本发明属于机器人运动控制技术领域，尤其是涉及一种基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化方法。
背景技术
随着机器人应用领域的不断拓展，对机器人关节空间轨迹进行多目标优化，能够有针对性的对优化指标做出选择，灵活地应对不同应用场景下对机器人关节空间轨迹的要求。在诸多应用场景中，对机器人关节空间轨迹的要求主要集中在三个方面：
1.机器人关节空间轨迹的运行时间要求。机器人关节空间轨迹的运行时间越小，越有利于提高生产效率
2.机器人关节空间轨迹的能量消耗要求。机器人关节空间轨迹的能量消耗越少，越有利于降低能耗成本。
3.机器人关节空间轨迹的运动平稳性要求。机器人关节空间轨迹的运动平稳性差会导致机器人的重复定位精度降低，跟踪误差变大，严重影响机器人的性能，导致机器人的使用寿命减少。
对于以上要求，目前国内外机器人关节空间轨迹多目标优化方法存在以下问题。首先，在对机器人关节空间进行优化时往往是考虑时间和能耗或者时间和运动平稳性的影响，没有将三者同时作为优化目标进行优化。其次，在进行多目标优化时采用加权法将多目标转化为单目标问题，加权因子人为选定，不利于获得最优结果。
gasparetto等[参见学术论文“gasparetto,a.lanzutti.experimentalvalidationandcomparativeanalysisofoptimaltime-jerkalgorithmsfortrajectoryplanning[j].roboticsandcomputer-integratedmanufacturing.2012:164-181.”]分别以时间和运动平稳性作为优化目标，通过调整时间、加加速度的权值因子来获得较好的优化结果。沈悦等[参见学术论文“沈悦,李银伢,戚国庆,盛安冬.基于pso的工业机器人时间-脉动最优轨迹规划[j].计算机测量与控制,2017,25(01):158-162.”]通过权重法将时间-运动平稳性的多目标优化问题变为单目标优化问题，通过粒子群优化算法得到加权后的最优轨迹。操鹏飞等[参见学术论文“操鹏飞,许德章,杨伟超.基于改进遗传算法的工业机器人能耗最优轨迹规划[j].井冈山大学学报(自然科学版),2016,37(02):48-54.”]以时间-能耗作为目标函数，通过改进的遗传算法得到优化问题的解。
因此，本发明提出一种基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化方法，将时间、能耗和运动平稳性同时作为优化目标，采用改进的基于快速非支配排序思想的遗传算法获得多目标优化问题的paoreto最优解集。
技术实现要素：
本发明为了解决现有机器人关节空间轨迹多目标优化方法中，优化目标考虑不全面，采用加权法优化结果受加权因子影响较大的问题，提供了一种基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化方法。
为达到上述目的，本发明的技术方案是这样实现的：
一种基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化方法，包括以下步骤：
(1)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的时间函数；
(2)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的能耗函数；
(3)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的运动平稳性函数；
(4)建立机器人运动学约束函数；
(5)基于步骤(1)-(3)建立的函数以及步骤(4)的约束函数，由此建立机器人关节空间轨迹多目标优化的数学模型；
(6)对机器人关节空间轨迹多目标优化问题的决策变量进行实数编码；
(7)通过一维logistic混沌映射，初始化算法种群；
(8)定义解的可行度函数；
(9)采用非一致性变异算子，加快算法初期收敛速度；
(10)通过改进的快速非支配排序遗传算法(nsga-ii)，求解机器人关节空间轨迹多目标优化问题，得到机器人关节空间轨迹多目标优化问题的pareto解集及pareto解集中的解对应的决策变量。
所述步骤(1)中的机器人关节空间轨迹多目标优化的时间函数建立步骤如下：
有n个机器人关节空间关键点与对应时间组成的序列：
q＝{(p1,t1),(p2,t2),…,(pn,tn)}(1)
式中，pi＝[θ1i,θ2i,…,θmi]t,i＝1,2,…n,是第i个时间节点处，关节一到关节m的角度值组成的列向量；ti,i＝1,2,…n,是第i个关节空间关键点处的时间；n是机器人关节空间关键点个数；m是机器人关节数。
通过各类样条曲线构造的一条过序列q的轨迹，其关节角度θ、角速度ω、角加速度α、加加速度j都是时间的函数，如果轨迹函数表示为θ(t)，那么角速度ω、角加速度α、加加速度j分别表示为θ(t)的一阶、二阶和三阶导数：
机器人关节空间轨迹多目标优化的时间函数由轨迹运行总时间表示：
