本发明涉及一种功能梯度材料建模方法，特别是涉及一种基于等几何分析法的功能梯度材料零件建模方法。
背景技术：
文献“基于从材料空间到几何空间映射思想的功能梯度材料建模方法，计算机集成制造系统，2009，Vol31(8)，p1864-1869”针对几何形状、材料分布复杂的功能梯度材料零件，提出了一种从材料空间到几何空间映射的建模思想。该方法首先定义梯度材料空间，然后给定从材料空间到几何空间的映射函数，通过材料组分值和相应的映射函数，确定与给定材料组分值对应的几何空间。再利用插值算法，计算其他部分的材料信息，最终实现模型几何信息和材料信息的整体表达，就有数据的简洁等重要性质。文献所述方法通过指定无物理意义的三角函数、线性函数等作为几何空间与材料空间的映射函数，无法适应具有复杂形状功能梯度零件；当零件边界材料组分发生变化时，需要重新通过插值算法确定零件内部材料分布状态，效率不高。
技术实现要素：
为了克服现有功能梯度材料建模方法效率低的不足，本发明提供一种基于等几何分析法的功能梯度材料零件建模方法。该方法采用泊松方程精确描述零件内部材料分布，并采用张量积NURBS参数体对功能梯度材料零件几何与材料进行耦合表达，将设计人员指定的材料信息作为边界条件，通过等几何分析算法求解上述泊松方程，最终实现功能梯度材料建模。由于泊松方程是一种偏微分方程，其计算域可以是任何复杂几何空间，因此具有较强的适应性，而等几何分析法能够将零件几何表达与材料空间计算纳入统一框架之下，省去了节点插值、模型转换等环节，提升了材料空间的计算效率。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于等几何分析法的功能梯度材料零件建模方法，其特点是包括以下步骤：
(a)建立功能梯度材料零件内部材料分布数学模型。
功能梯度材料零件内部材料分布状态抽象为以下数学模型：
其中，A为拉普拉斯微分算子矩阵，f＝[f1,f2…fN]表示组成功能梯度材料零件的N种材料对应的体积分数，b＝[b1,b2…bN]为设计人员控制零件内部材料分布的调整系数，f0表示边界处已知的材料组分信息，Ω指零件几何空间，指零件几何空间边界。
公式(2)为公式(1)中Af＝b的展开表示形式：
由公式(1)和公式(2)得到，功能梯度材料零部件内部第i种材料需满足：
(b)离散零件几何空间。
零件几何区域离散表示为控制顶点以及B样条基函数的线性加权组合：
式中，r(u,v,w)表示离散后的零件几何空间，Ni(u),Nj(v),Nk(w)表示由节点矢量U,V,W定义的B样条基函数，m,n,l表示沿着参数u,v,w三个方向的控制顶点个数，dijk表示控制顶点。
(c)采用等几何分析法进行方程求解并完成建模。
采用加权余量法，在公式(3)材料场平衡方程的两端同乘上一个权函数w，权函数被理解为材料场的变分，拉普拉斯微分算子简化表示为原方程转化为：
通过分步积分和格林公式，得到：
式中，Γ表示几何空间边界，其意义与相同，n表示几何空间边界处的法向矢量。由于建立的数学模型中不涉及第二类、第三类边界条件，且在第一类边界条件处权函数w＝0，因此整理公式(6)得泊松方程等效积分弱形式：
确定等几何分析中的形状函数以及权函数w，梯度材料零件内部材料空间由B样条离散表示为：
式中，被称为材料体积分数控制变量。将公式(8)代入到公式(7)中得：
式中，[Kij]和[Fi]分别表示等几何分析中的刚度矩阵和载荷向量，它们的分量由以下公式计算：
式中，Ni,Nj分别表示形状函数以及权函数。
对公式(9)表示的线性方程组进行求解，得到零件材料体积分数控制变量代入公式(8)得到零件内部任意材料体积分数。
