柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法与流程

本发明涉及一种柔性关节机械臂控制方法，具体说是一种柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法，属于机器人控制领域。

背景技术：

在柔性关节机械臂的动力学控制和轨迹跟踪控制方面，现已有利用整数阶滑模变结构控制方法对参数时变和外部扰动的强鲁棒特性等优点，但传统整数阶滑模控制系统存在抖振较大的问题^[1]。当前比较常用的削减滑模抖振的方法有：边界层内的正侧化方法^[2]、基于观测器的调节方法^[3,4]、高阶滑模控制算法等方法^[5]可在一定程度上削弱抖振，其中前两种方法不具有传统滑模控制器的鲁棒特性，使得系统存在稳态误差，后一种算法比较复杂，在一阶或二阶的低阶系统中控制律存在控制输出信号与其导数的耦合，不利于滑模控制律的设计。模糊滑模控制虽然具有强鲁棒特性且不依赖系统模型，能充分利用专家信息等优点，但模糊控制系统存在较大的静差。

现有分数阶滑模控制方法中仍存在一定的缺点，如中国发明专利申请文献《一种柔性关节机械臂的分数阶滑模控制方法》(公开号cn108181813a)公开了一种柔性关节机械臂系统的分数阶滑模控制方法，针对机械臂关节柔性的整数阶滑模动力学控制中存在的抖振和轨迹跟踪控制的问题，结合滑模变结构控制的优点，引入分数阶微积分理论，并利用分数阶微分算子的快速收敛性、信息记忆性和遗传性，提出了一种分数阶滑模变结构控制器，实现分数阶滑模变结构控制方法的设计。该发明方法中采用传统间接离散化的方法，相比于传统整数阶滑模变结构控制而言具有较好的鲁棒特性和抗干扰特性、并可以在一定程度上削弱滑模运动的抖振现象，但是常规分数阶微分算子的间接离散化对控制信号的低频和高频段处理具有一定的缺陷，因此在应用要求控制精度较高的场合该方法控制效果仍然不够理想。

技术实现要素：

为克服现有的机械臂运动控制系统中未考虑柔性关节机械臂本体结构和外部负载扰动的不确定性，以及存在滑模控制抖振等问题，本发明提出了一种柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法，采用优化间接离散化方法提升分数阶微分算子的逼近精度，并应用于柔性关节机械臂系统的分数阶滑模控制方法中，能有效削弱滑模运动的抖振、强鲁棒和抗干扰特性。

本发明为了解决上述技术问题提出的一种柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法，其步骤包括：

步骤1.建立柔性关节机械臂伺服系统的动力学数学模型。

步骤2.计算伺服控制系统的跟踪误差和滑模面。

采用可积函数f(t)的riemann-liouville(rl)分数阶积分形式，其定义为

式中，表示求函数f(t)的α阶次积分，a和t为运算的上下限，τ为积分变量，γ(.)为gamma函数。

分数阶微积分定义为

式中，re(α)表示α的实部。

gamma函数定义为

rl型分数阶微积分形式，具有如下性质：

式中，m为整数，n为整数集。

步骤3.建立分数阶微分算子离散化滤波器数学模型；

本步骤通过对改进间接离散化算法进行优化建立优化间接离散化算法的数学模型。常规分数阶微分算子的离散化滤波器是采用间接离散化方法利用有理函数级联的方式在(ωb,ωh)频率范围内实现α阶次的分数阶微分算子s^α的逼近，该级联的有理函数为

式中，

0＜α＜1

n为整数，滤波器阶次n＝2n+1，且n越大逼近精度越高。

对常规间接离散化算法进行改进，是将分数阶微分算子用分数阶传递函数近似，即

式中，取s＝jω(ω为频率变量，j为频域符号)，b和d为调整因子。

在(ωb,ωh)频率段内，将上式用泰勒公式展开，并取一阶近似，可得

将上式右侧的k(s)用间接离散化递推展开，继而得到近似公式

本步骤通过对常规及改进间接离散化算法进行优化，采用最优化算法寻优确定滤波参数，相比于上式由泰勒一阶近似展开增加一个滤波器带来降低精度等问题而言，优化后的间接离散化算法可有效提高近似精度。

采用改进间接离散化算法的结构，将分数阶微积分s^α近似为

s^α≈g×ge

式中，g为滤波器，ge为间接离散化滤波器。

滤波器g的传递函数形式为

并可以通过扩展g的阶次来达到更高的精度需求，即

式中，α1,α2,l,αn+1为分子的常系数，β1,β2,l,βn+1为分母的常系数。

利用itae参数寻优方法经对比超调量、调节时间等性能指标，经整定后确定滤波器g的参数，继而获得滤波器g在频率段内达到幅频及相频最优的近似效果，间接实现分数阶微分算子s^α，避免了截断误差造成的精度损失。

