微陀螺仪系统的超扭曲滑模控制方法与流程

本发明涉及一种微陀螺仪系统的超扭曲滑模控制方法，属于微陀螺仪的控制技术领域。

背景技术：

陀螺是惯性导航和惯性制导系统的基本测量元件。微陀螺因其在成本、体积、结构等方面存在巨大的优势，从而被广泛地应用在航海、航天、航空及油田勘测开发和陆地车辆的导航与定位等民用、军事领域中。因其在设计和制造中存在误差和温度的影响，会导致原件特性和设计之间的差异，从而导致陀螺仪系统灵敏度和精度的降低，微陀螺仪控制的主要问题是补偿制造误差和测量角速度。经过几十年的研究发展，微陀螺仪虽然在结构设计和精度等方面取得了显著的进步，但是由于其设计原理本身的局限性及工艺加工精度自身的限制，使得微陀螺仪的发展难以取得质的飞跃。

角速度的测量和制造误差的补偿是微陀螺控制的主要问题，传统的控制方法主要解决驱动轴振荡幅值和频率的稳定控制问题及两轴频率的匹配问题，不能有效地解决微陀螺存在的不足与缺陷。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题是克服现有技术的缺陷，提供一种微陀螺仪系统的超扭曲滑模控制方法，能够有效地抑制控制输入抖振，使控制输入更为平滑，并且能够使滑模变量及其一阶导数在有限时间内收敛到零，使系统达到渐近稳定状态，提高系统的各项性能。

为解决上述技术问题，本发明提供一种微陀螺仪系统的超扭曲滑模控制方法，包括以下步骤：

1)将微陀螺仪系统简化为一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统，建立微陀螺仪系统的无量纲数学模型；

2)设计参考模型；

3)设计滑模面；

4)采用等效滑模控制与超扭曲控制相结合的方法设计微陀螺仪系统的超扭曲滑模控制器，设计控制律如下：

u＝ucon+udis(9)

其中，u为控制律，ucon为连续控制部，取为系统的等效控制项ueq，udis为不连续控制部分，取为系统切换控制项usw；

5)采用类二次型的lyapunov函数对微陀螺仪系统在受常值扰动和变值扰动时，进行稳定性分析，确保系统渐近稳定性。

前述的建立微陀螺仪系统的无量纲数学模型包括以下步骤：

1-1)根据旋转系中的牛顿定律，综合考虑各种制造误差对微螺陀仪的影响，得到微陀螺仪的数学模型为：

其中，m是质量块的质量，x,y为质量块在驱动轴和感测轴两轴的位置向量，dxx,dyy表示x,y两轴的阻尼系数，kxx,kyy分别是x,y两轴的弹簧系数，ux,uy是表示x,y两轴的控制输入，kxy，dxy是制造误差引起的耦合弹簧系数和阻尼系数，ωz表示微陀螺仪工作环境中的角速度，是科里奥利力；

1-2)将微陀螺仪的数学模型式(1)的两侧同时除以微陀螺仪质量块的质量m，参考长度q0，两轴的共振频率的平方ω0²，得到无量纲化的数学模型如下：

各无量纲量的表达式为：

符号“→”表示符号左边的量用符号右边的量来代替；

1-3)将无量纲化的数学模型式(2)改写为向量形式：

1-4)考虑微陀螺仪系统的参数不确定性和外界干扰，微陀螺仪系统的数学模型修改为：

其中，δd为惯性矩阵d+2ω的未知参数的不确定性，δk为矩阵k的未知参数的不确定性，d是外界干扰；

1-5)定义不确定性和外界干扰为：

则式(5)表示为：

其中：

前述的参考模型为：

参考模型选取稳定正弦振荡，令：

qr1＝a1sin(ω1t)，qr2＝a2sin(ω2t)，

其中，a1，a2为振荡的幅值，ω1，ω2为振荡的频率。

前述的滑模面s设计为：

其中，c为滑模面常数，s1,s2为s的两个分量，e为跟踪误差，

其中，为微陀螺仪系统的输出轨迹，为微陀螺仪系统的期望轨迹。前述的等效控制项ueq的求解过程如下：

对滑模面求导，得到：

在不考虑外界干扰的情况下，由式(4)得到：

将式(13)代入到式(12)得：

令由此得到等效控制器，等效控制项ueq为：

所述切换控制项usw设计如下：

其中，k1＞0,k2＞0；

则控制律为：

前述的常值扰动下，k1＞0,k2＞0；

所述变值扰动下，

其中，δ为不确定性和外界干扰的导数的边界值。

本发明的有益效果在于：

(1)本发明采用了等效控制与super-twisting控制算法相结合设计系统的控制律，等效控制保证了系统状态在滑模面运动，super-twisting滑模控制实现了不确定性和外界干扰的鲁棒性，有效地抑制了控制输入抖振；

