线缆的离散点坐标的获取方法及装置与流程
本发明涉及机械工程领域，尤其是一种线缆的离散点坐标的获取方法及装置。
背景技术：
柔性体的建模一直是国内外学者研究的热点，其中线缆是一种典型的柔性体。与人体组织或布料不同，线缆的长度往往大于截面尺寸，在建模时通常采用降低维度的方法，将这类物体表示为一维柔性体。尽管在许多应用中已经能够较为真实地模拟一维柔性体，如电影、动画和游戏等，但这些应用大多只追求视觉上的真实，在建模过程中忽略了较多的物理属性。而在工程中需要模型能够展示出线缆较为全面的物理信息，同时虚拟装配和产品数字样机等应用还有交互的需求，因此模型的求解还应该具有实时性。由于求解基于物理属性的模型计算量较大，在求解时需要消耗较多的时间，在准确反映物理信息并保证稳定性的前提下实现模型的快速求解是需要研究的内容。目前，针对不同的线缆物性模型已有许多国内外学者做了相关的研究。
弹簧质点模型是一种较为容易实施的物性模型，具有建模简单和计算效率高的特点，在柔性体建模中有较多的应用。在该方法中，线缆通过一系列质点和弹簧表示，通过连接质点的直线弹簧模拟线缆的抗拉特性，通过在质点处加入扭簧或在间隔两个质点间加入直线弹簧模拟线缆的抗弯特性，通过质点间的扭曲弹簧模拟线缆的抗扭特性。在弹簧质点模型的求解方面，loock和schomer在baraff和witkin的研究基础上采用隐式方法对弹簧质点模型的动力学过程进行求解，从而实现了大时间步的仿真。
多刚体段模型采用刚体相连构建一维柔性体，通过对模型中的刚体添加约束力，使模型表现出符合真实一维柔性体物理特性的行为。由于这种方法需要对每种约束都添加适当的约束力，而有些约束的约束力难以体现(例如抗扭转特性)，其适用范围有限。但该方法的实时性较好，利用该模型hadap模拟了分支结构，pirk等模拟了树在风作用下的动态效果。通过将线缆看作机械臂，可以将用于求解机器人关节转动角度的逆运动学方法用于线缆外形的求解中，并通过在刚性杆的连接处加入扭簧和质点，以考虑线缆的抗弯刚度和重力这两个物理特性，为多刚体系统模型提供了一种新的求解方法。当线缆端部移动到某一位置时，求解出模型处于最小能量状态时的每个刚性杆位姿，以得到线缆的静态外形。该方法的求解效率较高，但能体现的物理信息有限。
动态样条模型由加拿大学者terzopoulos和qin提出，通过赋予自由曲线(如贝塞尔曲线、b样条曲线等)以抗弯特性，可以得到具有类似实际线缆中心线的曲线。通过求解曲线在外界约束下具有最小形变势能的外形，从而获得处于静平衡状态的线缆中心线的外形。该方法同样具有实时性，但难以模拟线缆的扭转变形。
由于线缆的长径比较大，即使整体发生较大的变形，其局部形变仍处于弹性形变范围内，可以通过弹性杆模型对线缆进行建模。弹性杆的研究由来已久，现实中的许多物体都具有弹性杆的性质，kirchhoff弹性杆模型是最早提出的较为完整的弹性杆模型。florence等给出了kirchhoff弹性杆模型的一种高效求解方法，通过将弹性杆分段从而将离散模型和连续模型结合在一起，其中每一段弹性杆具有连续性，而整个模型属于离散模型。该方法特别适合具有螺旋外形的一维柔性体的仿真，如发丝和电话线。由于线缆的外形可以由每段弹性杆积分来重构，从而避免了加入定长约束带来的求解困难，提高了求解效率。而bergou等同样也采用了离散的方法求解kirchhoff弹性杆模型，并用尽可能少的坐标描述线缆的中心线，以减少计算量。同时将线缆的截面姿态用标量表示，从而消除了线缆截面和线缆中心线之间的位姿约束，使求解更加容易。
cosserat弹性杆模型对kirchhoff弹性杆进行了改进，增加考虑了轴向线应变和弯曲剪应变等物理特性，具有更高的真实性。cosserat弹性杆模型首先由pai用于手术缝合线的建模，在求解模型时采用了“打靶法”，其求解效率不高，同时由于打靶法难以处理接触和外力的情况，其应用范围也受到限制。spillmann利用cosserat弹性杆模型模拟了一维柔性体的动力学过程，他们提出的离散方法能够有效地简化模型的复杂度，同时保证较高的求解精度。但动力学模型常常会遇到不收敛或者收敛速度过慢的情况，黄劲等针对这一问题研究了在大时间步下线缆接触变形的模拟方法，实现了线缆外形的快速和稳定的模拟。另一方面，静力学模型由于其较高的稳定性和求解效率，也用于装配仿真中的线缆物性建模，其中gr′egoir和
目前，弹性杆模型广泛用于一维柔性体建模，能够准确模拟线缆的抗拉压、抗弯和抗扭等物理特性，具有较强的真实性，但由于其求解所需计算量较大，在大规模仿真过程中计算的实时性仍然难以保证。
综上所述，目前不能真实、稳定、高效地对线缆进行物理建模。
技术实现要素：
本发明实施例要解决的技术问题是提供一种线缆的离散点坐标的获取方法及装置，用以实现真实、稳定、高效地对线缆进行物理建模及求解。
为解决上述技术问题，本发明实施例提供的线缆的离散点坐标的获取方法，包括：
对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条离散段和多个离散点；
建立所述待建模线缆的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每个离散点坐标的第一函数关系式，
所述待建模线段的外力势能与每个离散点坐标的第二函数关系式，以及
所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，所述预设类型离散段中点为：分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点；
