y 24-26(2011)(此后被称作〃 Gu et al. 2011〃），其全部内容通过引用由此并入本文）并且整 合在UFM中。
[0057] 为了正确地模拟多条或复杂的裂缝的扩展，压裂模型可以考虑相邻的水力压裂分 支之间的相互作用，其通常被称作"应力投影"效应。当单个平面水力压裂在有限流体净压 力下被打开时，其可以在周围岩石上施加与净压力成比例的应力场。
[0058] 在具有恒定有限高度的无限长垂直裂缝的极限情况中，可以提供由开放 的裂缝所施加的应力场的解析表达式。例如参见Warpinski, N. F. and Teufel, L. ff. ,Influence of Geologic Discontinuities on Hydraulic Fracture Propagation, J PT, Feb. , 209-220 (1987)(此后称为〃Warpinski 和 Teufel〃）以及 Warpinski, N. R. , and Branagan, P. T. , Altered-Stress Fracturing. SPE JPT,September, 1989, 990-997(1989), 其全部内容通过引用由此并入本文。净压力（或者更精确地为产生指定裂缝开口的压力） 可以在垂直于裂缝的方向上在最小化的原处应力上施加压应力，其在压裂面上等于净压 力，但是随着与裂缝的距离的增大而快速减少。
[0059] 在超过裂缝高度的距离上，诱导应力可能只是净压力的一小部分。因此，术语"应 力投影"可以用于描述围绕裂缝的区域中应力的增加。如果产生的第二水力压裂平行于已 有的开放裂缝，并且如果第二水力压裂落在"应力投影"中（即与已有裂缝的距离小于裂缝 高度），第二裂缝实际上可能经受大于初始原处应力的闭合应力。因此，可能需要更高的压 力来扩展裂缝，和/或裂缝与相应的单个裂缝相比需要更窄的宽度。
[0060] 应力投影研究的一个应用可以包括对从水平井眼开始同时扩展的多个裂缝之间 的裂缝间隔的设计和优化。在极低渗透的页岩中，裂缝密集分布用于气藏的有效排出。 然而，应力投影效应可以防止裂缝在其它裂缝的近邻中扩展（例如参见Fisher, M. K.，J. R. Heinze, C. D. Harris, B. M. Davidson, C. A. Wright, and K. P. Dunn, Optimizing horizontal completion techniques in the Barnett Shale using microseismic fracture mapping. SPE 90051presented at the SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Houst on, 26-29S印tember2004,其全部内容通过引用由此并入本文）。
[0061] 过去已经对平行的裂缝之间的干扰进行了研究（例如参见Warpinski and Teufel ；Britt, L. K. and Smith,M. B. , Horizontal Well Completion, Stimulation Optimization, and Risk Mitigation. Paper SPE 125526presented at the 2009SPE Eastern Regional Meeting,Charleston, September 23-25, 2009 ；Cheng, Y. 2009. Boundary Element Analysis of the Stress Distribution around Multiple Fractures:Implications for the Spacing of Perforation Clusters of Hydraulically Fractured Horizontal Wells. Paper SPE 125769presented at the 2009SPE Eastern Regional Meeting, Charleston, September 23-25,2009 ；Meyer, B. R. and Bazan, L. ff. , A Discrete Fracture Network Model for Hydraulically Induced