所述步骤(2)中的机器人关节空间轨迹多目标优化的能耗函数建立步骤如下：
机器人关节空间轨迹多目标优化的能耗函数由轨迹各关节角加速度方均根值之和表示：
式中，αm(t)表示α(t)的第m个分量。
所述步骤(3)中的机器人关节空间轨迹多目标优化的运动平稳性函数建立步骤如下：
机器人关节空间轨迹多目标优化的运动平稳性函数由轨迹各关节加加速度方均根值之和表示：
式中，jm(t)表示j(t)的第m个分量。
所述步骤(4)中的机器人运动学约束函数建立步骤如下：
机器人在运动过程中，由于机器人关节电机额定速度的存在，使得机器人最大速度受限，同时也要考虑到关节加速度、关节加加速度的限制。机器人关节空间轨迹应满足机器人运动学约束的要求，设各关节运动的速度、加速度、加加速度的上限分别为
式中，ωm(t)、αm(t)、jm(t)分别是ω(t)、α(t)、j(t)的第m个分量。
进一步的，所述步骤(5)中建立机器人关节空间轨迹多目标优化的数学模型步骤如下：
将序列q中机器人经过相邻关节空间关键点的时间间隔组成的列向量作为机器人关节空间轨迹多目标优化问题的决策变量，决策变量x可表示为：
x＝[θt1,δt2,…,δtn]t；(6)
式中，n＝n-1；δti＝δti+1-δti,i＝1,2,…,n；
将步骤(1)～步骤(3)中建立的机器人关节空间轨迹时间函数、能耗函数和运动平稳性函数作为机器人关节空间轨迹多目标优化问题的目标函数，将步骤(4)中建立的机器人运动学约束作为机器人关节空间轨迹多目标优化问题的约束条件，得到机器人关节空间轨迹多目标优化问题的数学模型：
进一步的，所述步骤(6)中的机器人关节空间轨迹多目标优化问题的决策变量进行实数编码的步骤如下：
针对机器人关节空间轨迹多目标优化问题，选择实数编码方式为决策变量编码。采用实数编码方式进行编码，需要确定决策变量分量δti的上下界
δti的下界
δti的上界
进一步的，所述步骤(7)中通过一维logistic混沌映射初始化种群的步骤如下：
一维logistic混沌映射迭代方程为：
式中，i＝1,2,…,n,其中n为决策变量维数，r＝1,2,…,p,其中p为种群规模，0≤γi≤1为混沌变量，μ＝4；
将
所述步骤(8)中解的可行度函数定义如下：
机器人关节空间轨迹多目标优化问题是有约束问题，为了使得到的结果满足机器人的运动学约束，定义解的可行度函数：
进一步的，所述步骤(9)中非一致性变异算子定义如下：
采用非一致性变异算子，将变异幅度与遗传代数相关联；在算法运行前期，变异幅度较大，有利于加快算法收敛；在算法运行后期，变异幅度较小，有利于找到更优解；
对于决策变量x＝[δt1,δt2,…δtk,…,δtn]t,选中δtk进行变异，其变量上下界为
式中，r为代数，x是0～1的随机数，r为当前代数，r为最大代数，σ为形参，一般取2～5。变异后的δtk在δtk1和δtk2中随机选取。
进一步的，在完成步骤(6)～步骤(9)后，所述步骤(10)中对快速非支配排序遗传算法(nsga-ii)的改进之处在于：种群初始化由步骤(7)所述一维logistic混沌映射完成，初始种群的分布将更加均匀；变异算子采用步骤(9)所述非一致性变异算子，将变异幅度与遗传代数关联，在算法运行初期，变异幅度大，有利于加强全局寻优能力；在算法运行后期，变异幅度小，有利于获得稳定的较优解；
进一步的，所述步骤(10)中pareto最优解集特点是：无法在改进任何目标函数的同时，不削弱至少一个其它目标函数，这些解的集合被称为pareto最优解集。
本发明的有益效果是：
本发明所述的基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化方法，将时间、能耗和运动平稳性作为优化目标同时进行优化。通过一维logistic混沌映射，使初始种群分布更加均匀，使用非一致性变异算子，使得变异幅度与进化代数关联，在种群进化初始变异幅度大，有利于全局寻优，在种群进化后期，变异幅度小，有利于获得稳定的较优解。通过改进的非支配快速排序遗传算法对多目标优化问题求得，得到多目标优化问题的pareto最优解集，能够针对不用应用领域下对时间、能耗和运动平稳性的不同要求，灵活地选择机器人关节空间轨迹。
附图说明
构成本发明的一部分的附图用来提供对本发明的进一步理解，本发明的示意性实施例及其说明用于解释本发明，并不构成对本发明的不当限定。在附图中：
图1为本发明所述机器人关节空间轨迹多目标优化方法流程图；
图2为本发明实施例所述的改进nsga-ii算法的流程图；
图3是本发明方法中采用改进nsga-ii算法对目标函数进行优化后得到的pareto最优解集(图中，s1为轨迹运行时间，单位为秒；s2为轨迹角加速度方均根值表征的能耗，单位为弧度/平方秒；s3为轨迹加加速度方均根值，单位为弧度/立方秒)；a点表示时间最优轨迹，b点表示能耗和运动平稳性最优轨迹。
具体实施方式
本实施方式所述基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化方法的具体过程为：
