两端轴向约束的轴系统的热误差建模方法、总误差建模方法和热误差补偿系统与流程

本发明属于机械误差分析技术领域，具体的为一种两端轴向约束的轴系统的热误差建模方法、误差建模方法和热误差补偿系统。

背景技术：

如图1所示，为现有的一种两端轴向约束的轴系统的结构示意图。该轴系统包括轴1，轴1的两端分别设有与其转动配合的轴承2，轴承2的内圈与轴1之间轴向定位，即轴1的两端在轴向方向均被约束。当然，在一些实施例中，轴1可以是丝杆，在丝杆上套装设有螺母3，也可以在丝杆与螺母3之间设置滚珠4，构成滚珠丝杆轴系统。滚珠丝杆轴系统可将丝杆的旋转运动转换为螺母3沿着丝杆轴向方向的直线运动，也可将螺母3沿丝杆轴向方向的直线运动转换为丝杆的旋转运动。在轴系统运行过程中，轴1与轴承2之间以及轴1与螺母3之间由于发生相对运动而产生热量，进而导致轴1的温度发生变化。温度的变化导致轴1在径向方向上发生绕曲，即存在热误差。

2013年《天津大学学报》第9期发表文章《数控机床主轴热特性分析》，通过有限元和试验验证了热动态特性的变化规律。2015年《浙江大学学报(工学版)》第11期发表文章《高速主轴系统热特性分析与实验》，基于主轴三维有限元模型进行瞬态热-结构耦合分析，并考虑结合面的接触热传导，使仿真精度明显提高。2015年《煤矿机械》第1期发表文章《高速电主轴传热机理及温度测点优化分析》，从电机、轴承和环境三个方面对主轴传热机理进行了分析。2016年《电子科技大学学报》第6卷发表文章《重型卧式车床主轴系统热特性分析》，提出了基于有限元热-固耦合方法仿真计算了主轴达到热平衡后的热变形特性。目前进行主轴热变形机理分析大多采用有限元方法进行仿真，该方法基于仿真结果，与实际存在一定差距。

技术实现要素：

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种两端轴向约束的轴系统的热误差建模方法、误差建模方法和热误差补偿系统，通过将轴系统热误差分解为与位置相关的热误差分量和与温度相关的热误差分量，从而建立了两端轴向约束的轴系统热误差模型和轴系统总误差模型。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

本发明首先提出了一种两端轴向约束的轴系统热误差建模方法，如下：

根据轴的热传导方程，求解得到在t时刻轴上任意位置处的温度t(x,t)；

根据温度t(x,t)，得到依赖于温度的轴向载荷nt，从而得到轴的轴向热伸长量

根据两端轴向约束的轴系统的几何关系，建立轴的轴向位移约束方程，并得到当轴的径向弯曲量为w时导致的轴向热收缩量δ；

将轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入所述轴向位移约束方程，求解得到轴的径向弯曲量w的一般解；

利用温度t(x,t)修正径向弯曲量w的一般解，得到分解为与位置相关的热误差分量ep(x,t)和与温度相关的热误差分量et(x,t)的热误差方程e(x,t)；

对热误差方程e(x,t)进行泰勒展开，得到两端轴向约束的轴系统的热误差的精确表达式。

进一步，所述轴的热传导方程为：

其中，ρ为轴的密度；c为轴的比热容；λ为轴的轴芯热膨胀系数；h为对流系数；d0为轴的直径；tf为轴的初始温度。

进一步，所述依赖于温度的轴向载荷nt为：

其中，e为轴材料的杨氏模量；αt为依赖于温度的热伸长系数；le为单位温度变化下的轴热伸长变化量；a为轴的横截面积；

所述轴向热伸长量为：

其中，l为轴的长度。

进一步，所述轴的轴向位移约束方程为：

其中，p为轴受到的轴向应力；

当轴的径向弯曲量为w时导致的轴向热收缩量δ为：

其中，dx为轴处于平直状态时的轴上微元的长度；ds为当轴的径向弯曲量为w时轴上微元的长度。

进一步，轴的径向弯曲量w的一般解为：

w＝c1+c2coskx+c3sinkx

其中，c1,c2和c3表示与温度相关的系数，k为系数。

进一步，所述热误差方程e(x,t)为：

e(x,t)＝ep(x,t)·et(x,t)＝w·lnt(x,t)＝(c1'+c2'coskx+c3'sinkx)·lnt(x,t)