根据所述第一函数关系式、所述第二函数关系式和所述第三函数关系式，确定出所述待建模线缆的每个离散点的坐标。
优选地，在所述对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条离散段和多个离散点的步骤之前，还包括：
获取所述待建模线缆的长度、截面形状、截面尺寸、杨氏模量、切变模量、待建模线缆受到的外力以及用于固定所述待建模线缆的各接头的安装位置。
优选地，所述建立所述待建模线段的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每个离散点坐标的第一函数关系式的步骤，包括：
根据所述待建模线缆的长度和各接头的安装位置，分别建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式；以及
分别建立除线缆分支点所处的中心线段之外、每相邻两条离散段的两个离散段中点之间的中心线段的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式；
对所述第四函数关系式和所述第五函数关系式进行求和，获得所述第一函数关系式。
优选地，分别建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式的步骤，包括：
通过公式：
ks＝esπr2
获得轴向拉压刚度ks，其中，r为待建模线缆的截面形状为圆形时的截面半径，es为决定轴向拉压刚度的杨氏模量；
通过公式：
建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式，a和b为两相邻的离散点，i为离散点a与离散点b之间的离散段；其中，ps_i为离散段i的拉压弹性势能；ks为轴向拉压刚度；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标。
优选地，分别建立除线缆分支点所处的中心线段之外、每相邻两条离散段的两个离散段中点之间的中心线段的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式的步骤，包括：
通过公式：
获得除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j上任一点处的四元数对弧坐标s的微分λj′，其中，λp为离散段中点p的四元数；λq为离散段中点q的四元数；lj为当所述待建模线缆处于自然状态时中心线段j的长度；
通过公式：
获得除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j上任一点处的四元数
通过公式：
建立除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式，其中pb_j为除线缆分支点所处的中心线段之外、离散段中点p和离散段中点q之间的中心线段j的弯扭弹性势能；kb1为沿局部坐标系的第一方向上的弯曲刚度；kb2为沿局部坐标系的第二方向上的弯曲刚度；kb3为扭转刚度；且当待建模线缆的截面为圆形时，
优选地，所述建立所述待建模线段的外力势能与每条离散段的两个离散点坐标的第二函数关系式的步骤，包括：
通过公式：
建立所述待建模线段的外力势能与每条离散段的两个离散点坐标的第二函数关系式，其中，a和b为两相邻的离散点，i为离散点a和离散点b之间的离散段；pf_i为离散段i的外力势能；f为待建模线缆受到的外力；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标。
优选地，建立所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式的步骤，包括：
通过公式：
建立所述待建模线缆的每个子分支线缆在线缆分支点处的弯扭弹性势能与对应的第一预设类型离散段中点和第二预设类型离散段中点的四元数的第六函数关系式，所述第一预设类型离散段中点为：子分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点，所述第二预设类型离散段中点为：父分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点；其中，pb_k为所述待建模线缆的第k个子分支线缆在线缆分支点处的弯扭弹性势能；kb1为沿局部坐标系的第一方向上的弯曲刚度；kb2为沿局部坐标系的第二方向上的弯曲刚度；kb3为扭转刚度；且当待建模线缆的分支线缆的截面为圆形时，
通过公式：
建立所述待建模线缆的每个线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第七函数关系式，其中，pb_c为所述待建模线缆的第c个线缆分支点处的弯扭弹性势能，m为所述待建模线缆在所述第c个线缆分支点处的子分支线缆的总数；
通过公式：
建立所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，其中，pjoint为所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能，w为所述待建模线缆的线缆分支点的总数。
优选地，根据所述第一函数关系式、所述第二函数关系式和所述第三函数关系式，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标的步骤，包括：
根据所述第一函数关系公式和所述第二函数关系公式，获得第八函数关系式：
