一种多滤波器组及利用其进行滤波的方法与流程

本发明涉及信号处理技术，尤其涉及利用小波分析理论进行信号处理的多滤波器组及利用该多滤波器组进行滤波的方法。

背景技术：

传统的单小波不能同时拥有对称、正交、紧支撑和高消失矩等性质。如大部分正交单滤波器是无限支集的，除了哈尔小波外，没有任何紧支撑小波具有对称性，但是哈尔小波仅有1阶消失矩。

滤波器的对称性在信号处理，尤其是图像处理中是非常重要的，它通过有限长度信号的对称扩张变换能有效地减少图像的失真，如在图像边界延拓时可以通过对称扩张来解决。而非对称的正交单滤波器已形成较大误差。在重构中，由系数产生的误差将由滤波器扩展到整个信号内部，这种扩展的程度取决于滤波器支撑长度。支撑越长，误差的扩展也就越明显。消失矩表明了小波变换后信息频域能量的集中程度，消失矩越高，小波变换后能量越集中于低频部分，而在高频部分会出现更多的零值。正则性是描述小波光滑性的重要指标。在对小波系数作量化或阈值的过程中，不可避免的要引入误差。从图像处理的角度来看，有相同能量大小的光滑误差比非正则误差在视觉上有更好的容忍度；所以多小波要求一定的正则性，以求获得更好的重构图像的质量。

另外，在信号分析和图像处理中，小波的时频特性非常重要。如在提取图像和视频信号的高频成分如纹理、边缘和运动信息时，要求滤波器在时域和频域同时拥有好的能量集中能力。窗函数的频域分辨率越高越能分辨出频谱中两相邻近的谱峰，时域分辨率越高越能描述信号在时域内的变化。

多小波能同时拥有对称、正交、紧支撑和高消失矩等性质，因此多小波及其多滤波器组具有广阔的应用前景。尽管多小波理论研究取得了不少实质性的结果， 但将它们成功应用于信号与图像处理中仍受到很大限制。目前，已有应用多小波的最优时频分辨率多滤波器组是非平衡的。在具体应用中，需要将这种非平衡的最优时频分辨率多滤波器组旋转π/4角得到平衡多滤波器组。然而，通过这种平衡化方法得到的平衡多滤波器组不仅失去了对称性，还改变了多滤波器组的时频分辨率，使得平衡后的多滤波器组的时频分辨率不再最优。

技术实现要素：

本发明旨在解决上面描述的问题。本发明的一个目的是提供一种多滤波器组及利用其进行滤波的方法。该多滤波器组能同时拥有对称、正交、紧支撑和高消失矩等性质，还有更优的时频分辨率，且同时具有平衡性和对称性。

根据本发明的第一方面，提供了一种多滤波器组，所述多滤波器组包括矩阵低通滤波器P(ω)和矩阵高通滤波器Q(ω)，并且，其中，

其中，所述矩阵低通滤波器对应于两个尺度函数φ₁和φ₂，其中φ(x)＝(φ₁,φ₂)^T，并且，所述矩阵高通滤波器对应于 两个小波函数ψ₁和ψ₂，其中Ψ(x)＝(ψ₁,ψ₂)^T，

其中，所述两个尺度函数和所述两个小波函数的时窗半径分别为和其中，

其中，f表示φ_j或ψ_j。

其中，所述两个尺度函数和所述两个小波函数的频窗半径分别为和其中，

其中，所述两个尺度函数和所述两个小波函数的时频窗面积为S，其中，

根据本发明的第二方面，提供了一种利用多滤波器组进行滤波的方法，所述方法包括以下步骤：

构造所述多滤波器组，所述多滤波器组包括矩阵低通滤波器P(ω)和矩阵高通滤波器Q(ω)，并且，其中，

将待滤波信号通过所述多滤波器组得到滤波信号。

其中，构造所述多滤波器组的步骤还包括：

设置所述矩阵低通滤波器对应于两个尺度函数φ₁和φ₂，其中Φ(x)＝(φ₁,φ₂)^T， 并且，设置所述矩阵高通滤波器对应于两个小波函数ψ₁和ψ₂，其中Ψ(x)＝(ψ₁,ψ₂)^T，

