一种基于挠度影响线的桥梁局部损伤量化方法与流程

技术特征：

1.一种基于挠度影响线的桥梁局部损伤量化方法，其特征在于包括以下步骤：

1)刚度矩阵的特征值分解与组合：

当单元刚度矩阵K_i不满秩时，假设K_i的秩为r，则单元刚度矩阵的特征值分解可表示为：

$K_i=U_i{\mathrm{\Λ}}_i{U}_i^T=\underset{j=1}{\overset{r}{\Σ}}{\mathrm{\σ}}_i^j{u}_i^j{\left(u_i^j\right)}^T---\left(1\right)$

式中，是K_i的第j个特征值，是对应的特征向量，Λ_i和U_i分别是特征值矩阵和特征向量矩阵，

令

$q_i^j=\sqrt{{\mathrm{\σ}}_i^j}{u}_i^j---\left(2\right)$

$c_i=\[q_i^1,q_i^2,...q_i^r\]---\left(3\right)$

式中，和c_i分别定义为第i个单元的刚度连接向量和刚度连接矩阵，维数分别为n×1和n×r，n为自由度数，则K_i还可表示为：

$K_i=c_i{c}_i^T---\left(4\right)$

整体刚度矩阵可通过整体坐标系下单元刚度矩阵的叠加得到：

$K=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{K}_i---\left(5\right)$

其中，N是单元数，并且单元刚度矩阵K_i与整体刚度矩阵K的维数保持一致，将式(4)代入(5)中，则整体刚度矩阵可表达为：

$K=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\γ}}_i\·c_i{c}_i^T---\left(6\right)$

或

K＝CPC^T (7)

式中，C＝[c₁c₂,…,c_N]定义为整体刚度连接矩阵，其维数为n×s，其中s＝r×N；γ_i表示第i个单元的损伤参数，γ_i＝1则为无损，0＜γ_i＜1则表示存在某种程度的损伤，P是损伤识别矩阵，维数为s×s；若无损，则P为单位矩阵；若某单元出现损伤，则矩阵对角线上的对应值不为1；

2)影响线矩阵的构造：

从结构的整体刚度矩阵K和柔度矩阵F的物理意义出发，有如下表达式：

KF＝I (8)

式中，I为单位阵；由式(7)和式(8)，可重新构造柔度矩阵如下：

F＝(C^-1)^TP^-1C^-1 (9)

令B＝P^-1,D＝(C^-1)^T

则

F＝DBD^T (10)

式中，D是C矩阵虚拟逆的转置，定义为整体柔度连接矩阵，其维数与C一致；

根据挠度影响线的定义，移动的竖向单位力仅作用在单元竖向位移自由度上，引入荷载输入自由度选择矩阵Q(维数n×m，n为自由度数，m表示竖向位移自由度个数)，如下所示：

矩阵Q中相应的行与列上的数值为1，则表示该自由度被选中施加单位力/力矩荷载；若为0，则表示未被选中；式(10)右乘矩阵Q得：

FQ＝DBD^TQ (12)

另外，考虑到实际情况，无法也无必要输出所有自由度的响应，故选择性地输出其中部分自由度的响应；定义响应输出自由度选择矩阵S(维数为l×n，l表示输出的挠度自由度个数)如下所示：

$S=\left[\begin{array}{cccccccccccc}0& ...& 1& 0& ...& 0& & ...& & 0& ...& 0\\ 0& ...& 0& & ...& 1& 0& ...& 0& & ...& 0\\ 0& ...& & & ...& & & ...& 1& 0& ...& 0\end{array}\right]---\left(13\right)$

矩阵S中相应的行与列上的数值为1，则表示该自由度被选中输出响应；若为0，则表示未被选中，式(12)左乘矩阵S可得：

SFQ＝SDBD^TQ (14)

从影响线的定义可知，上式可表示特定响应输出自由度的挠度影响线矩阵DIL，而DIL其实是柔度矩阵的一部分，通过选择荷载输入自由度和响应输出自由度，如下式可将柔度矩阵转化为挠度影响线矩DIL：

DIL＝SFQ (15)

