本发明属于可靠性技术领域，具体涉及基于marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析方法。
背景技术：
寿命试验是对产品的可靠性进行研究的一种必要手段.为了节省试验时间和试验成本，研究人员一般采用截尾寿命试验.初期的截尾寿命试验分为两种：定时截尾寿命试验(ⅰ型截尾寿命试验)和定数截尾寿命试验(ⅱ型截尾寿命试验)，后来出现了在试验过程中移走部分试验样品的逐步截尾方案.为了满足越来越多的高可靠、长寿命产品的试验需求，childs率先提出了逐步混合截尾方案.在此基础上，cho提出一种名为广义逐步混合截尾的新截尾方案，该方案不仅可以在最少的试验时间内结束试验，且有足够数量的失效样本。
marshall-olkin扩展指数分布(marshall-olkinextendedexponential，moeed)是可靠性试验中一类重要的寿命分布，很多国内外学者对该分布的性质有大量的研究，如singh应用极大似然估计、最大间距估计、最小二乘法和加权最小二乘法讨论了该分布的参数估计和区间估计，其中极大似然估计和最大间距估计效果较好；基于ⅱ型混合截尾方案，abhimanyu研究了moeed中未知参数的贝叶斯估计和极大似然估计，贝叶斯估计的效果较好和最大后验密度区间更短；sanku获得了逐步ⅱ型截尾场合下moeed的未知参数估计和区间估计，利用单样本和双样本方法给出了预测，发现贝叶斯估计效果较优；王燕讨论了该分布在逐步ⅱ型截尾竞争失效产品下的参数估计问题，bootstrap区间的覆盖率比渐进置信区间更优，综上所述，广义逐步混合截尾方案因其具有可控的终止时间和可控的失效数受到广泛关注，考虑具有非单调失效率函数的moeed，本文将在广义逐步混合截尾场合下进行研究moeed的参数估计。
技术实现要素：
本发明的目的是提供基于marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析方法，能够缩短产品寿命可靠性分析时间。
本发明采用的技术方案是，基于marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析方法，基于该分布的广义逐步混合截尾模型可靠性分析方法，具体按照以下步骤实施：
步骤1、关于符合marshall-olkin扩展指数分布的样品寿命，在广义逐步混合截尾下，建立关于未知参数的似然函数，并求对数似然函数；
步骤2、通过经典统计方法求出该分布未知参数的最大似然估计值和渐近置信区间；
步骤3、在先验分布为伽马分布的条件下，推导未知参数的条件分布函数；
步骤4、采用metropolis-hastings抽样算法获得分布未知参数的贝叶斯估计和最大后验密度可信区间。
本发明的特点还在于：
未知参数为形状参数、尺度参数。
步骤1具体过程为：
假设符合marshall-olkin扩展指数分布的n个样品进行寿命试验，预定最多失效数为m，最少失效数为r，试验时间为t0，移走方案为(r1，r2，...，rm)，其中
当第i个产品发生失效时，失效时间记为ti：m：n；
若ti：m：n＞t0且i＜r，则从剩余
若ti：m：n≤t0且r≤i＜m，试验继续进行，每次失效发生时移走预定的失效数，将出现两种情形：一种情形是在时间t0前第m个产品失效发生，则试验停止，并将剩余rm个产品全部移走，另一种情形是试验持续到t0，此时已观测到的失效数d＜m，则试验在t0时停止，需要移走的未失效数为
marshall-olkin扩展指数分布的概率密度函数、分布函数分别为：
由(2)式可得，相应的生存函数为：
式(3)中，α为形状参数，λ为尺度参数；
根据试验过程可知，广义逐步混合截尾试验的停止时间为：
max{tr：m：n，min{tm：m：n，t0}}，能够保证获得最少的失效数，当t0＜tm：m：n时试验进行到最少失效数发生，获得失效数据分为三种情形：
情形一：t1：m：n＜t2：m：n＜...＜tr：m：n，若t0＜tr：m：n＜tm：m：n；
情形二：t1：m：n＜t2：m：n＜...＜tr：m：n＜...＜td：m：n＜t0，若tr：m：n＜t0＜tm：m：n；
情形三：t1：m：n＜t2：m：n＜...＜tm：m：n，若tr：m：n＜tm：m：n＜t0；
由上述基于广义混合截尾下的可得到的截尾试验样本，得到似然函数为：
其中
统一公式为：
情形一中：c＝c1，p＝r，
情形二中：c＝c2，p＝d，w1＝0，
情形三中：c＝c3，p＝m，w1＝0，w2＝0；
对数似然函数为：
步骤2中求未知参数的最大似然估计值具体过程为：将式(1)和式(2)式分别代入式(6)式可得，并分别对式(6)中的形状参数α、尺度参数λ求偏导数：
