一种考虑气隙层影响的电磁吸附力计算方法与流程

本发明涉及电子电气领域和计算机辅助工程的数值仿真方法领域，具体的说是一种用于计算物体间含有气隙情况下的电磁吸附力的方法；本发明所述技术可用于解决含气隙层的电子电气设备的电磁力计算问题，如半导体工艺中静电卡盘-晶圆的静电吸附力计算问题，电机和电磁阀中的磁场吸附力计算问题等。

背景技术：

电磁吸附装置在电子电气领域中有着重要的工业应用。如在半导体工业中，作为静电吸附装置的静电卡盘，常被用于夹持晶圆；电气领域中，利用电磁力控制的电磁阀，常被用来控制重要设备的开关动作。因此可见，准确地计算电子电气装置中的电磁力是非常重要的。就目前而言，数值计算电磁力的主要途径是，首先采用有限元、边界元等数值方法计算出装置及周围空气的电磁场分布，然后利用maxwell应力张量法、虚功原理方法等电磁力计算方法计算装置所受到的电磁力。

如采用下述方法：在气隙处剖分非常细密的网格，然后利用maxwell应力张量法、虚功原理方法等电磁力计算方法计算构件所受的电磁吸附力。但是该方法的弊端是当气隙层很薄时，该方法将需要在气隙处生成规模庞大的网格，导致较大的计算量。

或采用下述方法：ren和cendes提出一种壳单元来计算接触物体间的磁场吸附力(后文简称为磁接触力)[详见renz,cendesz.shellelementsforthecomputationofmagneticforces.ieeetransmag.2001,37:3171-3174]。该方法基于虚功原理，利用局部雅可比偏导数和棱边单元方法，对壳单元推导了磁场余能偏导数，得到电磁力的计算方法。fu等人还将该方法应用于永磁铁和其它物体间接触时的吸附力计算[详见fuwn,zhoup,lind,etal.magneticforcecomputationinpermanentmagnetsusingalocalenergycoordinatederivativemethod.ieeetransmag.2004,40:683-686]。fu等人还将该壳单元推广到三维磁接触力的有限元计算中，并给出详细的实现过程[详见fuwn,hosl,chenn.applicationofshellelementmethodto3-dfinite-elementcomputationoftheforceononebodyincontactwithothers.ieeetransmag.2010,46:3893-3898以及刘慧娟，傅为农.薄壳单元法在接触物体间电磁力计算中的应用.电机与控制学报，2012，16(8)：101-106]。但是该方法的弊端是当接触的两个物体具有不同磁导率时，由于在壳单元中没有显式的场表达形式，因此这种方法将导致计算精度问题。此外，由于引入新的壳单元，使程序实现变得复杂。

另，近年来，choi等人提出了一种计算磁接触力的虚拟气隙法[详见choihs,parkih,leesh.conceptofvirtualairgapanditsapplicationsforforcecalculation.ieeetransmag.2006,42:663-666]。这种方法首先假设在两个接触物体间插入一个无限小厚度的虚拟气隙不会改变模型中磁场分布，然后在结果后处理中根据磁场边界条件推算出气隙中的磁场强度，最后利用maxwell应力张量法或虚功原理等方法求出磁接触力[详见seojh,choihs.computationofmagneticcontactforces.ieeetransmag.2014,50:525-528,以及choihs,leesh,kimys,etal.implementationofvirtualworkprincipleinvirtualairgap.ieeetransmag.2008,44:1286-1289]。yoo等人对一个coulomb型静电卡盘的静电接触力进行了研究，通过计算比较他指出在建模中必须要考虑气隙对静电接触力的影响[详见yooj,choijs,hongsj,etal.finiteelementanalysisoftheattractiveforceonacoulombtypeelectrostaticchuck.internationalconferenceonelectricalmachinesandsystems.2007october8-11；seoul,korea]；基于结果后处理的边界条件，他也提出一种类似于虚拟气隙法的计算方法，结果与实际吻合很好。虚拟气隙法无需考虑在数值建模时采用哪一种数值方法，也无需考虑相互接触的物体是何种材料，如铁块与铁块接触，铁块和永磁铁接触等[详见seojh,choihs.computationofmagneticcontactforces.ieeetransmag.2014,50:525-528]。但是该方法的弊端是在接触物体和气隙所构成的等效电/磁路中，当气隙的等效电/磁阻在电/磁路中所占比例不可忽略时，气隙对于整个模型的电/磁场分布的影响将不可忽略。在这种情况下，虚拟气隙法将出现精度问题，这是由于该方法假设了气隙对物理场的分布没有影响。此外，由于该方法是在结果后处理中利用电磁场边界条件推算出气隙中的电场和磁场，而非直接计算得出，因此会导致数值误差。