Fractures:Theory, Parametric and Case Studies. Paper SPE 140514presented at the SPE Hydraulic Fracturing Conference and Exhibition, Woodlands, Texas, USA, Jan uary 24-26, 2011 ；Roussel, N. P. and Sharma, M. M, Optimizing Fracture Spacing and Sequencing in Horizontal-Well Fracturing, SPEPE, May, 2011，pp. 173-184，其全部内容 通过引用由此并入本文）。这些研究可以包括静态条件下的平行裂缝。
[0062] 应力投影的一种效应可以是在多个平行裂缝的中间区域中的裂缝可以具有更 小的宽度，这是由于来自邻近裂缝的增强的压应力（例如参见Germanovich, L. N.，and Astakhov D. , Fracture Closure in Extension and Mechanical Interaction of Parallel Joints. J. Geophys. Res. , 109,B02208, doi : 10. 1029/2002JB002131 (2004)； Olson, J. E. , Multi-Fracture Propagation Modeling:Applications to Hydraulic Fracturing in Shales and Tight Sands. 42nd US Rock Mechanics Symposium and 2nd US-Canada Rock Mechanics Symposium, San Francisco, CA, June 29-July 2, 2008,其全部 内容通过引用由此并入本文）。当多个裂缝同时扩展时，进入裂缝的流量分配可能是动态过 程并且可能受到裂缝的净压力的影响。净压力高度依赖于裂缝的宽度，并且由此，应力投影 对流量分配和裂缝尺寸的影响需要进一步的研究。
[0063] 同时扩展的多个裂缝的动力学也依赖于初始裂缝的相对位置。如果裂缝是 平行的，例如在多个裂缝与水平井眼垂直的情况中，裂缝可彼此排斥，导致裂缝向外弯 曲。然而，如果多个裂缝以阶梯样式分布时，例如对于从不垂直于裂缝平面的水平井 眼起始的裂缝，相邻裂缝之间的相互作用使得它们的端部彼此吸引并且甚至连接到 一起（例如参见 Olson, J. E. Fracture Mechanics Analysis of Joints and Veins. PhD dissertation, Stanford University, San Francisco, California(1990) ；Yew, C. H. , Mear, M. E. , Chang, CC, and Zhang, X. C. On Perforating and Fracturing of Deviated Cased Wellbores. Paper SPE 26514presented at SPE 68th Annual Technical Conference and Exhibition, Houston, TX, Oct. 3-6(1993) ；ffeng, X. , Fracture Initiation and Propagation from Deviated Wellbores. Paper SPE 26597presented at SPE 68th Annual Technical Conference and Exhibition, Houston, TX, Oct. 3-6(1993)，其全部内容 通过引用由此并入本文）。
[0064] 当水力压裂与朝向不同方向的次生裂缝交叉时，其在次生裂缝上施加与净压力成 比例的附加闭合应力。该应力可以被提取出并且被考虑到在对裂缝性地层的压力依赖泄露 进行分析的裂缝开启压力的计算中（例如参见Nolte，K.，Fracturing Pressure Analysis for nonideal behavior. JPT, Feb. 1991，210-218 (SPE 20704) (1991)(此后被称作〃Nolte 1991")，其全部内容通过引用由此并入本文）。
