基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法与流程

本发明属于图像处理技术领域，具体涉及一种基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法。

背景技术：

边缘是图像最基本的特征之一，对应着图像强度突变或不连续的地方，体现了图像的重要结构，携带着图像的重要信息。边缘提取是图像分析中的一个重要研究领域，它在分析图像时不仅减少了要处理的信息量，而且还保留了图像的轮廓，因此，它在计算机视觉、模式识别、图像分析、压缩编码等方面有着广泛的应用。

传统的边缘检测方法如sobel算子、robert算子和canny算子在许多应用中都具有较好的效果，由于canny算子在边缘检测中能得到较为清晰连续的边界，许多学者都致力于对其进行研究与改进。而从本质上来讲，上述算子仍是一种基于局部梯度的算法，存在抗噪声干扰能力较差、假边缘较多以及边缘模糊等问题。在实际应用中，图像通常带有噪声。而使用滤波方法对图像去噪会平滑掉部分弱边缘，使得一部分边缘丢失或不连续。因此，这些方法存在着抑制噪声与边缘提取结果精确性间的矛盾。

图像边缘提取的另一种方法是基于小波变换的方法。小波变换作为非平稳信号分析的有力工具，其基函数具有局部性和衰减性，不仅能够得到信号分解后的频率，而且能够知道频率发生的位置。图像边缘通常对应高频信息，使用小波变换能够有效检测图像边缘，并且具有较好的边缘定位性质，所以，采用小波变换提取图像边缘成为当前一个研究方向。由于传统的小波变换方向分辨率较低(方向数较少)，小波系数仅被分解到水平、垂直和对角三个方向上，使得小波变换对具有复杂几何结构的图像边缘提取存在不足，边缘提取存在结果不完整问题。

上述方法都是灰度图像的边缘提取方法不能直接应用于彩色图像。与二值图像和灰度图像相比，彩色图像除了亮度信息还包含人类能够感知的丰富色彩信息，并且彩色图像的边缘没有明确的定义。最简单的彩色图像边缘提取方式是将其看成r、g、b三幅单通道图像，利用灰度图像边缘提取方法进行处理，最后综合其处理结果。这种处理策略会丢失或扭曲原彩色影像的目标边缘信息；另外，就是利用矢量排序或梯度阈值准则来实现边缘信息检测和提取，但对于彩色图像，难以找到合适、通用的彩色矢量排序方法，所以这种提取方法也存在较大的偏差。

小波变换的对偶树框架主要是克服传统小波变换所存在的“平移振荡”这一缺点而提出来的，并且该变换具有低冗余度和各向异性的优点。但是，现存的对偶树小波变换只能处理灰度图像，这限制了该种类型小波变换的具体应用。

本发明公开了一种基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法，主要解决了现有技术在提取彩色图像边缘时，没有考虑彩色像素的高度相关性、计算复杂度高、方向分辨率低和易受噪声干扰的问题。

技术实现要素：

本发明提出了一种基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法，给出了对偶树-复四元数小波变换的定义，实现了对偶树-复四元数小波变换的离散化方法(即构造了对偶树-复四元数分析滤波器组和综合滤波器组)；另外，本发明将对偶树小波框架推广到四元数域层面，解决了传统对偶树小波框架方法不能直接处理彩色图像边缘提取这一问题。