其中，pbranch为所述待建模线缆的弹性势能和外力势能之和，i为离散段的序号；j为除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两个离散段中点之间的中心线段的序号；n为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的离散段数；g为对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻离散段中点间的中心线段数；
对第八函数关系式的约束条件进行罚函数转换，得到第一罚函数：
其中，kp为罚函数系数，为局部坐标系z轴方向的单位矢量；s为弧坐标，
以及，获得第二罚函数：
其中，kn为罚函数系数，λ为四元数，s为弧坐标；
根据所述第一罚函数和所述第二罚函数，建立所述待建模线缆的罚函数的能量函数；
根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标。
优选地，所述根据所述第一罚函数和所述第二罚函数，建立所述待建模线缆的罚函数的能量函数的步骤，包括：
根据所述第一罚函数，通过公式：
获得每条离散段的第一罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点a和b之间的离散段；pp_i为离散段i的第一罚函数的能量；kp为罚函数系数；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标；d3(λi)为离散段i上的四元数表达局部坐标系z轴方向的单位矢量；
根据所述第二罚函数，通过公式：
获得每条离散段的第二罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点a和b之间的离散段；pn_i为离散段i的第二罚函数的能量；
根据公式
获得所述待建模线缆的罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点之间的离散段；ppenalty为所述待建模线缆的罚函数的能量，n为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的离散段数。
优选地，根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标的步骤，包括：
根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，通过公式：
minp＝pbranch+pjoint+ppenalty
获得所述待建模线缆罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式的和值的最小值；
根据所述和值的最小值，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标。
优选地，所述获得所述待建模线缆的罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式的和值的最小值包括：
在所述待建模线缆受到的外力为零时，通过非线性最小二乘法，获得所述和值的最小值；
在所述待建模线缆受到的外力不为零时，通过牛顿法，获得所述和值的最小值。
根据本发明的另一方面，本发明实施例还提供了一种线缆的离散点坐标的获取装置，包括：
处理模块，用于对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条离散段和多个离散点；
第一确定模块，用于建立所述待建模线缆的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每个离散点坐标的第一函数关系式，
所述待建模线段的外力势能与每个离散点坐标的第二函数关系式，以及
所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，所述预设类型离散段中点为：分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点；
第二确定模块，用于根据所述第一函数关系式、所述第二函数关系式和所述第三函数关系式，确定出所述待建模线缆的每个离散点的坐标。
与现有技术相比，本发明实施例提供的线缆的端点坐标的获取方法及装置，至少具有以下有益效果：
在本发明的实施例中，通过对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条离散段和多个离散点，并建立待建模线缆的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每条离散段段的端点的坐标的第一函数关系式，建立所述待建模线段的外力势能与各离散点的坐标的第二函数关系式，建立所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，进而根据第一函数关系式、第二函数关系式和第三函数关系式，确定出当待建模线缆处于最小总能量状态下时，待建模线缆的各离散点的坐标，解决了不能真实、稳定、高效地对线缆进行物理建模的问题，达到了真实、稳定、高效地对线缆进行物理建模的效果。
附图说明
图1为本发明实施例所述的线缆的离散点坐标的获取方法的流程示意图；
图2为本发明实施例中对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的多个离散段和多个离散点的结构示意图；