(2)本发明将干扰的影响考虑在内，并且可以使滑模变量及其一阶导数在有限的时间内快速收敛至零，从而确保了控制系统的运动轨迹能够准确有效地跟踪其参考轨迹，保证了控制系统全局渐进稳定性，提高控制系统的鲁棒性、灵敏度以及精确度。

(3)本发明对系统在受常值扰动和变值扰动时，采用了类二次型lyapunov函数对系统进行了稳定性分析，保证系统渐近稳定，达到了系统的运动轨迹能够准确而快速跟踪参考轨迹的目的。

附图说明

图1为本发明微陀螺仪系统的简化模型图；

图2为本发明微陀螺仪系统的super-twisting滑模控制系统结构框图；

图3为本发明实例中微陀螺x轴和y轴的轨迹跟踪曲线；

图4为本发明实例中微陀螺仪系统的速度跟踪曲线；

图5为本发明实例中微陀螺仪系统x轴，y轴控制输入曲线；

图6为本发明实例中微陀螺系统x轴和y轴轨迹跟踪误差曲线；

图7为本发明实例中微陀螺仪系统的速度跟踪误差曲线；

图8为本发明实例中微陀螺系统两个方向上的滑模面收敛曲线。

具体实施方式

下面对本发明作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本发明的保护范围。

一.微陀螺仪的数学模型：

微螺陀仪通常由被弹性材料支撑悬挂的质量块，静电驱动装置和感测装置三部分组成。可以将其简化为如图1所示的一个由质量块和弹簧构成的有阻尼振荡系统，其显示了在笛卡尔坐标系下的简化的z轴微机械振动陀螺仪模型。

根据旋转系中的牛顿定律，综合考虑各种制造误差等对微螺陀的影响，再通过微陀螺仪的无量纲化处理，最终得到微陀螺仪的数学模型为：

其中，m是质量块的质量，x,y为质量块在驱动轴和感测轴两轴的位置向量，dxx,dyy表示x,y两轴的阻尼系数，kxx,kyy分别是x,y两轴的弹簧系数，ux,uy是表示x,y两轴的控制输入，kxy，dxy是制造误差引起的耦合弹簧系数和阻尼系数，ωz表示微陀螺仪工作环境中的角速度，是科里奥利力。

微陀螺仪的数学模型式(1)是一种有量纲的形式，也就是说，方程中的物理量不仅要考虑数值大小，而且其物理单位的一致性还要考虑在内，因此增加了控制器设计的复杂度。微陀螺仪两轴的固有频率范围一般在khz范围，但是输入角速度可能只是在每小时几度到每秒几度的范围内，两者在时间上存在很大的量级区别，不容易实现数值模拟。为了解决以上两个问题，有必要对模型进行无量纲化处理。无量纲化在数值仿真时很有价值，它能使在存在两个大的时间量级区别时，数值仿真容易实现，同时它能为各种各样的微陀螺系统设计提供一个统一的数学公式。

将式(1)的两侧同时除以微陀螺质量块的质量m，参考长度q0，两轴的共振频率的平方ω0²，得到无量纲化模型如下：

各无量纲量的表达式为：

符号“→”表示符号左边的量用符号右边的量来代替。

无量纲化模型式(2)包含了两个方程，增加了控制器设计的难度与复杂性。因此有必要将模型进行等效变换，模型的等效变换有益于控制器的设计和系统的稳定性分析以及各种先进控制方法的应用。于是将式(2)改写为如下向量形式：

考虑系统的参数不确定性和外界干扰，则根据(4)式所描述的微陀螺系的等效模型，微陀螺仪系统模型可修改为：

式中，δd为惯性矩阵d+2ω的未知参数的不确定性，δk为矩阵k的未知参数的不确定性，d是外界干扰。

进一步式(5)可表示为：

式中有：

二.微陀螺仪的超扭曲(super-twisting)滑模控制系统

微陀螺仪的super-twisting滑模控制系统结构框图如图2所示。

微陀螺仪系统的控制问题即是控制微陀螺仪系统的轨迹跟踪问题，控制的目标是设计一个合适的控制律u，使得系统的输出q可以在有限时间内快速精确地跟踪参考轨迹qr。本发明将采用等效滑模控制与超扭曲控制算法结合来设计控制律u，选择如下的控制律：

u＝ucon+udis(9)

式中，ucon为连续控制部分，可取为系统的等效控制项ueq，其中ueq用来保证系统的状态在滑模面上，udis为不连续控制部分，实现对外界干扰和不确定性的鲁棒控制和削弱系统的抖振，可取为系统切换控制项usw，此处的切换控制用超扭曲控制算法来实现。

