巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法与流程
本发明涉及一种非圆同步带传动的设计方法，具体涉及一种变松弛量自补偿的巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法。
背景技术：
传动机构改变了输入输出构件的运动形式和速度，以满足不同工作环境要求，其中非匀速传动机构占据非常重要地位，常见的有连杆机构、凸轮机构、非圆齿轮机构等。相对于连杆机构和凸轮机构，非圆齿轮机构具有结构紧凑、传动平稳、传递功率较大、容易实现动平衡等优点，因此已成功应用于加工机床、自动机械、运输、仪器仪表、泵类、流量计、纺织机械和农业机械上。但是非圆齿轮传动只适合用于中心距较小、润滑方便的非匀速传动场合，因此适合于大中心距、润滑不方便和低制造成本场合的非圆挠性件(带/链)传动应运而生。其中非圆链传动的多边形效应明显，因此在对非匀速传动比变化规律有严格要求时就受到限制；同时普通的摩擦式带传动由于弹性滑动而不能保证准确的传动比规律。
目前的非圆带(链)传动，都只有2个非圆的带(链)轮——主动轮和从动轮，在传动过程中由于其节曲线是非圆，带(链)的松弛量是实时变化的，因此就不能同时保证工作所要求的非匀速传动比变化规律和带(链)的实时张紧。实际应用中为了补偿在传动中带(链)的松弛量变化，通过附加弹簧以实现张紧，由于在一个运动周期中其张紧力是变化的，而且随着非匀速特性的加剧张紧力的变化幅度越大，这样反过来会影响非匀速传动的精度，并且动力学特性变差；因此在实际工程中，非圆带(链)传动很少应用于精确的负载高速传动场合。
技术实现要素：
本发明的目的是针对以上问题，提出一种变松弛量自补偿的巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，为非圆同步带轮在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。该设计方法首先建立同步带主从动轮的节曲线方程，并利用切极坐标理论计算主从动同步带轮传动比；然后计算同步带的周长，根据同步带周长松弛量变化通过迭代方法计算非圆张紧同步带轮节曲线的各项参数。
为解决上述技术问题，本发明的技术方案是：
本发明的具体步骤如下：
步骤一、根据传动规律确定巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线方程；
巴斯噶非圆主动同步带轮为匀速转动的输入构件，其切极坐标方程：
式中，n11为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的阶数，l1为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的展长，r11、r12分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线第一段曲线与第二段曲线的极径，b1为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的发生圆直径，
式中，p1为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的切径，θ1为p1到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，且
巴斯噶非圆从动同步带轮为输出构件，其节曲线切极坐标方程：
式中，n21为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线阶数，l2为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线的展长，r21，r22分别为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线上第一段曲线与第二段曲线的极径，b2为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线的发生圆直径，
式中，p2为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线的切径，θ2为p2到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角。
步骤二、计算巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮初始位置的传动比：
初始位置，巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点c1、c2的切径值，p1(θ13)和p3(θ31)分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点c6、c5的切径值，p2(θ23)和p3(θ32)分别为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点c3、c4的切径值，θ120为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线上切点c1、c6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线上切点c2、c3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点c4、c5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，l1为巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮中心距，l2为巴斯噶非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，l3为巴斯噶非圆主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
初始位置巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮瞬时传动比为：
步骤三、计算巴斯噶非圆主动同步带轮、巴斯噶非圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度t0、巴斯噶非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t1、巴斯噶非圆主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t2分别为：
式中，p’1(θ120)、p’1(θ130)分别为p1(θ120)、p1(θ130)的一阶微分，p'2(θ120)、p'2(θ230)分别为p2(θ120)、p2(θ230)的一阶微分，p'3(θ130)、p'3(θ230)分别为p3(θ130)、p3(θ230)的一阶微分。
当巴斯噶非圆主动同步带轮转过角度
式中，p1"(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p2"(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p3"(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角。
任意时刻，巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度t12、巴斯噶非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t23与巴斯噶非圆主动同步带轮、非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t13分别为：