其中，构造所述多滤波器组的步骤还包括：

设置所述两个尺度函数和所述两个小波函数的时窗半径分别为和其中，

其中，f表示φ_j或ψ_j。

其中，构造所述多滤波器组的步骤还包括：

设置所述两个尺度函数和所述两个小波函数的频窗半径分别为和其中，

其中，构造所述多滤波器组的步骤还包括：

设置所述两个尺度函数和所述两个小波函数的时频窗面积为S，其中，

本发明的多滤波器组及其滤波方法同时具有平衡性和对称性，和较佳的时频 分辨性能。并且，还具有正交性、紧支撑性、高消失矩。

参照附图来阅读对于示例性实施例的以下描述，本发明的其他特性特征和优点将变得清晰。

附图说明

并入到说明书中并且构成说明书的一部分的附图示出了本发明的实施例，并且与描述一起用于解释本发明的原理。在这些附图中，类似的附图标记用于表示类似的要素。下面描述中的附图是本发明的一些实施例，而不是全部实施例。对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，可以根据这些附图获得其他的附图。

图1示例性地示出了根据本发明的滤波器组的两个尺度函数和两个小波函数，即多滤波器组对应的尺度函数和小波函数；

图2示例性地示出了根据本发明的滤波器组进行去噪实验所用的图像；

图3示例性地示出了图2中所用图像Bridge的局部图和去噪效果图，即Bridge局部图像的原图及去噪效果图。

具体实施方式

为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互任意组合。

本发明的基本思想是，设计一种多滤波器组，其在具有出色的时频分辨性能前提下，还具有平衡性和对称性。

本发明提供了一种多滤波器组，该多滤波器组包括矩阵低通滤波器P(ω)和矩阵高通滤波器Q(ω)，并且，其中P_k和Q_k具体如下：

分别是{P_k}和{Q_k}的矩阵频率响应，P(ω)即为矩阵低通滤波器，Q(ω)即为矩阵高通滤波器。P_k和Q_k则为矩阵滤波器系数。后面为了表述方便，用{P,Q}表示本发明的多滤波器组。

上述的矩阵低通滤波器对应于两个尺度函数φ₁和φ₂，其中Φ(x)＝(φ₁,φ₂)^T， 上述的矩阵高通滤波器对应于两个小波函数ψ₁和ψ₂，其中Ψ(x)＝(ψ₁,ψ₂)^T，

分析上述给出的矩阵滤波器系数P_k和Q_k可以看出，低通滤波器是对称的，高通滤波器是镜像对称的。这种对称性也可由对应于高通滤波器的两个小波函数和对应于低通滤波器的两个尺度函数看出。

图1示出了根据本发明的对应于高通滤波器的两个小波函数和对应于低通滤波器的两个尺度函数。其中尺度函数小波函数 在频域上，由图1可知，两个尺度函数Φ是近似对称的，两个小波函数Ψ是近似镜像对称的。

在实际滤波应用中，多滤波器组的对称性表现在通过有限长度信号的对称扩 张变换能有效地减少信号的失真。

另外，上述两个尺度函数和两个小波函数的时窗半径分别是和其中，

其中，f表示φ_j或ψ_j。即，

上述两个尺度函数和两个小波函数的频窗半径分别是和其中，

在信号分析和图像处理中，小波的时频特性非常重要。衡量时频分辨率的重要指标是时窗半径Δ_f和频窗半径Δ_f。Δ_f和Δ_f有时也称持续时间和有效带宽。称窗函数f的时窗半径与频窗半径之乘积Δ_fΔ_f为分辨率单元。在实际应用中希望窗函数的时域和频域分辨能力同时提高时，要求窗函数的时窗半径Δ_f和频窗半径Δ_f都要小。但是由海森堡测不准原则可知，Δ_fΔ_f≥1/2。因此时域、频域的分辨率不可能无限制的同时提高。为了使本发明的多滤波器组的时频分辨率高尽可能地高，在海森堡测不准原则允许范围之内，尽可能地同时提高窗函数在时域、频域中的分辨能力，即使乘积Δ_fΔ_f最小。