图3为本发明实施例所述的待建模线缆建立多个坐标系的结构示意图；
图4为本发明实施例中针对获得的不同离散点数目，通过gpu设备和现有技术中的cpu分别进行求解所花费的时间对比图；
图5为本发明实施例所述的线缆的离散点坐标的获取装置的结构示意图。
具体实施方式
为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。在下面的描述中，提供诸如具体的配置和组件的特定细节仅仅是为了帮助全面理解本发明的实施例。因此，本领域技术人员应该清楚，可以对这里描述的实施例进行各种改变和修改而不脱离本发明的范围和精神。另外，为了清楚和简洁，省略了对已知功能和构造的描述。
参照图1，本发明实施例提供了一种线缆的离散点坐标的获取方法，包括：
步骤1，对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条离散段和多个离散点；
步骤2，建立所述待建模线缆的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每个离散点坐标的第一函数关系式，
所述待建模线段的外力势能与每个离散点坐标的第二函数关系式，以及
所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，所述预设类型离散段中点为：分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点；
步骤3，根据所述第一函数关系式、所述第二函数关系式和所述第三函数关系式，确定出所述待建模线缆每个离散点的坐标。
参照图2，在本发明的实施例中，对中心线进行离散处理的方式为：从待建模线缆的中心线上取n+1个离散点(图中圆圈表示)，即将中心线分成n条离散段，其中n可以根据实际需要进行取值。且此时待建模线缆的状态参数(包括每个离散点的坐标和每条离散段中点的四元数)是已知的。其中，待建模中心线的外形由离散点在世界坐标系的坐标进行描述，线缆截面的姿态由离散段中点处截面(图中三角形表示)的姿态表示。
参照图2，在本发明实施例中，待建模线缆包括有w个线缆分支点，每一个线缆分支点对应有m个子分支线缆，分支线缆包括：父分支线缆和子分支线缆，以图2举例，在对待建模线缆进行离散处理后，图2中的r1、r2、……、r12为离散点，λ1、λ2、……、λ11分别为每一离散段中点，相邻两个离散段中点组成的线段称为中心线段，例如：λ1为r1与r2组成的离散段的离散段中点，λ1与λ2之间形成的线段称为中心线段。其中，以r3这一线缆分支点进行举例，如果线缆由r1和r4两点向r3汇聚而成，则r1至r3之间形成的线缆段称为子分支线缆，r4与r3之间组成的线缆段也称为子分支线缆，r3至r8之间形成的线缆段称为父分支线缆。
假设r1至r3之间形成的线缆段为第一子分支线缆，r4与r3之间组成的线缆段第为第二子分支线缆。在本发明实施例中，第一子分支线缆与对应的线缆分支点r3距离最近的离散段中点为λ2，第二子分支线缆与对应的线缆分支点r3距离最近的离散段中点为λ4，λ2和λ4即为本发明中的第一预设类型离散段中点；父分支线缆与对应的线缆分支点r3距离最近的离散段中点为λ5，λ5即为本发明的第二预设类型离散段中点，第一预设类型离散段中点和第二预设类型离散段中点组合形成本发明的预设类型离散段中点。
因此，在线缆处于静平衡状态时，待建模线缆的能量除了弹性势能和外力势能之外，还包括主线缆上的各个线缆分支点位置处的弯扭势能。
在本发明实施例中，可以基于科瑟拉弹性杆理论，根据每条离散段的中点的四元数和每个离散点的坐标，建立待建模线缆的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每个离散点坐标的第一函数关系式、待建模线缆的外力势能与每个离散点坐标的第二函数关系式，以及带建模线缆的线缆分支点处的弯扭势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，具体的建立过程会在后文详细阐述。
本发明实施例中，通过对获取到的待建模线缆的中心线进行离散处理后，得到多条(例如n)离散段，获得上述的第一函数关系式、第二函数关系式和第三函数关系式，确定出当待建模线缆处于最小总能量(即静平衡状态)时，待建模线缆的中心线的各离散点坐标，从而真实、稳定、高效地对待建模线缆进行物理建模。
且进一步地，在本发明实施例中，在步骤2之前，还包括：
获取所述待建模线缆的长度、截面形状、截面尺寸、杨氏模量、切变模量、待建模线缆受到的外力以及用于固定所述待建模线缆的各接头的安装位置。
待建模线缆的长度包括主线缆的长度和各个分支线缆的长度；在待建模线缆的截面形状时，其截面尺寸为截面半径；杨氏模量包括：决定弯曲刚度的杨氏模量和为决定轴向拉压刚度的杨氏模量。
上述参数的获取是为了便于对后续第一函数关系式、第二函数关系式和第三函数关系式的计算。
且进一步地，在本发明实施例中，步骤2包括：
步骤21，根据所述待建模线缆的长度和各接头的安装位置，分别建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式；以及
分别建立除线缆分支点所处的中心线段之外、每相邻两条离散段的两个离散段中点之间的中心线段的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式；
步骤22，对所述第四函数关系式和所述第五函数关系式进行求和，获得所述第一函数关系式。
