中：基波频率fQ为50. 5Hz，采样频率匕为5120Hz，采样点数N为1024。
[0218] 表1、电网信号的谐波参数
[0220]
[0221] 对信号x(n)进行加窗处理，选取4种常用加窗函数，其系数参见表2所示。
[0222] 表2、常用窗函数系数
[0224] 加窗FFT变换后得到信号频谱：
[0225] 步骤2、确定四根谱线：
[0226] 在45~55Hz中寻求实部（或虚部）最大四根谱线，分别为XGO、X(k 2)、X(k3)、 X (k4)〇令：
[0228] 步骤3、计算四谱线插值算法的修正公式：
[0229] 根据【具体实施方式】中步骤S3的推导，表2中的4种窗函数的修正公式a = g4(f3)，u(a)分别如下：
[0230] (1) Hanning 窗：
[0231] a = 1. 13013682 0-0. 18408680 03+〇, 07224859 05-〇. 04451832 07u( a)= 0. 53549869+0. 17622103 a 2+〇. 09310826 a 4+〇. 06644946 a 6
[0232]Hanning窗函数的幅频特性参见图4所示。
[0233] (2) Balckman 窗：
[0234] a = 1.44649012 0-0. 29326578 0 3+0. 13858447 05-〇. O9578617 07u( a)= 1. 1575129+0. 56110888 a 2+〇. 38707997 a 4+〇. 33290703 a 6
[0235]Black窗函数的幅频特性参见图5所示。
[0236] (3)Balckman-harris 窗：
[0237] a = 1. 85862073 0-0. 40299738 03+O. 19725715 05-〇. 13293118 07u( a)= 1. 24914356+0. 88776025 a 2+〇. 73879907 a 4-〇. 69429366 a 6
[0238] Black-harris窗函数的幅频特性参见图6所示。
[0239] (4) 4项最大旁瓣衰减窗：
[0240]a = 2. 37540983 0-0. 43478665 03+〇, 19124517 05-〇. 11511086 07u( a)= 1. 34456750+1. 36577423 a 2+l. 25666570 a 4+l. 17989176 a 6
[0241] 4项最大旁瓣衰减窗函数的幅频特性参见图7所示。
[0242] 步骤4、计算基波参数：
[0243] Aj=N (74+373+372+7!) u( a )
[0245] f〇= k ? A f = (k 2+ a +〇. 5) A f
[0246] 步骤5、四谱线插值快速算法：
[0247] 根据S5所述快速算法，可以对步骤2和步骤4中的两个量的求取采用快速算法：
[0248]
及Af N-1|T2|u(a)
[0249] 步骤6、确定谐波参数：确定基波频率f0后，在范围（kf^-5, kf^+5)内重复步骤2~ 5,直到所有谐波参数计算完毕。
[0250] 步骤7、进行误差分析：仿真实验的误差分析比较结果参见表3~表6所示，其中， DAi表示基波和各次谐波幅值测量值的相对误差；D f(l表示基波频率测量值的相对误差； 表示基波和各次谐波初始相位测量值的相对误差，均用百分比表示。
[0251] 表3、Hanning窗和Blackman窗的频率、幅值相对误差
[0253] 表4、Hanning窗和Blackman窗的相位相对误差
[0254]
[0255] 表5、Blackman-harris窗和四项最大旁瓣衰减窗的频率、幅值相对误差
[0257] 表6、Blackman-harris窗和四项最大旁瓣衰减窗的相位相对误差
[0259] 从表3~表6数据可以看出，本发明实施例所推导的加窗四谱线插值FFT快速算 法，计算结果普遍好于双谱线和三谱线插值算法，并且计算每次谐波仅需一次模运算，能够 有效节约计算量和计算时间，显著提升计算速度。
[0260] 本发明实施例还提供一种基于加窗四谱线插值FFT的谐波快速分析系统，包括信 号预处理单元、谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速计 算单元、谐波参数确定单元、误差分析单元，其中：
[0261] 信号预处理单元，用于对信号进行预处理：互感器采集电网信号，电网信号包括电 流信号、电压信号，将互感器采集到的离散电网信号x(n)，传输到上位机，n为采样点的序 数，n为自然数；采用离散余弦窗函数w (n)，对电网信号x (n)进行加窗截断，得到加窗信号 xw(n)：
[0262] xw(n) = x(n)w(n) (1)
[0263] 离散余弦窗函数w(n)的表达式为：
[0265] 其中，N为采样点数，N为正整数，n = 0, 1，2. . . N-1 ; 2表示求和；m为窗函数的累 加次数，m = 0, 1,2. ..M-l ;M为窗函数项数，M为正整数；\为窗函数系数，窗函数系数满 足以下约束条件：
[0267] 对公式⑴的加窗信号进行FFT变换后，得到加窗FFT频谱：
