用于离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计方法与流程

本发明涉及一种设计方法，尤其是一种用于离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计方法，属于离轴光学系统设计的技术领域。

背景技术：

离轴自由曲面反射成像光学系统具有结构紧凑、无色差、无遮拦等优点，广泛应用于望远镜，超短焦投影物镜，高光谱成像光谱仪等。离轴反射成像光学系统由于是非对称结构，会产生非对称像差，自由曲面作为一种非旋转对称面可以有效地校正这种非对称性像差。此外，自由曲面拥有更高的设计自由度，不仅在校正像差方面有优越性，而且能够减少光学元件的数量，可以使系统的结构更为紧凑。

目前，光学系统设计过程都是先找一个合理的初始结构，也就是先假设每个面初始面形，然后对其进行优化，直到最后的面形能够有很好的成像质量，初始面形越接近于最后的面形，后续优化用的时间越短。对于共轴光学系统，有大量的初始结构数据库可以直接选取想要的初始结构，而对于离轴的光学系统很难找到合适的初始结构，因此，发展一种针对离轴光学系统初始结构设计方法，具有非常重要的意义。

技术实现要素：

本发明的目的是克服现有技术中存在的不足，提供一种用于离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计方法，其能有效实现对离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计，提高设计效率，安全可靠。

按照本发明提供的技术方案，一种用于离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计方法，所述离轴自由曲面成像光学系统包括起始光源面、像点e(x′，y′，z′)及位于起始光源面与像点e(x′，y′，z′)之间的自由曲面组，通过自由曲面组能将起始光源面出射的光线反射到像点e(x′，y′，z′)，自由曲面组为单自由曲面反射镜时，所述设计方法包括如下步骤：

步骤1、在起始光源面上选取m×n的起始光源阵，则能得到起始光源阵内每个起始发光点的坐标，对于起始光源阵内的任一起始发光点std(xtd,ytd,ztd)，起始发光点std出射的光线rtd为单自由曲面反射镜的入射光线，r'td为经过单自由曲面反射镜反射后的出射光线，ptd(xtd,ytd,ztd)为光线rtd与单自由曲面反射镜相交形成的采样点；

步骤2、根据起始光源阵内第一列发光点、像点e(x′，y′，z′)、单自由曲面反射镜的采样点p11的坐标，建立相邻两个采样点之间的迭代关系，计算得到单自由曲面反射镜上第一条种子曲线，根据种子曲线扩展的方法获得整个自由曲面反射镜上的其余采样点的坐标；

步骤3、根据上述获得单的自由曲面反射镜上m×n个采样点的坐标，对单自由曲面反射镜上的所有采样点进行多项式拟合，且利用评价函数对拟合的多项式进行优化，以确定所述多项式的最优拟合系数，生成所需的单自由曲面反射镜。

步骤2中，具体包括如下步骤：

步骤2.1、对于起始光源阵的起始发光点s11以及单自由曲面反射镜上与起始发光点s11对应的采样点p11(x11,y11,z11)，以及像点e(x′，y′，z′)，则入射光线r11以及出射光线r'11的矢量为：

从而能得到过采样点p11(x11,y11,z11)的切平面的法向矢量n11，所述法向矢量n11为：

步骤2.2、将起始发光点s12发出的光线r12与采样点p11切平面的交点作为单自由曲面的采样点p12，这样可以得到采样点p12，光线r12经过采样点p12反射后入射到像点e(x′，y′，z′)，这样可以得到入射光线矢量和出射光线矢量，可以计算出采样点p12的法向矢量为n12以及切平面；

步骤2.3、重复上述步骤能得到起始光源阵内第一行内其余起始发光点对应的采样点坐标，将与起始光源阵内第一行起始发光点对应的采样点连接后能得到第一条种子曲线；

步骤2.4、将起始发光点s21发出的光线r21与采样点p11切平面的交点作为单自由曲面的采样点p21，从而能计算得到采样点p21，光线经r21过采样点p21反射后入射到像点e(x′，y′，z′)，这样可以得到入射光线矢量和出射光线矢量，可以计算出采样点p21的法向矢量n21以及切平面；

