基于3-RPSR并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法

本发明属于金属复杂构件先进制造技术领域,具体涉及一种基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备驱动模块运动轨迹解析方法。

背景技术：

金属管材及其弯曲构件广泛运用于航空航天、核电、化工等领域,特别是在航空航天领域应用了大量复杂形状的弯曲构件。自由弯曲成形技术作为近年来的一项重要的发明,可以实现平面及空间不同形状金属弯曲构件的成形,且具有较高的成形效率和加工精度,在航空发动机、运载火箭、卫星等方面具有巨大的发展潜力。目前的自由弯曲成形装备主要有：三轴自由弯曲成形装备、五轴自由弯曲成形装备和六轴自由弯曲成形装备,均属于串联结构形式。虽然上述自由弯曲成形装备可以完成大多数金属复杂弯曲构件的成形,但还存在弯曲模运动空间较小、装备结构刚度不高、弯曲构件加工精度有待提高以及成形极限受限等缺点,制约了自由弯曲成形技术的推广应用。

并联机构作为一种闭环的结构,由定平台和动平台通过铰链相连构成,具有加工精度高、稳定性好、自由度高等优点,近年来研究人员开始尝试将其应用到自由弯曲成形技术中。一种由三个连杆依次通过旋转副(r)、移动副(p)、球副(s)、旋转副(r)连接定平台与动平台所构成的并联机构(如图2所示),简称3-rpsr,具有六个自由度且动平台可在较大空间范围内运动,将其运用于自由弯曲成形技术,可以有效地提高弯曲构件成形精度和成形极限,使得一些复杂形状弯曲构件的加工制造成为可能。然而,该并联机构结构复杂,对于其动平台在不同空间位置姿态下的运动控制解析,目前仍然缺少一套高效可行的方法,这已成为研发基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形技术所亟需解决的问题之一。

技术实现要素：

本发明针对目前在基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形技术运动位姿解析方面的空缺,提出一种基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备驱动模块运动轨迹解析方法。

本发明采用以下技术方案：

一种基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,根据弯曲成形中弯曲模中心点在全局坐标系中的空间位置坐标,获得弯曲模动平台(1)在全局坐标系中位置姿态欧拉角表达,建立由弯曲模动平台(1)上局部动坐标系到全局定坐标系的转换矩阵,再结合并联机构空间几何关系计算出成形设备驱动模块ai(i＝1,2,3)(5)在弯曲模中心点p当前位置坐标处的移动距离和转动角度,最终完成基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析,实现复杂空间构型管材自由弯曲成形。

所述的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,其具体步骤包括：

第一步,以成形设备导向机构(4)顶点o为原点建立o-xyz全局定坐标系,以成形设备的弯曲模中心点p位置为原点建立p-xyz局部动坐标系,以弯曲模动平台(1)上三个旋转副中心bi(i＝1,2,3)(2)为原点建立bi-xyz(i＝1,2,3)局部动坐标系；

第二步,根据弯曲成形中弯曲模中心点p在全局坐标系中的空间位置坐标(j＝1,2,3……),结合自由弯曲成形机理计算出弯曲模动平台(1)空间位置姿态,以四元数表示法确定由p-xyz局部动坐标系到o-xyz全局定坐标系的旋转欧拉角,并获得从p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_p_o；

第三步,由弯曲模动平台(1)几何构型和尺寸参数,计算出弯曲模动平台(1)上旋转副中心bi-xyz坐标系到p-xyz坐标系的转换矩阵t_bi_p(i＝1,2,3)；结合第二步,得到从bi-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_bi_o＝t_p_o*t_bi_p(i＝1,2,3)；

第四步,由弯曲模中心点p的坐标,根据第三步建立的转换矩阵t_bi_o和并联机构空间几何关系,计算出驱动模块ai(5)在o-xyz坐标系中的坐标

第五步,通过对比弯曲模中心点p不同位置情况下对应的驱动模块ai(5)的位置坐标与其初始位置坐标之间的差异,确定达到不同弯曲模中心点p位置各个驱动模块ai(5)的移动距离和转动角度,最终实现基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析。