[0269] 其中，W(_)为窗函数的频谱，k为正整数，X(k)表示第k次谐波的频谱，Ak为第k 次谐波的幅值，j表示虚数单位，e是自然对数的底数，为第k次谐波的初始相位，第一次 谐波为基波，f s为采样频率，f 〇为基波频率，A f为离散频率间隔，且A f = f s/N。
[0270] 令：ke fV A f，&为真实频谱的谱线位置，由于非同步采样或非整周期截断，h 一般不为整数。
[0271] 若忽略负频率点处旁瓣的影响，公式（3)变为：
[0273] 谱线确定单元，用于确定四根谱线：
[0274] 在信号预处理单元得到的加窗FFT频谱峰值附近区域，匕处频率点左右各两条的 谱线分别为：第1^ 1、1^2、1^、1^4根，1^1、1^2、1^、1^ 4均为正整数，1^1、1^2、1^、1^4的关系为4 2=1^1+1， k3= k2+l，k4= k3+l，这四根谱线对应的幅值分别为yi、y2、y3、y4。
[0275] 为方便计算，记变量a = k-k2-0. 5,由于0彡k_k2< 1，则-0? 5彡a彡〇? 5;
[0276] 记变量
[0277] 修正公式计算单元，用于计算四谱线插值算法的修正公式：
[0278] 根据公式⑷和（5)得到：
[0280]当N值比较大，例如：N> 1000时，公式（6)可以化简为一个函数0 = g( a)，其 反函数为a =g4(f3)。由于所采用的余弦窗系数均为实系数，其频率响应是偶对称的，因 而g( ?)和g<( ?)均为奇函数。
[0281] 采用多项式逼近方法，计算奇函数0 =g4(a)，表达式为：
[0282] a ~ pnX 0+p13X 03+…+plp0p (7)
[0283] pn，p13; "11￡)为多项式逼近的奇次项系数，p是奇数。
[0284]根据公式（4)，求得电网信号第i次谐波的幅值Ai:
[0286] 其中，i为正整数，yi为加窗FFT后第i次谐波的幅值；
[0287] 以基波为例，考虑到y2、y3是离真实谱线点最近的两根谱线，给予较大权重，可以 得到基波幅值A 1:
[0289] 根据公式（7)的逼近方法，当N比较大，例如N > 1000时，窗函数系数为实系数， 公式（9)可表示为：
[0290] Aj = N (74+373+372+7!) u ( a ),
[0291] 其中，u(a)为修正公式，且为偶函数，逼近多项式不含奇次项。
[0292] 四谱线修正公式如下：
[0293] u ( a ) = (p2〇+p22 a 2+…+p2d a d) (10)
[0294] 公式（10)中，p2(l，p22- p2$多项式逼近的偶次项系数，d为拟合的最高阶次，且d 为偶数。
[0295] 基波参数计算单元，用于计算基波参数：
[0296] 考虑到y2、y3是离真实谱线点最近的两根谱线，给予较大权重，可以得到基波频率 fci、基波幅值A ::
[0297] f0= k ? A f = (k 2+ a +〇. 5) A f (11)
[0298] Ai = N-1 (yWys+Sy^yD (p2CI+p22 a 2+... +p2da d) (12)
[0299] 根据公式（4)还可以得出基波的相位：
[0300]
[0301] 仿照基波参数的求取，根据公式（6)、（7)、（11)、（12)、（13)，即可进行各次谐波参 数的分析。
[0302] 考虑到其中大量窗函数的离散傅里叶分析，其表达式为：
[0304]由于N>>1，可以得到：
[0306] 四谱线插值快速计算单元，用于进行四谱线插值快速计算：
[0307] 由公式（5)和（12)可知，在计算变量0和幅值&的时候，需要求出
[0308] 令变量：
[0309] 根据公式（4)可以得到
[0310] 根据公式（13)可得到：arg(W(k)) = -k JT (18)
[0311] 将公式（17)代入公式（16)可得到
[0312] 分析得出：X〇〇与X(k3)同相位，X(k2)与X(k 4)同相位；且XG〇与X(k2)，X(k2) 与X(k3)，X(k 3)与X(k4)之间的相位之差均为31，相邻四条谱线的相位图参见图2所示，那 么：
[0314]
[0315] 由图2可知：
[0316] 因此，可以再次令：
[0318] 其中，C为T1的模，D为T2的模。
[0319]贝1J :
[0320] 其中：Re表示取实部，Im表示取虚部。
[0321] 由以上分析可知，计算各次谐波的参数时候，仅在计算幅值Ak的时候，需要进行一 次求模运算。根据公式（5)计算变量0时，可以利用T1和T2的实部或虚部进行快速计算。 同理，根据同一个主瓣相邻4根谱线的相位关系，求最大谱线时，直接利用插值前FFT运算 结果的实部和虚部，来寻求最大的向量。
[0322] 谐波参数确定单元，用于确定谐波参数：确定基波频率&后，在范围 (kfd-5, kfd+5)内，谱线确定单元、修正公式计算单元、基波参数计算单元、四谱线插值快速 计算单元重复进行计算，直到所有谐波参数计算完毕。
[0323] 误差分析单元，用于进行误差分析：在同样窗函数条件下，分析加窗四谱线插值快 速算法的误差，并与双谱线算法的误差、三谱线插值算法的误差进行比较。
[0324] 本领域的技术人员可以对本发明实施例进行各种修改