模型函数中包含的多个系数（即，式4-1中的系数 a~f)的值（步骤S33)。在步骤S33中，用于决定系数a~f的最优化法例如是高斯-牛 顿法（Gauss-Newton法）或者列文伯格-马夸尔特法（Levenberg-Marquardt法）。以下， 首先，针对通过高斯-牛顿法决定系数a~f?的情况进行说明，然后，针对通过列文伯格-马 夸尔特法决定系数a~f的情况进行说明。
[0193] 在高斯-牛顿法中，针对各包含区域图像，通过重复计算来求出在如下情况下的 系数a~f;在该情况下，根据式4-1进行模型化的像素值分布，最高精度地符合该包含区 域图像中的（关注区域R1的）实际的像素值分布。在该重复计算中，一边变更系数a~f， 一边重复计算剩余误差的平方和，以使得针对包含区域图像的全部像素而对根据式4-1求 出的像素值与包含区域图像的实际像素值之差的平方进行合计得到的合计值（即，剩余误 差的平方和）收敛于最小值。
[0194] 在步骤S33中，首先，如图18所示，决定多个系数a~f的初始值a0~f0(步骤 S331)。具体地，首先，用规定的阈值将包含区域图像进行二进制化，从而暂时（低精度地） 确定关注区域R1和背景。此外，该阈值是介于关注区域R1的亮度（后述的像素值的代表 值）与背景的亮度之间的像素值。然后，在包含区域图像中，求出暂时的关注区域R1的中 央部的像素值的代表值减去背景的像素值的代表值得到的值，将该值作为系数a的初始值 a0。此处，各区域的像素值的代表值是表示该区域中的像素值的直方图的中央附近的像素 值，例如，各区域的像素值的代表值是平均值或者众数。系数c、d的初始值c0、d0是暂时的 关注区域R1的中心，即，（准确的）关注区域R1的大致中心的X坐标以及y坐标。系数f 的初始值f〇是背景的像素值的代表值。
[0195] 在计算系数e的初始值e0的过程中，首先，求出在如下的线上的剖面轮廓，在包 含区域图像中该线穿过暂时的关注区域R1的中心，并且与X方向平行（即，表示y=d0 的线）。另外，在该剖面轮廓中，求出暂时的关注区域R1中的像素值的最小值ml以及背 景中的像素值的众数m2。接下来，通过将上述剖面轮廓的各像素值减去m2,进一步地除以 (ml-m2)，来得到振幅为1的（标准化的）礼帽形的轮廓。然后，在该轮廓中，使用线段连接 沿着X方向排列的像素位置之间，求出（表示像素值的轴的）值为〇. 25的两个位置之间的 X方向的距离的一半，将该距离的一半设为w1;求出值为0. 75的两个位置之间的X方向的 距离的一半，将该距离的一半设为w2。
[0196] 此处，上述轮廓是将如下的线上的剖面轮廓进行标准化得到的，该线表示穿过暂 时的关注区域R1的中心（y=do)。因此，上述轮廓是根据如下的函数表现的，该函数是在式 4-1中将1代入系数a，将0代入系数f，且，使（y-d)等于0得到的；在该函数中，当（x-c)等 于^时，根据F(X，y)等于0. 25来推导式4-2;当（x-c)等于w2时，根据F(X，y)等于0. 75 来推导式4-3。
[0197]【式4-2】
[0198]exp(- (b^!2)e) =0.25
[0199]【式4-3】
[0200] exp(-(b2w22)e) = 0. 75
[0201] 然后，通过将式4-2以及式4-3变形，消去b，得到式4-4。
[0202] 【式4-4】
[0203]
[0204]
[0205]
[0206]
[0207] 通过将根据上述轮廓得到的％以及w2的值代入式4-4,求出系数e的初始值e0。 此时，式4-4中的（wywD实质上是表示关注区域R1的剖面轮廓的外缘部的倾斜度，系数e 的初始值e0是取决于该外缘部的倾斜度的值。另外，通过将式4-2变形得到式4-5,将系 数e的初始值e0以及％的值代入式4-5,来求出系数b的初始值b0。由于wi表示关注区 域R1中的小于或等于规定亮度的区域的半径，所以实质上是使用系数e的初始值e〇以及 关注区域R1的大致的大小，来求出系数b的初始值b0。
[0208]【式4-5】
[0209]
[0210] 如以上所述，基于包含区域图像中的关注区域R1的中央部的亮度与关注区域R1 的背景的亮度之差，决定系数a的初始值a0。基于关注区域R1的大致中心的X坐标，决定 系数c的初始值c0。基于关注区域R1的大致中心的y坐标，决定系数d的初始值d0。基 于关注区域R1的背景的亮度，决定系数f的初始值f〇。基于关注区域R1的剖面轮廓的外 缘部的倾斜度，决定系数e的初始值e0。基于系数e的初始值e0以及关注区域R1的大致 的大小，决定系数b的初始值b0。