步骤2.5、重复上述步骤能得到起始光源阵内第二行其余起始发光点对应在单自由曲面上的采样点坐标，将与起始光源阵内第二行起始发光点对应的采样点连接后能得到第二条采样曲线；

步骤2.6、重复上述步骤2.4以及步骤2.5中构建第i条采样曲线和第i+1条采样曲线的迭代关系，能确定得到后续其余的采样曲线以及用于形成所在采样曲线的采样点坐标，从而能得到单自由曲面反射镜上所有采样点的坐标。

步骤3中，拟合的多项式为zernike多项式、chebyshev多项式或扩展多项式；

采用扩展多项式拟合时，具体为：

c是单自由曲面反射镜的曲率，λ是圆锥系数，ai是第i个多项式系数；

为了寻找最佳拟合系数(c,k,ai)，构建一评价函数

其中zi上述计算过程中得到单自由曲面反射镜上各采样点的z坐标，(xi,yi)为上述计算过程中得到单自由曲面反射镜上各采样点的(x,y)坐标；拟合系数(c,k,ai)是评价函数的自变量，使用全局优化算法遗传算法，退火算法等来寻找评价函数的最小值，评价函数取最小值时候对应的自变量(c,k,ai)，即是拟合多项式的最佳拟合系数。

一种用于离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计方法，所述离轴自由曲面成像光学系统包括起始光源面、像点t以及位于所述起始光源面与像点t之间的自由曲面组，通过自由曲面组能将起始光源面的光线反射到像点t，自由曲面组包括b个自由曲面反射镜，所述b≥2，起始光源面出射的光线依次经过每一个自由曲面反射镜能反射后到像点t，所述设计方法包括如下步骤：

步骤1、在起始光源面上选取m×n的起始光源阵，则能得到起始光源阵内每个起始发光点的坐标，每个自由曲面反射镜上的第一个采样点相对应的坐标均已知；在相邻的两个自由曲面反射镜之间均引入一虚拟面，所述虚拟面的面形与起始光源阵的面形相一致，虚拟面的长宽比与起始光源阵的长宽比相一致；

相邻两个自由曲面反射镜上相对应第一个采样点的连线垂直于所述两自由曲面反射镜之间的虚拟面；该连线与虚拟面的交点就是虚拟面的第一个顶点，过该点沿着y轴正方向作平行于oy的线段，该线段的另一个端点为虚拟面上的第二个顶点，该线段为虚拟面的第一边，过第二个顶点作一条垂直于第一边的线段作为虚拟面第二边，第一边的长度与第二边长度之比与光源面对应的两个边长度比相同，以确定虚拟面了；在沿光线的传播路径上，第k个虚拟面要靠近第k+1个自由曲面，每个虚拟面的面积与起始光源面的面积比均相同，虚拟面上相邻采样点之间的距离比与起始光源阵内相邻起始发光点之间的距离比相一致，在每个虚拟面上取m×n个采样点时，则能得到每个虚拟面上m×n个采样点的坐标；

步骤2、b个自由曲面反射镜中，起始光源阵的光线首先入射的自由曲面反射镜为第一自由曲面反射镜，将光线直接反射到像点t的自由曲面反射镜为第b自由曲面反射镜，其余的自由曲面反射镜沿起始光源阵指向像点t的光线传播路径上依次排序，在第一自由曲面反射镜与第二自由曲面反射镜间的虚拟面为第一虚拟面，其余的虚拟面沿起始光源阵指向像点t的光线传播路径上依次排序；

对于第一自由曲面反射镜，利用起始光源阵内每个起始发光点的坐标、第一曲面反射镜第一个采样点p11的坐标以及第一虚拟面上m×n的采样点坐标，能得到第一自由曲面反射镜的第一自由曲面反射镜第一种子曲线，且根据第一自由曲面反射镜的第一自由曲面反射镜第一种子曲线扩展得到第一自由曲面反射镜上所有的采样点；

步骤3、对于第二自由曲面反射镜，利用第二自由曲面反射镜的第一个采样点q11的坐标、上述得到第一自由曲面反射镜的所有采样点、第一虚拟面上m×n个采样点的坐标、第二虚拟面上m×n个采样点的坐标，能得到第二自由曲面反射镜的第二自由曲面反射镜第一种子曲线，且根据第二曲面反射镜的第二自由曲面反射镜第一种子曲线扩展得到第二自由曲面反射镜上所有的采样点；

