基于多元线性回归的振动响应频域预测的实验装置及方法与流程

本发明涉及一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验装置、一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验数据生成方法、以及利用该实验装置和实验数据在不相关多源未知载荷联合激励下根据系统已知测点的振动响应预测未知测点的振动响应的方法，即直接利用响应数据线性关系的多元一次线性回归模型和最小二乘广义逆法。

背景技术：

随着工业与控制技术的发展与进步，航空航天、船舶、大型机械、桥梁等领域的工程结构发展越来越复杂化、大型化、智能化。在机械设计、航海航天工程中振动是不得不考虑的设计因素，尤其是在设计与使用中振动响应过大造成的机械损伤、桥梁坍塌、航海航天事故更是屡见不鲜。但有些工况下结构的某些结点振动响应不能直接测量，这使得对结点振动的控制与减振设计成为机械设计的困难。若利用系统的动力学模型和所受载荷来求解不能直接测量结点的振动响应，将会遇到以下困难：首先建立大型设备的模型将会非常困难，很难求取其传递函数；其次，在很多情况下，结构的载荷工况也是不能直接测量的，如导弹在空中飞行、海洋平台等大型建筑物受风浪及交通激励作用等情况下，很难对作用于结构的外载荷进行直接测量或计算，甚至有时因载荷作用点不可到达，使这种动态载荷不可测；本方法直接采用传感器测得的振动响应数据，来预测不可测结点的振动响应数据。

目前，传统方法对结点的振动响应预测，先采用实验法或者有限元仿真法建立结构的动力学方程，求出结构的传递函数，然后利用结构的载荷工况来计算或预测结构的振动响应。该方法有两个重大的缺点:首先，对于复杂的工程结构，系统的建模、传递函数的求取并不容易；其次，载荷的载荷工况测量是非常困难的，甚至是不可能的。不同于传统方法，本发明专利方法基于载荷和响应以及响应与响应之间的内在关系，根据已知结点的振动响应预测未知节点的振动响应，可以避免载荷工况的测量、系统的建模和传递函数求解辨识等复杂的工作。

技术实现要素：

本发明的目的在于克服现有技术之不足，提出一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验装置、一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验数据生成方法、以及利用该实验装置和实验数据在不相关多源未知载荷联合激励下根据系统已知测点的振动响应预测未知测点的振动响应的方法，即直接利用响应数据线性关系的多元一次线性回归模型和最小二乘广义逆法。本发明主要针对不相关多源未知载荷联合激励工况环境下，利用已知测点的振动响应对未知测点进行振动响应预测。本发明不但可以预测一个未知测点的振动响应情况，还可以同时预测多个未知测点的振动响应情况。本发明应用于振动测量与振动响应预测领域，特别是对于某些多个不相关载荷联合激励的工作状况下某些测点振动响应无法直接测量(或振动传感器损坏)而载荷也无法直接测量的情况下使用该方法能够取得很好的振动响应预测效果。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验装置，其特征在于，包括：线性时不变的系统、多个能产生不相关平稳随机激励的激励源和布置在系统上记录系统振动的多个响应传感器，激励每次加载的位置和方向均固定不变，所述多个响应传感器分布在系统的各个地方，能反映系统的主要振动；

所述实验装置采用的振动结构为简支梁，该振动结构作为线性系统；采用两个不相关激励源，一个为振动台激励，另一个为pcb力锤锤击激励，以此作为系统的多源不相关激励输入；且激振台的激励点和锤击的激励点的位置和方向均固定不变；所述简支梁结构上布置有多个振动传感器测量简支梁的振动，能反映该梁的主要振动，将所述多个振动传感器中的若干个作为已知结点的传感器，若干个作为未知结点的传感器以用于多个响应点的振动响应预测。

优选的，一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验数据生成方法，包括：

利用多个激励源联合产生多组不相关平稳随机激励，而且量级逐渐增大，从而实现了一种不相关多源载荷联合施加实验环境，通过布置在系统上的多个响应传感器测得m个不相关载荷联合激励下测点振动响应大小并计算其功率谱其中，j为测点编号，j＝1,2,...,n，n表示所有响应测点的个数；q表示多次不相关多源载荷联合施加实验的次数，q＝1,2,...,p，p表示多个不相关多源载荷联合施加实验的总次数；ω表示频率；

将响应测点分为已知响应测点和未知响应测点；根据实际工作情况下的历史不同工况分组，总共为p组；工况环境t，用于不相关多源未知载荷联合激励工况环境下利用已知测点的振动响应对未知测点的振动响应进行预测，并将预测结果与n2个未知测点的振动响应进行对比，以评价基于多元一次线性回归方程多点振动响应预测方法的好坏；其中，n＝n1+n2表示所有响应测点的个数，j＝1,2,...,n1为已知测点的编号，j＝n1+1,...,n1+h...,n1+n2为未知测点的编号。