令
步骤2中求未知参数的渐进置信区间的具体过程为：
通过式(6)，获得fisher信息矩阵：
式(9)中
其中zδ/2为标准正态分布的(δ/2)上侧分位数。
步骤3未知参数的条件分布函数为形状参数α、尺度参数λ的联合后验分布函数。
步骤3具体过程为：通过伽马先验分布gamma(a，b)估计形状参数α，通过伽马先验分布gamma(c，d)估计尺度参数λ；分别表示为：
g1(α)∝αa-1e-bα；α＞0，a，b＞0(10)
g2(λ)∝λc-1edλ；λ＞0，c，d＞0(11)
a，b，c，d均为超参数；
形状参数α、尺度参数λ的联合后验分布函数为：
式(9)中，
步骤4具体过程为：
步骤4.1、在metropolis-hastings抽样算法中，形状参数α和尺度参数λ分别满足的分布函数分别为：
式(12)中，
式(13)中，
步骤4.2、选定形状参数α、尺度参数λ的最大似然估计为初始值，记为(α(0)，λ(0))，设定执行次数l＝1；
步骤4.3、从建议分布
从均匀分布中采样u1～uniform[0，1]，u2～uniform[0，1]；
如果
否则不接受，即α(l+1)＝α(l)；
如果
否则不接受，即λ(l+1)＝λ(l)；
步骤4.4、重复步骤4.3，直至l＝m，然后得到随机样本(α(1)，α(2)，...，α(m))和(λ(1)，λ(2)，...，λ(m))；
步骤4.5、根据平方损失函数，得到α，λ的贝叶斯估计为：
步骤4.6、对步骤4的α(t)，λ(t)进行排序，得到α，λ的1-γ可信区间近似为：(α(1)，α(m[1-γ]+1))，...，(α(mγ)，α(m))；(λ(1)，λ(m)[1-γ]+1))，...，(λ(mγ)，λ(m))
其中[x]表示不大于x的最大整数，上述长度最短的区间是α，λ的最大后验密度可信区间。
本发明的有益效果是：
本发明基于marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析方法，利用经典统计理论与方法和贝叶斯理论，并借助数值迭代方法和蒙特卡洛仿真方法，研究在广义逐步混合截尾下marshall-olkin扩展指数分布的统计分析，为产品的质量与可靠性管理提供科学理论与方法。
本发明的方法，还能够缩短寿命可靠性分析时间、降低试验成本和提高试验效率，具有重要的工程应用价值。
具体实施方式
下面结合具体实施方式对本发明进行详细说明。
本发明基于marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析方法，基于该分布的广义逐步混合截尾模型可靠性分析方法，具体按照以下步骤实施：
步骤1、关于符合marshall-olkin扩展指数分布的样品寿命，在广义逐步混合截尾下，建立关于未知参数的似然函数，并求对数似然函数；未知参数为形状参数、尺度参数。
具体过程为：
假设符合marshall-olkin扩展指数分布的n个样品进行寿命试验，预定最多失效数为m，最少失效数为r，试验时间为t0，移走方案为(r1，r2，...，rm)，其中
当第i个产品发生失效时，失效时间记为ti：m：n；
若ti：m：n＞t0且i＜r，则从剩余
若ti：m：n≤t0且r≤i＜m，试验继续进行，每次失效发生时移走预定的失效数，将出现两种情形：一种情形是在时间t0前第m个产品失效发生，则试验停止，并将剩余rm个产品全部移走，另一种情形是试验持续到t0，此时已观测到的失效数d＜m，则试验在t0时停止，需要移走的未失效数为
marshall-olkin扩展指数分布的概率密度函数、分布函数分别为：
由(2)式可得，相应的生存函数为：
式(3)中，α为形状参数，λ为尺度参数；
根据试验过程可知，广义逐步混合截尾试验的停止时间为：
max{tr：m：n，min{tm：m：n，t0}}，能够保证获得最少的失效数，当t0＜tm：m：n时试验进行到最少失效数发生，获得失效数据分为三种情形：
情形一：t1：m：n＜t2：m：n＜...＜tr：m：n，若t0＜tr：m：n＜tm：m：n；
情形二：t1：m：n＜t2：m：n＜...＜tr：m：n＜...＜td：m：n＜t0，若tr：m：n＜t0＜tm：m：n；
情形三：t1：m：n＜t2：m：n＜...＜tm：m：n，若tr：m：n＜tm：m：n＜t0；
由上述基于广义混合截尾下的可得到的截尾试验样本，得到似然函数为：
其中
统一公式为：
情形一中：c＝c1，p＝r，
情形二中：c＝c2，p＝d，w1＝0，
情形三中：c＝c3，p＝m，w1＝0，w2＝0；
对数似然函数为：
步骤2、通过经典统计方法求出该分布未知参数的最大似然估计值和渐近置信区间；