基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法具体步骤如下：

步骤s1，将待处理的彩色图像用复四元数进行表示；

步骤s2，使用对偶树-复四元数小波变换处理步骤s1中的彩色图像，得到该彩色图像的粗尺度和细尺度复四元数值变换系数；

步骤s3，对于粗尺度系数和细尺度系数，分别计算模值，得到分别与粗尺度系数和细尺度系数对应的模值矩阵；

步骤s4，采用非极大值抑制算法处理步骤s3得到的粗尺度和细尺度模值矩阵，保留极大值对应的粗尺度和细尺度系数作为候选边缘；

步骤s5，采用双阈值法处理步骤s4中非极大值抑制后的候选边缘，即去除弱边缘，得到主要边缘。

步骤s6，对步骤s5得到的主要边缘所对应的粗尺度系数和细尺度系数进行对偶树-复四元数小波逆变换。

步骤s7，从步骤s6得到的复四元数矩阵恢复并输出边缘图像。

优选地，所述步骤s1中使用复四元数对原始彩色图像表征的数学公式为：

f＝(fr·i+fg·j+fb·k)+(fr·i+fg·j+fb·k)·i

其中fr、fg和fb分别为彩色图像的r、g和b颜色分量，i、j、k和i分别为复四元数的虚数单位，其运算规则为：

i²＝-1，j²＝-1，k²＝-1，i²＝-1，ij＝-ji＝k，jk＝-kj＝i，ki＝-ik＝j。

优选地，所述步骤s2中对偶树-复四元数小波变换的计算公式为：

cm[n]＝<f，ψm，n>

其中，并且和为两个四元数值双正交小波系统所构成的一个hilbert(希尔伯特)变换对。在具体的编程实现过程中，采用复四元数分析滤波器组来实现对偶树-复四元数小波变换。

优选地，所述步骤s3中，对粗尺度和细尺度系数进行模值运算所采用的公式为：

其中，对应于图像中任意一点(x，y)，代表小波变换中不同方向的一组梯度分量。

优选地，所述步骤s6中对偶树-复四元数小波逆变换的计算公式为：

其中，并且和分别为和的对偶四元数值双正交小波。在具体的编程实现过程中，采用复四元数综合滤波器组来实现对偶树-复四元数小波逆变换。

与现有技术相比，本发明具有的有益效果是：

首先，本发明给出了对偶树-复四元数小波变换的定义，采用复四元数形式对彩色图像进行表征，实现了对偶树-复四元数小波变换的离散化方法；本发明将对偶树小波框架推广到复四元数域层面，解决了传统对偶树小波框架方法不能直接处理彩色图像这一问题。

其次，本发明使用对偶树-复四元数小波变换和非极大值抑制算法进行彩色图像边缘提取，该方法与传统边缘检测算子和小波变换方法相比，边缘提取更加完整，定位精度更高，降低了边缘提取过程中的噪声敏感性，提高了边缘的清晰度、连续性、准确性，增加了边缘提取算法的适用性与稳定性。

第三，本发明提出的边缘提取方法在整个实施过程中始终将彩色图像的三个颜色分量作为一个整体来处理，有效地利用了图像中的细节信息和颜色信息。

最后，本发明提出的边缘提取方法具有较低的计算复杂度，同时也具有其多方向性的优势，在获得更加完整的边缘提取结果的同时减少时间消耗。

附图说明

图1为本发明中基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法的流程图；

图2为本发明中复四元数分析滤波器组结构图；

图3为本发明中复四元数综合滤波器组结构图。

具体实施方式

为了便于理解和实施本发明，现结合说明书附图和实施例对本发明的技术方案作进一步详细描述。本发明提出了一种基于对偶树-复四元数小波的图像边缘提取方法，如图1所示，本发明所采取的技术方案如下：

步骤s1，将待处理的彩色图像用复四元数进行表示，使用复四元数对原始彩色图像表征的数学公式为：

f＝(fr·i+fg·j+fb·k)+(fr·i+fg·j+fb·k)·i

其中fr、fr和fb分别为彩色图像的r、g和b颜色分量，i、j、k和i分别为复四元数的虚数单位，其运算规则为：

i²＝-1，j²＝-1，k²＝-1，i²＝-1，ij＝-ji＝k，jk＝-kj＝i，ki＝-ik＝j。

步骤s2，使用对偶树-复四元数小波变换处理步骤s1中的彩色图像，得到该彩色图像的粗尺度和细尺度复四元数值变换系数(注意，离散情形下该系数是一个矩阵)。对偶树-复四元数小波变换的计算公式为：

cm[n]＝<f，ψm，n>

其中，并且和为两个四元数值双正交小波系统所构成的一个hilbert(希尔伯特)变换对，运算符号“<·，·>”代表四元数值内积运算，两个函数a(x)和b(x)的四元数值内积运算公式如下：

