一种考虑结构对称性的张拉整体结构非线性找形方法与流程

本发明属于空间结构、张拉张体结构、索杆结构设计与开发等领域，涉及一种考虑结构对称性的张拉整体结构非线性找形方法。

背景技术：

在传统的结构中，结构是从几何和材料中获取刚度的，这种主要从几何和材料中获取刚度的结构即所谓的刚性结构。而张拉整体结构主要从预应力中获取刚度，其单元内应力必需满足节点平衡，这种平衡关系不仅与单元内力有关，还依赖于结构的几何形状。与几何形状已知的传统刚性结构不同，张拉整体结构的几何形状的确定需要满足节点平衡关系。确定张拉整体结构的几何形状和预应力状态的分析就是所谓的找形分析，也称为初始形态分析，其中形为初始几何形状，态则是初始预应力态。

其实，张拉整体结构的找形同时也是一个找力的过程，在具体的找形方法中可以以形状参数为变量，也可以以内力参数为变量。因此，可以将找形方法划为“找力”和“找形”两大类，前者主要指搜索可行预应力或预应力优化，后者的代表性方法有力密度法、非线性有限元法和动力松弛法。

技术实现要素：

技术问题：本发明提供一种针对任意张拉整体结构，能迅速、有效地计算其一组整体可行自应力模态和相应的节点坐标，得出稳定结构的考虑结构对称性的张拉整体结构非线性找形方法。

技术方案：本发明针对任意张拉整体结构，确定其所属对称群后，求出对称坐标系下与结构外荷载向量和杆件内力向量相关联的不可约表示a1的对称子空间，利用这两个对称子空间求出结构在对称坐标系下不可约表示a1对应的平衡矩阵分块子矩阵，综合运用矩阵舒尔分解、矩阵奇异值分解理论来求得一组节点坐标和平衡矩阵分块子矩阵的零空间，继而求出结构的一组整体可行自应力模态使得力密度矩阵满足最小的秩亏条件，最终求得稳定结构。

本发明的考虑结构对称性的张拉整体结构非线性找形方法，包括以下步骤：

步骤1基于待求解结构的拓扑信息，形成拓扑矩阵c，明确结构所属对称群；

步骤2求出与结构外荷载向量相关联的全对称子空间和与杆件内力向量相关联的全对称子空间

步骤3根据结构压杆受压为正、拉索受拉为负定义一组初始力密度q⁰，通过公式d⁰＝c^t*diag(q⁰)*c求出初始力密度q⁰对应的力密度矩阵d⁰，令迭代计数变量i＝0，其中，diag()表示矩阵的对角线元素为括号中的元素，其余元素为0，c^t为拓扑矩阵转置；

步骤4对第i次的力密度矩阵dⁱ进行舒尔分解，并利用矩阵舒尔分解剔除使结构所有节点某一方向坐标取值均为同一数值的解，得出一组坐标，并求出该组坐标对应的平衡矩阵aⁱ；

步骤5通过下式计算对称坐标系下平衡矩阵hⁱ的第一分块子矩阵

其中表示的转置；

步骤6对所述对称坐标系下平衡矩阵hⁱ的第一分块子矩阵进行奇异值分解，求出其零空间nⁱ，通过下式求出结构整体自应力模态sⁱ：

步骤7通过步骤6得出的结构整体自应力模态求出新的杆件力密度qⁱ⁺¹，通过公式dⁱ⁺¹＝c^t*diag(qⁱ⁺¹)*c更新力密度矩阵，令迭代计步变量i＝i+1，其中dⁱ⁺¹为更新后的力密度矩阵；

步骤8判断所述步骤7中更新的力密度矩阵dⁱ⁺¹是否满足秩亏要求以及待求解结构的切线刚度矩阵是否正定，若上述两个条件均满足，则本方法流程结束；若不满足，则返回步骤4。

进一步的，本发明方法中，步骤3中，初始力密度q⁰定义为其中a为拉索初始力密度，b为压杆初始力密度，且a、b为任意正数。

进一步的，本发明方法中，步骤4中利用矩阵舒尔分解剔除使结构所有节点某一方向坐标取值均为1的解。

进一步的，本发明方法中，步骤8中的秩亏要求为：更新的力密度矩阵的秩亏不小于d+1，其中d为待求解结构的维度。

进一步的，本发明方法中，步骤8中通过求特征值的方法判断待求解结构的切线刚度矩阵是否正定，具体为：去除待求解结构切线刚度特征值中刚体位移对应的零特征值后，判断其余特征值是否全部为正，若全部为正，则切线刚度矩阵正定，否则，切线刚度矩阵不正定。

本发明在分析和研究现有张拉整体结构找形方法的基础上，将矩阵舒尔分解理论、奇异值分解理论引入结构找形问题中，并结合群论，提出了一种考虑结构对称性的张拉整体结构非线性找形方法，在进行迭代求解整体可行自应力模态之前指定结构对称属性，求得满足对称条件的稳定结构。