(1)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的时间函数；
有n个机器人关节空间关键点与对应时间组成的序列：
q＝{(p1,t1),(p2,t2),…,(pn,tn)}(1)
式中，pi＝[θ1i,θ2i,…,θmi]t,i＝1,2,…n,是第i个时间节点处，关节一到关节m的角度值组成的列向量；ti,i＝1,2,…n,是第i个关节空间关键点处的时间；n是机器人关节空间关键点个数；m是机器人关节数。
通过各类样条曲线构造的一条过序列q的轨迹，其关节角度θ、角速度ω、角加速度α、加加速度j都是时间的函数，如果轨迹函数表示为θ(t)，那么角速度ω、角加速度α、加加速度j可分别表示为θ(t)的一阶、二阶和三阶导数：
机器人关节空间轨迹多目标优化的时间函数由轨迹运行总时间表示：
(2)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的能耗函数；
机器人关节空间轨迹多目标优化的能耗函数由轨迹各关节角加速度方均根值之和表示：
式中，αm表示α的第m个分量。
(3)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的运动平稳性函数；
机器人关节空间轨迹多目标优化的运动平稳性函数由轨迹各关节加加速度方均根值之和表示：
式中，jm表示j的第m个分量。
(4)建立机器人运动学约束函数；
机器人在运动过程中，由于机器人关节电机额定速度的存在，使得机器人最大速度受限，同时也要考虑到关节加速度、关节加加速度的限制。机器人关节空间轨迹应满足机器人运动学约束的要求，设各关节运动的速度、加速度、加加速度的上限分别为
式中，ωm、αm、jm分别是ω、α、j的第m个分量。
(5)建立机器人关节空间轨迹多目标优化的数学模型；
将序列q中机器人经过相邻关节空间关键点的时间间隔组成的列向量作为机器人关节空间轨迹多目标优化问题的决策变量，决策变量x可表示为：
x＝[δt1,δt2,…,δtn]t；(6)
式中，n＝n-1；δti＝δti+1-δti,i＝1,2,…,n；
将步骤(1)～步骤(3)中建立的机器人关节空间轨迹时间函数、能耗函数和运动平稳性函数作为机器人关节空间轨迹多目标优化问题的目标函数，将步骤(4)中建立的机器人运动学约束作为机器人关节空间轨迹多目标优化问题的约束条件，得到机器人关节空间轨迹多目标优化问题的数学模型：
(6)对机器人关节空间轨迹多目标优化问题的决策变量进行实数编码；
针对机器人关节空间轨迹多目标优化问题，选择实数编码方式为决策变量编码。采用实数编码方式进行编码，需要确定决策变量分量δti的上下界
δti的下界
δti的上界
(7)通过一维logistic混沌映射，初始化算法种群；
一维logistic混沌映射迭代方程为：
式中，i＝1,2,…,n,其中n为决策变量维数，r＝1,2,…,p,其中p为种群规模，0≤γi≤1为混沌变量，μ＝4；
将
(8)定义解的可行度函数；
机器人关节空间轨迹多目标优化问题是有约束问题，为了使得到的结果满足机器人的运动学约束，定义解的可行度函数：
(9)采用非一致性变异算子，加快算法初期收敛速度；
采用非一致性变异算子，将变异幅度与遗传代数相关联；在算法运行前期，变异幅度较大，有利于加快算法收敛；在算法运行后期，变异幅度较小，有利于找到更优解；
对于决策变量x＝[δt1,δt2,…δtk,…,δtn]t,选中δtk进行变异，其变量上下界为
式中，r为代数，x是0～1的随机数，r为当前代数，r为最大代数，σ为形参，一般取2～5。变异后的δtk在δtk1和δtk2中随机选取。
(10)通过改进的快速非支配排序遗传算法，求解机器人关节空间轨迹多目标优化问题，得到机器人关节空间轨迹多目标优化问题的pareto解集及pareto解集中的解对应的决策变量。
种群初始化由步骤(7)中所述一维logistic混沌映射完成，初始种群的分布将更加均匀；变异算子采用步骤(9)中所述非一致性变异算子，将变异幅度与遗传代数关联，在算法运行初期，变异幅度较大，有利于全局寻优；在算法运行后期，变异幅度较小，有利于获得稳定的较优解；
整个基于快速非支配排序算法的机器人关节空间轨迹多目标优化算法计算示例如下，现在存在5个关节空间关键点，关节空间关键点的角度值如表1所示。经过优化后得到的结果如图3所示，图3中，a、b两点的坐标如表2所示。不加优化，两相邻关节空间关键点的时间间隔为2s,2s,2s,2s，运行总时间为8s。优化后从表2中可知，a点处是时间最优轨迹，获得的时间最优轨迹运行总时间为6.9s；b点是运动平稳性和能耗最优轨迹，获得的最优能耗指标为188.7rad/s2，最优运动轨迹平稳性为3435rad/s3。离a点越近的解，其轨迹的时间性能越好；离b点越近的解，其轨迹的能耗和运动平稳性性能越好；离c点越近的解，其轨迹的时间、能耗和运动平稳性这三者的综合性能最好。在实际工业应用中，可以根据不同的应用场景下对时间、能耗和运动平稳性的不同要求灵活选择pareto最优解集中的解。
表1各关节空间关键点的关节角度值(rad)
表2pareto前沿上a、b点的结果