技术实现要素：

鉴于已有技术存在的缺陷，本发明的目的是要提供一种适用于含气隙层的的电磁吸附力计算方法，其充分考虑了气隙对电磁力的影响，具有较好的精度和效率。

为了实现上述目的，本发明的技术方案：

一种考虑气隙层影响的电磁吸附力计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤1、建立邻近物体间含有气隙层的电磁场模型；

步骤2、建立所述气隙层两侧的邻近物体间所满足的物理关系，并将所建立的物理关系作为约束条件，引入到步骤1的电磁场模型所对应的控制方程中，得到含约束条件的控制方程对应的等效积分形式；

步骤3、采用有限元方法离散步骤2得到的所述等效积分形式，并得到含约束条件的控制方程所对应的有限元方程；

步骤4、求解步骤3所得到的有限元方程，根据所求得的有限元方程的数值解以及所建立的物理关系，得到与所述气隙层对应的电磁场分布；

步骤5、根据所述气隙层对应的电磁场分布，采用电磁力计算方法求得邻近物体间的电磁吸附力。

进一步的，所述步骤1包括：在建立电磁场求解区域的几何模型时，不对邻近物体间的气隙层ωg建立几何模型，所得几何模型仅包含邻近物体的区域，记为主域ωm和从域ωs，且气隙层两侧的面分别记为γm＝ωm∩ωg和γs＝ωs∩ωg，所得几何模型对应的电场或磁场控制方程统一表示为，在域ω＝ωm∪ωs内满足：

并在相应的边界上满足：

若(1)式表示电场方程，则为电标量势，α表示各向同性介电常数，一般远大于空气介电常数，f表示电荷激励；若(2)式表示磁场方程，则为磁标量势，α表示各向同性磁导率，一般远大于空气磁导率，f具有以下形式：

f＝-divαhsource(3)

(3)式中，hsource应满足：

curlhsource＝jsource(4)

(4)中的jsource表示激励电流密度。

进一步的，所述步骤2包括：

首先根据电磁场边界条件，建立区域ωm、ωs和ωg间的电磁场量的关系式即气隙边界条件：

其中分别表示γm面上沿ωm外法向和切向的通量密度；分别表示γs面上沿ωs外法向和切向的通量密度；qg表示气隙层ωg中沿ωm外法向的通量密度；

其次采用电标量势或磁标量势来描述气隙边界条件(5a)，则有：

在边界γm处，表示为：

在边界γs处，表示为：

在式(6)和(7)中，nm表示γm面上的ωm外法向，ns表示γs面上的ωs外法向，且它们的方向正好相反；αm和αs分别表示主域ωm和从域ωs的材料参数；和分别表示主域ωm和从域ωs的标量势；α0表示空气材料参数；d0表示气隙层的厚度；h0表示气隙层的等效电阻或磁阻；

最后分别在ωm和ωs中引入试探函数wm和ws，并应用green公式，得到(1)、(6)、(7)的等效积分形式：

进一步的，所述步骤3采用有限元方法进行离散，其包括：

步骤31、对区域ωm和ωs划分网格，并记ni(i＝1,2…n)为标准有限元空间的节点基函数，φ＝[φ1,φ2…φn]^t为标量势的节点自由度，并将求解域中标量势表示为节点基函数和节点自由度的乘积形式：

并将ωm上的自由度拆分为两部分，即分别对应ωm/γm和γm上的自由度分别为和将ωs上的自由度拆分为两部分，即分别对应ωs/γs和γs上的自由度分别和于是将φ表示为：

