滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法与流程

本发明涉及一种测量控制技术，特别涉及一种滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法。

背景技术：

滚珠丝杠是工业中常见的一种传动设备，被广泛应用于各类场合。滚珠丝杠优点很多，其系统为点接触系统，工作中摩擦阻力小，灵敏度高，传动效率高，精度高，运动具有可逆性。刚度作为丝杠的一个重要的性能参数，在对丝杠进行研究和测控时起到重要的作用。丝杠的抗拉刚度可以根据国标gb-t17587.4-2008进行求得，但国标中忽略了丝杠内径、导程和线数对刚度的影响，计算结果存在偏差，且并未提及丝杠抗扭和抗弯刚度的计算方式，仍有待补充。

技术实现要素：

本发明是针对现在滚珠丝杠参数刚度计算存在的问题，提出了一种滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法，该方法考察了单线丝杠的截面，并引入尺寸效应系数这一概念。借助有限元仿真计算大量丝杠样本，建立起尺寸效应系数与丝杠参数之间的关系。并引入刚度削减量和修正后的二维对数正态分布的概率密度函数，通过叠加原理最终计算出丝杠的等效刚度。本发明提供的丝杠刚度的计算公式，其计算结果更精确，适用性更广，将为丝杠的控制、动力学和热学及安装一致性研究提供了基础。

本发明的技术方案为：一种滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法，首先考察单线丝杠，计算出与单线丝杠截面相同的等截面梁的抗扭、抗拉刚度，此截面为垂直于丝杠轴线的截面；通过有限元方法计算不同单线丝杠样本的等效抗扭刚度与等效抗拉刚度，并根据算出与单线丝杠样本截面相同的等截面梁刚度的抗扭刚度与抗拉刚度，定义所得等截面梁刚度除以等效刚度为单线丝杠样本的尺寸效应系数；再通过引入二维对数正态分布的概率密度函数对尺寸效应系数进行拟合，得到尺寸效应系数表达式；结合等截面梁的抗扭、抗拉刚度和尺寸效应系数表达式得到单线丝杠的等效抗扭、抗拉及抗弯刚度。

所述计算出与单线丝杠截面相同的等截面梁的抗扭、抗拉刚度具体步骤如下：

对与单线丝杠截面相同的等截面梁，将截面按扇形和缺月牙形分割成区域i和区域ii两个面，计算与单线滚珠丝杠截面相同的等截面梁的抗扭及抗拉刚度：

其中g(iρ)为等截面梁的抗扭刚度，e(a)为等截面梁的抗拉刚度，g为丝杠材料的剪切模量，e为丝杠材料的弹性模量，iⅰ是区域i的极惯性矩，iⅱ是区域ii的极惯性矩，aⅰ是区域i的面积，aⅱ是区域ii的面积，

iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的计算公式为：

其中：

c1-c5和βmax是为了简化iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的计算公式所引入的量，其中d1为丝杠外径，d2为丝杠内径，dg为丝杠沟槽直径，计算中取滚珠直径的1.08倍，ph为丝杠的导程，等于丝杠的线数与节距的乘积，α为丝杠的螺纹升角。

所述引入二维对数正态分布的概率密度函数对尺寸效应系数进行拟合，给定抗扭刚度的尺寸效应系数表达式：

给定抗拉刚度的尺寸效应系数表达式：

其中dw为丝杠的滚珠直径，

ai,bi,ci,di,ei,fi为抗扭刚度尺寸效应系数的待拟合系数，

aa,ba,ca,da,ea,fa为抗拉刚度尺寸效应系数的待拟合系数，

通过非线性拟合方法对计算丝杠样本得到的尺寸效应系数进行拟合得到。

所得到单线丝杠的等效刚度计算公式如下：

g(iρ)s＝g(iρ)÷f

e(a)s＝e(a)÷g

g(iρ)s为单线丝杠等效抗扭刚度，e(a)s为单线丝杠等效抗拉刚度，e(iz)s为单线丝杠的等效抗弯刚度，g(iρ)为单线丝杠对应的等截面梁的抗扭刚度，e(a)为单线丝杠对应的等截面梁的抗拉刚度。

所述滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法，对滚珠丝杠线数不为1的或通孔的滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法为：