3)损伤程度的量化：

若待检测结构出现损伤，用ΔK和ΔF表示损伤所引起的整体刚度矩阵和整体柔度矩阵的变化量，将损伤前后的整体刚度矩阵和柔度矩阵表示为增量形式：

F_d＝F_u+ΔF (16)

K_d＝K_u-ΔK (17)

其中，刚度矩阵K和柔度矩阵F的下标u表示无损状态，d则表示损伤状态；

由式(5)可知，整体刚度矩阵的增量ΔK可表示为在同一坐标系下的单元刚度矩阵的增量和，即：

$\mathrm{\Δ}K=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\α}}_i{\mathrm{\ΔK}}_i---\left(18\right)$

其中K_i是第i号单元的单元刚度矩阵的增量，α_i是第i号单元的健康系数(0≤α_i≤1)；α_i＝0表示无损，α_i＝1表示全部损伤；由公式(6)、(7)和(18)可得：

$K_d=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}(1-{\mathrm{\α}}_i)c_i{c}_i^T---\left(19\right)$

则

ΔK＝K_u-K_d＝CΔPC^T (20)

其中，ΔP是由α_i(i＝1,…,N)所组成的斜对角矩阵，可表示为：

相应地，柔度矩阵的变化量可表示为：

ΔF＝DΔBD^T (22)

相似于ΔP矩阵的推导，矩阵ΔB可表达为：

其中，

由式(15)和式(22)可得损伤前后的影响线变化量ΔZ：

ΔZ＝DIL_u-DIL_d＝S(F_u-F_d)Q＝SΔFQ＝SDBD^TQ (24)

式中，DIL_u和DIL_d分别表示所选择自由度在损伤前后的挠度影响线；

令L＝SD,R＝D^TQ，式(24)可以重写成：

ΔZ＝LΔBR (25)

矩阵L,ΔB,R,ΔZ的维数分别为l×s、s×s、s×m和l×m，具体形式如下：

$L=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \mathrm{...}& a_{1,s}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \mathrm{...}& a_{2,s}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ a_{l,1}& a_{l,2}& \mathrm{...}& a_{l,s}\end{array}\right],R=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{1,1}& b_{1,2}& \mathrm{...}& b_{1,m}\\ b_{2,1}& b_{2,2}& \mathrm{...}& b_{2,m}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ b_{s,1}& b_{s,2}& \mathrm{...}& b_{s,m}\end{array}\right],\mathrm{\Δ}Z=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{1,1}& d_{1,2}& \mathrm{...}& d_{1,m}\\ d_{2,1}& d_{2,2}& \mathrm{...}& d_{2,m}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ d_{l,1}& d_{l,2}& \mathrm{...}& d_{l,m}\end{array}\right]---(26-28)$

整理矩阵运算结果，可得如下表达式：

$d_{ij}=\underset{k=1}{\overset{s}{\Σ}}{\mathrm{\λ}}_k{a}_{i,k}{b}_{k,j}---\left(29\right)$

还可写成矩阵的形式：

其中，定义为柔度系数矩阵；若定义第e列的柔度系数矩阵：

则式(30)可改写为：

λ_k(k＝1,…,s,且s＝r×N)是反映单元k损伤的系数，N是单元数，r是单元刚度矩阵的秩；在多数情况下，单元刚度矩阵的秩大于1，于是出现r≥N的情况，即多个损伤系数对应于同一个单元；为此，采用了类似矩阵压缩的方法，经处理后，式(32)可表示为：

$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathrm{\θ}}_1& \mathrm{...}& {\mathrm{\θ}}_i& \mathrm{...}& {\mathrm{\θ}}_N\end{array}\right]\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_1\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\β}}_i\\ .\\ .\\ .\\ {\mathrm{\β}}_N\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{d}_{1,1}\\ .\\ .\\ .\\ d_{i,j}\\ .\\ .\\ .\\ d_{l,m}\end{array}\right\}---\left(33\right)$

其中，在矩阵[θ₁ … θ_i … θ_N]和[d_1,1 … d_i，j … d_l,m]^T已知的前提下，可通过公式(33)反求第i号单元的损伤系数β_i(i＝1,…,N)；对于这样一个逆问题求解，采用有约束的最小二乘法求解法，即在考虑残差最小二乘解最小的基础上，还要求待识别的单元损伤系数β_i落在[0,1]的区间范围内。