的概念，提出了一种关于分忆抗元的新颖基本概念及其滤波器。本发明运用一种新颖的 数学方法，分数阶微积分，来分析所提出的基本概念及其滤波器。特别地，在关于所有二端 电路元件的蔡氏周期表中，本发明所提出的容性分忆抗元的电气特性应该处于电容和忆阻 元的电气特性之间。本发明所提出的感性分忆抗元的电气特性应该处于电感和忆阻元的电 气特性之间。本发明所提出的分忆抗元可被视为一种具有预测功能的分数阶忆阻元。与经 典的一阶忆阻元相比，可预测特性是本发明所提出的分忆抗元所具备的最主要优点。
【发明内容】
[0005] 本发明所提出的容性分忆抗元和感性分忆抗元滤波器实现一种兼具分数阶非线 性记忆和预测功能的新型电路元器件。本发明涉及的分数阶阶次V不是传统的正整数，而是 正实数，工程应用中一般取分数或有理小数，V=m+p，m是正整数，且Μρ<1。见图1，该滤波 器是采用其输入点1、分数阶微分器2、卷积器3、忆阻器4、（l-p)次幂运算器5、Laplace逆变 换器6、乘法器7和其输出点8以级联方式构成的，其中，该滤波器输入点1馈入的该容性分忆 抗元和感性分忆抗元滤波器的端口电流Mt)输入给分数阶微分器2,分数阶微分器2输出 信号输入给卷积器3,忆阻器4输出信号输入给（Ι-p)次幂运算器5,（Ι-p)次幂运算器5输出 信号输入给Laplace逆变换器6，Laplace逆变换器6输出信号输入给卷积器3,卷积器3输出 信号输入给乘法器7，乘法器7输出信号输入给该滤波器输出点8，该滤波器输出点8输出该 容性分忆抗元和感性分忆抗元滤波器的端口电压V 1U)。该滤波器特别适用于实现一种兼 具分数阶非线性记忆和预测功能的新型电路元器件的应用场合。
[0006] 见图1，为了清楚说明本发明所提出的容性分忆抗元和感性分忆抗元滤波器的电路 构成，有必要先对该滤波器的数学公式和运算规则进行如下推导和说明：
[0007] 美籍华人蔡少棠教授提出应该存在一种被称为忆阻元(记忆电阻)的第四种基本电路 元件M，其实现的关系表达式为
，其中，炉表示磁通量，q表示电荷量。
表明忆阻元是一种刻画介于电流的时间积分和电压的时间积分之间 函数关系的无源二端电路元件。该函数关系的斜率被称为忆阻值R[q(t)]，类似于可变电阻值。 ?
1可推导獨
， 其中，V1U)表示忆阻元的输入电压的瞬时值，Mt)表示忆阻元输入电流的瞬时值。近年来， 蔡教授还基于阻变效应讨论了一种能够涵盖所有二端非易失记忆器件的广义定义。见图2， 其中，所有蔡氏公理化电路元件具有元件的互不相关性 （
共同表征蔡氏本 构变量，D表不微分算子。因此，
表征了相应的本构关系为
，其中CtER且i3ER。蔡氏公理化电路元件及其相应的电气特性 %
其中，C、R、L和M分别代表电容、电阻、电感和忆阻元 的电气特性。
[0008] 最常用的分数阶微积分定义分别是Griinwald-Le tnikov、Riemann-Li ouvi lie和 Caputo定义。因果信号f (X)分数阶微积分的GriinwaId-Letnikov定义可表示为
，其中，f(x)是一个可微积 函数，[a，x]是f(x)的持续时间，V是一个非整数，
t伽马函数，
_示Griinwald-Letnikov定义的分数阶微分算子。因果信号f(x)的V阶分数阶积分的 Riemann-Liouvil Ie定义可表不
其中，
表 示R i e m a η η - L i 〇 u V i 11 e定义的负向分数阶积分算子。因果信号f (X)的V阶分数阶微分的 Riemann-Liouville定义可表不^
其中
良示Riemann-Liouvi I Ie定义的负向分数阶微分算子。V阶Riemann-Liouvi 11 e定义 的分数阶微分算子的Laplace变换关
其中，s表示Laplace算子。若f(x)是因果信号且其分数阶初始状态为零/1/^/0)的 Laplace变换可被简化）
。因果信号f (X)的v阶导数的Caputo 定义可表示?