所述的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,第二步中,根据弯曲模中心点p在全局坐标系中的空间位置坐标以及自由弯曲成形机理,确定弯曲模动平台(1)的旋转轴方向τ和旋转角度θ,通过旋转四元数表达方法建立弯曲模动平台旋转欧拉角[ф,δ,ψ],获得从到p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的坐标转换矩阵t_p_o。

所述的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,第三步中,弯曲模动平台(1)上各旋转副中心bi(2)位于以弯曲模中心点p为中心、半径为rb的等径同心圆上并成120°等间距分布,在旋转副中心bi(2)建立局部动坐标系bi-xyz,根据弯曲模动平台(1)的几何构型参数建立从bi-xyz坐标系到p-xyz坐标系的坐标转换矩阵t_bi_p；结合之前所建立的t_p_o坐标转换矩阵,实现了从bi-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_bi_o＝t_p_o*t_bi_p。

所述的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,第四步中,基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备连杆(3)长为l,驱动模块ai(5)所在斜导轨(6)与水平面倾角为β,弯曲模导向长度为k,根据并联机构的空间几何关系得到几何方程,方程1：方程2：方程3：方程4:其中为驱动模块ai(5)在bi-xyz坐标系中的坐标,计算出弯曲模中心点p在当前位置时驱动模块ai(5)在o-xyz坐标系中坐标

所述的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,第五步中,对比当前弯曲模中心点p所在位置对应的驱动模块ai(5)在o-xyz坐标系中坐标与原始位置ai(5)在o-xyz坐标系中的坐标通过分析前后ai(5)坐标在xy平面内的投影关系和在z轴方向的投影关系确定各个驱动模块ai(5)的移动距离和转动角度,最终实现基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析。

所述的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,该自由弯曲成形设备输入数据为弯曲模中心点p在不同时刻所处的o-xyz全局坐标系下的空间坐标,通过x和y坐标确定弯曲模偏距u,以及根据z坐标确定弯曲模导向长度k,结合自由弯曲成形过程中管材与弯曲模时刻处于垂直状态确定弯曲模动平台(1)的旋转轴方向τ和旋转角度θ。

本发明具有如下有益效果：

1)本发明所述的基于并联结构的自由弯曲成形设备相对于传统的串联式结构具有设备刚性好、成形精度高、运动空间大等优点,有利于提高自由弯曲成形技术的工艺水平并拓展其应用领域。

2)本发明解决了如何根据3-rpsr并联结构动平台预定的位置姿态来精确计算出机构驱动模块的运动轨迹,从而实现基于3-rpsr并联机构的自由弯曲设备成形复杂空间构形的弯曲构件,进一步推动基于并联结构自由弯曲成形技术的发展。

附图说明

图1、基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析算法流程图；

图2、基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备示意图。

具体实施方式

如图2所示，本发明所基于的3-rpsr并联机构，其动平台(1)依次通过旋转副(2)、连杆3、驱动模块5、斜导轨6、圆形导轨7与定平台8进行机械连接；动平台上各旋转副2的中心bi位于以动平台1中心点p为圆心的等径同心圆周上并成120°等间距分布，斜导轨6与定平台8平面的夹角为β；初始位置时，动平台1平面与定平台8相平行且p点位于全局坐标系o-xyz的z轴上，机构的三个驱动模块ai(5)在圆形导轨7中成120°等角度分布。

连杆3长为l，斜导轨6长度为s，导向机构4顶点到斜导轨6顶点距离为k,弯曲模实际外轮廓圆半径为rb,弯曲模实际厚度为t。

基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析方法,首先在并联机构上的动平台1和定平台8上分别建立局部动坐标系和全局定坐标系,其次根据弯曲成形中弯曲模中心点p在全局坐标系中的空间位置坐标得到弯曲模动平台1在全局坐标系中的四元数表示,进而得到其在全局坐标系中的欧拉角表示方法,再根据机构构型与几何尺寸参数从而得到动坐标系到全局坐标系的转换矩阵；然后结合并联机构空间几何关系所得的几何方程,计算出当前弯曲模中心点p所在位置处对应驱动模块ai(i＝1,2,3)(5)位移距离和转动角度,最终完成基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析。