优选的，已知测点和未知测点之间的振动响应的线性关系理论推导如下：

设该线性时不变系统有m个载荷激励输入fi(i＝1,...,m)，在该联合激励下，测得线性时不变系统的n1个已知测点输出为yj(j＝1,...,n1)。根据叠加原理，线性系统的每一个输出都可以由各个分立输入所引起的响应叠加而成。其输入各激励之间的自功率谱密度矩阵sff(ω)与输出各响应间的自功率谱密度矩阵syy(ω)的关系为：

(1)式中h(u)是系统的单位脉冲响应矩阵,cff(τ)∈r^m×m是输入的协方差函数矩阵，是系统频率特性矩阵，是系统频率特性矩阵的共轭；式(1)给出了多输入/多输出情形下输出功率谱矩阵与输入功率谱矩阵之间的关系式；它显示了输入与输出功率谱关系的简明特点，正是频域分析法的优点所在；

在实际情况中，m与n1不相等，因此要求取载荷谱矩阵，须对频响函数矩阵求广义逆，则在频域中的载荷识别公式可表示为:

(2)式的主要问题是用试验获得系统的复频响应函数矩阵h(ω)的工作量太大，而用有限元法来获得h(ω)又存在仿真建模与试验的误差问题；

在m个输入载荷激励都是零均值的平稳随机过程，且在互不相关的情况下，m个输入载荷激励的协方差函数矩阵cff(τ)∈r^m×m为对角阵，即：其对应的输入功率谱矩阵sff(ω)也为对角阵此时，输出功率谱中主对角线上的任意一元素满足：

(3)式写成矩阵后的形式为：

其中，|hj,i(ω)|²是输入fi对响应yj的传递函数模的平方，是待识别的载荷源fi的自功率谱，是响应yj的自功率谱；

记

(4)式可简写为：

当n1>m，(4)式为超定方程，无对应的满足(4)式的解。为保证反演出载荷激励的精度，(4)式中应满足n1>m，并将该问题转化为一个优化问题，目标是找一组m个不相关平稳载荷激励使得系统的n个测点的响应能达到为验证该方法的正确性和精度，识别出来的激励可以与实际加载的激励进行比较；但是，(4)式本身是一个多目标优化问题，目标是找一组m个不相关平稳载荷激励使得在该组载荷激励作用下，系统的n1个测点的响应与误差最小。在工程实践中，该问题需要转化成单目标优化问题，才能进行唯一求解计算。对于(4)式，当n1≥m时，在响应误差平方和最小的单目标优化准则下的解的为：

当n1＝m,(4)式为正定方程，对应的满足(4)式的解唯一，其解为：

当n1<m，(4)式为欠定方程，对应,满足(4)式的解有无穷组。

由此可知，只需要满足已知测点的个数大于等于载荷的个数，即n1≥m时，即可由传递函数和响应共同反演出系统的载荷。

然后根据估计的m个载荷源与未知n2个振动响应的传递函数的矩阵运算即可得到其他n2个振动响应。

将(4)代入(8)，得到n2个未知振动响应的测点(n1+1,...,n1+h,...,n1+n2)与n1个已知振动响应的测点(1,...,j,...,n1)之间存在矩阵线性关系：

其中中+表示为广义逆，记

就可以由n1个已知测点振动响应(1,...,j,...,n1)预测得到其他n2个未知测点的振动响应(n1+1,...,n1+h,...,n1+n2)。

n1个已知振动响应测点与n2个未知振动响应测点之间的矩阵线性关系d可以通过传递函数

的乘积来获得，可见理论上线性系统各个振动响应之间的关系为线性关系。

优选的，基于上述推导出的已知测点和未知测点之间的振动响应的线性关系，提出一种基于多元一次线性回归方程和最小二乘法广义逆的多点振动响应预测方法，包括：

对于线性系统，根据系统已知测点的振动响应预测未知测点的振动响应，其特征在于可以不需要已知或辨识系统的传递函数或载荷大小甚至载荷位置，而是首先以已知测点的振动响应为输入、以未知测点的振动响应为输出，利用多元一次线性回归模型建立两者间的线性关系；其次，根据历史响应数据和最小二乘广义逆法求解线性回归模型的系数；最后，将真实工况t下已知测点的振动响应作为多元一次线性回归模型的输入，来预测未知测点的振动响应。具体步骤如下：

步骤a1，测点j的振动响应每次都是m个不相关载荷同时激励下的结果，以n1个已知测点的振动响应为输入、以n2个未知测点的振动响应为输出，利用多元一次线性回归模型建立两者间的线性关系，

