一种基于第二代小波的原始信号重构方法与流程

本发明属于数据压缩领域，尤其涉及一种基于第二代小波的原始信号重构方法，适用于传统压缩感知对非结构化海量网络数据的重构。

背景技术：

压缩感知作为一个新兴的采样理论，通过利用数据的稀疏特性，可以在远低于奈奎斯特采样率的条件下，获取数据量远小于原始信号的数据样本，然后通过非线性算法重构原始信号。

传统的压缩感知技术是开发以用于应用于图像压缩领域的，由于图像数据可用点阵的形式进行表示，用第一代小波作为稀疏基可以很好地对其进行稀疏表示。而对于非结构化海量网络数据，由于其明显的非结构化特性，以第一代小波作为稀疏基难以很好的对其进行稀疏表示，这将导致压缩感知对非结构化海量网络数据的质量显著下降。

第二代小波方法相对于传统小波算法，是一种更为快速有效的小波变换实现方法，不依赖Fourier变换，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面突出优点弥补了传统频域构造方法的不足。在压缩感知技术应用中，通过第二代小波作为稀疏基对原始信号进行稀疏表示，使得非结构化海量数据能够被很好的稀疏表示。

技术实现要素：

本发明的目的在于提出一种基于第二代小波的原始信号重构方法，以解决传统压缩感知对于非结构化海量网络数据的不适用性问题，以实现尽可能大的压缩比和尽可能小的失真。

为实现上述目的，本发明的技术方案包括如下：

一种基于第二代小波的原始信号重构方法，包括以下步骤：

步骤1：对原始信号进行稀疏表示，通过稀疏基和原始信号得到稀疏系数；

步骤2：对原始信号进行采样，由测量矩阵和原始信号得到测量值；

步骤3：对稀疏基、测量值及随机数种子进行存储；

步骤4：通过迭代得到稀疏系数，利用稀疏基对原始信号进行重构。

进一步根据所述基于第二代小波的原始信号重构方法，步骤1中所述对原始信号进行稀疏表示，通过稀疏基和原始信号得到稀疏系数：

对于给定的点集S＝{x₁,x₂,…,x_n}，有x₁<x₂<…<x_n，n＝k×2^l，其中n,k,l均为正整数；

对于任意一个2k×2k的矩阵V，则V^L表取矩阵V的下边的k×2k半部分，V^U表示取矩阵V的上边的k×2k半部分，有

通过第二代小波作为稀疏基对原始信号x进行稀疏表示，使得非结构化海量数据能够被很好的稀疏表示，对原始信号x进行稀疏表示，按如下步骤进行：

(1-1)构造2k×2k的矩阵M_1,i，其中i＝1,…,n/2k，s_i＝(i-1)2k；

矩阵M_1,i的正交基U_1,i，U_1,i＝[Orth(M_1,i)]^T，Orth表示求正交基运算；由U_1,i得到U₁：

由U₁得到第一个基矩阵Ψ₁，第一个基矩阵Ψ₁是构造稀疏基Ψ时所必须的中间运算结果，Ψ₁＝U₁；

(1-2)构造一个2k×2k的矩阵M_2,i，其中i＝1,…,n/2k，由M_2,i得到U_2,i，U_2,i＝[Orth(M_2,i)]^T；再通过U_2,i得到U₂′：

其中n₂＝n/4k，由U₂′得到U₂，其中I_n/2为(n/2)×(n/2)的单位矩阵；

由U₂和U₁，得到第二个基矩阵ψ₂，ψ₂＝U₁U₂；

按照构造矩阵M_1,i的方法构造M_1,2i和M_1,2i-1；

(1-3)得到第j个基矩阵ψ_j，其中j＝2，…，log₂(n/k)，构造2k×2k的矩阵M_j,i，其中i＝1,…,n/2k，由M_j,i可以得到U_j,i，U_j,i＝[Orth(M_j,i)]^T，由U_j,i可以得到U_j′：