求未知参数的最大似然估计值具体过程为：将式(1)和式(2)式分别代入式(6)式可得，并分别对式(6)中的形状参数α、尺度参数λ求偏导数：
令
求未知参数的渐进置信区间的具体过程为：
通过式(6)，获得fisher信息矩阵：
式(9)中
其中zδ/2为标准正态分布的(δ/2)上侧分位数。
步骤3、在先验分布为伽马分布的条件下，推导未知参数的条件分布函数；
未知参数的条件分布函数为形状参数α、尺度参数λ的联合后验分布函数。
具体过程为：通过伽马先验分布gamma(a，b)估计形状参数α，通过伽马先验分布gamma(c，d)估计尺度参数λ；分别表示为：
g1(α)∝αa-1e-bα；α＞0，a，b＞0(10)
g2(λ)∝λc-1edλ；λ＞0，c，d＞0(11)
a，b，c，d均为超参数；
形状参数α、尺度参数λ的联合后验分布函数为：
式(9)中，
步骤4、采用metropolis-hastings抽样算法获得分布未知参数的贝叶斯估计和最大后验密度可信区间。
具体过程为：
步骤4.1、在metropolis-hastings抽样算法中，形状参数α和尺度参数λ分别满足的分布函数分别为：
式(12)中，
式(13)中，
步骤4.2、选定形状参数α、尺度参数λ的最大似然估计为初始值，记为(α(0)，λ(0))，设定执行次数l＝1；
步骤4.3、从建议分布
从均匀分布中采样u1～uniform[0，1]，u2～uniform[0，1]；
如果
否则不接受，即α(l+1)＝α(l)；
如果
否则不接受，即λ(l+1)＝λ(l)；
步骤4.4、重复步骤4.3，直至l＝m，然后得到随机样本(α(1)，α(2)，...，α(m))和(λ(1)，λ(2)，...，λ(m))；
步骤4.5、根据平方损失函数，得到α，λ的贝叶斯估计为：
步骤4.6、对步骤4的α(t)，λ(t)进行排序，得到α，λ的1-γ可信区间近似为：(α(1)，α(m[1-γ]+1))，...，(α(mγ)，α(m))；(λ(1)，λ(m)[1-γ]+1))，...，(λ(mγ)，λ(m))
其中[x]表示不大于x的最大整数，上述长度最短的区间是α，λ的最大后验密度可信区间。
实施例
使用balakrishnann，sandhura.asimplesimulationalgorithmforgeneratingprogressivetype-iicensoredsamples[j].theamericanstatistician，1995，49(2)：229-230中提供的方法产生服从marshall-olkin扩展指数分布的失效数据，选定参数值为(α，λ)＝(2，2)和(α，λ)＝(2.5，1.5)，超参数均为(a，b，c，d)＝(5，5，8，7)，基于不同的(n，m，r，t)，有以下3种截尾方案：
方案1：r1＝r2＝…＝rm-1＝o，rm＝n-m
方案2：r1＝r2＝…＝rm-1＝1，rm＝n-2m+1
方案3：r2＝…＝rm-1＝rm＝0，r1＝n-m
根据广义逐步混合截尾方案和上面的参数值，重复抽样每种估计1000次，然后计算1000次最大似然估计(mles)和贝叶斯估计的平均值(bes)、均方误差(meansquareerrors，简称mses)以及95％置信区间和可信区间的区间长度(intervallengths，简称ils)；均方误差通过计算
表1当(α，λ)＝(2.5，1.5)时的参数的mles、mses和ils
表2当(α，λ)＝(2.5，1.5)时的参数的bes、mses、ils
表3当(α，λ)＝(2，2)时的参数的mles、mses、ils
表4当(α，λ)＝(2，2)时的参数bes、mses、ils
从下表1-4可以发现，贝叶斯估计值比极大似然估计更好，均方误差也更小，同时贝叶斯估计的95％置信区间长度比渐进置信区间更短，效果更好。当待测样品数一定时，随着失效数的增多，估计值的均方误差和可信区间长度都变得更小。当失效样品一定，待测样品增加时，估计效果会较差。
通过上述方式，本发明基于marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析方法，利用经典统计理论与方法和贝叶斯理论，并借助数值迭代方法和蒙特卡洛仿真方法，研究在广义逐步混合截尾下marshall-olkin扩展指数分布的统计分析，为产品的质量与可靠性管理提供科学理论与方法。本发明的方法，还能够缩短寿命可靠性分析时间、降低试验成本和提高试验效率，具有重要的工程应用价值。且进一步通过仿真结果表明：广义逐步混合截尾下marshall-olkin扩展指数分布的可靠性分析中获得的贝叶斯估计比极大似然估计更好。