在步骤21中，建立的第五函数关系式中的相邻两条离散段的两个离散段中点之间的弯扭弹性势能不包括在线缆分支点处的弯扭弹性势能，对于在线缆分支点处的弯扭弹性势能通过后续第三函数关系式进行求解获得。以图2为例，在第五函数关系式中，不包括：离散段中点λ2与离散段中点λ5之间的中心线段的弯扭弹性势能、离散段中点λ4与离散段中点λ5之间的中心线段的弯扭弹性势能、离散段中点λ7与离散段中点λ8之间的中心线段的弯扭弹性势能和离散段中点λ7与离散段中点λ10之间的中心线段的弯扭弹性势能。
首先，在本发明实施例对各个函数关系式进行计算之前，先对科瑟拉弹性杆理论进行介绍。
在科瑟拉弹性杆理论中，线缆为细长的可变形体，它可以呈现出弯曲、扭转等复杂的形态。线缆截面的几何中心连成空间曲线c称为弹性杆的中心线，在刚性截面假定基础上，线缆的几何形态由截面沿中心线的移动和转动所体现的，因此可以通过线缆中心线构建出线缆的外形。
为了方便描述线缆的空间姿态，如图3所示，在此建立多个坐标系(即世界坐标系、frenet坐标系以及弧坐标系)。对于线缆的中心线c，以曲线上的一固定点p0为原点建立弧坐标系s，以空间中一固定点o建立世界坐标系(o-ξηζ)，o点到空间中一点的向量为r。在曲线上任意一点p可定义一个依附于曲线的右手坐标系(p-nbt)称为frenet坐标系。其中t为该点处切线方向上的单位矢量，n为该点处的法线方向上的单位矢量，矢量b由b＝t×n得到。
由于线缆的几何形态由截面沿中心线的移动和转动所体现，因此在截面中心点p建立与刚性截面相固连的局部坐标系(p-xyz)，各坐标轴的单位矢量称为基矢量为d1、d2、d3，其中z轴与p点处的切线轴t重合，即d3＝t。局部坐标系x轴与frenet坐标系的n轴的夹角为θ，夹角θ为截面扭转变形的体现。
在此采用四元数表示旋转，局部坐标系的姿态通过世界坐标系的旋转量表示。局部坐标系基矢量为d1、d2、d3，世界坐标系基矢量为d10、d20、d30，即
其中四元数满足约束
矢量d10、d20、d30经过转动得到局部坐标系的基矢量为
此外，线缆的弯曲、扭转变形的剧烈程度通过弯扭度矢量u表示，中心线上任意一点p处的弯扭度是该点处局部坐标系的角位移对弧坐标s的变化率。与角速度的概念类似，不同的是角速度是角位移相对于时间t的变化率。弯扭度等价于动点p沿着中心线沿弧坐标正向以单位速度做匀速运动时局部坐标系的角速度。
在计算中使用四元数对弯扭度矢量进行表达，其中四元数与旋转的角速度矢量的关系为
其中ω是角度速度矢量在局部坐标系中的表达，
计算得到在局部坐标系中角速度矢量的各个分量为
由于弯扭度矢量与角速度都是角位移的变化率，将公式
中对时间变量t的微分改写为对弧坐标s的微分，可以得到弯扭度矢量u在主轴坐标系中的表达
其中uk(1≤k≤3)为弯扭度矢量的分量，λk′为四元数分量λk对弧坐标s的微分。
由于处于平衡状态的线缆具有弹性势能和外力势能(存在外力时才具有外力势能)，所以无需考虑运动过程中的动能以及耗散能。并且，在本发明实施例中，由于线缆包括有多个分支线缆，因此线缆处于平衡状态时，还包括有线缆分支点处的弯扭势能。
弹性势能包括拉伸形变具有的拉压弹性势能ps和弯曲、扭转形变具有的弯扭弹性势能pb。并通过弹性杆的科瑟拉理论中弹性势能表达，得到ps的表达式为：
其中，ks为轴向拉压刚度，它与决定轴向拉压刚度的杨氏模量es有关，通过公式ks＝esπr2计算得到，r为线缆的截面半径，l为线缆的长度，s为弧坐标，r(s)为用弧坐标s表示的世界坐标系中的向量。
pb的表达式为
其中，uk为线缆的弯扭度，且当线缆在松弛状态下时uk(1≤k≤3)都为0，
其中e为决定弯曲刚度的杨氏模量，g为切变模量，r为线缆的截面半径。对于理想线缆，决定轴向拉压刚度的杨氏模量es等于决定弯曲刚度的杨氏模量e，由于实际线缆中存在多条线缆组成的线束，其截面并不均匀而且存在空隙，在实际测量中决定轴向拉压刚度的杨氏模量es相比于决定弯曲刚度的杨氏模量e大。
由于中心线上任意一点处的切线方向与该点处局部坐标系的基矢量d3的方向相同，所以存在方向一致约束
对于四元数λ，只有当它的模等于一时，才能表示一个纯转动，因此存在四元数的标准化约束||λ||＝1。
其中，在本发明实施例中，分别建立每条离散段的拉压弹性势能与每个离散点坐标的第四函数关系式，具体包括：首先通过公式
并通过该公式建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式，i为离散点a与离散点b之间的离散段；其中；ps_i为离散段i的拉压弹性势能；ks为轴向拉压刚度；lb为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标。
同时，分别建立除线缆分支点所处的中心线段之外、每相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式，具体包括：
通过公式
获得除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点之间的中心线段j上任一点处的四元数对弧坐标s的微分λj′，其中，λp为离散段中点p的四元数；λq为离散段中点q的四元数；lj为当所述待建模线缆处于自然状态时中心线段j的长度；
同时通过公式：
获得除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点之间的中心线段j上任一点处的四元数