所述的解析方法,步骤包括：

第一步,以并联机构导向机构4的顶点o为原点建立o-xyz全局定坐标系,其xoy平面与水平面相平行,z轴正方向垂直于水平面向上；以弯曲模动平台1中心点p为原点建立p-xyz动坐标系,其xoy平面与弯曲模动平台1平面重合,z轴方向垂直于弯曲模动平台1平面向上；以动平台上1三个旋转副中心bi(i＝1,2,3)2为原点建立bi-xyz(i＝1,2,3)动坐标系,其z轴沿旋转副轴线方向且与动平台1外轮廓相切。所有建立的坐标系均符合笛卡尔右手坐标系法则,初始位置动坐标系p-xyz的原点p落在定坐标系o-xyz的z轴上；

第二步,根据弯曲成形所需弯曲模动平台1在全局坐标系中的位置姿态,得到动平台1中心点p在o-xyz坐标系中的一系列坐标再由自由弯曲成形机理,确定弯曲模动平台1的旋转轴方向τ和旋转角度θ,计算出弯曲模动平台1在o-xyz坐标系中空间姿态的四元数表达形式[w,x,y,z],从而计算出p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式[ф,δ,ψ],最终得到p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_p_o；

第三步,由并联机构的弯曲模动平台几何构型和尺寸参数计算出动平台上各旋转副中心bi在p-xyz坐标系中的坐标,结合坐标系的旋转变换得出bi-xyz坐标系到p-xyz坐标系的转换矩阵t_bi_p(i＝1,2,3)；然后结合上述第二步的所得t_p_o转换矩阵,得到从bi-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_bi_o＝t_p_o*t_bi_p(i＝1,2,3)；

第四步,当并联机构动平台1中心点p处于o-xyz全局坐标系下坐标位置时,根据机构的各部件固有空间几何关系所得几何方程,计算出机构驱动模块ai在bi-xyz坐标系中的坐标弯曲模动平台1在空间中的一个位置姿态对应一个t_bi_o^j(j＝1,2,3……)转换矩阵,通过转换矩阵t_bi_o^j得出驱动模块ai(5)在o-xyz坐标系中坐标结合驱动模块ai(5)的初始位置坐标从而计算出控制弯曲模动平台1运动至指定空间位置姿态处所需各个驱动模块ai的位移距离和转动角度,最终实现基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析。

所述解析方法,第一步中,机构处于初始位置时,机构的三个驱动模块ai在圆形导轨7中成120°等角度分布；动平台1上各旋转副bi位于以动平台1中心点p为中心的等径同心圆上并成120°等间距分布；机构的连杆3长为l、斜导轨6长度为s、斜导轨6与水平面倾角为β。

所述解析方法,第二步中,四元数表达形式[w,x,y,z],其中(τx,τy,τz为τ在o-xyz坐标系中x、y、z坐标轴方向上的分量)。由所得四元数,计算出p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式[ф,δ,ψ],其表示为：

从而计算出z轴旋转矩阵y轴旋转矩阵x轴旋转矩阵进而得到p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的旋转矩阵t_p_o＝rz*ry*rx,其表达式为：

所述解析方法,第三步中,由并联机构动平台上旋转副中心bi与p-xyz相对位置的几何构型和尺寸参数,计算出动平台上各旋转副中心bi在p-xyz坐标系中的坐标分别为(0,-rb,t)、进而得出bi-xyz坐标系到p-xyz坐标系的转换矩阵分别为：其中rb为弯曲模实际外轮廓圆的半径,t为弯曲模实际厚度。

所述解析方法,第四步中,根据并联机构各部件固有的空间几何关系,得出几何方程,方程1:方程2：方程3：方程4:其中k表示导向机构4顶点到斜导轨6顶点的距离(弯曲模导向长度),为驱动模块ai在bi-xyz坐标系中的坐标；联立方程组计算出当前弯曲模中心点p所在位置处驱动模块ai在o-xyz坐标系中坐标对比与初始位置ai在o-xyz坐标系中的坐标通过分析前后ai坐标在xy平面内的投影关系和在z轴方向的投影关系确定弯曲模动平台1不同位置姿态下各个驱动模块ai的移动距离和转动角度,最终实现基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备运动位姿解析。