[0211] 接下来，通过将式4-1分别对系数a~f进行偏微分得到式4-6~式4-11 (其中， 式4-6~式4-10中的Z是使用式4-12表示的。），使用式4-6~式4-11求出式4-13,来求 出差分值Δa~Δf，该差分值Δa~Δf是在上述重复计算中，当系数a~f第一次变更 时的变更量（步骤S332)。 「02121 r式4-fil
[0224] 【式4-12】
[0225] Z=exp(-(b2((x_c)2+(y_d)2))e)
[0226] 【式4-13】
[0227]
[0228] 在式4-13中，将公式中的x以及y设置为xi以及yi来处理，该xi以及yi表示 第"i"个像素的X坐标以及y坐标。由于在式4-13中"i= 1~m"，所以在步骤S33中，进 行重复计算，以使得针对m个像素的剩余误差的平方和达到最小值。式4-13的左边是针对 m个像素合计如下的两个矩阵之积；该两个矩阵分别是：由式4-6~式4-11这6个偏微分 构成的6次方阵、由6个差分值Δa~Δf构成的6行1列的矩阵。式4-13的右边是针对 m个像素合计如下6行1列的矩阵；该矩阵表示：将式4-1分别对系数a~f进行偏微分得 到的值，与使用式4-1得到的值减去实际的像素值Bi的得到的值之积。
[0229] 当求出第一次的差分值Λa~Δf时，在将系数a~f的初始值a〇~f〇减去差 分值Aa~Af而求出下一个系数a~f的值之后（步骤S333、S134)，返回步骤S332。而 且，对使用了在步骤S334中求出的系数a~f(的值）的式4-13求解，来求出下一个差分 值Aa~Δf，将现在的系数a~f减去该下一个差分值Aa~Δf，来求出新的系数a~f(步骤S332~S134)。系数取得部722重复步骤S332~S134,直到满足规定的结束条件 为止。例如，该结束条件是指，在步骤S332中求出的差分值Aa~Af的各个值达到小于 或等于规定大小的状态。或者，例如，结束条件是上述的步骤S332~S134的重复次数达到 规定次数的状态。
[0230]当满足结束条件时，将现在的系数a~f(当满足结束条件时的系数a~f)代入 式4-1。这样，取得式4-1所示的圆形的模型函数的多个系数a~f。图19是示出取得了 多个系数a~f的模型函数表示的包含区域A1的像素值分布的图，在图19中，将包含区域 A1的像素值分布与拍摄图像重叠显示。
[0231] 在步骤S33中，在通过列文伯格-马夸尔特法决定系数a~f的情况下，也与高 斯-牛顿法同样地，分别针对多个包含区域图像，通过重复计算，求出在如下情况下的系数 a~f;在该情况下，式4-1的模型函数（模型化的包含区域图像的像素值分布），最高精度 地符合包含区域图像中的实际的像素值分布。在列文伯格-马夸尔特法中，在通过高斯-牛 顿法没有求出适当的系数a~f的情况下，通过使用最速下降法等梯度法尝试系数a~f 的粗略收敛，随着收敛度提高慢慢地过渡至高斯-牛顿法，来求出适当的系数a~f。
[0232]具体地，当重复步骤S332~S134时，在仅对式4-13的左边的6次方阵中的对角 线元素计算权重系数的积分之后，求出差分值Aa~Af;在求出的差分值Aa~Af小于 上一次求出的差分值Aa~Af的情况下，减小上述权重系数；在大于上一次求出的差分值 Aa~Af的情况下，增大上述权重系数。通过这样，与通过高斯-牛顿法求出系数a~f 的情况相比，能够缩短系数a~f的收敛需要的时间。另外，即使在初始值a0~fO与最终 求出的系数a~f有比较大的差距的情况下，也能够适当地求出系数a~f。
[0233]当步骤S33结束时，位置取得部73基于取得了多个系数的与各关注区域R1相对 应的模型函数（近似函数），取得拍摄图像中的该关注区域R1的位置（步骤S34)。例如， 取得模型函数表示的关注区域R1的中心作为关注区域R1的位置。
[0234]数据修正部74基于多个关注区域R1的位置，S卩，基于多个孔部的位置，取得基板9的形变状态。然后，配合基板9的形变，修正在设计数据存储部75中存储的设计数据（步 骤S35)。就修正设计数据而言，例如，以将如下的位置配置于实际的基板9上的该参照部位 的附近的方式，使该图案产生形变，取得修正完成设计数据；在设计数据表示的图案中，该 位置设定为与基板9上的参照部位（关注区域R1示出的部位）重合。修正完成设计数据 被发送至控制部6。控制部6基于修正完成设计数据，控制保持部移动机构2、空间光调制 设备46,对放置于载物台31上的基板9进行图案绘制（步骤S36)。此外，控制部6也可以 根据需要，将修正完成设计数据转换为其他形式的数据。