建立除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j的弯扭弹性势能与每条离散段中点的四元数的第五函数关系式，其中，pb_j为除线缆分支点所处的中心线段之外、离散段中点p和离散段中点q之间的中心线段j的弯扭弹性势能；kb1为沿局部坐标系的第一方向上的弯曲刚度；kb2为沿局部坐标系的第二方向上的弯曲刚度；kb3为扭转刚度；且当待建模线缆的截面为圆形时，
将上述的第四函数关系式和第五函数关系式进行相加，便获得前述步骤2中的第一函数关系式。
考虑重力等外力f存在时，外力f产生的外力势能pf的表达式为：
其中，r为线缆的截面半径，l为线缆的长度，s为弧坐标，f为线缆受到的外力。
建立所述待建模线段的外力势能与每个离散点坐标的第二函数关系式的步骤，具体包括：
通过公式rk＝kra+(1-k)rb,k∈(0,1)计算每一条离散段上、任一点处的坐标，其中，rk为在离散点a和离散点b之间的离散段上的端点坐标，k为离散点a和离散点b之间的离散段上的一个端点到离散点a之间的线缆段长度占离散点a和离散点b之间的离散段线缆总长的比例；然后将该公式代入到pf的表达式中，可以得到：
并通过该公式建立所述待建模线段的外力势能与每条离散段的两个离散点坐标的第二函数关系式，其中，a和b为两相邻的离散点，i为离散点a和离散点b之间的离散段；pf_i为离散段i的外力势能；f为待建模线缆受到的外力；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中a离散点的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标。
对于待建模线缆的线缆分支点处的弯扭势能的求解方式，与上述线缆的扭转形变具有的弯扭弹性势能pb的求解原理一样，在此，不再进行赘述。
通过换算可以得到所述待建模线缆的每个线缆分支点处的弯扭弹性势能与对应的第一预设类型离散段中点和第二预设类型离散段中点的四元数的第六函数关系式
其中，所述第一预设类型离散段中点为：子分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点，所述第二预设类型离散段中点为：父分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点，pb_k为所述待建模线缆的第k个子分支线缆在线缆分支点处的弯扭弹性势能；kb1为沿局部坐标系的第一方向上的弯曲刚度；kb2为沿局部坐标系的第二方向上的弯曲刚度；kb3为扭转刚度；且当待建模线缆的分支线缆的截面为圆形时，
通过公式：
建立所述待建模线缆的每个线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第七函数关系式，其中，pb_c为所述待建模线缆的第c个线缆分支点处的弯扭弹性势能，m为所述待建模线缆在所述第c个线缆分支点处的子分支线缆的总数；
通过公式：
建立所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，其中，pjoint为所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能，w为所述待建模线缆的线缆分支点的总数。
在本发明实施例中，步骤3，包括：
根据所述第一函数关系公式和所述第二函数关系公式，获得第八函数关系式：
其中，pbranch为所述待建模线缆的弹性势能和外力势能之和，i为离散段的序号；j为除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两个离散段中点之间的中心线段的序号；n为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的离散段数；g为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻离散段中点间的中心线段数；
在上述第八函数关系式中，待建模线缆的弹性势能存在着平行约束和四元数标准化约束，需要对第八函数关系式的约束条件进行罚函数转换，得到第一罚函数：
其中，kp为罚函数系数，为局部坐标系z轴方向的单位矢量；s为弧坐标，
以及，获得第二罚函数：
其中，kn为罚函数系数，λ为四元数，s为弧坐标；
根据所述第一罚函数和所述第二罚函数，建立所述待建模线缆的罚函数的能量函数；
根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标。
其中，所述根据所述第一罚函数和所述第二罚函数，建立所述待建模线缆的罚函数的能量函数的步骤，包括：
根据所述第一罚函数，通过公式：
获得每条离散段的第一罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点a和b之间的离散段；pp_i为离散段i的第一罚函数的能量；kp为罚函数系数；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标；d3(λj)为离散段i上的四元数表达局部坐标系z轴方向的单位矢量；
根据所述第二罚函数，通过公式：
获得每条离散段的第二罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点a和b之间的离散段；pn_i为离散段i的第二罚函数的能量；
获得所述待建模线缆的罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点之间的离散段；ppenalty为所述待建模线缆的罚函数的能量，n为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的离散段数。