若φ=(φ₁，…，φ_r)^T和Ψ=(ψ₁，…，ψ_r)^T的每一个分量φ_j、ψ_j都是规范的，可以得到尺度函数和小波函数的每一个分量的频窗半径

此外，各尺度函数和小波函数的分辨单元之和为时频窗面积S,其中 该时频窗面积S就是衡量时频分辨率好坏的指标，S越小，时频分辨率越好。经过计算，本发明的多滤波器组的时频窗面积为6.4712，远小于其他的多滤波器组。

本发明还提供了一种利用多滤波器组进行滤波的方法。该方法包括：构造多滤波器组；将待滤波信号通过所述多滤波器组得到滤波信号。

在构造多滤波器组的步骤中，构造该多滤波器组包括矩阵低通滤波器P(ω)和矩阵高通滤波器Q(ω)，并且，其中，P₀,P₀,...,P₉以及Q₀,Q₀,...,Q₉的取值如上所述，因此不再赘述。

构造多滤波器组的步骤还包括：设置矩阵低通滤波器对应于两个尺度函数φ₁和φ₂，其中Φ(x)=(φ₁,φ₂)^T，并且，设置矩阵高通滤波器对应于两个小波函数ψ₁和ψ₂，其中Ψ(x)=(ψ₁,ψ₂)^T，

构造多滤波器组的步骤还包括：设置两个尺度函数和两个小波函数的时窗半径分别为和其中，

其中，f表示φ_j或ψ_j。

构造多滤波器组的步骤还包括：设置两个尺度函数和两个小波函数的频窗半径分别为和其中，

构造所述多滤波器组的步骤还包括：设置两个尺度函数和两个小波函数的时 频窗面积为S，其中，

由前述可知，本发明的多滤波器组具有较好的对称性，和较佳的时频分辨性能。下面说明本发明的多滤波器还具有正交性、紧支撑性、高消失矩，和平衡性。

多滤波器组{P,Q}满足

P(ω)P^*(ω)+P(ω+π)P^*(ω+π)=I₂,ω∈[-π,π]

，Q(ω)Q^*(ω)+Q(ω+π)Q^*(ω+π)=I₂,ω∈[-π,π]

P(ω)Q^*(ω)+P(ω+π)Q^*(ω+π)=0₂,ω∈[-π,π]

其中，M^*表示M的Hermitian伴随矩阵，I₂表示2×2单位矩阵。由上述方程组可知，多滤波器组{P,Q}为矩阵共轭正交滤波器(MCQF)。

H₉是支集在[-9,9]内的实系数三角多项式的2×2矩阵集合。在H₉内定义变换算子T_P，

定义变换算子T_P的表达矩阵T_P

T_P＝(2A_2i-j)_-8≤i,j≤8，其中

多滤波器组{P,Q}是MCQF，且变换算子T_P满足E条件，因此，Φ和Ψ是稳定的正交多尺度函数和多小波函数。

经过计算存在1×2实的行向量使得下式成立，

由计算可知，Φ具有2阶逼近阶。又因为Φ是稳定的，所以Φ具有2阶逼近阶等价于P满足2阶消失矩条件。

此外，若则Φ在Sobolev空间W^s(R)内。经过计算，估计本发明的多滤波器组的Sobolev正则指数为1.9963。由于紧支正交 小波函数可由尺度函数有限组合而成，所以小波函数具有和尺度函数相同的正则指数。

多滤波器组{P,Q}的低通变换算子L^T能保留信号u₀＝(…,1,1,1,1，…)^T，即L^Tu₀＝u₀，所以正交多尺度函数Φ是平衡的。其中，

下面通过对比的方式，说明本发明的多滤波器组的优秀性能。表1给出了本发明的多滤波器组及其他多滤波器组的性质比较。其中，GHM与{P,Q}有相同的支撑特性，但支撑长度远短于{P,Q}；J_EX2、J_EX4分别是非平衡最优时频分辨率多滤波器组；{P^s,Q^s}是与{P,Q}有相同的支撑长度，且具有最高Sobolev[8]正则指数的多滤波器组。