式中，p’1(θ12)、p’1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，
步骤四、计算任意时刻巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮的传动比；
巴斯噶非圆主动同步带轮匀速转动，根据式(2)，(5)解得p1，p2，则瞬时传动比为：
步骤五、计算任意时刻同步带周长；
巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为c6，任意时刻c1与c6间的弧长为c11，巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为c3，任意时刻c2与c3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为c4，非圆张紧同步带轮节曲线与巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线公切线上切点记为c5，任意时刻c4与c5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
c＝t12+t13+t23+c11+c22+c33(16)
步骤六、非圆张紧同步带轮自由节曲线计算；
迭代算法如下：
(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量，非圆张紧同步带轮半径初始值给定，记为r3-0，根据式(16)计算带长初始值记为c0。
(b)巴斯噶非圆主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算巴斯噶非圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与巴斯噶非圆主动同步带轮相同。在保证c不变的前提下，根据式(16)反求巴斯噶非圆主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r3-1，即对应时刻的p3。
(c)重复(b)358次，得到巴斯噶非圆主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的非圆张紧同步带轮半径分别为r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与巴斯噶非圆主动同步带轮及巴斯噶非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(16)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用b样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与巴斯噶非圆主动同步带轮及巴斯噶非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(16)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角
本发明具有的有益效果：
1、本发明为变松弛量自补偿的巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动在实际应用中提供了一整套完善的设计理论基础，能够应用于所有巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动机构，促进了巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动的推广使用。
2、本发明中主动轮和从动轮节曲线均为巴斯噶曲线，巴斯噶曲线的发生圆直径、展长、变性系数和阶数为可调量，通过四个参数调节巴斯噶非圆节曲线的形状，从而可以得到更宽范围的传动比，满足更多的特定非匀速传动要求。
3、本发明中的非圆张紧同步带轮为自由节曲线的非圆同步带轮，可以实时补偿巴斯噶非圆主动同步带轮和巴斯噶非圆从动同步带轮传动过程中产生的同步带松弛变化量，实现大中心距之间的非匀速直接精确传动。
4、本发明采用切极坐标理论计算传动比的精确值，易于编程实现，求解精度高，方便快捷。
附图说明
图1是本发明的传动原理图；
图2是本发明实施例中巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮传动比和巴斯噶非圆主动同步带轮转角关系曲线图；
图3是采用本发明实施例中的非圆张紧同步带轮的节曲线时同步带带长变化曲线图；
图4是本发明实施例中巴斯噶非圆主动同步带轮的节曲线图；
图5是本发明实施例中巴斯噶非圆从动同步带轮的节曲线图；
图6是本发明实施例中非圆张紧同步带轮的节曲线图。
具体实施方式
下面结合附图及实施案例对本发明作进一步说明。
巴斯噶非圆—巴斯噶非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，具体步骤如下：
步骤一、如图1，给定三个轮中每两个轮之间的中心距均为100mm，巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线参数为：发生圆直径b1＝10mm，展长l1＝40mm，阶数n11＝1，变性系数m11＝1、m12＝1，三个轮均为封闭凸曲线，根据以上参数计算巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线，如图4。
在
u1为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线上切线与极径的夹角；
转角
从而确定巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
步骤二、给定巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线发生圆直径b2＝5mm，根据传动关系，巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线及巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线的阶数相等，均为1，根据巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线周长相等，求得巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线展长l2＝40mm，变性系数m21＝1、m22＝1，根据以上参数计算巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线的极径。
在
u2为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线上切线与极径的夹角；
转角
确定巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线的切极坐标方程为：
巴斯噶非圆从动同步带轮的节曲线如图5。
步骤三、计算巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线初始位置的传动比：
初始位置，巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线的动坐标系x1o1y1中x1轴到静坐标系xo1y中x轴的转角