且进一步地，在本发明实施例中，根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标的步骤，包括：
根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，通过公式：
minp＝pbranch+pjoint+ppenalty
获得所述待建模线缆的罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式的和值的最小值；
根据所述和值的最小值，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标。
在分别确定出待建模线缆的各离散点的坐标后，便可确定出待建模线缆的中心线，最终实现对待建模线缆的建模。
且进一步地，在本发明实施例中，所述获得所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式的和值的最小值包括：
在所述待建模线缆受到的外力为零时，通过非线性最小二乘法，获得所述和值的最小值；
在所述待建模线缆受到的外力不为零时，通过牛顿法，获得所述和值的最小值。
在本发明实施例中，通过非线性最小二乘法或者牛顿法，计算出和值的最小值的方法对于本领域的技术人员而言属于公知常识，在此不再赘述。
非线性最小二乘法或牛顿法对线缆能量函数最小值的求解具有较高的效率及稳定性。
在本发明实施例中，在待建模线缆受到的外力为零时，以具有30个离散点的待建模线缆通过最小非线性二乘法进行求解的时间为16ms。
在待建模线缆受到的外力不为零时，同样以30个离散点的待建模线缆通过牛顿法进行求解的时间为32ms。上述两种求解的方式，精度已经能够满足大部分应用的要求，因此满足了实时性要求，同时确保了建模的真实性。
在本发明实施例中，是通过gpu实现对待建模线缆的能量求解的。图4为通过现有技术中cpu以及本发明实施例中的gpu设备对不同离散点数目的待建模线缆的能量求解时间比较。由图4可知，通过gpu进行求解的时间相对于cpu进行求解的时间大大降低，并且，随着离散点的数目增多，gpu降低求解时间的效果更加明显。
通过本发明实施例提供的线缆的离散点坐标的获取方法，满足了对待建模线缆的各离散点坐标的求解的实时性要求，同时确保了建模的真实性。
参照图5，根据本发明的另一方面，本发明实施例还提供了一种线缆的离散点坐标的获取装置，包括：
处理模块，用于对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条离散段和多个离散点；
第一确定模块，用于建立所述待建模线缆的弹性势能与每条离散段中点的四元数和每个离散点坐标的第一函数关系式，
所述待建模线段的外力势能与每个离散点坐标的第二函数关系式，以及
所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，所述预设类型离散段中点为：分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点；
第二确定模块，用于根据所述第一函数关系式、所述第二函数关系式和所述第三函数关系式，确定出所述待建模线缆的每个离散点的坐标。
优选地，所述线缆的离散点坐标的获取装置还包括：
获取模块，用于获取所述待建模线缆的长度、截面形状、截面尺寸、杨氏模量、切变模量、待建模线缆受到的外力以及用于固定所述待建模线缆的各接头的安装位置。
优选地，所述第一确定模块包括：
第一计算单元，用于根据所述待建模线缆的长度和各接头的安装位置，分别建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式；以及
第二计算单元，用于分别除线缆分支点所处的中心线段之外、建立每相邻两条离散段的两个离散段中点之间的中心线段的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式；
第一获取单元，用于对所述第四函数关系式和所述第五函数关系式进行求和，获得所述第一函数关系式。
优选地，所述第一计算单元用于：
通过公式：
ks＝esπr2
获得轴向拉压刚度ks，其中，r为待建模线缆的截面形状为圆形时的截面半径，es为决定轴向拉压刚度的杨氏模量；
通过公式：
建立每条离散段的拉压弹性势能与每条离散段的两个离散点坐标的第四函数关系式，a和b为两相邻的离散点，i为离散点a与离散点b之间的离散段；其中，ps_i为离散段i的拉压弹性势能；ks为轴向拉压刚度；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标。
优选地，所述第二计算单元用于：
通过公式：
获得除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j上任一点处的四元数对弧坐标s的微分λj′，其中，λp为离散段中点p的四元数；λq为离散段中点q的四元数；lj为当所述待建模线缆处于自然状态时中心线段j的长度；
通过公式：
获得除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j上任一点处的四元数
通过公式：
建立除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两条离散段的两个离散段中点p和q之间的中心线段j的弯扭弹性势能与每条离散段的中点的四元数的第五函数关系式，其中，pb_j为除线缆分支点所处的中心线段之外、离散段中点p和离散段中点q之间的中心线段j的弯扭弹性势能；kb1为沿局部坐标系的第一方向上的弯曲刚度；kb2为沿局部坐标系的第二方向上的弯曲刚度；kb3为扭转刚度；且当待建模线缆的截面为圆形时，