其中，c1',c2'和c3'均表示与时间相关但与温度无关的系数。

进一步，两端轴向约束的轴系统的热误差的精确表达式为：

将轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入所述轴向位移约束方程，求解得到轴的径向弯曲量w的一般解。具体的，将轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入所述轴向位移约束方程后，得到：

进一步，所述轴为丝杆，所述丝杆上套装设有与其配合的螺母，所述螺母与所述丝杆之间设有滚珠。

本发明还提出了一种两端轴向约束的轴系统总误差建模方法，如下：

采用如上所述两端轴向约束的轴系统热误差建模方法，得到两端轴向约束的轴系统的热误差方程e(x,t)；

在轴系统热误差的基础上结合轴系统的几何误差o(x)，得到轴系统总误差方程δe(x,t)为：

δe(x,t)＝e(x,t)+o(x)。

本发明还提出了一种两端轴向约束的轴系统热误差补偿系统，包括：

cnc加工中心，包括plc控制器；

热采集系统，与所述cnc加工中心相连，用于采集时间信息和位置信息，并将时间信息和位置信息经滤波器、放大器和a/d转换器处理后得到轴系统的实际物理信息；

热误差补偿系统，与所述热采集系统连接，并采用如上所述两端轴向约束的轴系统热误差建模方法分别计算轴系统热误差e(x,t)的与位置相关的热误差分量ep(x,t)和与温度相关的热误差分量et(x,t)，并得到各个轴的热误差补偿分量；

所述plc控制器与所述热误差补偿系统相连，从所述热误差补偿系统获取各个轴的热误差补偿分量，并将所述热误差补偿分量叠加于伺服控制器的输出指令并以获得对应轴的位置偏差，然后将对应轴的实际位置与理想位置进行比较，实现对应轴的热误差实时在线补偿。

本发明的有益效果在于：

本发明的两端轴向约束的轴系统热误差建模方法，通过两端轴向约束的轴系统的几何关系，建立轴的轴向位移约束方程，并将轴的轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入轴向位移约束方程后，得到轴的径向弯曲量w的一般解，该一般解反映轴在特定时间的热膨胀是正弦函数和余弦函数的叠加，但轴的轴向热膨胀系数与温度有关，直接计算与温度有关的热伸长系数并不准确，从而导致该一般解不能准确计算热误差；本发明采用温度t(x,t)修正径向弯曲量w的一般解，从而将热误差e(x,t)分解为与位置相关的热误差分量ep(x,t)和与温度相关的热误差分量et(x,t)，从而建立了能够精确计算两端轴向约束的轴系统的热误差的模型。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为现有的一种两端轴向约束的轴系统的结构示意图；

图2为轴的传热曲线的示意图；

图3为当轴处于平直状态时的轴上微元长度示意图；

图4为当轴的径向弯曲量为w时轴上微元长度示意图；

图5为将两端轴向约束的轴系统总误差分解为热误差和几何误差的原理图；其中，图5a为轴系统的总误差示意图，图5b为轴系统的热误差示意图，图5c为轴系统的几何误差示意图；

图6为轴的温度场示意图；其中，图6a为轴的温度场测量值示意图；图6b为轴的温度场拟合值示意图；

图7为与位置相关的热误差分量ep(x,t)的拟合曲线图；

图8为与温度相关的热误差分量et(x,t)的拟合曲线图；

图9为本发明两端轴向约束的轴系统热误差补偿系统实施例的原理图；

图10为两端轴向约束的轴系统总误差补偿后的曲线图，其中，图10a为定位误差曲线图；图10b为重复定位误差曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明，以使本领域的技术人员可以更好的理解本发明并能予以实施，但所举实施例不作为对本发明的限定。

本实施例两端轴向约束的轴系统热误差建模方法，如下：

根据轴的热传导方程，求解得到在t时刻轴上任意位置处的温度t(x,t)。具体的，轴的热传导方程为：

其中，ρ为轴的密度；c为轴的比热容；λ为轴的轴芯热膨胀系数；h为对流系数；d0为轴的直径；tf为轴的初始温度。

求解得到轴的温度t(x,t)为：

其中，t1为左端热源温度；αl为丝杠轴末端对流换热系数。

具体的，轴的温度t(x,t)可表示为：

t(x,t)＝tf+ct(1-e^-τt)