由U_j′可以得到U_j，

对于j＝2，…，log₂(n/k)所得的U_j和U₁，可以得到第j个基矩阵ψ_j，ψ_j＝U₁U₂…U_j；

(1-4)当j取得最大值log₂(n/k)时，所得第j个基矩阵ψ_j即为稀疏基ψ，即

(1-5)通过稀疏基ψ和原始信号x得到稀疏系数s，具体的s＝ψ^-1x，其中ψ^-1表示求稀疏基ψ的逆矩阵；

所述稀疏系数s就是原始信号x在稀疏基ψ上稀疏表示的结果。

进一步根据所述基于第二代小波的原始信号重构方法，步骤2中所述对原始信号进行采样，由测量矩阵和原始信号得到测量值；

构造一个大小为M×N的Bernoulli随机矩阵作为测量矩阵Φ，其中每一个元素独立服从Bernoulli分布，第i行、第j列个元素用Φ_i,j表示：

由测量矩阵Φ和原始信号x得到测量值y，y＝Φx＝Φψs＝As。

进一步根据所述基于第二代小波的原始信号重构方法，步骤3中所述对稀疏基、测量值及随机数种子进行存储：

将稀疏基ψ、测量值y和用作测量矩阵Φ的Bernoulli随机矩阵的随机数种子进行存储，待需要对原始信号重构时进行调用；

所述随机数种子是指计算机用于生成随机矩阵的真随机数，矩阵中的每一个元素都是通过一个来源于计算机系统时间的真随机数经算法计算得到，所述真随机数即随机数种子；在种子一定，算法一定的情况下，获得的随机矩阵是相同的；在存储时，不需要存储传输整个测量矩阵Φ，只存储随机数种子；

进一步根据所述基于第二代小波的原始信号重构方法，步骤4中所述通过迭代得到稀疏系数，利用稀疏基对原始信号进行重构，按如下步骤进行：

(4-1)获取测量值y、随机数种子以及稀疏基ψ，生成测量矩阵Φ，并由测量矩阵Φ和稀疏基ψ得到传感矩阵A，A＝Φψ；

(4-2)未开始迭代时的残差r₀＝y，未开始迭代时的索引集合迭代次数t的初始值1，其中t为迭代次数，最大迭代次数为t_max；

(4-3)由上次迭代得到的残差r_t-1和传感矩阵A的行数M，得到门限T_h，||·||₂表示求矩阵的2范数，其中ts为门限参数ts，rt表示第t次迭代时的残差；

由传感矩阵A和残差r_t-1得到一个长为N的向量u，有u＝abs(A^Tr_t-1)，abs(·)表示求模值；

对于1≤j≤N，依次计算<r_t-1,a_j>，<·,·>表示求向量内积，将得到的N个数值构成向量u，选择u中大于门限T_h的值，将对应传感矩阵A的列序号j构成集合J₀，所述集合为列序号集合，J₀表示每次迭代找到的索引；

(4-4)索引集合Λ_t＝Λ_t-1∪J₀，列集合A_t＝A_t-1∪a_j，求y＝A_ts_t的最小二乘解，得s_t的估计值更新残差t＝t+1；

其中a_j表示矩阵传感矩阵A的第j列，A_t表示按索引Λ_t选出的传感矩阵A的列集合；

若Λ_t＝Λ_t-1，或t>t_max，或r_t＝0，则停止迭代；

重构所得在Λ_t处有非零项，其值为最后一次迭代所得稀疏系数s_t，为迭代结束时对稀疏系数s的最终估计值，s_t为第t次迭代时对稀疏系数s的估计值；

(4-5)迭代结束时，得到稀疏系数利用稀疏基ψ可重构原始信号，即得到原始信号x的估计值

所述估计值即为重构的原始信号。

本发明与现有技术相比，具有如下优点：

1.本发明由于使用第二代小波作为稀疏基对原始信号x进行稀疏表示，使得非结构化海量数据能够被很好的稀疏表示，解决了传统的基于第一代小波的压缩感知技术对非结构化海量数据的不适用性问题，获得了较大的压缩比，第二代小波是多项式，所以具有计算速度快的优点。

2.本发明由于使用了分段正交匹配追踪进行数据的重构，使得能够通过测量值y，即原始信号x压缩后的结果，在允许的失真范围内恢复出原始信号x，对提高压缩比提供了有力的保障。

附图说明

图1为本发明所述一种基于第二代小波的原始信号重构方法实现流程图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图，对本发明所述方案和效果作进一步详细描述。

如图1所示，本发明对所述一种基于第二代小波的原始信号重构方法，具体步骤如下所述。

步骤1：对原始信号进行稀疏表示，通过稀疏基和原始信号得到稀疏系数。

对于给定的点集S＝{x₁,x₂,…,x_n}，其中x₁<x₂<…<x_n，n＝k×2^l，n,k,l均为正整数。

对于任意一个2k×2k的矩阵V，则V^L表取矩阵V的下边的k×2k半部分，V^U表示取矩阵V的上边的k×2k半部分，有

通过第二代小波作为稀疏基对原始信号x进行稀疏表示，使得非结构化海量数据能够被很好的稀疏表示，对原始信号x进行稀疏表示，按如下步骤进行：

(1-1)构造2k×2k的矩阵M_1,i如下：

其中i＝1,…,n/2k，s_i＝(i-1)2k。

矩阵M_1,i的正交基U_1,i，U_1,i＝[Orth(M_1,i)]^T，Orth表示求正交基运算，由U_1,i得到U₁：

由U₁得到第一个基矩阵Ψ₁，第一个基矩阵Ψ₁是构造稀疏基Ψ时所必须的中间运算结果，Ψ₁＝U₁。

(1-2)构造一个2k×2k的矩阵M_2,i，其中i＝1,…,n/2k，由M_2,i得到U_2，i，U_2，i＝[Orth(M_2，i)]^T，再通过U_2，i得到U₂′：

