地面出入式盾构施工引起地下管线弯矩及应变的计算方法与流程

技术特征：

1.地面出入式盾构施工引起地下管线弯矩及应变的计算方法，其特征在于，基于盾构法隧道统一土体移动模型三维解，提出地面出入式盾构法隧道施工中，土体损失引起的土体垂直变形计算公式；基于Winkler弹性地基梁模型，结合土体垂直变形计算公式，推导出地面出入式盾构施工引起地下管线弯矩及应变计算公式；

令：x为离开挖面的水平距离，单位符号为mm，以掘进方向为正；

y为离隧道轴线的横向水平距离，单位符号为mm；

z为离地面的竖向距离，单位符号为mm，以向下为正；

β为盾构掘进方向与水平面的夹角；以向上为正、向下为负，以下同；

步骤1)、土体沉降计算公式推导：

考虑盾构推进方向与水平面有一定夹角β，单位符号为°；

将地面出入式盾构隧道简化成沿隧道掘进方向埋深线性变化的隧道，x坐标处的隧道轴线埋深为：

h(x)＝h-xtanβ (1)

式中：

h为开挖面处隧道轴线埋深，单位符号为mm；

将公式(1)作为隧道轴线埋深，代入统一土体移动模型三维解，得到土体损失引起的地面出入式盾构土体垂直变形计算公式：

$S=\frac{\mathrm{B\η}{R}^2}{4}\{\frac{h\left(x\right)-z}{y^2+{(h\left(x\right)-z)}^2}+\frac{h\left(x\right)+z}{y^2+{(h\left(x\right)+z)}^2}-\frac{2z[y^2-{(h\left(x\right)+z)}^2}{{[y^2+{(h\left(x\right)+z)}^2]}^2}\}[1-\frac{x}{\sqrt{x^2+h{\left(x\right)}^2}}]\exp \left[\frac{y^2\ln \mathrm{\λ}}{{(h\left(x\right)+R)}^2}\frac{z^2(\ln \mathrm{\λ}-\ln \mathrm{\δ})}{{(h\left(x\right)+d)}^2}\right]$

式中：

S为土体垂直变形，单位符号为mm；

R为盾构半径，单位符号为mm；

η为最大土体损失率；

沿隧道掘进方向x距离处的土体损失率η(x)为：

$\mathrm{\η}\left(x\right)=\frac{\mathrm{\η}}{2}[1-\frac{x}{\sqrt{x^2+h{\left(x\right)}^2}}]$

式中：

$B=\frac{4h\left(x\right)[h\left(x\right)+d-\sqrt{{(h\left(x\right)+d)}^2-\mathrm{\η}\left(x\right){(R+d)}^2}]}{\mathrm{R\η}\left(x\right)(R+d)}$

$\mathrm{\λ}=\frac{1}{4}-\frac{g\left(x\right)}{\mathrm{\πR\η}\left(x\right)}[\arcsin \left(\frac{d}{R-g\left(x\right)/2}\right)+\sqrt{1-{\left(\frac{d}{R-g\left(x\right)/2}\right)}^2}-1]$

$\mathrm{\δ}=\frac{1}{2}-\frac{g\left(x\right)}{\mathrm{\π}{R}^2\mathrm{\η}\left(x\right)}(R-\frac{g\left(x\right)}{4})\arcsin \left(\frac{d}{R-g\left(x\right)/4}\right)$

式中：

π为圆周率，一般取3.14；

d为土体移动焦点到隧道中心的距离，单位符号为mm，其大小与不同土质条件有关；

隧道沿掘进方向x距离处的等效土体损失参数g(x)为：

$g\left(x\right)=2R[1-\sqrt{1-\mathrm{\η}\left(x\right)}]$

步骤2)、管线弯矩及应变计算公式推导：

采用Winkler弹性地基梁模型，研究刚度不是非常大的管线变形；

受隧道开挖影响，管线的变形微分方程为：

$\mathrm{EI}\frac{{\∂}^{4}w}{\∂y^4}+k{d}_{0}w=\mathrm{kS}{d}_0---\left(2\right)$

式中：

EI为管线抗弯刚度，单位符号为N/mm²；

w为管线的竖向挠度，单位符号为mm；

k为地基反力系数，

E₀为土的变形模量，单位符号为Pa；

b为地基梁的宽度，单位符号为mm，取b＝d₀；

d₀为管线外直径，单位符号为mm；

μ为土的泊松比；

E为管线的弹性模量，单位符号为Pa；

令代入公式(2)，得：

$\frac{{\∂}^{4}w}{\∂y^4}+4{\mathrm{\α}}^{4}w=4{\mathrm{\α}}^{4}S$

对于无线长管线，在管线上一点作用集中荷载P时，距该荷载作用点y处，该荷载对管线产生的弯矩为：

$M=\frac{P}{4\mathrm{\α}}\exp (-\mathrm{\αy})(\cos \mathrm{\αy}-\sin \mathrm{\αy})---\left(3\right)$