定义滑模面为：

式中，c为滑模面常数，s1,s2为s的两个分量，e为跟踪误差，其中：

式中，q为微陀螺仪系统的输出轨迹，为微陀螺仪系统的期望轨迹，期望轨迹选取稳定正弦振荡，其中：qr1＝a1sin(ω1t)，qr2＝a2sin(ω2t)，a1，a2为振荡的幅值，ω1，ω2为振荡的频率。

首先设计等效控制器：

对滑模面求导可得：

在不考虑外界干扰的情况下，微陀螺系系统的数学模型可描述为(4)式，根据式(4)，可表示为如下形式：

将式(13)代入到式(12)得：

令由此可得等效控制器：

基于超扭曲控制算法，设计切换控制律为：

其中，k1＞0,k2＞0。

所以得到微陀螺仪系统的控制律为：

三.稳定性分析

将考虑系统的参数不确定性和外界干扰的微陀螺仪系统数学模型(6)式代入(12)式得：

将(17)式代入(18)式得：

考虑两种情况：

(1)、选取为常值干扰，将(19)式进行相应的变换，可变换为：

其中，k1＞0,k2＞0，令：

因为k1＞0,k2＞0，其特征多项式为δ为变量，因此a为hurwitz矩阵，所以对任何正定对称矩阵q，必定有一个正定对称矩阵p，满足lyapunov方程：

a^tp+pa＝-q(22)

考虑类二次型函数v(x,y)为备选的lyapunov函数：

上式中：使用链式法则(chainrule)求解采用有：

对v沿系统(20)的轨迹求导有：

因为q为正定对称矩阵，所以有：

因此系统稳定。

(2)、若取为变值干扰，系统稳定性证明如下：

将式(19)进行相应的变换，可变为：

其中，(δ为不确定性和外界干扰的导数的边界值)，k1,k2的取值满足下式：

取正定对称矩阵类二次型的lyapunov函数为：

其中令：

利用不等式并对求导有：

对v沿式(27)系统轨线求导有：

令q＝-(a^tp+pa+δ²c^tc+pbb^tp)，则

此时有：

若q＞0，则由shur补的性质得到q为正定时k1和k2的取值范围为式(28)，可知系统能在有限时间内收敛到原点。

四.实验仿真分析

为了验证本发明所设计的微陀螺仪系统超扭曲滑模方案的可行性，现利用matlab仿真软件进行数值仿真实验。

微陀螺仪实验仿真的参数选择如下：

m＝1.8×10-⁷kg，kxx＝63.955n/m,kyy＝95.92n/m，kxy＝12.779n/m

dxx＝1.8×10-⁶ns/m，dyy＝1.8×10-⁶ns/m,dxy＝3.6×10-⁷ns/m

假定输入的角速度为ωz＝100rad/s，对微陀螺仪系统进行无量纲化处理，选取参考长度为q0＝1μm，参考频率为ω0＝1000hz，得到微陀螺仪系统的无量纲参数如下：

ωx²＝355.3，ωy²＝532.9，ωxy＝70.99，dxx＝0.01

dyy＝0.01，dxy＝0.002，ωz＝0.1

设系统的初始条件为：x(0)＝1.0,y(0)＝0.5,微陀螺的两轴期望运行轨迹为：qr1＝sin(πt),qr2＝cos(0.5πt)，滑模控制中，取滑模面的参数c＝10。当微陀螺系统参数摄动10％，外界干扰取白噪声信号d＝[0.5*randn(1,1)；0.5*randn(1,1)]，取δ＝10，super-twisting切换控制律中，取k1＝20,k2＝30，设置仿真时间为60s。

仿真结果如图3至图8所示。

图3为微陀螺仪系统在超扭曲滑模控制下得到的x轴和y轴的轨迹跟踪曲线，其中，实线为参考轨迹，虚线为实际轨迹。由图3可看出，在超扭曲滑模控制下，系统可以快速精确地跟踪参考轨迹，控制效果良好。

图4为微陀螺仪系统的速度跟踪曲线，其中，实线为参考速度，虚线为实际速度。从图中可以看出，系统的速度跟踪同样能够在有限时间内快速实现对参考速度的准确跟踪。

图5为微陀螺仪系统x轴，y轴控制输入曲线，由图5可以看出，利用超扭曲滑模控制可以有效地抑制抖振，提高系统性能。

图6为x轴和y轴轨迹跟踪误差，由图6可以看出，利用超扭曲滑模控制使系统的轨迹跟踪误差能够在有限时间内快速地趋于零，收敛速度较快。

图7为x轴和y轴上的速度跟踪误差，由图7可以看出，利用超扭曲滑模控制使系统的速度跟踪误差能够在有限时间内快速地趋于零，收敛速度较快。

图8为微陀螺系统在super-twisting滑模控制下两个方向上的滑模面收敛曲线，可以看出滑模面函数能在有限时间内快速趋于零，到达滑动稳定区域。

以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。