[0065] 对于更加复杂的裂缝，可以具有上面讨论的各种裂缝的相互作用的组合。为了正 确地说明这些相互作用并且保持计算效率使其能够结合到复杂裂缝网络模型中，可以构建 正确的建模框架。基于增强的2D位移不连续法（2D DDM)的方法可以用于计算在指定裂 缝上以及在其余的复杂裂缝网络的岩石中的诱导应力（例如参见Olson, J. E.，Predicting Fracture Swarms-The Influence of Sub critical Crack Growth and the Crack-Tip Process Zone on Joints Spacing in Rock. In The Initiation, Propagation and Arrest of Joints and Other Fractures, ed. J. ff. Cosgrove and T.Engelder, Geological Soc. Special Publications, London, 231，73-87 (2004)(此后被称作〃Olson 2004〃），其全部内 容通过引用由此并入本文）。裂缝转向还可以基于由于应力投影效应而在扩展的裂缝端部 之前的改变的局部应力方向而建立模型。给出结合有裂缝相互作用建模的来自UFM模型的 模拟结果。
[0066]UFM模型描述
[0067] 为了模拟由多个相互交叉的裂缝组成的复杂裂缝网络的扩展，可以使用控制压裂 过程的基础物理过程的方程。基本的控制方程例如包括控制裂缝网络中的流体流动的方 程、控制裂缝变形、以及裂缝扩展/相互作用标准的方程。
[0068] 连续方程假定流体流动沿着裂缝网络扩展，具有以下质量守恒：
[0069]
[0070] 其中，q为水力压裂内沿着长度的局部流量，？为裂缝在位置s = s(x，y)处的横 截面的平均宽度或开口，Hfl为裂缝中流体的高度，并且cu为穿过水力压裂壁进入基质的每 单位高度的泄漏容积率（压裂流体渗透进入周围的可渗透介质的速度），其通过Carter泄 漏模型（Carter's leak-off model)进行表达。裂缝端部作为尖端扩展，并且水力压裂的 长度在任意给定时间t被限定为1 (t)。
[0071] 驱动流体的特性可以由幂律指数n'（流体流性指数）和稠度指数K'限定。流体 流动可以是层流、湍流或者透过支撑剂包的达西流（Darcy flow)，并且相应地可以采用不 同的规律描述。对于任意给定裂缝分支中的幂律流体的1D层流这种普遍的情况而言，可以 使用泊肃叶定律（Poiseuille law，例如参见Nolte，1991):
[0075] 这里，w(z)表示裂缝宽度，其为当前位置s的深度的函数，a为系数，n'为幂律指 数（流体稠度指数），巾为形函数，并且dz为沿着公式中的裂缝高度的积分增量。
[0076] 裂缝宽度通过弹性方程与流体压力关联。岩石的弹性（其可以被认为是大致均 质、各向同性、线性的弹性材料）可以通过杨氏模量E和泊松比v限定。对于位于具有可变 的最小水平应力〇 h(X，y，z)和流体压力p的层状介质中的垂直裂缝来说，宽度截面（width profile) (w)可以通过给出的解析解法确定：
[0077] w(x, y, z) = w(p(x, y), H, z) (4)
[0078] 其中W是在具有空间坐标x、y、z(裂缝单元的中心的坐标）的点上的裂缝宽度； P(X,y)为流体压力，H为裂缝单元高度，并且z为沿着裂缝单元在点（X,y)上的垂直坐标。
[0079] 由于裂缝的高度可以变化，控制方程组还可以包括例如在Kresse 2011中描述的 高度增长计算。
[0080] 除了上面描述的方程，整体体积平衡条件也可以得到满足：
[0081]
[0082] 其中&为流体渗漏速度，Q(t)为时间相关的注射速率，H(s，t)为裂缝在空间点 s (x，y)并且在时间t处的高度，ds为沿着裂缝长度用于积分的长度增量，dt为时间增量， dh为渗漏高度的增量，为渗漏高度，并且s。为喷射损失系数。方程（5)表示在时间t之 内栗送的流体的总体积等于裂缝网络中的流体体积和直到时间t从裂缝渗漏的流体体积。 这里的L(t)表示HFN在时间t的总长度并且S。为喷射损失系数。边界条件需要流率、净 压力以及裂缝宽度在所有裂缝端部处为零。
[0083] 方程1-5的系统与初始和边界条件一起可以用于表述一组控制方程。将这些方程 组合并且将裂缝网络离散成小单元就可以形成每一个单元的流体压力P的非线性系统方 程，简化为f(p) = 0,其可以使用阻尼牛顿-拉夫逊方法进行解析。