[0235]如以上说明的那样，数据修正装置7的运算部72根据可偏微分的模型函数，将作 为剖面轮廓是礼帽形的关注区域R1的像素值分布进行模型化，通过以最优化法进行决定 的方式，取得该模型函数中包含的多个系数。然后，基于取得了多个系数的模型函数，取得 关注区域R1的位置。通过这样，能够高精度地测定出拍摄图像中的关注区域R1的位置。 因此，能够基于多个关注区域R1的位置，高精度地测定基板9的形变，能够配合基板9的形 变，高精度地修正在基板9上绘制的图案的设计数据。
[0236]另外，在拍摄图像是低分辨率的情况下，例如，即使在将拍摄图像进行二进制化得 到的与暂时的关注区域R1相对应的像素群全部（整体）被包含于一个正方形区域中，并且 该正方形区域的一条边小于或等于10像素等情况下，使用模型函数的数据修正装置7也能 够高精度地求出表示关注区域R1的函数，高精度地取得关注区域R1的位置。
[0237] 在数据修正装置7中，运算部72决定模型函数中包含的多个系数a~f的最优化 法是高斯-牛顿法或者列文伯格-马夸尔特法。这样，能够抑制拍摄图像中的噪声等影响， 高精度地求出模型函数中的多个系数。
[0238] 运算部72基于拍摄图像中的关注区域R1的背景的亮度，决定系数f的初始值f0 ; 基于关注区域R1的剖面轮廓的外缘部的倾斜度，决定系数e的初始值e〇。另外，基于关注 区域R1的亮度与背景的亮度之差，决定系数a的初始值a0 ;基于系数e的初始值eO以及 关注区域R1的大致的大小，决定系数b的初始值b0。进一步地，分别基于关注区域R1的大 致中心的X坐标以及y坐标，决定系数c、d的初始值c0、d0。通过这样，能够容易且适当地 决定系数a~f的初始值a0~fO。因此，能够高精度地决定系数a~f，能够高精度地求 出表示关注区域R1的函数。
[0239] 以下，针对在图15中使用虚线矩形示出的进行步骤S31a的另一个处理例进行说 明。在本处理例中，作为基板9上的图案的一部分的圆形焊盘是参照部位，运算部72的图 像加工部721从拍摄图像中剪切出包含区域图像，该包含区域图像包含表示特定的焊盘的 各关注区域（步骤S31)。此外，焊盘通常被用作电极。
[0240] 图20是示出包含区域图像的图。在包含区域图像中，示出基板9上的图案的图案 区域R0包含关注区域R1以及布线区域R2。关注区域R1表示基板9上的焊盘，布线区域 R2表示由与焊盘相同的材料形成的布线部。关注区域R1与布线区域R2连接。另外，关注 区域R1以及布线区域R2比背景更亮。即，关注区域R1以及布线区域R2的像素值大于背 景的像素值。进一步地，背景包括：比较亮的第一背景区域H1、比较暗的第二背景区域H2。 在图20中，通过改变各区域的平行斜线的宽度，表示区域之间的亮度的差异，平行斜线的 宽度越窄，亮度就越暗。
[0241] 如图21所示，图像加工部721通过根据规定的阈值将包含区域图像进行二进制 化，暂时（低精度地）取得区别示出关注区域R1以及布线区域R2与背景的二进制图像。接 下来，对该二进制图像实施收缩处理。此时，如图22所示，进行如下程度的收缩处理，即在 白色区域的边缘，在布线区域R2的宽度（图21的y方向的宽度）的一半以上的像素进行 收缩的程度，从而取得除去了布线区域R2的压缩完成的二进制图像。而且，如图23所示， 通过对压缩完成的二进制图像进行与收缩处理相同的程度的膨胀处理，取得仅示出暂时的 关注区域R1的二进制的关注区域图像。在膨胀处理中，只有与通过收缩处理收缩的像素数 相同的像素数的白色区域产生膨胀。
[0242] 接下来，使用图23的关注区域图像，在屏蔽图20的包含区域图像中的关注区域R1 的状态下，提取包含区域图像中的边缘。就提取包含区域图像中的边缘而言，是通过使用多 个阈值，对包含区域图像进行多次二进制化处理，或者，通过对包含区域图像进行差分滤波 处理等。通过这样，将包含区域图像分割为：暂时的关注区域R1、布线区域R2、第一背景区 域H1以及第二背景区域H2。另外，求出暂时的关注区域R1的像素值的代表值DR1、第一背 景区域H1的像素值的代表值DH1以及第二背景区域H2的像素值的代表值DH2。然后，根据 式4-14,将第一背景区域H1中包含的各像素的像素值V转换为新的像素值V'。