式中：

M为弯矩，单位符号为N·mm；

P为集中荷载，单位符号为N；

距管线中心点x处的无限小集中荷载为：

dP＝kd₀Sdy (4)

假定以隧道轴线正上方对应的点为坐标原点，联立(3)、(4)两式，得到管线中心点处受到的弯矩最大值M_max为：

$M_{\max }={\∫}_{-\∞}^{\∞}\mathrm{dM}\left(y\right)={\∫}_{-\∞}^{\∞}\frac{\mathrm{kS}{d}_0}{4\mathrm{\α}}\exp (-\mathrm{\αy})(\cos \mathrm{\αy}-\sin \mathrm{\αy})\mathrm{dy}---\left(5\right)$

式中：

M_max为管线受到的弯矩最大值，单位符号为N·mm；

将公式(5)带入土体垂直变形计算公式，得到：

$\begin{array}{c}{M}_{\max }=2\mathrm{EI}{\mathrm{\α}}^3\frac{\mathrm{B\η}{R}^2}{4}[1-\frac{x}{\sqrt{x^2+h{\left(x\right)}^2}}]{\∫}_0^{\∞}(\cos \mathrm{\αy}-\sin \mathrm{\αy})\{\frac{h\left(x\right)-z}{y^2+{(h\left(x\right)-z)}^2}+\\ \frac{h\left(x\right)+z}{y^2+{(h\left(x\right)+z)}^2}-\frac{2z[y^2-{(h\left(x\right)+z)}^2]}{{[y^2+{(h\left(x\right)+z)}^2]}^2}\left\}\exp \right[\frac{y^2\ln \mathrm{\λ}}{{(h\left(x\right)+R)}^2}+\frac{z^2(\ln \mathrm{\λ}+\ln \mathrm{\δ})}{{(h\left(x\right)+d)}^2}-\mathrm{\αy}]\mathrm{dy},\end{array}$

则管线在隧道开挖影响区域范围内的任意一点(x₀，y₀，z₀)的弯矩计算公式为：

$\begin{array}{c}M\left(y\right)=\mathrm{EI}{\mathrm{\α}}^3\frac{\mathrm{B\η}{R}^2}{4}[1-\frac{x_0}{\sqrt{{x_0}^2+h{\left(x_0\right)}^2}}]{\∫}_{-\∞}^{\∞}\left(\cos \mathrm{\α}\right|y-y_0|-\sin \mathrm{\α}|y-y_0)\{\frac{h\left(x_0\right)-z_0}{y^2+{(h\left(x_0\right)-z_0)}^2}+\frac{h\left(x_0\right)+z_0}{y^2+{(h\left(x_0\right)+z_0)}^2}\\ -\frac{2z_0[y^2-{(h\left(x_0\right)+z_0)}^2]}{{[y^2+{(h\left(x_0\right)+z_0)}^2]}^2}\left\}\exp \right[\frac{y^2\ln \mathrm{\λ}}{{(h\left(x\right)+R)}^2}+\frac{z^2(\ln \mathrm{\λ}+\ln \mathrm{\δ})}{{(h\left(x\right)+d)}^2}-\mathrm{\α}|y-y_0|]\mathrm{dy},\end{array}$

式中：

M(y)为管线所受弯矩，单位符号为N·mm；

x₀为计算点沿x方向的坐标，单位符号为mm；

y₀为计算点沿y方向的坐标，单位符号为mm；

z₀为管线埋深，单位符号为mm；

管线所受的应力计算公式为：

$\mathrm{\σ}\left(y\right)=\frac{M\left(y\right)}{W}=\frac{32M\left(y\right)d_0}{\mathrm{\π}({d_0}^4-{d_0}^{\′4})}$

式中：

σ(y)为管线所受应力，单位符号为Pa；

d₀’为管线内直径，单位符号为mm；

W为管线惯性矩，单位符号为mm⁴；

管线的应变计算公式为：

$\mathrm{\ϵ}\left(y\right)=\frac{\mathrm{\σ}\left(y\right)}{E}=\frac{32M\left(y\right)\left(d_0\right)}{\mathrm{\πE}({d_0}^4-{d_0}^{\′4})}$

式中：

ε(y)为管线所受应变。