一种基于Bull公式的铣削稳定性预测方法与流程

本发明属于数控技术领域，尤其涉及一种基于Bull公式的铣削稳定性预测方法，主要用于多轴加工中铣削稳定性的预测。

背景技术：
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铣削是一种加工方法，能够从金属试样中切除大量的金属材料。该方法能够保证作业过程的精确性、高效性。铣削颤振常常发生在铣削加工过程中,是一种自激振动现象。铣削颤振的出现将会加剧刀具磨损，降低加工中心的使用寿命，恶化工件表面加工质量，严重制约加工中心的使用效率。因此，应及早预测铣削过程中铣刀的稳定性，选取合理的加工参数，避免发生铣削颤振现象。

按照颤振机理的不同，加工过程中的颤振分为再生颤振、模态耦合颤振、摩擦颤振和力-热颤振。就铣削加工过程而言，再生颤振是引起加工过程失稳的主要因素。考虑再生效应的动态铣削过程一般可用包含周期系数矩阵的时滞微分方程组来描述。

描述铣削过程再生效应动力学的时滞微分方程组具有无穷维状态空间，分析其运动稳定性具有相当的难度。到目前为止，国内外学者针对这一类时滞微分方程组，已提出许多近似方法以预报由临界加工参数构成的铣削过程稳定性边界，但目前铣削稳定性预测方法仍然存在预测准确度不高、效率低和通用性差的问题。

技术实现要素：
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为了解决铣削稳定性预测方法存在的问题，本发明提出了一种基于Bull公式的铣削稳定性预测方法。和其它预测铣削稳定性的一阶、二阶半离散或全离散方法相比，新方法不仅能更准确的预测铣削稳定性，还具有更高的预测效率。

一种基于Bull公式的铣削稳定性预测方法，包括以下步骤：

1)将包含再生效应的铣削过程的动力学方程组通过变换转化为空间状态形式

在结构动力学框架下，包括再生效应的铣削过程的动力学模型可由以下时滞微分方程组描述

其中，M、C和K分别是刀具的模态质量、模态阻尼和模态刚度矩阵；q(t)为刀具模态坐标，且振型系数在刀尖点处归一，K_c(t)为周期系数矩阵，T为时滞量且等于刀齿切削周期，T＝60/(NΩ),且N为刀具齿数，Ω为刀具主轴转速，单位为rpm。

令和x(t)＝[q(t) p(t)]^T。通过变换，式(1)可以转换为如下的空间状态形式：

其中，A表示常数矩阵；H(t)表示周期为T的考虑再生效应的系数矩阵，且H(t)＝H(t+T)。

其中

令G(t)＝A-H(t),F(t)＝G(t)x(t)+H(t)x(t-T),则(2)变为

2)将刀齿切削周期T离散为等距的m个小区间，则任意一个时间小区间为[t_i,t_i+1]，其中t_i＝t₁+(i-1)τ(i＝1,2,…m+1)，

由(3)式和牛顿-莱布尼兹公式得：

利用数值积分中的Bull公式可得:

将F(t_i),F(t_i+1),F(t_i+2),F(t_i+3),F(t_i+4)代入(5)式得：

此外，在t＝t₃,t₄时，由Simpson公式得：

将F(t_i),F(t_i+1),F(t_i+2)代入(7)得

在t＝t₂时，利用梯形公式可得

将F(t₁),F(t₂)代入(9)得

最后考虑到状态t＝t₁和t＝t_m+1之间的联系，可得

x(t₁)＝x(t_m+1-T) (11)

结合(6)、(8)、(10)、(11)式得

其中

3)由(12)式得系统的Floquet转移矩阵为Ψ＝L^-1E

4)计算转移矩阵Ψ的特征值，根据Floquet理论通过特征值的模判

定系统的稳定性。一般判定方法为：

附图说明

图1为径向切深与刀具直径之比为1时的稳定性Lobe图，

图2为径向切深与刀具直径之比为0.5时的稳定性Lobe图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下以结合附图及实施例子，对本发明进行进一步的详细描述。此处所描述的具体实施例子仅用于解释本发明，并不用于限定本发明。

1.柔性刀具-刚性工件下的x方向上单自由度铣削动力学方程为：

式中，m_t、ζ、ω_n为系统的模态参数，分别表示为刀具的模态质量、阻尼比、刀具的自然圆频率；a_p为轴向切削深度；h(t)为切削力系数，即

式中，K_t、K_n分别为切向和法向切削力系数，φ_j(t)为第j个刀齿的角位移，且N为刀具齿数，Ω为刀具主轴转速。g(φ_j(t))函数定义为：

上式中，φ_st和φ_ex分别表示刀具的切入角和切出角。对于顺铣，φ_st＝arccos(2a/D-1),φ_ex＝π,逆铣时，φ_st＝0，φ_ex＝arccos(1-2a/D)，其中a/D表示径向切深与刀具直径之比。

令通过变换，则式(1)可改写为：

其中

令G(t)＝A-H(t),F(t)＝G(t)x(t)+H(t)x(t-T),则(2)变为

2.将刀齿切削周期T离散为等距的m个小区间，则任意一个时间小区间为[t_i,t_i+1]，其中t_i＝t₁+(i-1)τ(i＝1,2,…m+1)，

由(3)式和牛顿-莱布尼兹公式得：

利用数值积分中的Bull公式可得:

将F(t_i),F(t_i+1),F(t_i+2),F(t_i+3),F(t_i+4)代入(5)式得：

此外，在t＝t₃,t₄时，由Simpson公式得：

将F(t_i),F(t_i+1),F(t_i+2)代入(7)得

在t＝t₂时，利用梯形公式可得

将F(t₁),F(t₂)代入(9)得

最后考虑到状态t＝t₁和t＝t_m+1之间的联系，可得

x(t₁)＝x(t_m+1-T) (11)

结合(6)、(8)、(10)、(11)式得

其中

3)由(12)式得系统的Floquet转移矩阵为Ψ＝L^-1E

4)计算转移矩阵Ψ的特征值，根据Floquet理论通过特征值的模判定系统的稳定性。一般判定方法为：

给定工艺参数：逆铣加工，刀齿数N＝2，模态质量m_t＝0.03993kg，阻尼比ζ＝0.011，自然圆频率ω_n＝922×2πrad/s，切削力系数K_t＝6×10⁸N/m²，K_n＝2×10⁸N/m²，离散数m＝50，刀具主轴为转速Ω从5000rpm到10000rpm，轴向切削深度a_p从0到4mm。

将上述步骤和参数通过Matlab得到稳定性Lobe图来预测铣削过程中的稳定性，选取径向切深与刀具直径之比a/D＝1,0.5，得到稳定性Lobe图如图1，2所示。