其中，ct和τ分别表示与温度和时间常数有关的系数。

根据温度t(x,t)，得到依赖于温度的轴向载荷nt，从而得到轴的轴向热伸长量具体的，依赖于温度的轴向载荷nt为：

其中，e为轴材料的杨氏模量；le为单位温度变化下的轴热伸长变化量；a为轴的横截面积。

αt为依赖于温度的热伸长系数，且：

其中，l1为丝杠轴温度为t1时的丝杠热伸长，l2为丝杠轴温度为t2时的丝杠热伸长；t1为丝杠轴温度；t2为丝杠轴温度；le为丝杠轴温度为t2时的丝杠热伸长l2与丝杠轴温度为t1时的丝杠热伸长l1的差。

轴向热伸长量为：

其中，l为轴的长度。

根据两端轴向约束的轴系统的几何关系，建立轴的轴向位移约束方程，并得到当轴的径向弯曲量为w时导致的轴向热收缩量δ。具体的，两端轴向约束的轴系统的轴向位移为零，则轴的轴向位移约束方程为：

其中，p为轴受到的轴向应力。

当轴的径向弯曲量为w时导致的轴向热收缩量δ为：

其中，dx为轴处于平直状态时的轴上微元的长度；ds为当轴的径向弯曲量为w时轴上微元的长度。

将轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入所述轴向位移约束方程，求解得到轴的径向弯曲量w的一般解。具体的，将轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入所述轴向位移约束方程后，得到：

该等式是一个齐次方程，即轴的径向弯曲量w的一般解为：

w＝c1+c2coskx+c3sinkx

其中，c1,c2和c3表示与温度相关的系数，k为系数。

由该一般解可知，在特定时间的热膨胀是正弦函数和余弦函数的叠加。因为轴向热膨胀系数与温度有关，直接计算与温度有关的热伸长系数并不准确，从而导致该一般解不能准确计算热误差。

轴的弯曲变形在多个热负荷的综合影响下发生，从理论上可以看出，热弯曲变形曲线是正弦曲线和余弦曲线的叠加。因为轴向载荷是温度的函数，为了获得热误差的物理含义，本实施例利用温度t(x,t)修正径向弯曲量w的一般解，得到分解为与位置相关的热误差分量ep(x,t)和与温度相关的热误差分量et(x,t)的热误差方程e(x,t)。具体的，热误差方程e(x,t)为：

e(x,t)＝ep(x,t)·et(x,t)＝w·lnt(x,t)＝(c1'+c2'coskx+c3'sinkx)·lnt(x,t)

其中，c1',c2'和c3'均表示与时间相关但与温度无关的系数。

对热误差方程e(x,t)进行泰勒展开，得到两端轴向约束的轴系统的热误差的精确表达式。具体的，两端轴向约束的轴系统的热误差的精确表达式为：

其中，ax,bx和cx分别表示与位置相关但与温度无关的系数。

具体的，如图1所示，本实施例的轴1为丝杆，所述丝杆上套装设有与其配合的螺母3，螺母3与丝杆之间设有滚珠4。即本实施例的轴系统为一种两端轴向约束的滚珠丝杆进给系统。当然，本实施例的轴系统还可以适用于其他多种两端轴向约束的轴系统结构，不再累述。

具体的，如图6所示，获得了在热平衡状态工作条件下的线性轴温度。结果表明温度随时间升高。当轴系统为滚珠丝杆系统时，螺母移动范围内的温度不均匀，得到不同位置的温度的拟合方程为：

t(50mm,t)＝21.13-10.435e^-18.596t

t(200mm,t)＝21.15-13.216e^-21.324t

t(400mm,t)＝21.20-13.44e^-23.108t

比较拟合结果和测量数据，在热平衡状态工作条件下线性轴的热平衡时间和温度分别约为5小时和28.5℃。温度的拟合方程与上述t(x,t)的表达式一致，并且环境温度在[21.0℃，21.2℃]范围内，与热平衡状态工作条件一致，一致性进一步验证了热场建模方法的有效性。

通过热误差方程e(x,t)中的第一项来拟合与位置相关的热误差分量ep(x,t)，则：

ep(x,t)＝c1'+c2'coskx+c3'sinkx

如图7所示，为与位置相关的热误差分量ep(x,t)的拟合曲线，其拟合方程为：

ept＝0＝6.621e⁶-6.621e⁶cos(5.943e^-6x)-2909sin(5.943e^-6x)

ept＝0.5h＝-3.049+3.447cos(0.01348x)+2.307sin(0.01348x)

ept＝1.0h＝-4.527+4.663cos(0.01100x)+1.525sin(0.01100x)

ept＝2.0h＝-6.698+6.289cos(0.008856x)-0.9201sin(0.008856x)

ept＝3.0h＝-7.884+7.264cos(0.007926x)-1.6930sin(0.007926x)

ept＝5.0h＝-8.506+7.880cos(0.007926x)-1.9630sin(0.007926x)

ept＝7.0h＝-9.408+8.708cos(0.007287x)-3.2480sin(0.007287x)

ept＝9.0h＝-9.874+9.108cos(0.007290x)-3.0420sin(0.007290x)

ept＝11.0h＝-9.933+9.179cos(0.007066x)-4.1040sin(0.007066x)