实际上，在具体的编程实现过程中是采用复四元数分析滤波器组来实现对偶树-复四元数小波变换。图2为本发明中复四元数分析滤波器组结构图，注意该图为一维结构图，若要用其来处理二维图像，是通过先处理行然后再处理列的张量积形式实现的。复四元数分析滤波器组由两组滤波系数构成，分别是h0(n)，h1(n)和g0(n)，g1(n)，这两组滤波系数是对偶的。需要注意的是，上述滤波系数均为长度为n的四元数值数组，在本实施例中，n的取值为10，具体如下：

h0(n)＝(0-0.010.010.080.08-0.690.69-0.08-0.080)·(i+j+k)

h1(n)＝(0-0.080.080.690.690.08-0.080.010.010)·(i+j+k)

g0(n)＝(0-0.08-0.080.69-0.690.080.080.01-0.010)·(i+j+k)

g1(n)＝(00.010.01-0.080.080.690.690.08-0.080)·(i+j+k)

如图2所示，原始待处理的彩色图像经过复四元数分析滤波器组处理后得到粗尺度系数矩阵ch(3，n)、cg(3，n)和细尺度系数矩阵dh(1，n)、dg(1，n)、dh(2，n)、dg(2，n)、dh(3，n)和dg(3，n)。需要注意的是，这些粗尺度系数和细尺度系数均为四元数值的矩阵。之所以称图2所示滤波器为“复四元数分析滤波器组”是因为经过该滤波器处理过的彩色图像所得到的粗尺度系数矩阵中的对应元素构成一个复四元数：ch(3，n)作为复四元数的实部，cg(3，n)作为复四元数的虚部。对于细尺度系数矩阵也是如此，这里不再一一赘述。

所述步骤s3中，对粗尺度和细尺度系数进行模值运算所采用的公式为：

其中，对应于图像中任意一点(x，y)，代表小波变换中不同方向的一组梯度分量。在本方法中，n＝1，2，…，6，即对偶树-复四元数小波变换采取6个方向，分别为-75°、-45°、-15°、15°、45°和75°，fdn表示图像在6个方向上的小波变换系数，代表小波变换在6个方向中每个方向上的一组梯度分量。

为了减小计算复杂度，可以在步骤3中，选取6个方向梯度分量中的2个模值最大分量作为候选分量来计算模值，即：

步骤s4，采用非极大值抑制算法处理步骤s3得到的粗尺度和细尺度模值矩阵，保留极大值对应的粗尺度和细尺度系数作为候选边缘；

步骤s5，采用双阈值法处理步骤s4中非极大值抑制后的候选边缘，即去除弱边缘，得到主要边缘。

步骤s6，对步骤s5得到的主要边缘所对应的粗尺度系数和细尺度系数进行对偶树-复四元数小波逆变换。其中，对偶树-复四元数小波逆变换的计算公式为：

其中，并且和分别为和的对偶四元数值双正交小波。在具体的编程实现过程中采用复四元数综合滤波器组来实现对偶树-复四元数小波逆变换。

图3为本发明中复四元数综合滤波器组结构图，注意该图为一维结构图，若要用其来处理二维图像，也是通过先处理行然后再处理列的张量积形式实现的。复四元数综合滤波器组的滤波系数是通过分析滤波系数进行四元数希尔伯特变换获得，在离散条件下，以为例，可以由h0(n)与1/(πn)进行卷积运算得到：

类似的，我们可以得到和

步骤s7，从步骤s6得到的复四元数矩阵恢复并输出边缘图像。

应当说明的是，上述实施例均可根据需要自由组合。以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。