其中n₂＝n/4k，由U₂′得到U₂，其中I_n/2为(n/2)×(n/2)的单位矩阵。

由U₂和U₁，得到第二个基矩阵ψ₂，ψ₂＝U₁U₂。

按照构造矩阵M_1，i的方法构造M_1，2i和M_1，2i-1。

(1-3)得到第j个基矩阵ψ_j，其中j＝2，…，log₂(n/k)，构造2k×2k的矩阵M_j，i，其中i＝1，…，n/2k，由M_j，i可以得到U_j，i，U_j，i＝[Orth(M_j，i)]^T，由U_j，i可以得到U_j′：

由U_j′可以得到U_j，

对于j＝2，…，log₂(n/k)所得的U_j和U₁，可以得到第j个基矩阵Ψ_j，ψ_j＝U₁U₂…U_j。

(1-4)当j取得最大值log₂(n/k)时，所得第j个基矩阵ψ_j即为稀疏基ψ，即

(1-5)通过稀疏基ψ和原始信号x得到稀疏系数s，具体的s＝ψ^-1x。其中ψ^-1表示求稀疏基ψ的逆矩阵。

所述稀疏系数s就是原始信号x在稀疏基ψ上稀疏表示的结果。

步骤2：对原始信号进行采样，由测量矩阵和原始信号得到测量值。

构造一个大小为M×N的Bernoulli随机矩阵作为测量矩阵Φ，其中每一个元素独立服从Bernoulli分布，第i行、第j列个元素用Φ_i,j表示：

由测量矩阵Φ和原始信号x得到测量值y，y＝Φx＝Φψs＝As。

步骤3：对稀疏基、测量值及随机数种子进行存储。

将稀疏基ψ、测量值y和用作测量矩阵Φ的Bernoulli随机矩阵的随机数种子进行存储，待需要对原始信号重构时进行调用。

所述随机数种子是指计算机用于生成随机矩阵的真随机数，矩阵中的每一个元素都是通过一个来源于计算机系统时间的真随机数经算法计算得到，所述真随机数即随机数种子。在种子一定，算法一定的情况下，获得的随机矩阵是相同的。在存储时，不需要存储传输整个测量矩阵Φ，只存储随机数种子。

步骤4：通过迭代得到稀疏系数，利用稀疏基对原始信号进行重构。

按如下步骤进行：

(4-1)获取测量值y、随机数种子以及稀疏基ψ，生成测量矩阵Φ，并由测量矩阵Φ和稀疏基ψ得到传感矩阵A，A＝Φψ；

(4-2)未开始迭代时的残差r₀＝y，未开始迭代时的索引集合迭代次数t的初始值1，其中t为迭代次数，最大迭代次数为t_max；

(4-3)由上次迭代得到的残差r_t-1和传感矩阵A的行数M，得到门限T_h，||·||₂表示求矩阵的2范数，其中t_s为门限参数t_s，r_t表示第t次迭代时的残差；

由传感矩阵A和残差r_t-1得到一个长为N的向量u，u＝abs(A^Tr_t-1)，abs(·)表示求模值；

对于1≤j≤N，依次计算<r_t-1,a_j>，<,·>表示求向量内积，将得到的N个数值构成向量u，选择u中大于门限T_h的值，将对应传感矩阵A的列序号j构成集合J₀，所述集合为列序号集合，J₀表示每次迭代找到的索引；

(4-4)索引集合Λ_t＝Λ_t-1∪J₀，列集合A_t＝A_t-1∪a_j，求y＝A_ts_t的最小二乘解，得s_t的估计值更新残差t＝t+1；

其中a_j表示矩阵传感矩阵A的第j列，A_t表示按索引Λ_t选出的传感矩阵A的列集合；

若Λ_Λ＝Λ_t-1，或t>t_max，或r_t＝0，则停止迭代；

重构所得在Λ_t处有非零项，其值为最后一次迭代所得稀疏系数s_t，为迭代结束时对稀疏系数s的最终估计值，s_t为第t次迭代时对稀疏系数s的估计值；

(4-5)迭代结束时，得到稀疏系数利用稀疏基ψ可重构原始信号，即得到原始信号x的估计值

所述估计值即为重构的原始信号。

以上仅是对本发明的优选实施方式进行了描述，并不将本发明的技术方案限制于此，本领域技术人员在本发明的主要技术构思的基础上所作的任何公知变形都属于本发明所要保护的技术范畴，本发明具体的保护范围以权利要求书的记载为准。