首先，计算出丝杠单线时相对于等外径圆柱体，其沟槽引起的刚度削减量；若丝杠通孔，则另须计算出通孔部分造成的刚度削减量；其中，丝杠单线时相对于等外径圆柱体,沟槽引起的刚度削减量为：

δa为沟槽引起的抗扭刚度削减量，δb为沟槽引起的抗拉刚度削减量。

通孔部分对丝杠造成的刚度削减量为：

δc为通孔部分造成的抗扭刚度削减量，δd为通孔部分造成的抗拉刚度削减量，d3为丝杠通孔部分孔径；

然后，在内径、外径、沟槽直径和导程相同的情况下，沟槽造成的刚度削减正比与沟槽数量之比，沟槽数量与线数相等，根据叠加原理计算得到丝杠的等效刚度：

g(iρ)eq为丝杠等效抗扭刚度，e(a)eq为丝杠等效抗拉刚度，e(iz)eq为丝杠等效抗弯刚度，n为丝杠线数。

本发明的有益效果在于：本发明滚珠丝杠等效抗扭、抗拉及抗弯刚度的计算方法，相对现有的计算方法，与国家标准及其他现有方法相比，优点在于：该方法将决定丝杠截面形状的所有几何参数包括外径、内径、滚珠直径、导程和线数均纳入考虑范围，计算得到的结果更为精确，且适用性更强。将为丝杠的控制、动力学和热学及安装一致性研究提供了基础。

附图说明

图1为单线丝杠的截面图；

图2为单线滚珠丝杠图；

图3为与图2其截面相同的等截面梁图；

图4为本发明单线滚珠丝杠的参数图；

图5为本发明刚度削减量、圆柱体和单线丝杠的关系示意图；

图6为本发明双线中空丝杠叠加原理的示意图。

具体实施方式

为了计算出丝杠的等效刚度，本发明提供的计算方案步骤是：

1)、对当线数为1时的丝杠截面进行考察，如图1所示单线丝杠的截面图，将截面按扇形和缺月牙形分割成区域i和区域ii两个面，如图2和图3所示单线滚珠丝杠图及与图2其截面相同的等截面梁图，计算与单线滚珠丝杠截面(截面垂直于丝杠轴线)相同的等截面梁的抗扭及抗拉刚度：

其中g(iρ)为等截面梁的抗扭刚度，e(a)为等截面梁的抗拉刚度，g为丝杠材料的剪切模量，e为丝杠材料的弹性模量，iⅰ是区域i的极惯性矩，iⅱ是区域ii的极惯性矩，aⅰ是区域i的面积，aⅱ是区域ii的面积，

iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的计算公式为：

其中：

c1-c5和βmax是为了简化iⅰ、iⅱ、aⅰ、aⅱ的计算公式所引入的量，如图4为本发明单线滚珠丝杠的参数图，其中d1为丝杠外径，d2为丝杠内径，dg为丝杠沟槽直径，计算中取滚珠直径的1.08倍，ph为丝杠的导程，等于丝杠的线数与节距的乘积，α为丝杠的螺纹升角。

2)、为建立尺寸效应系数与丝杠各个参数间的关系式，并使其具有通用性，通过有限元方法计算不同丝杠样本的等效抗扭刚度g(iρ)s与等效抗拉刚度e(a)s，并根据步骤1)算出与这些丝杠截面相同的等截面梁刚度g(iρ)与e(a)，通过下式得到这些样本的尺寸效应系数：

f＝g(iρ)÷g(iρ)s

g＝e(a)÷e(a)s

观察样本发现尺寸效应系数与丝杠各参数之间的关系接近二维对数正态分布的概率密度函数。在已有的二维对数正态分布的概率密度函数公式上，对其进行修正使其更接近尺寸效应系数的分布规律。根据修正后的概率密度公式给定抗扭刚度的尺寸效应系数表达式：