其中第h行为：

步骤a2，根据p组历史响应数据(n1个已知测点的振动响应n2个未知测点的振动响应和最小二乘广义逆法求解(10)和(11)线性回归模型的系数；即在p组历史数据中，n1个已知结点响应的自功率谱和n2个未知结点的自功率谱全部已知，采用全部的已知结点振动数据和未知结点振动历史数据求解出他们之间的矩阵关系d，即求解出已知响应结点和未知响应结点之间的关系系数：

关于方程(12)，采用线性方程组描述即为含有n1个未知数，进行p次独立实验即对应的方程的个数为p个，对于此种问题的数学上可解性如下：

1)p>n1，即方程组的个数大于未知数的个数，此时为过定问题，其最小二乘解为：

其中广义逆的定义如下：a⁺＝(a^ta)^-1a^t

2)p＝n1,即方程组的个数等于未知数的个数，此时为正定问题，有唯一解。

3)p<n1，即方程组的个数小于未知数的个数，此时为欠定问题，方程有无穷多个解。

由以上讨论可知采用此种方案需要的独立实验次数p必须大于等于已知的振动响应测点个数n1，即p≥n1，可由p组已知的历史数据估计出从已知响应到未知响应的线性矩阵关系d。

步骤a3，将工况环境t下的n1个已知测点的振动响应作为多元一次线性回归模型的输入，来预测n2个未知测点的振动响应

基于多元一次线性回归方程和最小二乘法广义逆的多点振动响应预测方法的适用条件为：

1)系统必须是线性时不变的；

2)工况环境t下的多个载荷点的位置不变，各个载荷点施加的载荷为平稳稳随机激励且互不相关；

3)历史数据下所施加的载荷点的位置和方向均于工况环境t下相同，且各载荷点施加的载荷为平稳随即激励且互不相关；

4)已知测点的个数必须大于等于载荷点的个数，即n1≥m；

5)必须有p组独立实验求取已知测点到未知测点的线性关系矩阵d，且p大于等于已知测点的个数，即p≥n1；

6)必须能测得不相关多源载荷激励下多个已知测点的振动响应；

在共振频率处，方程(12)的条件数较大，矩阵求逆(13)会出现病态，识别的线性关系d误差较大。

基于多元一次线性回归方程和最小二乘法广义逆的多点振动响应预测方法的实验结果的评价指标如下：

为了验证预测的正确性和精确性，需要将预测数据与真实数据进行比较，由于此实验数据为频域的数据，工业上通常采用相对误差3db标准对预测数据与真实数据进行比较，以判断预测是否符合标准。假设y*为真实数据，y为预测数据，则3db标准如下：

如果不等式(15)成立，那么说明回归预测相对误差在3db以内，即该预测回归是正确的。如果等式(15)不成立，说明回归误差超过了3db，说明该回归是不准确的。预测相对误差3db标准经常在工业实际中用来评价频域数据预测的准确程度的标准。

除了工业上常用的3db标准之外，还有mare、sd以及rmse常用的误差分析评价指标，它们的计算方式如下：

其中yk为真实值y的第k个分量的值，为真实值y的第k个分量的估计值。ek为第k个分量的真实值与预测值的相对误差，为真实值与估计值的相对误差均值。可以证明，以上三个指标虽然计算方式有差别，但在数学上此三种标准是等价的。

本发明具有如下有益效果：

1)本发明直接利用频域响应数据线性关系的多元一次线性回归模型和最小二乘广义逆法而不需要已知或辨识系统的传递函数或载荷大小甚至载荷位置，首先以已知测点的频域振动响应为输入、以未知测点的频域振动响应为输出，利用多元一次线性回归模型建立两者间的线性关系；其次，根据历史响应数据和最小二乘广义逆法求解线性回归模型的系数；最后，在真实工况下，将已知测点的振动响应作为多元一次线性回归模型的输入，来预测未知测点的振动响应；

2)本发明主要针对不相关多源未知载荷联合激励工况环境下，利用已知测点的频域振动响应对未知测点进行频域振动响应预测；

3)本发明不但可以预测一个未知测点的频域振动响应情况，还可以同时预测多个未知测点的频域振动响应情况；

4)本发明应用于振动测量与振动响应预测领域，特别是对于某些多个不相关载荷联合激励的工作状况下某些测点振动响应无法直接测量(或振动传感器损坏)而载荷也无法直接测量的情况下使用该方法能够取得很好的振动响应预测效果；

5)针对机械制造、桥梁、船舶中对振动的控制要求问题和有些区域的直接测量的不便利性问题，本发明方法在机械等部件中可以布置的传感器采集到的数据为输入变量，以对应的感兴趣结点的振动数据为输出变量，利用线性回归方法模型进行预测具有预测精度高、快捷方便的优点，实现依据传感器测得的数据实时计算感兴趣结点的振动情况监测，做到同步实时的分析，有效地解决了先求传递函数后求振动输出的问题。

