一种飞机飞行品质短周期模态参数辨识方法与流程

技术特征：

1.一种飞机飞行品质短周期模态参数辨识方法，该方法的特征在于：

飞机运到模态飞行品质特性参数，采用连续域等效低阶系统传递函数来描述；

飞机纵向短周期运动模态通常用下述等效数学模型：

式中为俯仰角速率(rad/s)，F_p为纵向杆力(lb)，为等效增益(rad/sec/lb),为短周期模态等效自然频率(rad/sec),为短周期模态等效时间常数的倒数(1/sec),τ为等效时间延迟(sec)；

采用伯德近似将上式中的时间延迟非线性环节e^-τs转化为线性系统，这里选用四阶伯德近似式：

式中p₁,p₂,p₃为伯德近似系数；

经拉式反变换，将上式转换为连续型线性微分方程：

$\frac{d^6\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^6}+a_5\frac{d^5\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^5}+...+a_1\frac{d\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)}{dt}+a_0\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\left(t\right)=b_5\frac{d^5{F}_P\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^5}+b_4\frac{d^4{F}_P\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^4}+...+b_1\frac{{\mathrm{dF}}_P\left(t\right)}{dt}+b_0{F}_P\left(t\right)---\left(3\right)$

不失一般性，将上式写成连续线性时不变系统的基本形式：

$\frac{d^{n}y\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^n}+...+a_1\frac{dy\left(t\right)}{dt}+a_{0}y\left(t\right)=b_m\frac{d^{m}u\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^m}+b_{m-1}\frac{d^{m-1}u\left(t\right)}{{\mathrm{dt}}^{m-1}}+...+b_1\frac{du\left(t\right)}{dt}+b_{0}u\left(t\right)---\left(4\right)$

式中，u(t)和y(t)分别为系统过程的输入和输出量；对线性时不变系统，系统a_i和b_i均为常数，且m≤n；

在零初值条件上式传递函数为：

$G\left(s\right)=\frac{y\left(s\right)}{u\left(s\right)}=\frac{b_m{s}^m+b_{m-1}{s}^{m-1}+...+b_1{s}^1+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+...+a_1{s}^1+a_0}---\left(5\right)$

利用双线性变换公式：

可将连续型传递函数转化为离散型脉冲传递函数：

$H\left(z^{-1}\right)=\frac{Y\left(z^{-1}\right)}{U\left(z^{-1}\right)}=\frac{{\mathrm{\β}}_1{z}^{-1}+{\mathrm{\β}}_2{z}^{-2}+...+{\mathrm{\β}}_{n_b}{z}^{-n_b}}{1+{\mathrm{\α}}_1{z}^{-1}+{\mathrm{\α}}_2{z}^{-2}+...+{\mathrm{\α}}_{n_a}{z}^{-n_a}}---\left(6\right).$

2.根据权利要求1所述的飞机飞行品质短周期模态参数辨识方法，其特征在于：

线性离散模型是指一个或几个变量可以表示的另外一些变量在时间或空间的离散点上的线性组合；

线性离散模型的数学表达形式中：h(k)和z(k)是模型的输入输出变量，它们在离散点上必须是可观测的；e(θ)是模型噪声；θ是未知模型参数；记：

$\left\{\begin{array}{c}h\left(k\right)={\[h_1\left(k\right),h_2\left(k\right),...,h_n\left(k\right)\]}^T\\ \mathrm{\θ}={\[{\mathrm{\θ}}_1,{\mathrm{\θ}}_2,...,{\mathrm{\θ}}_N\]}^T\end{array}\right.---\left(7\right)$

则线性离散模型的输出可表示成

$z\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{N}{\Σ}}{\mathrm{\θ}}_i{h}_i\left(k\right)+e\left(k\right)=h^T\left(k\right)+e\left(k\right)---\left(8\right)$

将差分方程化成最小二乘格式，考虑如下差分方程：

z(k)+a₁z(k-1)+a₂z(k-2)+…+a_nz(k-n)

＝b₁u(k-1)+b₂u(k-2)+…+b_nu(k-n)+e(k) (9)

式中，方程的输入u(k)和输出z(k)变量在各离散点上都是可观测的；近一步可得样本及参数集为

$\left\{\begin{array}{c}h\left(k\right)={\[-z_1(k-1),-z_2(k-2),...,-z_n(k-n),u_1(k-1),u_2(k-2),...,u_n(k-n)\]}^T\\ \mathrm{\θ}={\[a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_n\]}^T\end{array}\right.---\left(10\right)$

则是可观测的向量，那么差分方程所对应的最小二乘格式为

z(k)＝h^T(k)θ+e(k) (11)

取准则函数

$J\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\[e\left(k\right)\]}^2=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\[z\left(k\right)-h^T\left(k\right)\mathrm{\θ}\]}^2---\left(12\right)$

使得J(θ)＝min的θ值估计值记作称作参数θ的最小二乘估计值；式中θ为待估参数，

$J\left(\mathrm{\θ}\right)=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\[e\left(k\right)\]}^2=\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\∞}}{\Σ}}{\[z\left(k\right)-h^T\left(k\right)\mathrm{\θ}\]}^2={(z_L-H_L\mathrm{\θ})}^T(z_L-H_L\mathrm{\θ})---\left(13\right)$

极小化J(θ)，求得参数的估计值，将使模型的输出最好的预报系统的输出；

设使得则有，

$\frac{\∂J\left(\mathrm{\θ}\right)}{\∂\left(\mathrm{\θ}\right)}=\frac{\∂}{\∂\mathrm{\θ}}{(z_L-H_L\mathrm{\θ})}^T(z_L-H_L\mathrm{\θ})=0---\left(14\right)$

展开上式，可得正则方程：

$\left({H_L}^T{H}_L\right){\widehat{\mathrm{\θ}}}_{LS}={H_L}^T{z}_L---\left(15\right)$

当H_L^TH_L是正则矩阵时，有，

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_{LS}={\left({H_L}^T{H}_L\right)}^{-1}{H_L}^T{z}_L---\left(16\right).$