一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法与流程
本发明涉及周期控制技术领域，具体涉及一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法。
背景技术：
周期系统是一类具有周期特性的动态系统，在实际应用中，周期系统在工程界、自然界、经济等领域是极为广泛的存在。例如，在物理动力学，经济和金融学，电力、生物系统等领域中经常出现，尤其是直升机旋翼—叶片系统的振动衰减，航天器和卫星的磁姿态控制，生物捕食等系统。由于周期时变系统的普遍存在，研究分析其特性以及控制具有重要的意义和价值，上个世纪50年代以来，对周期系统开始了大量的研究。但因其复杂的时变特性，很多控制问题目前仍然难以得到透彻的研究。直到近几年，周期分段系统方法的提出被认为是逼近周期系统的有效手段并被广泛使用，周期分段系统不仅可以逼近周期时变系统，它本身也有许多应用，例如运用在具有理想二极管，库仑摩擦的机械系统，开关模式dc-dc转换器中的周期性分段电压和电流等。具体来说，周期系统的动态系统可以用周期性变化系数建模，其中离散时间下的周期系统可以用lifting技术进行有效处理，而连续时间周期时变系统的建模由于不容易得到floquet因子的闭环形式解，因此很难基于lyapunov-floquet理论直接得到其稳定性条件并延伸到控制问题。于是，开始进行大量近似或转化等方法来研究周期系统，但是这些研究都只能进行到稳定性分析部分，并不能直接设计得出控制器，因此不能非常有效解决周期系统的问题。直到提出使用周期分段系统模型来近似逼近周期系统，这才使周期系统的研究得到有效解决。周期分段系统也可以看成是切换系统的特例，在一个基本周期内，它由具有规定驻留时间和有限数量的固定切换序列的子系统。每个子系统通过相应子区间上的平均模型近似，或者基于周期性恒定变量的值直接计算。无时滞周期分段系统的研究开始被广泛关注，在稳定性分析和控制器综合方面都有了不错的成果，此前针对周期分段时变系统的控制方法，均假设在控制器能够精确实现的前提下进行的。
然而，在实际工程应用中，由于工业设备、控制元器件受到本身的物理特性或环境因素等影响导致元器件老化，从而使控制器参数发生一定范围变化，即出现不确定控制器增益扰动。而控制器参数微小的摄动很可能导致系统的性能变差，甚至破坏系统。这些现象广泛存在，例如，模数转换固有的不精确性、有限的字长，执行器退化，数值计算中的舍入误差和控制器实现过程中参数的调整都可能会导致控制的不精确。因此，当出现控制器扰动时，目前的周期分段时变控制器对系统的性能和稳定性无法得到有力保障。
技术实现要素：
本发明的目的在于克服现有技术的缺点与不足，提供一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法，该方法能够使闭环系统在具有不确定参数的控制器增益扰动出现时，仍然能保持良好的系统性能，同时具有良好的鲁棒性和非脆弱性，有很大的工程应用价值。
本发明的目的通过下述技术方案实现：
一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法，包括下述步骤：
s1，首先考虑连续时间周期分段时变系统，其状态空间表达式如下述公式所示：
z(t)＝ci(t)x(t)+di(t)u(t)+dwi(t)w(t)；
s2，所述连续时间周期分段时变系统矩阵ai(t),bi(t),bwi(t),ci(t),di(t),dwi(t)满足周期性，基本周期为tp，且均以时变线性插值公式给出，即如下述公式所示：
其中的ai,bi,bwi,ci,di,dwi,l＝0,1,...,i＝1,2,...,s,为定常矩阵，ti＝ti-ti-1为驻留时间；
s3，根据lyapunov稳定性判据，构造一个具有连续时变矩阵多项式的lyapunov函数，其形式如为v(t)＝vi(t)＝xt(t)pi(t)x(t)，其中的lyapunov矩阵多项式pi(t)为：
s4，利用lyapunov稳定性判据，可以获得所述连续时间周期分段时变系统的稳定性的充分条件；
s5，基于具有连续时变矩阵多项式的lyapunov函数，利用矩阵多项式关于负定性的一般引理，进行分析推导，并结合coppel不等式进行不等式放缩，获得h∞性能的充分条件成立，且满足：
其中，
s6，在s5中获得h∞性能指标的基础上，设计相应的非脆弱h∞控制器；考虑控制器的加性和乘性增益两种扰动形式：
范数约束加性扰动形式：δki(t)＝mfi(t)ni(t),i＝1,2,...,s,
范数约束乘性扰动形式：
其中，
且ni,ni+1,
z(t)＝cci(t)x(t)+dwi(t)w(t)；
其中，aci(t)＝ai(t)+bi(t)(ki(t)+δki(t)),cci(t)＝ci(t)+di(t)(ki(t)+δki(t))；