本发明的有益效果是：该方法采用泊松方程精确描述零件内部材料分布，并采用张量积NURBS参数体对功能梯度材料零件几何与材料进行耦合表达，将设计人员指定的材料信息作为边界条件，通过等几何分析算法求解上述泊松方程，最终实现功能梯度材料建模。由于泊松方程是一种偏微分方程，其计算域可以是任何复杂几何空间，因此具有较强的适应性，而等几何分析法能够将零件几何表达与材料空间计算纳入统一框架之下，省去了节点插值、模型转换等环节，提升了材料空间的计算效率。
下面结合具体实施方式对本发明作详细说明。
具体实施方式
本发明基于等几何分析法的功能梯度材料零件建模方法具体步骤如下：
1、建立功能梯度材料零件内部材料分布数学模型。
以功能梯度材料各组成材料相的体积分数f作为设计变量，零件内部材料分布状态可以抽象为以下数学模型：
其中，A为拉普拉斯微分算子矩阵，f＝[f1,f2…fN]为组成功能梯度材料零件的N种材料对应的体积分数，b＝[b1,b2…bN]为设计人员控制零件内部材料分布的调整系数，f0表示边界处已知的材料组分信息，Ω指零件几何空间，指零件几何空间边界。
公式(2)为公式(1)中Af＝b的展开表示形式：
由公式(1)和公式(2)可得，功能梯度材料零部件内部第i种材料需满足：
对于上述数学模型，公式(1)中的f＝f0表示泊松方程中的狄利克雷边界条件，在功能梯度材料零件建模中可解释为边界上由设计人指定的材料分布信息，因此被称为材料边界条件，又习惯把它称为本质边界条件。
2、离散零件几何空间。
由于具有复杂结构的零件在商业计算机辅助设计软件内部进行建模时，往往自动生成零件模型的控制顶点以及节点矢量，因此通过软件二次开发技术导出零件几何区域的控制顶点以及节点矢量，利用计算机图形学中的B样条理论实现零件重构。即零件几何区域可以离散表示为控制顶点以及B样条基函数的线性加权组合：
式中，r(u,v,w)表示离散后的零件几何空间，Ni(u),Nj(v),Nk(w)表示由节点矢量U,V,W定义的B样条基函数，m,n,l表示沿着参数u,v,w三个方向的控制顶点个数，dijk表示控制顶点。通过公式(4)实现了零件几何区域的离散表示，同时该式也将扩展为后续步骤中材料空间的表示式。
3、采用等几何分析法进行方程求解并完成建模。
采用加权余量法，在材料场平衡方程(3)的两端同乘上一个权函数w，权函数可以理解为材料场的变分，拉普拉斯微分算子可以简化表示为原方程转化为：
通过分步积分和格林公式，可以得到：
式中，Γ表示几何空间边界，其意义与相同，n表示几何空间边界处的法向矢量。由于建立的数学模型中不涉及第二类、第三类边界条件，且在第一类边界条件处权函数w＝0，因此整理公式(6)可得泊松方程等效积分弱形式：
由于在步骤2中已经实现了几何区域的B样条离散表示，因此使用几何离散表示中引入的B样条基函数Ni(u),Nj(v),Nk(w)作为等几何分析的形状函数以及权函数w，同时在原几何空间维度上添加材料空间维度，实现梯度材料零件内部材料空间的B样条离散表示：
式中，被称为材料体积分数控制变量，公式(4)中几何形状控制顶点dijk类似。将公式(8)代入到公式(7)中得：
式中，[Kij]和[Fi]分别表示等几何分析中的刚度矩阵和载荷向量，它们的分量由以下公式计算：
式中，Ni,Nj分别表示形状函数以及权函数。
对公式(9)表示的线性方程组进行求解，得到零件材料体积分数控制变量代入公式(8)可得到零件内部任意材料体积分数。
指定零件内部任意点u,v,w，即可通过公式(4)得到零件内部该点对应的几何空间坐标。公式(8)中的控制变量由公式(9)求解线性方程组得到，因此将u,v,w代入到公式(8)中即可得到该点材料的体积分数,从而实现功能梯度材料零件几何空间以及材料空间的数学表达，即完成了功能梯度材料零件建模。