一种基于压缩感知的顺序正交匹配追踪算法的制作方法

本发明涉及一种基于压缩感知的顺序正交匹配追踪算法，属于压缩感知信号处理技术领域。

背景技术：

压缩感知摒弃了采样、压缩、传输和解压缩的框架，有效地融合了稀疏信号的采样和压缩这两个过程，大大降低实际采样系统的采样率和复杂度。大自然的大多数信号本身是稀疏的或者在一定的基底下是稀疏的，这一特点正是压缩感知切入点。压缩感知能够以低于传统奈奎斯特采样定理的采样方案恢复出这种原始信号。基于这一优势，压缩感知在信道估计、无线传感器网络、核磁共振成像等方面有广泛的应用。

然而从压缩测量中恢复出原始信号是一个NP问题。于此同时，许多次最优的解决方案被提出。他们可以被广义得分为三大类，贪婪算法，凸松弛算法和贝叶斯框架。其中贪婪算法拥有运算速度快和结构简单的特点，因而有着广泛的应用。主要算法有匹配追踪(MP)算法和正交匹配追踪(OMP)算法，分段正交匹配追踪(StOMP)算法，子空间追踪(SP)算法，压缩采样匹配追踪(CoSaMP)算法，稀疏度自适应匹配追踪(SAMP)算法等。其中OMP算法因为操作简单、易于实现、运算速度快和可扩展性强等特点受到人们的广泛关注。

本发明提出一种顺序正交匹配追踪算法，针对如何低成本提升正交匹配追踪算法性能的问题，创新性得利用上次迭代失败后所返回估计支撑集中原子的选择顺序，以此信息作为下次算法迭代的先验信息，在不需要其他任何信息的前提下，通过简单得多次迭代同种算法的方式，有效地提升了正交匹配追踪算法的重构性能。

技术实现要素：

本发明的目的解决了压缩感知理论中正交匹配追踪算法重构性能进一步提升的瓶颈问题，提出了一种基于压缩感知理论的顺序正交匹配追踪算法。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的：

(1)输入：感知矩阵Φ，测量值y，残差能量终止参数ε，外层迭代控制参数η，内层迭代次数限制参数K_max；

(2)初始化：集合外层初始迭代次数k₁＝0；

(3)外层迭代k₁＝k₁+1；

(4)内层初始迭代次数k₂＝0，初始支撑集T⁰＝T_r，残差

(5)内层迭代k₂＝k₂+1；

(6)将残差与感知矩阵Φ的每一列做内积，选出其中内积最大的原子存入集合T_f中，即将集合T_f与上次迭代估计支撑集进行合并得到本次迭代估计支撑集即

(7)先将内层迭代信号估计值清零再用最小二乘法计算出对应的逼近值并计算本次迭代残差

(8)如果残差则转到(11)，否则转到(9)；

(9)如果内层迭代次数k₂≥K_max，则转到(10)，否则转到(5)；

(10)如果外层迭代次数k₁≥η，则转到(11)，否则找到估计支撑集中第一个选择顺序与其估计值不对应的原子φ_f，令为原子φ_f所对应的估计值，令集合中所有对应估计幅值大于的原子组成的新集合为T_r，即，转到(3)；

(11)输出算法估计值

本发明在提高算法性能的过程中，不需要其他任何先验信息，也不需要其他算法作为辅助，仅需要上个正交匹配追踪算法所得估计支撑集中原子选择顺序的信息。

本发明在充分利用原子顺序信息后，仅需再次运行原始算法就可以有效提高算法性能，操作简便，同时提供了一个可控参数用来调整原始算法再次运行的次数，便于算法在重构性能和运算时间之间折中选择。

【本发明的优点和积极效果】

与现有技术相比，本发明具有如下优点和积极效果：

第一，本发明运行成本低，不需要其他任何先验信息，也不需要其他算法作为辅助，仅需要上个正交匹配追踪算法所得估计支撑集中原子选择顺序的信息。

第二，本发明操作简单，在充分利用原子顺序信息后，仅需再次运行原始算法就可以有效提高算法性能。不考虑原始算法迭代所需操作，本发明的额外操作仅仅是比较估计值中每个元素之间的幅值大小。

第三，本发明提供了一个可控参数用来调整原始算法再次运行的次数，便于算法在重构性能和运算时间之间折中选择。这一优势使得本发明在对运行时间要求较低但对重构性能要求较高和对时间要求较高但对重构性能要求较低的场景中均可有效应用。

【附图说明】

图1是本发明提出的一种基于压缩感知的顺序正交匹配追踪算法流程图；

图2是本发明与OMP算法对高斯稀疏信号在准确重构概率上的比较图；

图3是本发明与OMP算法对高斯稀疏信号在平均重构误差上的比较图；

图4是本发明与OMP算法对高斯稀疏信号在平均运行时间上的比较图。

【具体实施方式】

为使本发明的实施方案与意义优势表述得更为清楚，下面结合附图及重构效果比较图，以及理论分析，对本发明进行更为详细的说明。应该理解，这些分析说明只是示例性的，并非要限制本发明的范围。