[0243] 【式 4-14】
[0244]
[0245] 如以上所述，如图24所示，使用图像加工部721，对示出拍摄图像的包含区域的包 含区域图像实施前处理，生成背景的亮度大致均一的新的包含区域图像（以下，称为"加工 完成的包含区域图像"。）（步骤S31a)。在加工完成的包含区域图像中，屏蔽掉布线区域 R2,在步骤S32以后的处理中不再使用布线区域R2(从运算对象中排除）。因此，在后述的 系数的决定中，布线区域R2并不是误差主要原因。在图24中，通过在布线区域R2标记交 叉阴影，表示屏蔽掉布线区域R2。
[0246] 当取得示出多个关注区域R1的多个加工完成的包含区域图像时，与上述处理例 同样地，运算部72根据可偏微分的模型函数，将各加工完成的包含区域图像的像素值分布 进行模型化（步骤S32)。在加工完成的包含区域图像中，关注区域R1是大致圆形的，关注 区域R1的剖面轮廓呈如下的向上的礼帽形，该礼帽形的中央部的像素值大于外缘部的像 素值。因此，与上述处理例同样地，使用式4-1的圆形的模型函数。换言之，通过上述前处 理，能够使用式4-1的模型函数。
[0247] 图25是示出图像随着模型函数中的系数b、e的变化而变化的图。此处，式4-1的 模型函数中的系数a是正的值。在图25中，9个图像（像素值分布）排列为3行3列，系数 e的值随着从最左侧的列到右侧而增加，系数b的值随着从最下侧的行到上侧而增加。在 图25中，随着系数b的值变大，白色区域变大。另外，随着系数e的值变大，白色区域的边 缘变得清晰，明显看出关注区域R1的剖面轮廓的外缘部的倾斜度变大。
[0248] 就运算部72的系数取得部722而言，与上述处理例同样地，使用加工完成的包含 区域图像的像素值，通过以最优化法进行决定的方式，取得式4-1的模型函数中包含的多 个系数a~f(步骤S33)。
[0249] 此时，就计算系数e的初始值e0而言，首先，求出在如下的线上的剖面轮廓，加工 完成的包含区域图像中，该线穿过暂时的关注区域R1的中心，并且与X方向平行（即，表示 y=d0的线）。另外，在该剖面轮廓中，求出暂时的关注区域R1中的像素值的最大值ml，以 及，背景中的像素值的众数m2。接下来，通过将上述剖面轮廓的各像素值减去m2,进一步地 除以（ml-m2)，来得到振幅为1的（标准化的）礼帽形的轮廓。在该轮廓中，使用线段连接 沿着X方向排列的像素位置之间，求出（表示像素值的轴的）值为〇. 25的两个位置之间的 X方向的距离的一半，将该距离的一半设置为w1;求出值为0. 75的两个位置之间的X方向 的距离的一半，将该距离的一半设置为w2。然后，通过将Wl以及w2的值代入上述的式4-4， 求出系数e的初始值e〇 ;通过将系数e的初始值e〇以及Wl的值代入上述的式4-5,求出系 数b的初始值b0。其他系数a、c、d、f的初始值的计算方法与上述处理例相同。
[0250] 当步骤S33结束时，位置取得部73基于取得了多个系数的与各关注区域R1相对 应的模型函数，取得拍摄图像中的该关注区域R1的位置（步骤S34)。数据修正部74基于 多个关注区域R1的位置，取得基板9的形变状态，配合基板9的形变，修正设计数据（步骤 S35)。然后，基于修正的设计数据（修正完成设计数据），在基板9上绘制图案（步骤S36)。
[0251] 如以上说明的那样，在本处理例中，关注区域R1是拍摄图像中的图案区域R0的一 部分，在关注区域R1与图案区域R0的另一部分（此处是指布线区域R2)连接的情况下，使 用运算部72的图像加工部721，屏蔽掉图案区域R0的该另一部分。然后，基于使用图像加 工部721加工完成的图像，使用系数取得部722,取得表示关注区域R1的模型函数的多个系 数。通过这样，即使在关注区域R1与图案区域R0的另一部分连接的情况下，能够适当地求 出模型函数的系数，能够高精度地测定出拍摄图像中的关注区域R1的位置。另外，通过使 背景的亮度均一化，能够适当地使用模型函数。
[0252] 以下，针对绘制装置la的再一个处理例进行说明。在本处理例中，基板9上的大 致正方形的焊盘是参照部位，运算部72的图像加工部721从拍摄图像中剪切出包含区域图 像，该包含区域图像包含表示特定的焊盘的各关注区域（步骤S31)。
[0253] 图26是示出包含区域图像的图。在基板9上的作为参照部位