优选地，所述第一确定模块还包括：
第三计算单元，用于通过公式：
建立所述待建模线段的外力势能与每条离散段的两个离散点坐标的第二函数关系式，其中，a和b为两相邻的离散点，i为离散点a和离散点b之间的离散段；pf_i为离散段i的外力势能；f为待建模线缆受到的外力；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中离散点a的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标。
优选地，所述第一确定模块还包括：
第四计算单元，用于通过公式：
建立所述待建模线缆的每个线缆分支点处的弯扭弹性势能与对应的第一预设类型离散段中点和第二预设类型离散段中点的四元数的第六函数关系式，所述第一预设类型离散段中点为：子分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点，所述第二预设类型离散段中点为：父分支线缆上与对应的线缆分支点距离最近的离散段中点；其中，pb_k为所述待建模线缆的第k个子分支线缆在线缆分支点处的弯扭弹性势能；kb1为沿局部坐标系的第一方向上的弯曲刚度；kb2为沿局部坐标系的第二方向上的弯曲刚度；kb3为扭转刚度；且当待建模线缆的分支线缆的截面为圆形时，
通过公式：
建立所述待建模线缆的每个线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第七函数关系式，其中，pb_c为所述待建模线缆的第c个线缆分支点处的弯扭弹性势能，m为所述待建模线缆在所述第c个线缆分支点处的子分支线缆的总数；
通过公式：
建立所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能与预设类型离散段中点的四元数的第三函数关系式，其中，pjoint为所述待建模线缆的线缆分支点处的弯扭弹性势能，w为所述待建模线缆的线缆分支点的总数。
优选地，所述第二确定模块包括：
第五计算单元，用于根据所述第一函数关系公式和所述第二函数关系公式，获得第八函数关系式：
其中，pbranc为所述待建模线缆的弹性势能和外力势能之和，i为离散段的序号；j为除线缆分支点所处的中心线段之外、相邻两个离散段中点之间的中心线段的序号；n为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的离散段数；g为对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的除线缆分支点所处的中心线段之外、处相邻离散段中点间的中心线段数；
转换单元，用于对第八函数关系式的约束条件进行罚函数转换，得到第一罚函数：
其中，kp为罚函数系数，为局部坐标系z轴方向的单位矢量；s为弧坐标，
以及，获得第二罚函数：
其中，kn为罚函数系数，λ为四元数，s为弧坐标；
第六计算单元，用于根据所述第一罚函数和所述第二罚函数，建立所述待建模线缆的罚函数的能量函数；
确定单元，用于根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标。
优选地，所述第六计算单元包括：
第一计算子单元，用于根据所述第一罚函数，通过公式：
获得每条离散段的第一罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点a和b之间的离散段；pp_i为离散段i的第一罚函数的能量；kp为罚函数系数；li为当所述待建模线缆处于自然状态时离散段i的长度；ra为在世界坐标系中a离散点的坐标，rb为在世界坐标系中离散点b的坐标；；d3(λi)为离散段i上的四元数表达局部坐标系z轴方向的单位矢量；
第二计算子单元，用于根据所述第二罚函数，通过公式：
获得每条离散段的第二罚函数的能量函数，其中，，i为相邻两个离散点a和b之间的离散段；pn_i为离散段i的第二罚函数的能量；
第三计算子单元，用于根据公式
获得所述待建模线缆的罚函数的能量函数，其中，i为相邻两个离散点之间的离散段；ppenalty为所述待建模线缆的罚函数的能量，n为在对待建模线缆的中心线进行离散处理后获得的离散段数。
优选地，所述确定单元包括：
第一确定子单元，用于根据所述罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式，通过公式：
minp＝pbranch+pjoint+ppenalty
获得所述待建模线缆的罚函数的能量函数、所述第三函数关系式和所述第八函数关系式的和值的最小值；
第二确定子单元，用于根据所述和值的最小值，确定出所述待建模线缆的各离散点的坐标。
优选地，所述第一确定子单元具体用于：
在所述待建模线缆受到的外力为零时，通过非线性最小二乘法，获得所述和值的最小值；
在所述待建模线缆受到的外力不为零时，通过牛顿法，获得所述和值的最小值。
需要说明的是，本发明实施例提供的线缆的离散点坐标的获取装置是应用上述线缆的离散点坐标的获取方法的装置，即上述线缆的离散点坐标的获取方法的所有实施例均适用于该装置，且均能达到相同或相似的有益效果。
以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。
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