步骤32、将(10)和(11)式以及wm,s＝ni(i＝1,2…n)代入到(8)和(9)中，得到含气隙边界条件的有限元方程即所述含约束条件的控制方程所对应的有限元方程：

将(12)式中统一表示成k^mm，则具有如下分量表达形式：

将(12)式中统一表示成k^ss，则具有如下分量表达形式：

(13)和(14)式中，n2表示中的最大下标，

将(12)式等号右端中的载荷矢量统一表示成f^m，则具有如下分量表达形式：

将(12)式等号右端中的载荷矢量统一表示成f^s，则具有如下分量表达形式：

由于(12)式中是从(8)和(9)中γm和γs面上的边界积分得到，将其统一表示成nγγ，则具有如下分量表达形式：

(17)式中，n1是的最小下标；n3是的最大上标。

进一步的，所述步骤4包括：

根据所述电磁场模型的气隙处邻近单元的标量势的数值解和(10)式获得和再根据式(6)，计算出气隙中的通量密度qg以及场强，所述场强计算公式为：

进一步的，所述步骤5中所述电磁力计算方法为采用maxwell应力张量法计算物体所受到的电磁吸附力，则电磁吸附力的第i分量通过积分物体的闭合面s上的maxwell应力张量tij表示为：

(19)式中对矢量指标采用爱因斯坦(einstein)求和约定；δij为克罗内克函数(kronecker)符号；ui和uj分别表示电场或磁场强度的分量。

与现有技术相比，本发明的有益效果：

本发明充分考虑了气隙对电磁力的影响，具有较好的精度和效率；具体地，第一其与传统的气隙网格剖分的方法相比，无需在气隙处剖分非常细密的网格，从而减小了计算规模，提高了计算效率；第二，其与壳单元方法相比，无需构造额外的单元，处理过程简单，计算效率更高；第三，其与虚拟气隙法相比，考虑到了气隙对电磁力的影响，因而有更高的计算精度，尤其是当气隙层的等效电阻或磁阻在等效电路或磁路中占有不可忽略的比例时。

附图说明

图1为含气隙层的电磁场模型；

图2气隙处邻近单元示意图；

图3平行板电容器示意图

图4平行板电容器的有限元模型；

图5电介质所受到的静电吸附力随厚度的变化示意图；

图6c形铁芯的磁场吸附力的有限元模型a示意图；

图7长方块形铁芯的磁场吸附力的有限元模型b示意图；

图8有限元模型a中气隙处的磁场吸附力随厚度的变化图；

图9有限元模型b中气隙处的磁场吸附力随厚度的变化图；

图10本发明所述方法的流程图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明所述电磁吸附力的计算方法，其包含以下步骤：

步骤1、建立邻近物体间含有气隙层的电磁场模型；在建模时，不失一般性，这里我们仅考虑三维模型，并且只考虑两个物体间的电磁吸附力问题，则由于不对邻近物体间的气隙层ωg建立几何模型，因此所建立的模型只包含两个邻近物体的区域ωm和ωs，记为主域ωm和从域ωs，如图1所示，且气隙层两侧的面分别记为γm＝ωm∩ωg和γs＝ωs∩ωg，所得几何模型对应的电场或磁场控制方程统一表示为，在域ω＝ωm∪ωs内满足：

并在相应的边界上满足：

若(1)式表示电场方程，则为电标量势，α表示各向同性介电常数，f表示电荷激励；若(2)式表示磁场方程，则为磁标量势，α表示各向同性磁导率，f具有以下形式：

f＝-divαhsource(3)

(3)式中，hsource应满足：

curlhsource＝jsource(4)

(4)中的jsource表示激励电流密度。

(4)中的hsource可以通过biot-swart定律求得，也可以选择任意满足(4)式的非物理解。

步骤2、建立所述气隙层两侧的邻近物体间所满足的物理关系，并将所建立的物理关系作为约束条件，引入到步骤1的电磁场模型所对应的控制方程中，得到含约束条件的控制方程对应的等效积分形式；进一步，当邻近物体间的气隙层很薄，且邻近物体ωm或ωs跟气隙层ωg的材料参数相比较大时，根据电磁场边界条件，ωm或ωs外表面的场几乎是垂直于外表面的，且电通量或磁通量密度可以近似被认为是沿着气隙厚度方向的(即垂直于γm和γs)，且大小不变，则所述步骤2包括：首先根据电磁场边界条件，建立区域ωm、ωs和ωg间的电磁场量的关系式即气隙边界条件：