表1本发明多滤波器组与其他多滤波器组性质比较

(1)与J_EX2、J_EX4相比，本发明的多滤波器组的时频分辨率更优，并且具有平衡性。

本发明的多滤波器组的时频窗面积仅有6.4761，不仅时频分辨率远远优于J_EX2、J_EX4，而且同时是平衡的且具有对称性。在实际应用中，J_EX2、J_EX4等非平衡多滤波器组需旋转π/4角得到平衡多滤波器组。通过这种平衡化方法得到的平衡多滤波器组不仅失去了对称性，还改变了多滤波器组的时频分辨率，使得平衡后的多滤波器组的时频分辨率不再最优。

(2)与经典的GHM多小波函数相比，虽然本发明的多滤波器组对应的多 小波函数和GHM有相同的支撑特性，即ψ₁与ψ₂的滤波器长度相差4，但是在支撑长度远大于GHM的情况下，时频分辨率远优于GHM。

(3)本发明的多滤波器组{P,Q}的时频分辨率远优于具有最高Sobolev正则指数的{P^s,Q^s}，并且，时频窗面积小了5.7之多。

因此，由表1可以看出，本发明的多滤波器组相较于其他滤波器组而言，具有优秀的时频性、平衡性、支撑长度等性质。

下面针对本发明的多滤波器组给出具体的滤波效果测试实验。

为了体现本发明的多滤波器组的性能，本文采用如图2所示的六张512×512灰度图像进行去噪实验。其中(a)表示平滑图像Lena，(b)、(d)、(e)分别表示纹理丰富的图像Barbara、Bridge、Clown，(c)、(f)分别表示图像Lake和Man。在具体的去噪过程中，首先生成了三种不同的噪声强度(噪声方差分别为10、20和30)的含噪图像，然后对每种含噪图像进行5级分解，并用Levent提出的Bivariate阈值方案去噪，最后通过小波逆变换重构出去噪图像。

比较实验选用了文献中的多种多滤波器组，包括在图像处理领域具有非常优越性能的SA4多滤波器组。

表2、表3和表4分别给出了不同多滤波器组含噪和去噪后重构图像的峰值信噪比PSNR值。其中，粗体的数字为PSNR值最好的实验数据。由表2、表3和表4的实验数据可以看出，本发明的多滤波器组{P,Q}的PSNR值是较佳的。

表2图像Lena和Barbara在不同噪声方差下的PSNR值

表3图像Lake和Bridge在不同噪声方差下的PSNR值

表4图像Clown和Man在不同噪声方差下的PSNR值

具体地，图3示出了Bridge的局部图和去噪效果图，其中图3中的(d1)、(d2)、(d3)和(d4)分别是Bridge局部图像的原图、σ＝10的加噪图、SA4去噪效果图和{P,Q}去噪效果图。由图3可以看出，利用本发明的多滤波器组{P,Q}进行去噪的效果最好。

对图2中示出的六张图片进行去噪处理后的实验数据显示，本发明的多滤波器组{P,Q}由于同时具有时频分辨率高、平衡性和对称性等性质，因此其去噪效果：(1)明显优于在图像处理领域具有非常优越性能的SA4；(2)明显优于非平衡的，但是时频分辨率好的J_EX2、J_EX4；(3)明显优于平衡的、最优正则性和消失矩高，但是时频分辨率差的Ψ^s。

由此可以看出，本发明的具有时频分辨率高、平衡性和对称行等性质的正交紧支多滤波器组不仅在理论上具有优良性质，在实际应用中也能显示优秀的性能。

上面描述的内容可以单独地或者以各种方式组合起来实施，而这些变型方式都在本发明的保护范围之内。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制。尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。