所述解析方法,基于3-rpsr并联机构的自由弯曲成形设备输入数据为弯曲模中心点p在不同时刻所处的o-xyz全局坐标系下的空间坐标,通过其x轴和y轴坐标值确定自由弯曲偏距u值,以及根据z轴坐标确定自由弯曲成形设备导向机构4顶点到弯曲模中心点的距离(弯曲模导向长度)k值,结合自由弯曲成形过程中管材与弯曲模平面时刻处于垂直状态确定弯曲模动平台1的旋转轴方向τ和旋转角度θ,其中由自由弯曲成形机理所得弯曲模偏距计算公式为：弯曲模导向长度计算公式：弯曲模动平台1旋转角计算公式为：θ＝arcsin[2ku/(u²+k²)]。

实施例1

1)输入弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的坐标值如下表所示；单位：mm

2)根据弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的坐标值和自由弯曲成形过程中弯曲模平面与管材时刻保持垂直的原理,计算出弯曲模动平台1相应的旋转轴方向与旋转角，其中p点在不同坐标位置下,弯曲模动平台在全局坐标系o-xyz中对应的旋转轴方向向量依次为：(0,0,0)、(-1,0,0)、(1,0,0)、(0,0,0)；对应旋转角度依次为：0、26.0045°、26.0045°、0；

3)根据第二步所得弯曲模动平台在全局坐标系中的旋转轴方向向量与旋转角,计算出p点在不同坐标位置下弯曲模动平台对应的四元数表示[w,x,y,z],依次为:[1,0,0,0]、[0.9744,-0.2250,0,0]、[0.9744,0.2250,0,0]、[1,0,0,0]；

4)根据第三步所得四元数表示,计算出p点在不同坐标位置下p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式[ф,δ,ψ],依次为：[0,0,0]、[-26.0045,0,0]、[26.0045,0,0]、[0,0,0,0]；

5)根据第四步所得p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式,计算出p点在不同坐标位置下p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_p_o,依次为：

6)由弯曲模动平台上旋转副中心bi与p-xyz坐标系相对位置的构型和几何尺寸参数,计算出动平台上各旋转副中心bi在p-xyz坐标系中的坐标,再结合坐标转换关系计算出p点在不同坐标位置下bi-xyz坐标系到p-xyz着坐标系的转换矩阵t_bi_p(i＝1,2,3),依次为:

其中,由于动平台上旋转副中心bi与p-xyz坐标系相对位置的几何参数是固定的,弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的不同位置坐标所对应的bi(2)在p-xyz坐标系中的坐标与转换矩阵t_bi_p均保持不变；

7)根据第五步所得转换矩阵t_p_o和第六步所得转换矩阵t_bi_p,由公式t_bi_o＝t_p_o*t_bi_p,计算出p点在不同坐标位置下bi-xyz坐标系到o-xyz着坐标系的转换矩阵t_bi_o,

其中t_b1_o依次为：

其中t_b2_o依次为：

其中t_b3_o依次为：

8)根据第七步所得转换矩阵t_bi_o,结合并联机构固有空间几何关系所得几何方程计算出p点在不同坐标位置下驱动模块ai(5)在o-xyz坐标系中坐标依次为，其中驱动模块a1坐标依次为：(0,-267.98,-139.13)、(0,-236.4483,-127.6501)、(0,-289.9324,-147.1168)、(0,-267.98,-139.13)；驱动模块a2坐标依次为：(232.0721,133.99,-139.13)、(256.4387,107.2620,-142.7619)、(181.8804,169.0413,-131.9657)、(232.0721,133.99,-139.13)；驱动模块a3坐标依次为：(-232.0721,133.99,-139.13)、(-256.4387,107.2620,-142.7619)、(-181.8804,169.0413,-131.9657)、(-232.0721,133.99,-139.13)；