通过热误差方程e(x,t)中的第二项来拟合与温度相关的热误差分量et(x,t)，则：

如图8所示，为与温度相关的热误差分量et(x,t)的拟合曲线，其拟合方程为：

et(0mm,t)＝1.478e^-0.3185t-1.389

et(50mm,t)＝4.657e^-0.6779t-2.777

et(200mm,t)＝14.440e^-1.0510t-13.520

et(350mm,t)＝25.460e^-1.1260t-17.420

et(500mm,t)＝35.150e^-1.0550t-15.63

表明拟合的热误差与测量数据完全吻合，验证了本实施例的两端轴向约束的轴系统热误差建模方法的有效性。

本实施例的两端轴向约束的轴系统热误差建模方法，通过两端轴向约束的轴系统的几何关系，建立轴的轴向位移约束方程，并将轴的轴向热伸长量和轴向热收缩量δ代入轴向位移约束方程后，得到轴的径向弯曲量w的一般解，该一般解反应轴在特定时间的热膨胀是正弦函数和余弦函数的叠加，但轴的轴向热膨胀系数与温度有关，直接计算与温度有关的热伸长系数并不准确，从而导致该一般解不能准确计算热误差；本发明采用温度t(x,t)修正径向弯曲量w的一般解，从而将热误差e(x,t)分解为与位置相关的热误差分量ep(x,t)和与温度相关的热误差分量et(x,t)，从而建立了能够精确计算两端轴向约束的轴系统的热误差的模型。

本实施例还提出了一种两端轴向约束的轴系统总误差建模方法，如下：

采用上述两端轴向约束的轴系统热误差建模方法，得到两端轴向约束的轴系统的热误差方程e(x,t)；

如图5所示，在轴系统热误差的基础上结合轴系统的几何误差o(x)，得到轴系统总误差方程δe(x,t)为：

δe(x,t)＝e(x,t)+o(x)。

即轴系统总误差方程δe(x,t)可表示为：

δe(x,t)＝e(x,t)+o(x)＝(c1'+c2'coskx+c3'sinkx)·lnt(x,t)+o(x)

或，

如图5所示，通过将两端轴向约束的轴系统总误差分解为热误差和几何误差，能够准确反映两端轴向约束的轴系统总误差。

如图9所示，为本发明两端轴向约束的轴系统热误差补偿系统实施例的原理图。本实施例的两端轴向约束的轴系统热误差补偿系统，包括：

cnc加工中心，包括plc控制器；

热采集系统，与所述cnc加工中心相连，用于采集时间信息和位置信息，并将时间信息和位置信息经滤波器、放大器和a/d转换器处理后得到轴系统的实际物理信息；

热误差补偿系统，与所述热采集系统连接，并采用如权利要求1-8任一项所述两端轴向约束的轴系统热误差建模方法分别计算轴系统热误差e(x,t)的与位置相关的热误差分量ep(x,t)和与温度相关的热误差分量et(x,t)，并得到各个轴的热误差补偿分量；

所述plc控制器与所述热误差补偿系统相连，从所述热误差补偿系统获取各个轴的热误差补偿分量，并将所述热误差补偿分量叠加于伺服控制器的输出指令并以获得对应轴的位置偏差，然后将对应轴的实际位置与理想位置进行比较，实现对应轴的热误差实时在线补偿。

如图10所示，将本实施例带两端轴向约束的轴系统总误差补偿性能与不带任何补偿以及仅带螺距补偿的性能进行比较，与仅带螺距补偿相比，定位误差降低了20％；与没有补偿的情况相比，定位精度提高了70％以上。验证了本实施例两端轴向约束的轴系统的热误差建模方法、误差建模方法和热误差补偿系统的有效性。

以上所述实施例仅是为充分说明本发明而所举的较佳的实施例，本发明的保护范围不限于此。本技术领域的技术人员在本发明基础上所作的等同替代或变换，均在本发明的保护范围之内。本发明的保护范围以权利要求书为准。