一种基于任意多项式混沌展开的不确定性分析方法与流程

1.本发明属于不确定性量化研究领域，具体涉及一种基于任意多项式混沌展开的不确定性分析方法，可用于分析带有不确定性的实际模型中参数不确定性对结果产生的影响。


背景技术：

2.不确定性分析主要是以输出为对象，量化不确定性输入经过系统传播对输出的影响，描述输出的统计分布。由于真实模型具有结构复杂，参数耦合程度高等特点，需要使用近似模型方法代替原模型，以达到减少计算量等目的。近似建模能够有效降低计算成本、辅助实现变量解耦，对于解决系统的计算复杂性和组织复杂性有着重要作用。目前应用较为广泛的近似方法主要包括:基于多项式的响应面法、样条函数插值近似方法、基于径向基函数近似方法、kriging函数插值近似方法和人工神经网络方法等
3.随着对不确定性传播的近似方法的不断研究，又根据近似方法的实现方式不同，将其分为侵入式和非侵入式两种情况。侵入式是将近似模型增加到系统控制方程中，通过修改原模型而加入不确定项。工程中常用的蒙特卡罗传播仿真、泰勒级数展开近似法等都属于非侵入式方法。除此之外，前面提到的响应面法、kriging函数近似以及人工神经网络方法都属于非侵入式方法。目前最广泛的侵入式近似方法是多项式混沌展开方法。由于嵌入式多项式混沌中多项式系数的求解需要通过对原系统模型的控制方程进行修改，并由此需要对计算机代码进行修改，故多项式混沌具体实现过程与具体对象紧密相关。
4.为了解决上述困难，目前主要对多项式混沌的非侵入式求解方法进行探索研究。非侵入式方法是将系统模型作为黑箱处理，只根据系统输入输出变量样本进行分析，无需对系统模型本身进行修改，因此能够直接基于原有系统模型和程序代码进行计算，避免了方法研究与实际对象的祸合关联，与侵入式方法相比应用前景更加广泛。