步骤4、根据上述步骤，能得到第三自由曲面反射镜至第(b-1)自由曲面反射镜相对应的所有采样点；

步骤5、对于第b自由曲面反射镜，利用第b自由曲面反射镜的第一个采样点的坐标、第(b-1)自由曲面反射镜的所有采样点以及像点t的坐标，能得到第b自由曲面反射镜的第b自由曲面反射镜第一种子曲线，且根据第b自由曲面反射镜的第b自由曲面反射镜第一种子曲线扩展得到第b自由曲面反射镜所有的采样点；

步骤6、根据上述获得每个自由曲面反射镜的所有采样点，对自由曲面反射镜上的所有采样点进行多项式拟合，且利用评价函数对拟合的多项式进行优化，以确定所述多项式的最优拟合系数，以得到所需的自由曲面反射镜。

自由曲面组内的每个自由曲面反射镜上均镀有反射膜。

所述第k个虚拟面与k+1个自由曲面反射镜之间的距离小于第k个自由曲面反射镜与第k+1个自由曲面反射镜之间距离的1/8，k小于b；所述第k+1个虚拟面的面积小于k个虚拟面的面积1/9，第1个虚拟面的面积小于起始光源阵面积的1/9。

本发明的优点：能有效实现对离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计，提高设计效率，安全可靠。

附图说明

图1为本发明单自由曲面反射镜的光学系统示意图。

图2为本发明计算得到种子曲线的示意图。

图3为本发明自由曲面组内包括三个自由曲面反射镜时的光学系统的示意图。

图4为图3中光学系统的引入虚拟面时的示意图。

图5为本发明建立第一虚拟面的示意图。

图6为图5中第一虚拟面上采样点的分布示意图。

图7为本发明第一自由曲面反射镜上计算过p11点时的种子曲线的示意图。

图8为利用图7中的种子曲线得到p13点的示意图。

图9为本发明第二自由曲面反射镜上计算得到种子曲线的示意图。

图10为本发明第三自由曲面反射镜上计算得到种子曲线的示意图。

图11为本发明得到第一自由曲面反射镜上所有采样点的示意图。

图12为本发明得到第二自由曲面反射镜上所有采样点的示意图。

图13为本发明得到第三自由曲面反射镜上所有采样点的示意图。

图14为本发明利用第(k-1)自由曲面反射镜计算第k自由曲面反射镜时的示意图。

图15为本发明第k虚拟面上所有采样点的示意图。

附图标记说明：1-起始发光面、2-单自由曲面反射镜、3-像面e、4-第一自由曲面反射镜、5-第二自由曲面反射镜、6-第三自由曲面反射镜、7-第一虚拟面以及8-第二虚拟面。

具体实施方式

下面结合具体附图和实施例对本发明作进一步说明。

如图1和图2所示，为了能有效实现对离轴自由曲面成像光学系统中自由曲面的设计，提高设计效率，本发明的离轴自由曲面成像光学系统包括起始光源面1、像点e(x′，y′，z′)及位于起始光源面与像点3之间的自由曲面组，通过自由曲面组能将起始光源面1出射的光线反射到像点e(x′，y′，z′)，自由曲面组为单自由曲面反射镜2时，所述设计方法包括如下步骤：

步骤1、在起始光源面1上选取m×n的起始光源阵，则能得到起始光源阵内每个起始发光点的坐标，对于起始光源阵内的任一起始发光点std(xtd,ytd,ztd)，起始发光点std出射的光线rtd为单自由曲面反射镜2的入射光线，r'td为经过单自由曲面反射镜2反射后的出射光线，ptd(xtd,ytd,ztd)为光线rtd与单自由曲面反射镜2相交形成的采样点；

具体地，选取起始光源阵的大小与起始光源面1的大小适配，具体可以根据需要进行选择，此处不再赘述。起始光源阵内相邻两行或相邻两列起始发光点的相应光线之间为等间距，当然，也可以采用非等间距设置，具体可以根据需要进行选择。t的取值范围为1到m之间，d的取值范围也为1到n之间，像点e(x′，y′，z′)为像面3上的点。