再给定抗拉刚度的尺寸效应系数表达式：

dw为丝杠的滚珠直径，

ai,bi,ci,di,ei,fi为抗扭刚度尺寸效应系数的待定系数，

aa,ba,ca,da,ea,fa为抗拉刚度尺寸效应系数的待定系数，

通过非线性拟合方法对计算丝杠样本得到的尺寸效应系数进行拟合，得到了公式中各待定系数的值：

ai＝1.9515,bi＝0.8500,ci＝-2.6317,di＝0.5937,ei＝-1.5181,fi＝1.0694，

aa＝1.2576,ba＝0.1117,ca＝-2.8640,da＝0.4280,ea＝-1.2404,fa＝1.0535

这些待定系数的值会随样本数量的增减而变化，样本越多，拟合得到的公式计算结果越精确。

3)、将需进行刚度计算的丝杠几何参数分别代入步骤1)的等截面梁刚度计算公式以及步骤2)通过拟合得到的尺寸效应系数公式，再折算出丝杠单线时的等效抗扭和抗拉刚度。

丝杠单线时的等效刚度计算公式如下：

g(iρ)s＝g(iρ)÷f

e(a)s＝e(a)÷g

g(iρ)s为丝杠单线时的等效抗扭刚度，e(a)s为丝杠单线时的等效抗拉刚度。

4)、若滚珠丝杠线数不为1，须计算出丝杠单线时相对于等外径圆柱体，其沟槽引起的刚度削减量；若丝杠通孔，则另须计算出通孔部分造成的刚度削减量；其中，丝杠单线时相对于等外径圆柱体,沟槽引起的刚度削减量为：

δa为沟槽引起的抗扭刚度削减量，δb为沟槽引起的抗拉刚度削减量。

通孔部分对丝杠造成的刚度削减量为：

δc为通孔部分造成的抗扭刚度削减量，δd为通孔部分造成的抗拉刚度削减量，d3为丝杠通孔部分孔径。

5)、在内径、外径、沟槽直径和导程相同的情况下，单线丝杠沟槽与多线丝杠沟槽形状完全一致，只存在数量上的区别，因此沟槽造成的刚度削减正比与沟槽数量之比，沟槽数量与线数相等。根据步骤4)可以得到沟槽与通孔造成的刚度削减量，之后可根据叠加原理:线性系统中，几种不同原因综合产生的效果，等于这些不同原因单独影响的累加，从等外径圆柱体的刚度中减去沟槽和通孔引起的刚度削减量，计算得到丝杠的等效刚度：

g(iρ)eq为丝杠等效抗扭刚度，e(a)eq为丝杠等效抗拉刚度，e(iz)eq为丝杠等效抗弯刚度，n为丝杠线数。

假设有一根丝杠，其参数为：线数n＝2，节距p＝0.02m，外径d1＝0.04m，内径d2＝0.0349m，滚珠直径dw＝0.007m，中间通有一直径d3＝0.008m的孔。丝杠材料的弹性模量e＝2.06×10¹¹pa，泊松比μ＝0.3。通过以上参数，可以换算出丝杠的导程ph＝0.04m，剪切模量g＝0.7923×10¹¹pa。

将上述参数代入到步骤1中的表达式可以得到等截面梁的抗扭和抗拉刚度分别为：

g(iρ)＝18732.7nm/rad

e(a)＝2.50348×10⁸n/m

根据丝杠的参数和步骤2)中的的尺寸效应系数公式，可以得到丝杠尺寸效应系数的值为：

f＝1.03108

g＝1.04572

再计算丝杠单线时的等效刚度，可得：

g(iρ)s＝18168nm/rad

e(a)s＝2.39404×10⁸n/m

参考图2、3所示单线滚珠丝杠图及其截面相同的等截面梁图，根据步骤4)和图5可得到单线丝杠相对于等外径圆柱体，其沟槽引起的刚度削减量，分别为：

由于丝杠中心通孔，考虑通孔对丝杠的刚度削减量：

最后参考图6和步骤5)，根据叠加原理，这跟滚珠丝杠的实际抗扭刚度和抗拉刚度值为：

由此可继续计算得到滚珠丝杠的实际抗弯刚度值为：

同种丝杠，采用国标计算结果可得其抗拉刚度为0.785×10⁸n/m，有限元仿真值为2.135×10⁸n/m，本方法的计算值为2.095×10⁸n/m，国标在忽略内径、导程和线数的情况下计算得到的刚度数值与仿真值相差超过一倍，本方法计算的值更贴近有限元仿真的数值，由此可见本方法在刚度计算上的准确性。