s7，针对s6中获得的闭环系统，基于具有连续时变矩阵多项式的lyapunov函数，利用lmi方法，结合矩阵多项式的负定性和正定性的一般引理条件，再引进矩阵多项式变量qi(t),wi(t)进行变量替换，并使用schur补定理，不等式放缩，最后获得在加性和乘性控制器增益扰动下的非脆弱h∞控制器，所设计的控制可以通过凸优化求解；
s8，考虑时变控制器增益δki(t)≡0的情况下，设计没有控制器扰动下的标称h∞控制器；并分别考虑引进连续和不连续的多项式矩阵变量qi(t)，以及连续的多项式矩阵变量wi(t)，使用变量替换，schur补定理，不等式放缩的等方法，推导获得两种情况下的标称h∞控制器，控制器增益ki(t)＝qi(t)wi-1(t)，可以通过凸优化求解获得；
s9，对所获得的控制器，进行matlab数值仿真验证：
(1)在具有范数有界加性扰动情况下，选取扰动参数为：
(2)在具有范数有界加性扰动情况下，选取扰动参数为：
其中fi(t)是在(-1,1)区间内随机取值，即要在满足条件fi12(t)+fi22(t)≤1下，进行随机取值，经过数十次验证均获得理想的效果；
s10，参照s9的仿真程序，考虑其中的扰动δki(t)恒为零时，进行仿真验证，获得仿真结果。
本发明与现有技术相比具有以下的有益效果：
本发明的切换子系统为时变子系统，保留了很多周期系统的原始动态特性，同时采用矩阵多项式的方法，高维矩阵的引入能够获得更多的自由变量，更有利于求解；此外鉴于目前对周期分段系统的控制可能存在的脆弱性，分别考虑了在控制器具有不确定范数约束的加性和乘性增益扰动下，使得闭环系统在控制器在受到一定范围扰动下，依旧能够保持良好性能，并同时鲁棒稳定，从而可有效解决目前工程应用中，具有周期性时变复杂特性的系统在分析和控制方面的难题。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为本发明开环系统和连续标称h∞控制器下闭环系统的状态变化对比图；
图3为本发明连续标称h∞控制器增益的变化图(一个周期内)；
图4为本发明开环系统和不连续标称h∞控制器下闭环系统的状态变化对比图；
图5为本发明不连续标称h∞控制器增益的变化图(一个周期内)；
图6为本发明乘性扰动下的非脆弱h∞控制器的状态变化图；
图7为本发明乘性扰动下的非脆弱h∞控制器增益的变化图(一个周期内)；
图8为本发明加性扰动下的非脆弱h∞控制器的状态变化图；
图9为本发明加性扰动下的非脆弱h∞控制器增益的变化图(一个周期内)。
具体实施方式
下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细的描述，但本发明的实施方式不限于此。
本发明提出一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法，能够针对连续时间下的周期分段时变系统，在其控制器受到一定范围的扰动下，依旧能够使得系统性能良好，并且鲁棒稳定，同时，使设计的控制器更容易求解，在应用中利于实施。首先构造一个具有连续时变的n维矩阵多项式的lyapunov函数，然后通过lyapunov稳定性判据，利用关于矩阵多项式负定性和正定性的一般性引理，以及一个系统稳定性条件，从而获得系统h∞性能的充分条件。
基于完成的h∞性能分析，考虑控制器在范数有界约束的加性和乘性增益扰动下，利用变量替换法以及相关引理，分别得到连续时间的周期分段时变系统，在加性和乘性控制器增益不确定扰动下的非脆弱h∞控制器的条件；同时，假设在零扰动下，考虑控制器增益为连续时变和不连续时变的两种情况下，分别设计无控制器扰动的标称h∞控制器；分别进行仿真对比，结果如下：(1)对非脆弱h∞控制器与标称h∞控制器进行比对，发现非脆弱h∞控制器在由扰动的情况下，系统依旧鲁棒稳定并且性能指标γ的值非常理想，证明了非脆弱h∞控制器的优势；(2)在控制器无扰动的情况下，对比了连续和不连续的标称h∞控制器，发现具有不连续控制器增益的标称h∞控制器的控制效果具有极微弱的性能优势，几乎可以忽略不计。事实上，具有连续控制器增益的标称h∞控制器其实在工程应用中更容易实现。经过多次仿真实验，并进行结果对比，证明了所得结果的有效性，从而得到了能够使闭环系统受到控制器增益不确定扰动下，依旧保持系统性能良好的非脆弱h∞控制器，以用于解决工程应用的相关问题。
具体来说，如图1～9所示，一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法，包括下述步骤：
s1，首先考虑连续时间周期分段时变系统，其状态空间表达式如下述公式所示：
z(t)＝ci(t)x(t)+di(t)u(t)+dwi(t)w(t)；
s2，所述连续时间周期分段时变系统矩阵ai(t),bi(t),bwi(t),ci(t),di(t),dwi(t)满足周期性，基本周期为tp，且均以时变线性插值公式给出，即如下述公式所示：
其中的ai,bi,bwi,ci,di,dwi,l＝0,1,...,i＝1,2,...,s,为定常矩阵，ti＝ti-ti-1为驻留时间；