步骤2、根据起始光源阵内第一列发光点、像点e(x′，y′，z′)、单自由曲面反射镜2的采样点p11的坐标，建立相邻两个采样点之间的迭代关系，计算得到单自由曲面反射镜2上第一条种子曲线，根据种子曲线扩展的方法获得整个自由曲面反射镜上的其余采样点的坐标；

本发明实施例中，具体包括如下步骤：

步骤2.1、对于起始光源阵的起始发光点s11以及单自由曲面反射镜上与起始发光点s11对应的采样点p11(x11,y11,z11)，以及像点e(x′，y′，z′)，则入射光线r11以及出射光线r'11的矢量为：

从而能得到过采样点p11(x11,y11,z11)的切平面的法向矢量n11，所述法向矢量n11为：

上述i，j，k为单向向量的长度。

步骤2.2、将起始发光点s12发出的光线r12与采样点p11切平面的交点作为单自由曲面的采样点p12，这样可以得到采样点p12，光线r12经过采样点p12反射后入射到像点e(x′，y′，z′)，这样可以得到入射光线矢量和出射光线矢量，可以计算出采样点p12的法向矢量为n12以及切平面；

步骤2.3、重复上述步骤能得到起始光源阵内第一行内其余起始发光点对应的采样点坐标，将与起始光源阵内第一行起始发光点对应的采样点连接后能得到第一条种子曲线；

步骤2.4、将起始发光点s21发出的光线r21与采样点p11切平面的交点作为单自由曲面的采样点p21，从而能计算得到采样点p21，光线经r21过采样点p21反射后入射到像点e(x′，y′，z′)，这样可以得到入射光线矢量和出射光线矢量，可以计算出采样点p21的法向矢量n21以及切平面；

步骤2.5、重复上述步骤能得到起始光源阵内第二行其余起始发光点对应在单自由曲面上的采样点坐标，将与起始光源阵内第二行起始发光点对应的采样点连接后能得到第二条采样曲线；

步骤2.6、重复上述步骤2.4以及步骤2.5中构建第i条采样曲线和第i+1条采样曲线的迭代关系，能确定得到后续其余的采样曲线以及用于形成所在采样曲线的采样点坐标，从而能得到单自由曲面反射镜上所有采样点的坐标。

步骤3、根据上述获得单的自由曲面反射镜2上m×n个采样点的坐标，对单自由曲面反射镜2上的所有采样点进行多项式拟合，且利用评价函数对拟合的多项式进行优化，以确定所述多项式的最优拟合系数，生成所需的单自由曲面反射镜。

本发明实施例中，拟合的多项式为zernike多项式、chebyshev多项式或扩展多项式；

采用扩展多项式拟合时，具体为：

c是单自由曲面反射镜的曲率，λ是圆锥系数，ai是第i个多项式系数；拟合多项式就是找到一组拟合系数(c,k,ai)代入上述多项式。然后将前面计算得到的每个自由曲面采样点其坐标(xi,yi,zi)，将其坐标中的(xi,yi)代入上述拟合多项式得到一组值f(xi,yi)，使f(xi,yi)与zi值越接近越好。

为了寻找最佳拟合系数(c,k,ai)，构建一评价函数

其中zi上述计算过程中得到单自由曲面反射镜上各采样点的z坐标，(xi,yi)为上述计算过程中得到单自由曲面反射镜上各采样点的(x,y)坐标；拟合系数(c,k,ai)是评价函数的自变量，使用全局优化算法遗传算法，退火算法等来寻找评价函数的最小值，评价函数取最小值时候对应的自变量(c,k,ai)，即是拟合多项式的最佳拟合系数。

进一步地，对于自由曲面组内包含多个自由曲面反射镜时，所述离轴自由曲面成像光学系统包括起始光源面、像点t以及位于所述起始光源面与像点t之间的自由曲面组，通过自由曲面组能将起始光源面的光线反射到像点t，自由曲面组包括b个自由曲面反射镜，所述b≥2，起始光源面出射的光线依次经过每一个自由曲面反射镜能反射后到像点t，所述设计方法包括如下步骤：