其中分别表示γm面上沿ωm外法向和切向的通量密度；分别表示γs面上沿ωs外法向和切向的通量密度；qg表示气隙层ωg中沿ωm外法向的通量密度；

其次采用电标量势或磁标量势来描述气隙边界条件(5a)，则有：

在边界γm处，表示为：

在边界γs处，表示为：

在式(6)和(7)中，nm表示γm面上的ωm外法向，ns表示γs面上的ωs外法向，且它们的方向正好相反；αm和αs分别表示主域ωm和从域ωs的材料参数；和分别表示主域ωm和从域ωs的标量势；α0表示空气材料参数；d0表示气隙层的厚度；h0表示气隙层的等效电阻或磁阻；

最后分别在ωm和ωs中引入试探函数wm和ws，并应用green公式，得到(1)、(6)、(7)的等效积分形式：

步骤3、采用有限元方法离散步骤2得到的所述等效积分形式，并得到含约束条件的控制方程所对应的有限元方程；具体的所述步骤3包括：首先通过建立所述含气隙边界条件的控制方程等效弱形式，将气隙边界条件引入控制方程中；然后采用有限元方法离散所述等效弱形式，得到含气隙边界条件的数值模型。具体的，所述步骤3采用有限元方法进行离散，其包括：步骤31、对区域ωm和ωs划分网格(由于没有建立气隙层ωg的几何模型，因此不需剖分ωg的有限元网格，且在三维模型中一般划分成四面体或六面体网格，)，并记ni(i＝1,2…n)为标准有限元空间的节点基函数，φ＝[φ1,φ2…φn]^t为标量势的节点自由度，并将求解域中标量势表示为节点基函数和节点自由度的乘积形式：

并将ωm上的自由度拆分为两部分，即分别对应ωm/γm和γm上的自由度分别为和将ωs上的自由度拆分为两部分，即分别对应ωs/γs和γs上的自由度分别和于是将φ表示为：

步骤32、将(10)和(11)式以及wm,s＝ni(i＝1,2…n)代入到(8)和(9)中，得到含气隙边界条件的有限元方程即所述含约束条件的控制方程所对应的有限元方程：

将(12)式中统一表示成k^mm，则具有如下分量表达形式：

将(12)式中统一表示成k^ss，则具有如下分量表达形式：

(13)和(14)式中，n2表示中的最大下标，

将(12)式等号右端中的载荷矢量统一表示成f^m，则具有如下分量表达形式：

将(12)式等号右端中的载荷矢量统一表示成f^s，则具有如下分量表达形式：

由于(12)式中是从(8)和(9)中γm和γs面上的边界积分得到，将其统一表示成nγγ，则具有如下分量表达形式：

(17)式中，n1是的最小下标；n3是的最大上标。

步骤4、求解步骤3所得到的有限元方程，根据所求得的有限元方程的数值解以及所建立的物理关系，得到与所述气隙层对应的电磁场分布；其具体包括在获得数值解后，所述气隙层对应的电磁场分布利用场量形式的气隙边界条件(5)或标量形式的气隙边界条件(6)和(7)得到。优选的，所述步骤4包括：求解有限元方程(12)来获得电磁场模型的数值解，如图2所示的三维、二维和一维模型中气隙处邻近单元，其分别属于ωm和ωs，虚线表示相邻单元间的中心面；根据所述电磁场模型的气隙处邻近单元的标量势的数值解和(10)式获得和再根据式(6)，计算出气隙中的通量密度qg以及场强，所述场强计算公式为：