，其中，0 < n-l<v<n，nER，
'表示Caputo定义的分数阶微分算子。由
_可 知，等价于对信号f (X)依次进行的η阶微分运算和(n-v)阶积分运算。Caputo定义的V阶 微分算子的Laplace变换可表示，
，Sf(X) 为因果信号且其分数阶初始状态为零，?/)χν/(Χ)的Lap Iace变换可被简化为
。在这个意义上，上述三个分数阶导数的定义是等价的。本发明无 差别地使用如下等价符号
[0009] 对于容性分抗元而言，在图2中，容性分抗元位于C和Kt间的线段S1上。容性分抗元的分 数阶阶次可被拓展为整个负实数领域。蒲亦非已推导出了仟意阶容性分抗倌中电容倌和电阻 值之间非线性关系的一般表达式为_
其中，v=m+p是正实数，m是正整数，且0 < p ^ 1。/^、c、r和c-V11分别表示V阶理想容性分抗元 的驱动点阻抗函数、电容值、电阻值和V阶理想容性分抗元的容性分抗值。容性分抗元的驱动点 阻抗函数即是其分数阶容性电抗
即为任意阶理想容性分抗元的分数阶容性电抗。对于感性分抗元而言，在图2中，感性分抗 元位于L和R之间的线段S2上。感性分抗元的分数阶阶次可被拓展为整个正实数领域。蒲亦 非已推导出了任意阶感性分抗值中电感值和电阻值之间非线性关系的一般表达式为
，其中，v = m+p是正实数，m是正整数，且0仝p < 1、1、r和Γ+V1分别表示V阶理想感性分抗元的驱动点阻抗函数、电感值、电阻值和V 阶理想感性分抗元的感性分抗值。感性分抗元的驱动点阻抗函数即是其分数阶感性电抗。
即为任意阶理想感性分抗元的分数阶感性电抗。
[0010] 见图2,由蔡氏电路元件周期表、逻辑想容性、公理完备性与形式对称性，分别与容性分抗 元和感性分抗元相对应，应该还分别存在一种新兴的称为容性分忆抗元的容性电路元件以及一种 称为感性分忆抗元的感性电路元件。在图2中，容性分忆抗元应该位于C和M之间的线段S4上。感性 分忆抗元应该位于L和M之间的线段S3上。分抗值意为分抗元的分数阶阻抗。容性分抗元和感性分 抗元的分数阶阻抗分别是容性分抗值和感性分抗值。类似地，分忆抗值意为分忆抗元的分数阶阻 抗。容性分忆抗元和感性分忆抗元的分数阶阻抗分别是容性分忆抗值和感性分忆抗值。另外，由 图2可进一步推知，容性分忆抗元的电气特性应该处于电容和忆阻元的电气特性之间。感性分忆 元的电气特性应该处于电感和忆阻元的电气特性之间。可见，忆阻元和电阻之间电气特性的差别 是决定分忆抗元和分抗元之间电气特性的差别的最主要因素。另外，
和
,⑴表明，与电阻、电容、电感 类似，忆阻元的定义式仅取决于诸如电流、电压及其时间积分这样的基本电路变量。理想忆 阻元，记忆性电阻，是当R[q(t)]仅取决于电荷量时广义忆阻元的一种特例。R[q(t)]是增值 电阻值。忆阻值的度量单位与电阻值的度量单位相同，均为欧姆。因此，本发明可参照上述 的分抗元的实现形式来实现分忆抗元。
[0011] 相关研究表明，树枝型、两回路型、H型、网格型是分抗元的四种自然实现形式。分 抗元的这四种自然实现形式与分抗元的其它近似实