步骤1、在起始光源面上选取m×n的起始光源阵，则能得到起始光源阵内每个起始发光点的坐标，每个自由曲面反射镜上的第一个采样点相对应的坐标均已知；在相邻的两个自由曲面反射镜之间均引入一虚拟面，所述虚拟面的面形与起始光源阵的面形相一致，虚拟面的长宽比与起始光源阵的长宽比相一致；

相邻两个自由曲面反射镜上相对应第一个采样点的连线垂直于所述两自由曲面反射镜之间的虚拟面；该连线与虚拟面的交点就是虚拟面的第一个顶点，过该点沿着y轴正方向作平行于oy的线段，该线段的另一个端点为虚拟面上的第二个顶点，该线段为虚拟面的第一边，过第二个顶点作一条垂直于第一边的线段作为虚拟面第二边，第一边的长度与第二边长度之比与光源面对应的两个边长度比相同，以确定虚拟面了；在沿光线的传播路径上，第k个虚拟面要靠近第k+1个自由曲面，每个虚拟面的面积与起始光源面的面积比均相同，虚拟面上相邻采样点之间的距离比与起始光源阵内相邻起始发光点之间的距离比相一致，在每个虚拟面上取m×n个采样点时，则能得到每个虚拟面上m×n个采样点的坐标；

具体地，自由曲面组内的每个自由曲面反射镜上均镀有反射膜。

步骤2、b个自由曲面反射镜中，起始光源阵的光线首先入射的自由曲面反射镜为第一自由曲面反射镜7，将光线直接反射到像点t的自由曲面反射镜为第b自由曲面反射镜，其余的自由曲面反射镜沿起始光源阵指向像点t的光线传播路径上依次排序，在第一自由曲面反射镜4与第二自由曲面反射镜间5的虚拟面为第一虚拟面7，其余的虚拟面沿起始光源阵指向像点t的光线传播路径上依次排序；

对于第一自由曲面反射镜4，利用起始光源阵内每个起始发光点的坐标、第一曲面反射镜第一个采样点p11的坐标以及第一虚拟面7上m×n的采样点坐标，能得到第一自由曲面反射镜4的第一自由曲面反射镜第一种子曲线，且根据第一自由曲面反射镜4的第一自由曲面反射镜第一种子曲线扩展得到第一自由曲面反射镜上所有的采样点；

对于虚拟面，以第一虚拟面7为例，所述第一虚拟面7与第二自由曲面反射镜5之间的距离小于第一自由曲面反射镜4与第二自由曲面反射镜5之间距离的1/8；所述第一虚拟面7的面积小于起始光源阵面积的1/9。其余虚拟面的情况，可以参考所述第一虚拟面7的情况，此处不再赘述。

步骤3、对于第二自由曲面反射镜5，利用第二自由曲面反射镜5的第一个采样点q11的坐标、上述得到第一自由曲面反射镜4的所有采样点、第一虚拟面7上m×n个采样点的坐标、第二虚拟面8上m×n个采样点的坐标，能得到第二自由曲面反射镜5的第二自由曲面反射镜第一种子曲线，且根据第二曲面反射镜5的第二自由曲面反射镜第一种子曲线扩展得到第二自由曲面反射镜上所有的采样点；

步骤4、根据上述步骤，能得到第三自由曲面反射镜至第(b-1)自由曲面反射镜相对应的所有采样点；

步骤5、对于第b自由曲面反射镜，利用第b自由曲面反射镜的第一个采样点的坐标、第(b-1)自由曲面反射镜的所有采样点以及像点t的坐标，能得到第b自由曲面反射镜的第b自由曲面反射镜第一种子曲线，且根据第b自由曲面反射镜的第b自由曲面反射镜第一种子曲线扩展得到第b自由曲面反射镜所有的采样点；

步骤6、根据上述获得每个自由曲面反射镜的所有采样点，对自由曲面反射镜上的所有采样点进行多项式拟合，且利用评价函数对拟合的多项式进行优化，以确定所述多项式的最优拟合系数，以得到所需的自由曲面反射镜。

如图3～图13所示，以自由曲面组内含有三个自由曲面反射镜的情况为例进行说明，即b＝3；三个自由曲面反射镜分别为第一自由曲面反射镜4、第二自由曲面反射镜5以及第三自由曲面反射镜6，具体设计过程进行如下的详细说明：