9)通过对比第八步所得驱动模块ai在全局坐标系中的坐标值与其初始位置的坐标值,分析前后ai坐标在xy平面内的投影关系和在z轴方向的投影关系计算出p点在不同坐标位置下驱动模块ai(5)的位移距离和转动角度；其中,驱动模块a1、a2、a3对应的位移距离依次为：[0,0,0]、[33.5568,-10.6270,-10.6270]、[-23.3598,20.9390,20.9390]、[0,0,0]；其中驱动模块a1、a2、a3对应的转动角度依次为：[0,0,0]、[0,-7.3016°,7.3016°]、[0,12.9047°,-12.9047°]、[0,0,0]。

实施例2

1)输入弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的坐标值如下表所示；单位：mm

2)根据弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的坐标值和自由弯曲成形过程中弯曲模平面与管材时刻保持垂直的原理,计算出弯曲模动平台1相应的旋转轴方向与旋转角，其中p点在不同坐标位置下,弯曲模动平台1在全局坐标系o-xyz中对应的旋转轴方向向量依次为：(0,0,0)、(0,1,0)、(-1,0,0)、(0,0,0)，对应旋转角度依次为：0、26.0045°、26.0045°、0；

3)根据第二步所得弯曲模动平台1在全局坐标系中的旋转轴方向向量与旋转角,计算出p点在不同坐标位置下弯曲模动平台1对应的四元数表示[w,x,y,z],依次为：[1,0,0,0]、[0.9744,0,0.225,0]、[0.9744,-0.2250,0,0]、[1,0,0,0]；

4)根据第三步所得四元数表示,计算出p点在不同坐标位置下p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式[ф,δ,ψ],依次为：[0,0,0]、[0,26.0045,0]、[-26.0045,0,0]、[0,0,0]；

5)根据第四步所得p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式,计算出p点在不同坐标位置下p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_p_o,依次为：

6)由弯曲模动平台上旋转副中心bi与p-xyz坐标系相对位置的构型和几何尺寸参数,计算出动平台上各旋转副中心bi在p-xyz坐标系中的坐标,再结合坐标转换关系计算出p点在不同坐标位置下bi-xyz坐标系到p-xyz着坐标系的转换矩阵t_bi_p(i＝1,2,3),依次为:

其中,由于动平台上旋转副中心bi与p-xyz坐标系相对位置的构型和几何尺寸参数是固定的,弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的不同位置坐标所对应的bi(2)在p-xyz坐标系中的坐标与转换矩阵t_bi_p均保持不变；

7)根据第五步所得转换矩阵t_p_o和第六步所得转换矩阵t_bi_p,由公式t_bi_o＝t_p_o*t_bi_p,计算出p点在不同坐标位置下bi-xyz坐标系到o-xyz着坐标系的转换矩阵t_bi_o,其中t_b1_o依次为：

其中t_b2_o依次为：

其中t_b3_o依次为：

8)根据第七步所得转换矩阵t_bi_o,结合并联机构固有空间几何关系所得几何方程计算出p点在不同坐标位置下驱动模块ai在o-xyz坐标系中坐标依次为，其中驱动模块a1坐标依次为：(0,-267.98,-139.13)、(-54.8086,-257.2001,-137.3051)、(0,-236.4483,-127.6501)、(0,-267.98,-139.13)；驱动模块a2坐标依次为：(232.0721,133.99,-139.13)、(241.2010,155.8272,-146.1072)、(256.4387,107.2620,-142.7619)、(232.0721,133.99,-139.13)；驱动模块a3坐标依次为：(-232.0721,133.99,-139.13)、(-222.1281,89.0036,-128.6866)、(-256.4387,107.2620,-142.7619)、(-232.0721,133.99,-139.13)；

9)通过对比第八步所得驱动模块ai在全局坐标系中的坐标值与其初始位置的坐标值,分析前后ai坐标在xy平面内的投影关系和在z轴方向的投影关系计算出p点在不同坐标位置下驱动模块ai的位移距离和转动角度；其中,驱动模块a1、a2、a3对应的位移距离依次为：[0,0,0]、[5.3277,-20.4080,30.5264]、[33.5568,-10.6270,-10.6270]、[0,0,0]；驱动模块a1、a2、a3对应的转动角度依次为：[0,0,0]、[-12.0296°,2.8644°,8.1647°]、[0,-7.3016°,7.3016°]、[0,0,0]。