本发明方法在进行矩阵计算前明确结构对称属性，求解对称坐标系下平衡矩阵第一分块子矩阵，通过迭代计算求得整体可行自应力模态。

有益效果：本发明与现有技术相比，具有以下优点：

本发明的优点在于充分利用了矩阵舒尔分解、奇异值分解，结合群论，直接分析对称坐标系下平衡矩阵第一分块子矩阵，在进行迭代求解整体可行自应力模态之前指定结构对称属性，最终求得满足力密度秩亏条件的稳定结构。传统找形方法中，必须要事先定义杆件类型、某些杆件的力密度或者长度、某些节点坐标等，为得出可行力密度和节点坐标，需要较多的已知条件，然而在很多结构的找形过程中，这些信息有时并不是很容易得到或者在找形前就能够定义。尤其在计算杆件数较多的高对称结构时，现有方法计算出构型的对称性往往低于预期结构的对称性，需要对所有的杆件进行详细的分组才能得到预期的结构。本发明提出的找形方法无需对杆件进行分类，只需根据杆件类型定义一组初始力密度，通过对称坐标系下平衡矩阵第一分块子矩阵奇异值分解得出的自应力模态就可以自动满足结构对称性，同组类型的拉索或者压杆力密度相同。与现有平衡矩阵理论相比，只需求出对称坐标系下平衡矩阵第一分块子矩阵，直接对该维度较小的分块子矩阵进行求解得出整体自应力模态，无需求出对称坐标系下结构完整的分块、对角化平衡矩阵，对于任何结构最多只需求出两个对称子空间，避免了求解所有不可约表示的对称子空间和对完整的高维度的平衡矩阵分析，减少了程序的计算量和复杂度，对二维结构和三维结构均适用，显著提高了张拉整体结构找形分析的计算效率。现有的迭代法找形结果难以控制，往往不能找出对称性较高的受力更加合理的结构构型，本发明提出的方法在迭代进行前明确了结构的全部对称属性，保证迭代找形的结果是符合定义的对称属性的对称结构，使找形结果在一定可控范围内。

附图说明

图1为考虑结构对称性的张拉整体结构非线性找形方法算法流程示意。

图2为c4v对称张拉整体结构。

图2中，细实线均表示拉索构件，粗实线均表示压杆构件，第一节点a、第二节点b、第三节点c、第四节点d为结构的四个节点，第一拉索1通过第一节点a和第二节点b相连，第二拉索2通过第二节点b和第三节点c相连，第三拉索3通过第三节点c和第四节点d相连，第四拉索4通过第一节点a和第四节点d相连，第一压杆5通过第一节点a和第三节点c相连，第二压杆6通过第二节点b和第四节点d相连。

具体实施方式

下面结合实施例和说明书附图对本发明作进一步的说明。

基于matlab编程平台，对图2结构采用本发明所述方法进行求解。输入已知信息，图2所示结构为二维结构，有4个节点，6根杆件，输入各杆件连接节点信息形成拓扑矩阵c，该结构属于c4v对称群，结构有六个对称操作：恒等变换(e)，绕z轴旋转90°(c4)、180°相对于x轴和y轴的镜像对称(σx和σy)；

当引入对称群的相关概念后，计算基于的坐标系自动从笛卡尔坐标系转换为对称坐标系。对称坐标系下与结构外荷载向量和杆件内力向量相关联的不可约表示a1的全对称子空间和由置换矩阵rp和rt的列空间求得。其中rp为所有对称操作下

节点置换矩阵与坐标转换矩阵张量积的和，rt为所有对称操作下杆件置换矩阵的和；

根据拉索受拉、压杆受压的条件定义初始力密度矩阵q⁰＝{1，1，1，1，-1，-1}^t，通过式d＝c^t*diag(q)*c求出d⁰，令i＝0；

进入迭代循环，对力密度矩阵dⁱ舒尔分解，得出一组坐标值[xiyizi]，计算平衡矩阵式中li为第i步迭代得到结构的杆件长度，通过平衡矩阵和求对称坐标系下平衡矩阵第一分块子矩阵对进行奇异值分解求得其零空间nⁱ，由nⁱ求出结构整体自应力模态，继而求出杆件力密度更新力密度矩阵，判断力密度矩阵是否满足秩亏要求以及切线刚度矩阵是否正定。对于二维结构，结构维度d＝2，力密度矩阵秩亏要求为秩亏最小为d+1＝3，结构有3个对应刚体位移的自由度，对应的结构切线刚度矩阵特征值中有3个零特征值；对于三维结构，结构维度d＝3，力密度矩阵秩亏要求为秩亏最小为d+1＝4，结构有6个对应刚体位移的自由度，对应的结构切线刚度矩阵特征值中有6个零特征值。

图2所示结构为二维结构，迭代结束时，迭代计步变量i＝854，力密度矩阵秩亏为3，结构切线刚度矩阵特征值有3个零值，其余特征值均为正，切线刚度矩阵去掉零特征值后正定，结构稳定，迭代进行854步，得出结构自应力模态为：

s＝[0.35350.35350.35350.3535—0.5000-0.5000]^t

各个杆件力密度比值如下q＝{q1～q4＝0.3535，q5～q6＝-0.3535}^t，根据节点坐标画出图形如图2所示。

因此，本发明的对称张拉整体结构找形方法针对任意张拉整体结构，确定其所属对称群后，求出对称坐标系下与结构外荷载向量和杆件内力向量相关联的全对称子空间，利用这两个对称子空间求出结构在对称坐标系下平衡矩阵第一分块子矩阵，综合运用矩阵舒尔分解、矩阵奇异值分解理论来求得一组节点坐标和对称坐标系下平衡矩阵分块子矩阵的零空间，继而求出结构的一组整体可行自应力模态使得力密度矩阵满足最小的秩亏条件，最终求得稳定结构。本发明方法的流程图如图1所示。

上述实施例仅是本发明的优选实施方式，应当指出：对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和等同替换，这些对本发明权利要求进行改进和等同替换后的技术方案，均落入本发明的保护范围。