步骤a、首先确定了起始光源面1，第一自由曲面反射镜4、第二自由曲面反射镜5、第三自由曲面反射镜6上相对应的第一个采样点p11、q11、w11以及像点t，这些作为初始条件，如图3和图4所示。

步骤b、引入2个虚拟面，即第二自由曲面反射镜5对应第一虚拟面7，第三自由曲面反射镜6对应第二虚拟面8。确定第一虚拟面7，如图5所示，p11q11垂直于第一虚拟面7，s'11q11长度小于p11q11长度的1/8，这样确定第一虚拟面7上的第一个点s'11，如图6所示。过点s'11沿着y轴正方向作平行于oy的线段s'11s'1n，该线段长度小于起始光源面1上起始光源阵对应长度s11s1n的1/3，确定虚拟面上的另一条边s'11s'm1，s'11s'm1垂直于s'11s'1n，第一虚拟面7的边长与起始光源阵的边长有对应的比例关系，s11s1n：s'11s'1n＝s11sm1:s'11s'm1，这样可以确定了s'11s'm1，这样第一虚拟面7的边界长度就确立了。然后将第一虚拟面7上取m×n个采样点，采样点的间距与起始光源阵上采样点的间距也是按等比例的。

步骤c、计算第一自由曲面反射镜4上的种子曲线，如图7，起始光源阵上的第一个光点s11的光线r11经第一自由曲面反射镜4的采样点p11反射后能达到第一虚拟面7的虚拟离散发光点s′11；这样就确定了第一条入射光线r11和反射光线p11s′11的方向矢量，根据反射定律的可以确定过p11点的法向矢量。

接下来确定第一自由曲面反射镜4上的第2点，由于过p11点的法向矢量已经求出，这样可以求出过p11点的切平面。从起始光源s12点出射的光线r12与过p11点的切平面交点就是p12。如图7所示。当获得了p12点，入射到p12点的光线反射到虚拟面上的第2个点s′12，从而获得过p12点的法向矢量，切平面，然后从s13点出射的第三条光线与这个切平面相交得到p13，如图8所示。不断重复这个过程可以得到第一自由曲面反射镜4的上第一条种子曲线。

步骤d、接下来计算第二自由曲面反射镜5上的种子曲线，如图9所示。反射光线p11s′11沿光的传播方向延伸下去就是q11点，q11点为已知的初始条件。入射到q11点光线经过q11点反射后打到了第二虚拟面8上的点s″11，这样光线矢量p11q11和光线矢量s″11q11都可以获得，根据反射定律矢量形式可以求得过q11点的法向矢量，根据法向矢量可以得到过q11点的切平面。连接p12点和虚拟面上的s′12点，这就得到了第2条反射光线的矢量。延长光线p12s′12与过q11点的切平面，这样得到了q12点。重复上述过程可以得到第二自由曲面反射镜5的第一条种子曲线q11，q12，q13…q1n。

步骤e、接下来求第三自由曲面反射镜6上的种子曲线，如图10所示，当获得第二自由曲面反射镜5上的种子曲线c1以后，q11，q12，q13…q1n都已知。从q11点出射的光线s″11q11延长至第三自由曲面反射镜6上种子曲线上的第一点w11,从点w11反射的光线入射到像点t，这样就可以知道光线矢量q11w11,也可以获得光线矢量w11t,这样可以求出过w11点的法向矢量，过w11点切平面，光线q12s″12与过w11点切平面的交点为w12，这样就可以知道光线矢量q12w12,也可以获得光线矢量w12t,这样可以求出过w12点的法向矢量，过w12点切平面，光线q13s″13与过w12点切平面的交点为w13，不断重复上述过程可以求得第三自由曲面反射镜6上第一条种子曲线。

步骤f、当确定了第一自由曲面反射镜4上的第一条种子曲线r1和第二自由曲面反射镜5上的第一条种子曲线c1后，以及第三自由曲面反射镜6上第一条种子h1，来求第一自由曲面反射镜4、第二自由曲面反射镜5、点自由曲面反射镜6上的所有采样点与前面单自由曲面反射镜2的种子曲线扩展到整个面的过程类似，如图11所示。