步骤4.计算机械臂伺服控制系统的分数阶滑模趋近律和控制量；

柔性关节机械臂关节动力学模型：

式中，t为时间变量，(为电机转速)，u(t)为输出控制量，k为柔性关节的刚性系数，d为柔性关节阻尼系数，j为电机转动惯量，d(t)为有界外部扰动量(定义为|d(t)|≤dmax，dmax为最大边界值)。

分数阶滑模趋近律通过调节指数趋近系数k、等速趋近系数ε以及微分阶次α可以改变系统状态到达滑模面s(t)时的速度，其表达式为

d^αs(t)＝-k·s(t)-ε·sign(s(t))

式中，k＞0，ε＞0，sign()为符号函数即

根据以上步骤，设计相应的分数阶滑模控制器的控制律方程：

式中，关节位置误差e(t)＝q-qd，qd为关节位置的期望值，q为关节位置的实际值。

步骤5.更新机械臂关节状态参数；

通过安装在机械臂关节处的角度传感器，采集机械臂关节参数，并反馈。

本发明方法，在常规间接离散化算法的基础上进行优化，相比于传统间接离散化方法及改进间接离散化方法在低频和高频具有更好的近似效果，并且具有更宽的近似频率段。利用分数阶微分算子的快速收敛性、信息记忆性和遗传性，从而提出了具有强鲁棒性、抗干扰性和削弱抖振效果更好的分数阶滑模变结构控制器，可使机械臂的柔性关节动力学控制系统具有更好的连续性、快速性、鲁棒性和良好的抗干扰性。最终，实现最优分数阶滑模变结构控制方法的设计。

附图说明

图1为本发明柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法流程示意图。

图2为本发明中分数阶滑模的柔性关节机械臂控制结构框图。

图3为本发明分数阶微分算子频率响应示意图。其中：上图是幅频特性，下图为相频特性。

图4为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节分数阶滑模面轨迹示意图。

图5为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节整数阶滑模面轨迹示意图。

图6为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节阶跃响应的输出控制量轨迹示意图。

图7为本发明分数阶滑模控制的机械臂关节阶跃响应的滑模面轨迹示意图。

具体实施方式

为了能够更好的了解本发明的技术特征、技术内容及其达到的技术效果，现结合实施例和附图对本发明方法作更加详细的说明。

实施例：

如图1所示，本发明提出的柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法，其步骤如下：

步骤1.建立柔性关节机械臂伺服系统的动力学数学模型；

本步骤所述为计算机械臂伺服系统的动力学数学模型，其表达式为

式中，m(q)为机械臂惯量矩阵，为离心力和哥式力项，g(q)为机械臂重力矩阵，τext为机械臂外部负载扰动，u为输出控制量。

采用以下参数为例建立柔性关节机械臂的动力学模型：

机械臂负载转动惯量：ja＝1.6×10^-5kg.m²；

电机转动惯量：j＝2.56×10^-4kg.m²；

关节刚度系数：k＝1.29nm/rad；

阻尼系数：d＝3.6×10²nm/(rad/s)；

机械臂质量：m＝5.3kg；

机械臂质心：lc＝0.15m；

机械臂长度：l＝0.3m。

步骤2.计算伺服控制系统的跟踪误差和滑模面；

该步骤将采用可积函数f(t)的riemann-liouville(rl)分数阶积分形式，其定义为

式中，表示求函数f(t)的α阶次积分，a和t为运算的上下限，τ为积分变量，γ(.)为gamma函数。

分数阶微积分定义为

式中，re(α)表示α的实部。

gamma函数定义为

rl型分数阶微积分形式，具有如下性质：

式中，m为整数，n为整数集。

本步骤所述为计算机械臂伺服控制系统的跟踪误差和分数阶滑模面。

跟踪误差表达式为

e(t)＝q-qd(4)

式中，qd为期望的关节位置值，q为关节位置的实际值。

滑模面s(t)设计为

s(t)＝λe(t)+d^1-αe(t)+d^2-αe(t)，0＜α＜1(5)