s3，根据lyapunov稳定性判据，构造一个具有连续时变矩阵多项式的lyapunov函数，其形式如为v(t)＝vi(t)＝xt(t)pi(t)x(t)，其中的lyapunov矩阵多项式pi(t)为：
s4，经过相关的推导证明，利用lyapunov稳定性判据，可以获得所述连续时间周期分段时变系统的稳定性的充分条件；
s5，基于具有连续时变矩阵多项式的lyapunov函数，利用矩阵多项式关于负定性的一般引理，进行分析推导，并结合coppel不等式进行不等式放缩，获得h∞性能的充分条件成立，且满足：
其中，
s6，在s5中获得h∞性能指标的基础上，设计相应的非脆弱h∞控制器；考虑控制器的加性和乘性增益两种扰动形式：
范数约束加性扰动形式：δki(t)＝mfi(t)ni(t),i＝1,2,...,s,
范数约束乘性扰动形式：
其中，n(t),
且ni,ni+1,
z(t)＝cci(t)x(t)+dwi(t)w(t)；
其中，aci(t)＝ai(t)+bi(t)(ki(t)+δki(t)),cci(t)＝ci(t)+di(t)(ki(t)+δki(t))；
s7，针对s6中获得的闭环系统，基于具有连续时变矩阵多项式的lyapunov函数，利用lmi方法，结合矩阵多项式的负定性和正定性的一般引理条件，再引进矩阵多项式变量qi(t),wi(t)进行变量替换，并使用schur补定理，不等式放缩，最后获得在加性和乘性控制器增益扰动下的非脆弱h∞控制器，所设计的控制可以通过凸优化求解；
s8，考虑时变控制器增益δki(t)≡0的情况下，设计没有控制器扰动下的标称h∞控制器；并分别考虑引进连续和不连续的多项式矩阵变量qi(t)，以及连续的多项式矩阵变量wi(t)，使用变量替换，schur补定理，不等式放缩等方法，推导获得两种情况下的标称h∞控制器，控制器增益ki(t)＝qi(t)wi-1(t)，可以通过凸优化求解获得；
s9，对所获得的控制器，进行matlab数值仿真验证：
(1)在具有范数有界加性扰动情况下，选取扰动参数为：
(2)在具有范数有界加性扰动情况下，选取扰动参数为：
其中fi(t)是在(-1,1)区间内随机取值，即要在满足条件fi12(t)+fi22(t)≤1下，进行随机取值，经过数十次验证均获得理想的效果；
在此，给出两个随机取值的例子：
(1)加性扰动下：
(2)乘性扰动下：
分别获得仿真结果，如图6～9所示。
s10，参照s9的仿真程序，考虑其中的扰动δki(t)恒为零时，进行仿真验证，获得仿真结果，如图2～5所示。
从仿真结果的对比中，可以看出，非脆弱h∞控制器具有良好的鲁棒特性和非脆弱性，对实际应用中的控制器增益扰动具有很强的容忍能力，工程价值明显。
本发明提出一种基于矩阵多项式的周期分段时变系统的非脆弱控制方法，为了所设计的控制器能够容忍不确定时变控制器扰动带来的影响，使周期切换的子系统为时变子系统，基于具有连续时变的lyapunov矩阵多项式的lyapunov函数，对连续时间周期分段时变系统进行h∞性能分析；然后基于h∞性能，分别考虑控制器在范数有界约束的加性和乘性扰动下，设计了非脆弱h∞控制器，使得闭环系统在控制器在受到一定范围扰动下依旧能够鲁棒稳定并具有良好性能；本发明由于矩阵多项式的使用，引入了更高维度和更多自由变量，使所设计控制器容易求解，可直接基于lmi进行凸优化获得，无需进行迭代，易于在工程中实施。
现有的技术对连续时间周期分段时变系统的控制，存在脆弱性的情况，当出现扰动时，容易致使控制效果不佳，而本发明提出的控制方法，经过反复严密的证明推理，并通过多次仿真实验验证了它的有效性，可用于具有周期时变复杂特性的工程应用中。
在工程中实际应用时，对实际系统的动态特性量化的过程中，需要尽量保证特性量化数据的准确性，以减少误差；本发明考虑的是控制器自身的老化或其他原因，而导致的参数在一定范围内的某些变化情况下，依旧保持系统性能良好并且能够鲁棒稳定。如果当控制器遭人为因素的损坏或其他不可抗力因素的损毁，则此控制器将失效；实际应用中，需尽量保证系统特性的量化数据尽量准确，控制器不可遭人为因素或其他不可抗力因素的损坏。
本发明的切换子系统为时变子系统，保留了很多周期系统的原始动态特性，同时采用矩阵多项式的方法，高维矩阵的引入能够获得更多的自由变量，更有利于求解；此外鉴于目前对周期分段系统的控制可能存在的脆弱性，分别考虑了在控制器具有不确定范数约束的加性和乘性增益扰动下，使得闭环系统在控制器在受到一定范围扰动下，依旧能够保持良好性能，并同时鲁棒稳定，从而可有效解决目前工程应用中，具有周期性时变复杂特性的系统在分析和控制方面的难题。
上述为本发明较佳的实施方式，但本发明的实施方式并不受上述内容的限制，其他的任何未背离本发明的精神实质与原理下所作的改变、修饰、替代、组合、简化，均应为等效的置换方式，都包含在本发明的保护范围之内。
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