技术实现要素：

5.本发明针对模型参数不确定性对输出的定量影响研究中需大样本量的问题，本发明提出一种基于任意多项式混沌展开的不确定性分析方法，使得能够在小样本数量下定量的描述参数不确定性对结果产生的影响，包括如下步骤：
6.步骤一，不确定性参数模型建模；
7.步骤二，不确定性参数取值；
8.步骤三，任意多项式混沌展开基函数求解；
9.步骤四，任意多项式混沌展开系数求解；
10.步骤五，不确定性定量分析。
11.进一步的，所述步骤一还包括如下具体内容：
12.给定带有不确定性参数的模型为
13.y
x
(x)＝f(x)
14.其中，x为不确定性参数，f为以x为自变量的函数，y
x
(x)为以x为自变量的函数输出；该模型的输入为不确定性参数x，输出为该不确定性参数x下函数输出y
x
(x)。
15.进一步的，所述步骤二还包括如下具体内容：
16.根据试验仿真或物理分析定义不确定性参数x的取值范围及概率密度函数，其表达式为
17.x∈[x1,x2],p＝g(x)
[0018]
其中x1和x2分别为不确定性参数x最小取值和最大取值，p为不确定性参数x的概率密度函数；根据不确定性参数x的取值范围及概率密度函数采用满足条件的随机取点方式，选取不确定性参数x的具体值为xn×1＝[x1,x2,
…
,xn]
t
，其中n为随机取点个数，所述步骤二的输入为不确定性参数x的取值范围及概率密度函数，输出为n个不确定性参数x的具体值xn×1。
[0019]
进一步的，所述步骤三还包括如下具体内容：
[0020]
任意多项式混沌展开采用基函数为表达式为
[0021][0022]
其中n为任意多项式混沌展开阶次，为基函数系数，根据步骤二中具体值xn×1，求得所需参数m
p
为
[0023][0024]
则通过如下方程获得基函数系数
[0025][0026]
若不确定性变量为3个，则多变量基函数φi(x)为
[0027][0028][0029][0030][0031][0032]
其中x
(1)
，x
(2)
和x
(3)
分别为3个不确定性变量。
[0033]
进一步的，所述步骤四还包括如下具体内容：
[0034]
所述步骤三中获得基函数φi(x)，随后根据步骤二中具体值xn×1和步骤一中模型
获得输出值yn×1＝[y1,y2,
…
,yn]
t
，由此任意多项式混沌展开系数如下获得
[0035][0036]
其中c0、c1和cn为展开系数，参数其中t为不确定变量个数，c为组合符号。
[0037]
进一步的，所述步骤五还包括如下具体内容：
[0038]
任意多项式混沌展开函数确定为
[0039][0040]
此时根据不确定性参数x的取值范围及概率密度函数采用满足条件的随机取点方式，选取n
max
个具体值，其中n
max
《《n；将取点值输入任意多项式混沌展开函数获得即分析不确定性参数对输出的定量影响。
[0041]
进一步的，不确定性分析方法的待处理模型为ishigami方程，包括如下步骤：
[0042]
6)不确定性参数模型建模，ishigami方程如下所示
[0043][0044]
其中a和b由人工给定为7.0和0.1；
[0045]
7)不确定性参数取值，定义不确定性变量取值范围均为[-π,π]，其概率密度均在取值范围内均匀分布，采用随机取点方法选择100个取值点；
[0046]
8)任意多项式混沌展开基函数求解，定义任意多项式混沌展开的阶次为8，则基函数个数m为165个，根据所述步骤三求解各基函数中系数
[0047][0048]
9)任意多项式混沌展开系数求解，根据所述步骤四求解任意多项式混沌展开系数ci,i＝0,1,
…
m；
[0049]
10)不确定性定量分析，根据基函数与展开系数构造任意多项式混沌展开函数，给定n
max
为105，根据任意多项式混沌展开获取并分析其累计概率密度。
[0050]
具体有益效果如下：
[0051]
(1)本发明提出的基于任意多项式混沌展开的不确定性分析方法，能够有效降低定量分析不确定性参数对输出影响所需的样本点数，便于工程中复杂模型的使用。
[0052]
(2)本发明的待处理模型可以为ishigami方程，在不确定性定量分析中发现采用100取值点的任意多项式混沌展开方法计算的不确定性定量分析结果与采用105取值点的蒙特卡洛方法结果误差较小，因此该方法能够在小样本数量下精确的定量描述参数不确定性对结果产生的影响。
附图说明
[0053]
图1是基于任意多项式混沌展开的不确定性分析方法流程图；
[0054]
图2是100个不确定性参数及其输出的概率密度图；
[0055]
图3是模型输出的累计概率密度。
具体实施方式
[0056]
下面结合附图和具体实施方式对本实用新型的技术方案做进一步详细说明。显然，所描述的实施例仅仅是本实用新型的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本实用新型的实施例，本领域技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本实用新型要求保护的范围。
[0057]
一种基于任意多项式混沌展开的不确定性分析方法，针对模型参数不确定性对输出的定量影响研究中需大样本量的问题，使得能够在小样本数量下定量的描述参数不确定性对结果产生的影响。
[0058]
本发明包括具体如下步骤：
[0059]
步骤一，不确定性参数模型建模
[0060]
首先给定带有不确定性参数的模型为
[0061]yx
(x)＝f(x) (1)
[0062]
其中，x为不确定性参数，f为以x为自变量的函数，y
x
(x)为以x为自变量的函数输出；该模型的输入为不确定性参数x，输出为该不确定性参数x下函数输出y
x
(x)。
[0063]
步骤二，不确定性参数取值
[0064]
根据试验仿真或物理分析定义不确定性参数x的取值范围及概率密度函数，其表达式为
[0065]
x∈[x1,x2],p＝g(x) (2)
[0066]
其中x1和x2分别为不确定性参数x最小取值和最大取值，p为不确定性参数x的概率密度函数；根据不确定性参数x的取值范围及概率密度函数采用满足条件的随机取点方式，选取不确定性参数x的具体值为xn×1＝[x1,x2,
…
,xn]
t
，其中n为随机取点个数，所述步骤二的输入为不确定性参数x的取值范围及概率密度函数，输出为n个不确定性参数x的具体值xn×1。
[0067]
步骤三，任意多项式混沌展开基函数求解
[0068]
任意多项式混沌展开采用基函数为表达式为
[0069][0070]
其中n为任意多项式混沌展开阶次，为基函数系数，根据步骤二中具体值xn×1，可求得所需参数m
p
为
[0071][0072]
则通过如下方程可获得基函数系数
[0073][0074]
若不确定性变量为3个，则多变量基函数φi(x)为
[0075][0076]
其中x
(1)
，x
(2)
和x
(3)
分别为3个不确定性变量。
[0077]
步骤四，任意多项式混沌展开系数求解
[0078]
所述步骤三中获得基函数φi(x)，随后根据步骤二中具体值xn×1和步骤一中模型获得输出值yn×1＝[y1,y2,
…
,yn]
t
，由此任意多项式混沌展开系数可如下获得
[0079][0080]
其中c0、c1和cn为展开系数，参数其中t为不确定变量个数，c为组合符号。
[0081]
步骤五，不确定性定量分析
[0082]
任意多项式混沌展开函数确定为
[0083][0084]
此时根据不确定性参数x的取值范围及概率密度函数采用满足条件的随机取点方式，选取n
max
个具体值，其中n
max
《《n；将取点值输入任意多项式混沌展开函数获得即可分析不确定性参数对输出的定量影响。
[0085]
实施例1：
[0086]
本实例待处理模型为ishigami方程，该模型包含三个不确定性变量，具体实施流程如图1所示。
[0087]
(1)不确定性参数模型建模
[0088]
ishigami方程如下所示
[0089]
[0090]
其中a和b由人工给定为7.0和0.1。
[0091]
(2)不确定性参数取值
[0092]
定义不确定性变量取值范围均为[-π,π]，其概率密度均在取值范围内均匀分布，采用随机取点方法选择100个取值点，取值点的不确定性变量及其输出的概率密度函数如图2所示。
[0093]
(3)任意多项式混沌展开基函数求解
[0094]
定义任意多项式混沌展开的阶次为8，则基函数个数m为165个，根据所述步骤三求解各基函数中系数
[0095]
(4)任意多项式混沌展开系数求解
[0096]
根据所述步骤四求解任意多项式混沌展开系数ci,i＝0,1,
…m[0097]
(5)不确定性定量分析
[0098]
根据基函数与展开系数构造任意多项式混沌展开函数，给定n
max
为105，根据任意多项式混沌展开获取并分析其累计概率密度如图3所示，同时给出采用蒙特卡洛方法给出的标准输出的累计概率密度，发现采用100取值点的任意多项式混沌展开方法计算的不确定性定量分析结果与采用105取值点的蒙特卡洛方法结果误差较小，因此该方法能够在小样本数量下精确的定量描述参数不确定性对结果产生的影响。
[0099]
对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本实用新型。对这些实施例的多种修改对本领域的技术人员来说是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本实用新型范围的情况下，在其他实施例中实现。因此，本实用新型将不会被限制于本文所示的这些实施例，而是要符合与本文所公开的原理和新颖特点相一致的最宽范围。