式中，λ为调整系数，d^α表示分数阶微积分算子，则d^1-αe(t)与d^2-αe(t)表示为求跟踪误差e(t)的1-α、2-α阶微分，其表达式分别为

根据分数阶微积分性质，可对式(5)求α阶微分，分数阶滑模面可整理为

步骤3.建立分数阶微分算子离散化滤波器数学模型；

常规分数阶微分算子的离散化滤波器是采用间接离散化方法利用有理函数级联的方式在(ωb,ωh)频率范围内实现分数阶微分算子s^α的逼近，该级联的有理函数为

式中，

0＜α＜1

n为整数，滤波器阶次n＝2n+1，且n越大逼近精度越高。

对常规间接离散化算法进行改进，是将分数阶微分算子用分数阶传递函数近似，即

式中，取s＝jω(ω为频率变量，j为频域符号)，b和d为调整因子。。

在(ωb,ωh)频率段内，用泰勒公式展开，并取一阶近似，可得

将上式右侧的k(s)用间接离散化递推展开，继而得到近似公式

本步骤通过对常规及改进间接离散化算法进行优化，采用最优化算法寻优确定滤波参数，相比于上式由泰勒一阶近似展开增加一个滤波器带来降低精度等问题而言，优化后的间接离散化算法可有效提高近似精度。

采用改进间接离散化算法的结构，将分数阶微积分s^α近似为

s^α≈g×ge(12)

式中，g为滤波器，ge为间接离散化滤波器。

滤波器g的传递函数形式为

并可以通过扩展g的阶次来达到更高的精度需求，即

式中，α1,α2,l,αn+1为分子的常系数，β1,β2,l,βn+1为分母的常系数。

利用itae参数寻优方法经对比超调量、调节时间等性能指标，经整定后确定滤波器g的参数，继而获得滤波器g在频率段内达到幅频及相频最优的近似效果，间接实现分数阶微分算子s^α，避免了截断误差造成的精度损失。

根据上述算法，在频率段(10^-3,10³)内，取n＝4，计算分数阶微分算子s^α(α＝0.5)，在改进间接离散化算法中使用的滤波器参数为参数寻优的初始化值，经参数寻优后，继而获得一组最优滤波器g的参数(α1,α2,α3)＝(0.902,1438,-0.0012)，(β1,β2,β3)＝(0.24,1438,+0.6312)，使得滤波器g在频率段内达到幅频和相频的最优近似，并分别与常规间接离散化算法、改进间接离散化算法进行频率响应的对比，如图3所示，相比于常规间接离散化算法，优化间接离散化算法在低频及高频段具有更好的近似效果，并且具有更宽的近似频率段。

步骤4.计算机械臂伺服控制系统的滑模趋近律和控制量；

本步骤所述为计算机械臂伺服控制系统分数阶滑模趋近律和控制律。

根据柔性关节机械臂关节动力学模型：

式中，t为时间变量，(为电机转速)，u(t)为输出控制量，k为柔性关节的刚性系数，d为柔性关节阻尼系数，j为电机转动惯量，d(t)为有界外部扰动量(定义为|d(t)|≤dmax，dmax为最大边界值)。

分数阶趋近律通过调节指数趋近系数k、等速趋近系数ε以及微分阶次α可以改变系统状态到达滑模面时的速度，其表达式为

d^αs(t)＝-k·s(t)-ε·sign(s(t))，k＞0，ε＞0(15)

由式(14)、(15)设计相应的控制律为

经lyapunov稳定性验证，可得控制律的状态将在有限时间内收敛于滑模面s(t)＝0，而渐近稳定。

步骤5.更新机械臂关节状态参数；

本步骤所述为通过安装在机械臂关节处的角度传感器，采集关节参数，并反馈。

综上，本发明提出的柔性关节机械臂分数阶滑模优化控制方法，如图2所示，一种以传统整数阶滑模趋近律、滑模面为基础推导出分数阶滑模趋近律和分数阶趋近律，并在常规间接离散化算法的基础上进行优化提升分数阶微分算子的近似精度，效果如图3所示，以此研究了分数阶微积分与滑模变结构控制结合在柔性关节机械臂控制中的作用，并利用lyapunov理论与分数阶稳定性理论对整个系统的稳定性进行证明。根据上述方法，对机械臂的单个柔性关节采用分数阶滑模变结构控制，优化间接离散化方法采用以下参数：ωb＝10^-3、ωh＝10³、n＝4、α＝0.9，得到分数阶滑模面曲线如图4所示，整数阶(α＝1.0)滑模面曲线如图5所示，在阶跃信号激励下分数阶滑模与整数阶滑模控制量对比曲线如图6所示，在阶跃信号激励下分数阶滑模与整数阶滑模控制滑模面轨迹对比曲线如图7所示，通过对比图4-7，优化间接离散化算法近似分数阶微分算子的分数阶趋近律和分数阶滑模面相比于传统整数阶滑模控制可有效削弱滑模运动的抖振现象，在阶跃信号的激励下显示具有效果更好的强鲁棒特性和抗干扰特性，以及在轨迹跟踪运动控制中具有较好的性能提升作用。

以上阐述的是本发明给出的最优分数阶滑模的柔性关节机械臂控制方法，显然本发明不仅仅是限于上述实施例，在不偏于本发明基本精神及不超出本发明实质内容所涉及范围的前提下对其可作种种变形加以实施。