过第一自由曲面反射镜4上的种子曲线r1上的第一点p11作切平面，从起始光源阵上的第2列上第1点s21点出射的光线r21与过点p11作切平面相交得到第2条曲线上的第1点p21，类似的方法，可以由p12点可以得到p22，这样第2条曲线上所有采样点也可以获得，即曲线r2可以获得。当曲线r2上所有采样点获得以后，需要计算过r2上每个采样点的法向矢量。具体过程：起始光源阵上第2列的任一个发光点s2i出射的光线入射到第2条曲线上对应的点p2i，光线经过该点反射到第一虚拟面7上的对应点s'2i，这样入射光线矢量s2ip2i，出射光线矢量p2is'2i，根据反射定律的矢量形式可以获得过该点的法向矢量，从而得到过该点的切平面。一旦获得了第2条曲线上各点的切平面，用起始光源阵上第3列出射的光线，与第一自由曲面反射镜4上的曲线r2对应点的切平面相交，就可以得到曲线r3上面各采样点。不断重复上述过程，可以获得第一自由曲面反射镜4上所有的采样点。

步骤g、接下来根据第二自由曲面反射镜5上的种子曲线，计算第二自由曲面反射镜5上各采样点，如图12所示。过第二自由曲面反射镜5上的种子曲线c1上的第一点q11作切平面，从曲线r2上第一点p21出射的光线p21s'21与过点q11的切平面交点为q21。用类似的方法过第一自由曲面反射镜4的第2条曲线r2上任一点p2i反射出的光线与过第二自由曲面反射镜5上种子曲线c1上对应点q1i的切平面相交，交点为q2i。这样第2条曲线上所有采样点也可以获得，即曲线c2可以获得。

当曲线c2上所有采样点获得以后，需要计算过c2上每个采样点的法向矢量。具体过程：过第一自由曲面反射镜4的曲线r2上任一点p2i反射出的光线入射到对应的点q2i,这条光线矢量p2iq2i就确定了，光线经过点q2i反射后入射到了第2个虚拟面8上对应点s″2i，这样经过点q2i反射的光线矢量q2is″2i可以得到，根据反射定律的矢量形式，可以求出过点q2i的法向矢量以及切平面。这样就获得了第二自由曲面反射镜5上的曲线c2上所有采样点的切平面。一旦获得了曲线c2上各点的切平面，用从第一自由曲面反射镜5上曲线r3上任一采样点p′3i反射的光线与过第二自由曲面反射镜5上曲线c2上对应点的切平面相交，可以得到位于第二自由曲面反射镜5上曲线c3上的采样点q3i不断重复上述过程，可以获得整个第二自由曲面反射镜5上各采样点。

步骤h、接下来根据第三自由曲面反射镜6上的种子曲线，计算第三自由曲面反射镜6上各采样点，如图13所示。过第三自由曲面反射镜6上的种子曲线h1上的第一点w11作切平面，从第二自由曲面反射镜5的曲线c2上第一点q21出射的光线q21s″21与过点w11的切平面交点为w21。用类似的方法过第二自由曲面反射镜5的曲线c2上任一点q2i反射出的光线与过第三自由曲面反射镜6上种子曲线h1上对应点w1i的切平面相交，交点为w2i。这样曲线h2上所有采样点也可以获得，即曲线h2可以获得。

当曲线h2上所有采样点获得以后，需要计算过曲线h2上每个采样点的法向矢量。具体过程：过第二自由曲面反射镜5的曲线c2上任一点q2i反射出的光线入射到对应的点w2i,这条光线矢量q2iw2i就确定了，光线经过点w2i反射后入射到了第二虚拟面8上对应点s″2i，这样经过点w2i反射的光线矢量w2is″2i可以得到，根据反射定律的矢量形式，可以求出过点w2i的法向矢量以及切平面。这样就获得了第三自由曲面反射镜6上的曲线h2上所有采样点的切平面。一旦获得了曲线h2上各点的切平面，用从第二自由曲面反射镜5上的曲线c3上任一采样点q3i反射的光线与过第三自由曲面反射镜6上曲线h2上对应点的切平面相交，可以得到位于第三自由曲面反射镜6上曲线h3上的采样点w3i，不断重复上述过程，可以获得整个第三自由曲面反射镜6上所有的采样点。