[0084] 在对水力压裂在天然开裂的气藏中的扩展进行建模时可以考虑裂缝的相互作用。 这例如包括，水力压裂和天然裂缝之间的相互作用，还有水力压裂之间的相互作用。对于水 力压裂和天然裂缝之间的相互作用，可以在UFM中执行半解析交叉准则，例如使用在Gu和 Weng 2010以及Guetal等2011中描述的方法。
[0085] 应力投影的建模
[0086] 对于平行裂缝，应力投影可以通过相邻裂缝的应力叠加来表示。图2为2D裂缝 200关于具有x-轴和 y-轴的坐标系统的示意图。沿着2D裂缝的各个点，例如位于h/2处 的第一端、位于_h/2处的第二端以及中间点被延伸到观察点（x，y)。每条线L从沿着2D裂 缝的各个点成角度9 :、9 2延伸到观察点。
[0087] 在具有内部压力p的2D裂缝附近的应力场例如可以使用在Warpinski和Teufel 中描述的技术来计算。影响裂缝宽度的应力为〇x，并且可以通过下面的公式计算得出：
[0093] 并且其中〇 x方向上的应力，p为内部压力，并且少s.X.sA.s为图 2的通过一半高度h/2裂缝规范化的坐标和距离。由于〇：(在7方向以及x方向上变化，在 裂缝整个高度上的平均应力可以用在应力投影的计算中。
[0094] 上面给出的解析方程可以用于计算其中一条裂缝作用在相邻的平行裂缝上的平 均有效应力并且可以被包括在作用在该裂缝上的有效闭合应力中。
[0095] 对于更复杂的裂缝网络，裂缝可以朝向不同的方向并且彼此相互交叉。图3示出 示出了应力投影效应的复杂裂缝网络300。该裂缝网络300包括从井眼304延伸并且与裂 缝网络300中的其它裂缝305相互交叉的水力压裂303。
[0096] -种更加通用的方法可以用于计算从裂缝网络的其余部分中的任意指定的裂缝 分支上的有效应力。在UFM中，裂缝之间的机械相互作用可以基于增强的2D位移不连续法 (DDM)进行建模（Olson 2004)，用于计算诱导应力（例如参见图3)。
[0097] 在2D中，平面应变、位移不连续方法（例如参见Crouch,S.L.andStarfield,A. M.,BoundaryElementMethodsinSolidMechanics,GeorgeAllen&UnwinLtd,London. Fisher，M.K. (1983)(此后被称作Crouch和Starfieldl983)，其全部内容通过引用由此并 入本文），可以用于描述作用在一个裂缝单元上的由所有裂缝单元的张开和剪切位移间断 (DjPD s)诱发的正应力和切应力（〇"和〇 s)。为了说明由于有限裂缝高度而产生的3D效 应，可以使用Olson2004来为与如下的2D DDM校正弹性方程相结合的干扰系数Cl j提供3D 校正因子：
[0098]
[0099]
[0100] 其中A为在方程（9)中描述的干扰系数的矩阵，N为考虑了其相互作用的网络中的 单元总数，i为所考虑的单元，并且j = 1，N为网络中的其它单元，它们对于单元i上的应 力的影响也被计算；并且其中C1]为2D、平面应变弹性干扰系数。这些表达式可以在Crouch 和 Starfield1983 中找到。
[0101] 图3的Elem i和j示意性地示出了方程（8. 1、8. 2)中的变量i和j。应用于Elem j的间断DjPDn也在图3中进行示出。0"可以和裂缝宽度一样大，并且剪切应力〇 s如图 所示可以是0。Elem j的位移间断在Elem i上产生应力，如所示出的〇"和〇 s。
[0102] Olson2004所给出的3D校正因子可以表述如下：
[0103]
[0104] 其中h为裂缝高度，屯为单元i和j之间的距离，a和0为拟合参数。方程9示 出3D校正因子可能导致当任意两个裂缝单元之间的距离增加时，彼此之间的相互作用发 生衰减。
[0105] 在UFM模型中，在每一个时间步长，可以计算出由于应力投影效应所引起的附加 诱导应力。可以假设在任意时间，裂缝宽度等于法向位移间断（D n)并且在裂缝表面的剪切 应力为零，即Dn]=W ]，<=0。将这两个条件代入方程8.1和8. 2,可以得出剪切位移间 断（Ds)和在每一个裂缝单元上诱导的正应力（〇n)。
[0106] 应力投影诱导的应力对裂缝网络扩展模式的影响可以分两层来描述。首先，在压 力和宽度迭代过程中，每一个裂缝单元上的初始原处应力可以通过增加由于应力投影效应 而产生的附加正应力而被校正