步骤5、根据所述气隙层对应的电磁场分布，采用电磁力计算方法求得邻近物体间的电磁吸附力。进一步，根据气隙层中的电磁场，所述步骤5中所述电磁力计算方法为采用maxwell应力张量法计算物体所受到的电磁吸附力，则电磁吸附力的第i分量通过积分物体的闭合面s上的maxwell应力张量tij表示为：

(19)式中对矢量指标采用einstein求和约定；δij为kronecker符号；ui和uj分别表示场强分量。

下面通过两个实际案例来说明采用本发明所述方法的操作步骤，并通过与其它方法的计算结果对比，来说明采用本发明所述方法的优势。

案例1：具体案例描述：该案例中的模型是一个平行板电容器，电容器中填充了相对介电常数为5的电介质，但在电介质的中心面处有一个厚度很小的气隙层(空气)，并将电介质分为两个部分，每个部分的厚度为10mm，电介质的横截面积为0.01m²，上电极的电压a为电极的电压，下电极的电压b为0v；当电极通电后，产生的静电力会吸引电介质的两个部分。这种静电吸附机制，也叫coulomb效应，已经被广泛应用于电气领域。

具体实施步骤：首先，建立该平行板电容器所对应的含有气隙层的电磁场模型，如图3所示，该模型只包含被气隙层分开的两个部分的电介质，几何尺寸参照案例描述；基于步骤2、3对电介质剖分网格，如图4所示，对网格设定介质常数、单元类型以及电压边界条件等求解信息以及在有限元模型中指定气隙层的位置，并设定气隙层的等效电阻系数；最后基于步骤4、5以获得该模型中电介质所受到的静电吸附力。本案优势说明：我们分别采用文献[choihs,parkih,leesh.conceptofvirtualairgapanditsapplicationsforforcecalculation.ieeetransmag.2006,42:663-666]和[yooj,choijs,hongsj,etal.finiteelementanalysisoftheattractiveforceonacoulombtypeelectrostaticchuck.internationalconferenceonelectricalmachinesandsystems.2007october8-11；seoul,korea]中的虚拟气隙法、本发明所述方法以及精确的解析法，计算了气隙厚度从0.01μm到100μm之间变化的静电力。计算结果如图5所示。我们可以发现，本发明与精确的解析法的计算保持一致，在气隙厚度增加时，静电吸附力的大小都有下降趋势。相比之下，使用虚拟气隙法得到结果总是大于精确的解析结果，并且不随厚度发生变化，这是不合理的。通过该案例，说明本发明的计算结果优于上述文献中的虚拟气隙法。

案例2：具体案例描述：该案例包含了两个磁场吸附力的有限元分析模型a和b，分别如图6和图7所示；a模型中，环形线圈中有电流密度为10000a/m²的恒定激励，一个首尾相连的c形铁芯穿过环形线圈，在c形线圈中的连接处有一个厚度很小的气隙层(空气)，如图6中虚线所示；与a模型不同的是，b模型中的铁芯是一个细长的长方体块，铁芯的相对磁导率非常大，设为10000。

实施步骤：首先，建立a和b所对应的含有气隙层的电磁场模型，模型中不包含气隙层部分；基于步骤2、3对模型剖分网格，如图6和图7所示，并设定磁导率、单元类型、边界条件以及电流激励等求解信息；同时在模型中a和b中指定气隙层的位置，并设定气隙层的等效磁阻系数；最后基于步骤4、5以获得a和b模型中气隙处受到的磁场吸附力。本案优势说明：我们分别采用文献[choihs,parkih,leesh.conceptofvirtualairgapanditsapplicationsforforcecalculation.ieeetransmag.2006,42:663-666]和[seojh,choihs.computationofmagneticcontactforces.ieeetransmag.2014,50:525-528]中的虚拟气隙法和本发明方法分别计算了气隙厚度从0.0001μm到100μm之间变化的磁场吸附力。计算结果如图8和图9所示。我们可以发现，本发明在气隙厚度增加时，气隙处的磁场吸附力的大小有下降趋势。相比之下，使用虚拟气隙法得到结果总是大于本发明所获得的结果，并且不随厚度发生变化，这是不合理的。通过该案例，说明本发明的计算结果优于上述两个文献中的虚拟气隙法。

以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。