式中，p1(θ12)和p2(θ21)分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点c1、c2的切径值，p1(θ13)和p3(θ31)分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点c6、c5的切径值，p2(θ23)和p3(θ32)分别为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点c3、c4的切径值，θ120为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ12)与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ21)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ130为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线切径p1(θ13)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ31)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ230为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线切径p2(θ23)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p3(θ32)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ12、θ13分别为巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线上切点c1、c6对应切径到动坐标系x1o1y1中x1轴的切角，θ21、θ23分别为巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线上切点c2、c3对应切径到动坐标系x2o2y2中x2轴的切角，θ31、θ32分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点c4、c5对应切径到动坐标系x3o3y3中x3轴的切角，l1为巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮中心距，l2为巴斯噶非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，l3为巴斯噶非圆主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；
根据公式(10)计算初始位置的瞬时传动比为i120＝1.1121；
步骤四、计算巴斯噶非圆主动同步带轮、巴斯噶非圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度。
初始位置，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度t0、巴斯噶非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t1、巴斯噶非圆主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t2分别为：
据公式(11)计算得t0＝106.3370mm，t1＝109.6547mm，t2＝105.2783mm。
当巴斯噶非圆主动同步带轮转过角度
式中，p1"(θ1)为p1(θ1)的二阶微分，p2"(θ2)为p2(θ2)的二阶微分，p3"(θ3)为p3(θ3)的二阶微分，θ3为非圆张紧同步带轮切径p3到动坐标系x3o3y3中x3轴的转角。
设定非圆张紧同步带轮为给定半径的圆，巴斯噶非圆主动同步带轮匀速转动；任意时刻巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度t12、巴斯噶非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t23、巴斯噶非圆主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度t13分别为：
式中，p’1(θ12)、p’1(θ13)分别为p1(θ12)、p1(θ13)的一阶微分，p'2(θ21)、p'2(θ23)分别为p2(θ21)、p2(θ23)的一阶微分，p'3(θ32)、p'3(θ31)分别为p3(θ32)、p3(θ31)的一阶微分，
步骤五、计算任意时刻巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮的传动比；
巴斯噶非圆主动同步带轮匀速转动，进而根据式(4)，(8)解得p1，p2，则计算得巴斯噶非圆主动同步带轮与巴斯噶非圆从动同步带轮瞬时传动比：
根据式(14)、(15)、(16)，计算圆主动轮旋转一周时，巴斯噶非圆主动同步带轮转角与巴斯噶非圆从动同步带轮传动比曲线如图2所示。
步骤六、计算同步带周长；
巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为c6，任意时刻c1与c6间的弧长为c11，巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线切点记为c3，任意时刻c2与c3间的弧长为c22，非圆张紧同步带轮节曲线与巴斯噶非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为c4，非圆张紧同步带轮节曲线与巴斯噶非圆主动同步带轮节曲线公切线上切点记为c5，任意时刻c4与c5间的弧长为c33。
任意时刻，同步带周长为：
c＝t12+t13+t23+c11+c22+c33(18)
在初始时刻，根据公式(18)计算同步带的初始周长为c0＝656.67mm；
依据上面的方法顺次计算主动轮转动一周时各个时刻同步带带长，各个时刻同步带带长变化曲线如图3。
步骤七、非圆张紧同步带轮自由节曲线计算。
迭代算法如下：
(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量r3，非圆张紧同步带轮半径初始值记为r3-0＝30mm，同步带初始周长记为c0＝656.67mm。
(b)巴斯噶非圆主动同步带轮转过
(c)重复(b)358次，得到r3-2，r3-3，……，r3-359。
(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆。
(e)将(d)中得到的非圆张紧同步带轮的各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与巴斯噶非圆主动同步带轮及巴斯噶非圆从动同步带轮的周长均相等。
(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(18)计算各个时刻的带长。
(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)。
(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆张紧同步带轮各自向径值的3％，然后用b样条进行拟合得到新的非圆张紧同步带轮。
(i)将经(h)后的非圆张紧同步带轮各点的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆张紧同步带轮的周长与巴斯噶非圆主动同步带轮及巴斯噶非圆从动同步带轮的周长均相等。
(j)将经(i)后的非圆张紧同步带轮向径代入式(18)计算得到各点对应同步带带长，若各点对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)。
(k)三个轮的节曲线及相位角、转动中心都确定，建立非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。计算后的非圆张紧同步带轮自由节曲线如图6。
该实施例中同步带理论带长变化量为12.06mm，为同步带总长度的1.8％，因为带需要张紧，可以满足实际使用要求。
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