步骤i、获得每个自由曲面反射镜上的采样点以后，对每个自由曲面上的采样点进行多项式拟合，且利用评价函数对拟合的多项式进行优化，以确定所述多项式的最优拟合系数，生成所需的自由曲面反射镜。具体进行多项式拟合和优化的过程可以参考上述单自由曲面反射镜2的情况，此处不再赘述。

当自由曲面组内包含b(b>3)个自由曲面反射镜时，则需要引进b-1个虚拟面，从第二自由曲面反射镜5到第b自由曲面反射镜，每个自由曲面反射镜前面设置一个虚拟面，即第二自由曲面反射镜5对应第一虚拟面7，第三自由曲面反射镜6对应第二虚拟面8，第k自由曲面反射镜对应第k-1虚拟面。

接下来阐述任意自由曲面反射镜的个数(b个，b>3)的系统设计如图14和图15所示，根据上述说明可知，能计算得到第k自由曲面反射镜上的各采样点，接下来计算第(k+1)自由曲面反射镜上的采样点。第(k+1)自由曲面反射镜上的第一个采样点gk+1,11为已知。首先确定对应于第(k+1)自由曲面的虚拟面，即第k个虚拟面如图15。第(k+1)自由曲面反射镜对应第k个虚拟面之间的距离小于第(k+1)自由曲面反射镜与第(k-1)个自由曲面反射镜的距离(两个自由曲面第一点连线的长度)的1/8,即gk+1,11vk,11长度小于gk+1,11gk,11长度的1/8。第k个虚拟面垂直于gk+1,11vk,11，在确定第k虚拟面上的第一个点vk,11，过点vk,11沿着y轴正方向作平行于oy的线段vk,11vk,1n，该线段长度小于第(k-1)虚拟面对应长度vk-1,11vk-1,1n的1/3。确定虚拟面上的另一条边vk,11vk,m1，vk,11vk,m1垂直于vk,11vk,1n，虚拟面的边长与起始光源阵的边长有对应的比例关系，s11s1n：s11sm1＝vk,11vk,1n:vk,11vk,m1，这样可以确定了vk,11vk,m1，这样虚拟面的边界长度就确立了。然后将虚拟面上取m×n个采样点，采样点的间距与光源面采样点的间距也是按等比例的关系。这些采样点也是按顺序排列，确保从上一个自由曲面反射镜出射的光线之间不要相互交叉。

当第k虚拟面上所有采样点确定以后，从第k自由曲面反射镜上对应的采样点出射的光线都入射到第k虚拟面上对应的采样点。这样从第k自由曲面反射镜上的采样点出射的光线的矢量可以求出。第(k+1)自由曲面反射镜上面的第1个采样点gk+1,11是已知的，从gk,11出射的光线入射到gk+1,11经过反射后入射到第(k+1)个虚拟面上的vk+1,11，这样入射光线矢量gk,11gk+1,11和出射光线矢量gk+1,11vk+1,11都已经知道，这样就可以求出了过点gk+1,11的法向矢量，以及过该点的切平面。从第k自由曲面反射镜上出射光线gk,12vk,12与过点gk+1,11的切平面交点就是gk+1,12。过点gk+1,12反射的光线入射到第(k+1)虚拟面上的vk+1,12。这样入射光线矢量gk,12gk+1,12和出射光线矢量gk+1,12vk+1,12都已经知道，这样就可以求出了过点gk+1,12的法向矢量，以及过该点的切平面。从第k自由曲面反射镜上出射光线gk,13vk,13与过点gk+1,12的切平面交点就是gk+1,13，不断重复上述过程就可以得到第(k+1)自由曲面反射镜上的种子曲线，获得种子曲线以后，与上述第二自由曲面反射镜5的设计过程类似，可以获得第k自由曲面反射镜。对于最后一个自由曲面设计，则与上述第三自由曲面反射镜6的设计过程类似，需要借助第b-1个自由曲面上的采样点，第b个自由曲面上的第一采样点及像点的坐标来设计完成。

综上，通过上述步骤，对于单自由曲面反射镜或任意b个自由曲面反射镜的情况，均能有效设计得到所需的离轴只有曲面成像光学系统。