.etal.dopantdiffusionduringopticalfibredrawing.opt.express12,972-977(2004).

[29]gibson,b.c.etal.controlledmodificationanddirectcharacterizationofmultimode-fiberrefractive-indexprofiles.appl.optics42,627-633(2003).

[30]skinner,b.j.&appleman,d.e.melanophlogite,acubicpolymorphofsilica.am.mineral.48,854-867(1963).

[31]cizmár,t.&dholakia,k.tunablebessellightmodes:engineeringtheaxialpropagation.opt.express17,15558-15570(2009).

[32]gerchberg,r.w.&saxton,w.o.apracticalalgorithmforthedeterminationofthephasefromimageanddiffractionplanepictures.optik35,237-246(1972).