实施例3

1)输入弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的坐标值如下表所示；单位：mm

2)根据弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的坐标值和自由弯曲成形过程中弯曲模平面与管材时刻保持垂直的原理,计算出弯曲模动平台1相应的旋转轴方向向量与旋转角；其中p点在不同坐标位置下,弯曲模动平台1在全局坐标系o-xyz中对应的旋转轴方向依次为：(0,0,0)、(0.5547,0.8321,0)、(-0.5547,-0.8321,0)、(0,0,0)；对应旋转角度依次为：0、50.4373°、37.2033°、0；

3)根据第二步所得弯曲模动平台1在全局坐标系中的旋转轴方向向量与旋转角,计算出p点在不同坐标位置下弯曲模动平台1对应的四元数表示[w,x,y,z],依次为：[1,0,0,0]、[0.9047,0.2363,0.3545,0]、[0.9478,-0.1769,-0.2654,0]、[1,0,0,0]；

4)根据第三步所得四元数表示,计算出p点在不同坐标位置下p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式[ф,δ,ψ],依次为：[0,0,0]、[33.8777,39.9001,12.6171]、[-22.8355,-30.2050,6.2393]、[0,0,0]；

5)根据第四步所得p-xyz动坐标系到o-xyz定坐标系的旋转欧拉角表达式,计算出p点在不同坐标位置下p-xyz坐标系到o-xyz坐标系的转换矩阵t_p_o,依次为：

6)由弯曲模动平台上旋转副中心bi与p-xyz坐标系相对位置的构型和几何尺寸参数,计算出动平台上各旋转副中心bi在p-xyz坐标系中的坐标,再结合坐标转换关系计算出p点在不同坐标位置下bi-xyz坐标系到p-xyz着坐标系的转换矩阵t_bi_p,依次为:

其中,由于动平台上旋转副中心bi与p-xyz坐标系相对位置的构型和几何尺寸参数是固定的,弯曲模中心p点在o-xyz全局坐标系中的不同位置坐标所对应的bi在p-xyz坐标系中的坐标与转换矩阵t_bi_p均保持不变；

7)根据第五步所得转换矩阵t_p_o和第六步所得转换矩阵t_bi_p,由公式t_bi_o＝t_p_o*t_bi_p,计算出p点在不同坐标位置下bi-xyz坐标系到o-xyz着坐标系的转换矩阵t_bi_o,

其中t_b1_o依次为:

其中t_b2_o依次为:

其中t_b3_o依次为：

8)根据第七步所得转换矩阵t_bi_o,结合并联机构固有空间几何关系所得几何方程计算出p点在不同坐标位置下驱动模块ai在o-xyz坐标系中坐标依次为，其中驱动模块a1坐标依次为：(0,-267.98,-139.13)、(-62.6799,-272.0658,-143.2079)、(101.3597,-221.9531,-130.3995)、(0,-267.98,-139.13)；驱动模块a2标依次为：(232.0721,133.99,-139.13)、(184.4511,206.1245,-142.2655)、(246.3473,18.0860,-131.4944)、(232.0721,133.99,-139.13)；驱动模块a3标依次为：(-232.0721,133.99,-139.13)、(-187.5833,121.4311,-122.9217)、(-244.0347,138.6121,-143.7394)、(-232.0721,133.99,-139.13)；

9)通过对比第八步所得驱动模块ai在全局坐标系中的坐标值与其初始位置的坐标值,分析前后ai坐标在xy平面内的投影关系和在z轴方向的投影关系计算出p点在不同坐标位置下驱动模块ai的位移距离和转动角度；其中,驱动模块a1、a2、a3对应的位移距离依次为：[0,0,0]、[-11.9309,-9.1755,47.3818]、[25.5184,22.3169,-13.4851]、[0,0,0]；驱动模块a1、a2、a3对应的转动角度依次为：[0,0,0]、[-12.9737°,18.1761°,-2.9168°]、[24.5448°,-25.8011°,0.4034°]、[0,0,0]。

应当理解的是,对本领域普通技术人员来说,可以根据上述说明加以改进或变换,而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。