图1是本发明提出的一种基于压缩感知的正交匹配追踪算法流程图，算法具体流程如下：

(1)输入：感知矩阵Φ，测量值y，残差能量终止参数ε，外层迭代控制参数η，内层迭代次数限制参数K_max；

(2)初始化：集合外层初始迭代次数k₁＝0；

(3)外层迭代k₁＝k₁+1；

(4)内层初始迭代次数k₂＝0，初始支撑集T⁰＝T_r，残差

(5)内层迭代k₂＝k₂+1；

(6)将残差与感知矩阵Φ的每一列做内积，选出其中内积最大的原子存入集合T_f中，即将集合T_f与上次迭代估计支撑集进行合并得到本次迭代估计支撑集即

(7)先将内层迭代信号估计值清零再用最小二乘法计算出对应的逼近值并计算本次迭代残差

(8)如果残差则转到(11)，否则转到(9)；

(9)如果内层迭代次数k₂≥K_max，则转到(10)，否则转到(5)；

(10)如果外层迭代次数k₁≥η，则转到(11)，否则找到估计支撑集中第一个选择顺序与其估计值不对应的原子φ_f，令为原子φ_f所对应的估计值，令集合中所有对应估计幅值大于的原子组成的新集合为T_r，即，转到(3)；

(11)输出算法估计值

上述步骤中，步骤(4)至步骤(9)可视为原始的OMP算法。下面给出本发明的理论分析：

对于感知矩阵可以用性质可以用相关性参数来衡量，而表示矩阵Φ任意两列之间的相关性。在此我们考虑μ(Φ)＜μ的感知矩阵。不失一般性，我们假定稀疏信号x的K个非零项下标为{1，2，…，K}，且|x₁|≥|x₂|≥…≥|x_K|。则在OMP算法的第一次迭代中，可以得到矩阵的第一个原子与残差的内积为

其中e为测量噪声。而对于i∈{2，3，…，K}的原子，残差与它们的内积有一个上界，

(1)式跟(2)式经过复杂运算可得，当满足(3)式时，OMP算法在初次迭代中必定选中原始信号中幅值最大的元素对应的原子。

假定在k-1次迭代中，OMP成功选中原信号中第k-1大元素对应的原子。则对应残差为：

其中，c₁＝c′₁-x₁，…，c_k-1＝c′_k-1-x_k-1。系数c₁，c₂…c_k-1可由下面的方法给出上界。对i∈{1，2，…，k-1}，可以有：

即，|c₁|≤|x_k|(K-k+1)μ+||e||₂+μ(|c₁|+…+|c_t-1|+|c_t+1|+…+|c_k-1|) (4)

令c_max＝max_{J＝1，...，k-1}|c_J|，不等式(4)可以变形为

c_max≤|x_k|(K-k+1)μ+||e||₂+μ(k-2)c_max

即，

回到OMP第k次迭代，残差跟原信号第k大元素相对应的原子的内积为

其他非零项元素i∈{k+1，k+2，…，K}对应原子的内积为

若(6)式右边大于(7)式右边，即(8)式满足时，可以保证OMP算法在第k次迭代中能够找到原信号的第k大项。

因为在第一次迭代中c_max＝0，所以(8)式蕴含(3)式。

以上用数学归纳法证明了，在满足(8)式时，OMP算法原子的选择顺序与原始信号每个元素的幅度是一一对应的。虽然在迭代过程中，算法无法提前知道原始信号幅值信息，但是可以用算法估计值进行逼近。当然在实际运行中，即便每个原子选择顺序不符合上述规律，OMP依然能够成功重构原始信号。但是，上述证明给了一个在算法迭代失败后，有效改善算法性能的途径。同时为了避免刻意追求每个原子的选择顺序均正确，本发明在一次外层迭代中，仅修正一个原子的选择顺序，且该原子为第一个选入顺序与其估计值不对应的原子。下面的数值仿真实验进一步证明了本发明相对于OMP算法的优势。

图2、图3和图4分别是本发明与OMP算法对高斯稀疏信号在准确重构概率、平均重构误差和平均运行时间上的比较图。感知矩阵Φ为高斯随机矩阵，大小为128×256。原始信号x为高斯稀疏信号，维度为一维，长度与感知矩阵列数相同均为256。此外，原始信号的稀疏度K在本实验中是变化的，从18以步长3逐渐增大到45。内层迭代次数限制参数K_max＝50。残差能量终止参数ε＝10^-6。本发明1的外层迭代控制参数η为2，而本发明2的外层迭代控制参数η为9。为避免结果随机性，对每个稀疏度K，均采用不同的感知矩阵和原始信号重复500次实验，得到统计平均值。准确重构概率用准确恢复的原始信号与所有原始信号总数的比率来表示。其中，准确恢复条件用真实信号与估计值之间的关系式表示平均重构误差用平均归一化最小均方误差(Average Normalized Mean-Squared-Error，ANMSE)来计算，表达式为其中表示第i个原始信号x_i的估计信号。

从图2可以看出，对于所有的稀疏度K，本发明1和本发明2算法的准确重构概率均高于OMP算法。而本发明2算法的准确重构概率是最高的。可见本发明的策略使得OMP算法的重构性能得到了提升。从图3可以看出，本发明1和本发明2的平均重构误差均优于OMP算法。而本发明2的平均重构误差更低于本发明1.从图4可以看出，而本发明2虽然重构精度优于本发明1但是其运行时间却高于本发明1。可见通过选择不同的外层迭代控制参数η可以有效调整本发明在重构精度和运行时间上的折中，使得本发明的应用领域更加广泛。通过上述实验可以证明本发明相比正交匹配追踪算法在压缩感知信号重构领域更具优势。