以下结合附图及实施例对本发明作进一步详细说明，但本发明的一种载荷未知条件下多元一次线性回归模型和最小二乘广义逆的多点振动响应频域预测的装置和方法不局限于实施例。

附图说明

图1是不相关多源载荷联合激励与多测点振动响应在频域的输入输出示意图；

图2是激振器激励和锤击激励不相关多源联合激励的实验装置；

图3是圆柱壳内部振动测点示意图；

图4是外声场载荷激励测点布置图；

图5是噪声载荷激励源；

图6是圆柱壳内部振动响应测点；

图7是振动力载荷激振源和试验现场；

图8是工况环境t下，基于多元线性模型和最小二乘两个通道的响应预测结果和真实结果比较结果；其中图8(a)表示一个通道比较结果，图8(b)表示另一个通道的比较结果；

图9是图3中测试案例的两个未知响应通道的真实响应结果与预测响应结果的分贝超差比较结果；其中图9(a)表示一个通道比较结果，图9(b)表示另一个通道的比较结果。

具体实施方式

以下结合附图1-9及实施例对本发明作进一步详细说明。

实施例1：一种多源载荷联合施加的实验装置，如图2所示，采用的振动结构为简支梁，该结构的阻尼比小，可以视为线性结构。采用的不相关激励源为两个，一个为激振器激励，另一个为pcb力锤锤击激励，即不相关的激励源m＝2，该实验不需要记录激振台的振动激励数据以及力锤的激励数据，但要求激振台的激励点和锤击的激励点的未知和方向均固定不变，以此保证该系统为时不变系统。采用6个传感器测量简支梁的振动，能反映该梁的主要振动方向。将6个传感器中2个作为未知结点的传感器以用于多个响应点的振动响应预测。

实施例2：一种载荷未知条件下多点振动响应频域预测的实验数据生成方法，见图3至图7，所述独立的球型噪声激励源激励，有3种量级激励，而且量级逐渐增大；所述独立的悬挂式振动台激振器振动激励，有5种量级激励，而且量级逐渐增大；当噪声激励和振动激励联合加载时，噪声激励和振动激励的量级两两组合，形成了15种不同的量级，从而实现了模拟复杂的声振环境，用于响应预测试验研究。对声振实验装置分别加载15种不同量级的噪声激励和振动激励的联合激励，通过传感器分别测得振动激励的激振力，振动激励的激振加速度和声激励的激振声压，以及通过加速度传感器测得响应，并记录相应的试验结果数据。在这15中工况下，选取p＝14组工况作为历史数据，即独立实验的次数p＝14。一组用于工况环境t下作为测试使用。即通过实验采集到15组n＝9个通道的具体数据，首先将n＝9个响应测点进行分组，选取n1＝7个测点的响应数据作为已知测点的响应数据，n2＝2个测点的响应数据作为未知测点的响应数据。数据为频域数据，每一组数据每一个通道采样数据为1601个，频率值从低到高为0hz到6.4khz。如附图3-7所示，

实施例3：按照基于多元一次线性回归方程和最小二乘法广义逆的多点振动响应预测方法的实现步骤，由于历史数据总共有14组，全部测点的个数为9个，首先将n＝9个响应测点进行分组，选取n1＝7个测点的响应数据作为已知测点的响应数据，n2＝2个测点的响应数据作为未知测点的响应数据。工况环境t作为测试数据，用p＝14组训练出响应和响应之间的关系，即对9个通道中的两个通道的响应进行预测，附图8中有两个通道的响应预测结果和真实结果比较结果，附图9为预测结果与真实结果的分贝超差图，可见响应预测结果与真实结果相比基本满足3db要求。

本发明建立了一种最小二乘广义逆的通过部分结点振动输出数据预测未知结点振动输出数据的方法。针对机械制造、桥梁、船舶中对振动的控制要求问题和有些区域的直接测量的不便利性问题，以在机械等部件中可以布置的传感器采集到的数据为输入变量，以对应的未知结点的振动数据为输出变量，利用线性回归方法模型进行预测具有预测精度高、快捷方便的优点，实现了依据传感器测得的数据实时计算感兴趣结点的振动情况监测，做到同步实时的分析，有效地解决了先求传递函数后求振动输出的问题，因为机械使用是要做到振动响应实时的预测与分析。

本发明未涉及部分均与现有技术相同或可采用现有技术加以实现。本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想；同时，对于本领域的一般技术人员，依据本发明的思想，在具体实施方式及应用范围上均会有改变之处。综上所述，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。