一种延时系统中高型控制器参数整定方法

本发明涉及扰动估计及抑制领域，具体涉及一种延时系统中高型控制器参数整定方法，进一步提升系统的跟踪精度、上升时间、调节时间等动态响应性能指标以及系统的抗干扰能力。

背景技术：

1、在工程控制应用中，系统经常受到外部扰动和自身内部不确定性影响，这些扰动严重影响系统稳定性能和控制效果，甚至可能造成闭环系统不稳定。为了进一步提高系统的扰动抑制能力，一种可以用来观测外部扰动和系统内部不确定性的扩张状态观测器被广泛使用。传统的线性扩张状态观测器设计方法将外部扰动和系统内部不确定归为总扰动，并将其扩张为一个状态变量进行观测和补偿。这种设计方法下的系统虽然可以将被简化为双积分串联标准型，降低了控制的难度。但是，在传统扩张状态观测器的设计中与已知模型信息没有关系，这会使观测器的观测精度的下降，导致系统抗干扰能力下降。本发明对传统的扩张状态观测器设计进行改进，使系统的扰动抑制能力进一步提高。

2、同时，在工程控制应用中系统延时因素对系统稳定性的影响不可忽略。随着经典控制理论的不断发展，线性二次型最优控制在现代控制理论中有着广泛的应用。线性二次型最优控制方法得到的最优控制律具有许多优良的特性，包括闭环稳定性以及鲁棒性。此外，线性二次型最优控制方法中通过选择加权矩阵q和r，可以控制状态调节要求和控制能量消耗之间的权衡。这种优良的性质促使控制设计师将其用于pid控制器参数的整定。高阶控制回路中控制器参数的整定问题一直具有挑战性和关键性。从理论上看，pid i型控制回路可实现零稳态位置误差，pid ii型控制回路可实现零稳态位置和速度误差，pid iii型控制回路可实现零稳态位置、速度和加速度误差。因此，高阶控制回路具有跟踪更快的参考信号、消除稳态高阶误差的优势。本发明中采用线性二次型最优控制与模型信息辅助下的线性扩张状态观测器方法对延时系统中的高型pid控制器参数进行整定。

技术实现思路

1、由于工程控制应用中系统延时因素对系统稳定性有着不可忽略的影响以及系统延时作用下高型控制回路中控制器参数整定一直十分困难，本发明目的在于：将线性二次型最优控制算法以及模型信息辅助下的线性扩张状态观测器方法相结合，提供一种延时系统中高型控制器参数整定方法。具体实施步骤如下：

2、针对n阶模型系统g(s)：

3、

4、其中，n＞2，a1＝2ζolωol，ζol、ωol分别为开环系统的阻尼比和固有频率；b为开环系统增益；l为系统的延时系数。

5、步骤1：针对n阶模型系统建立系统微分方程：

6、

7、其中，为系统的位置输出、速度输出…位置输出的(n-1)阶导数，为系统输入信号的(n-2)微分，w为外部扰动，为部分模型信息，a0,a1,b为系统已知参数；由于在实际中a0,a1,b通常辨识得不精确，采用fx表示模型不准确的部分和内部动力学变化的部分；fw表示外部扰动。

8、表示已知模型动力学和未知扰动的综合效应。

9、将微分方程(1.37)转化为扩张状态空间方程形式，系统扩张状态空间方程如下：

10、

11、其中，b1＝[0 … 0 b 0]t(n+1)×1,

12、x1,x2…xn,x4分别表示控制系统的位置、速度……位置的(n-1)阶导数以及系统的总扰动。

13、步骤2：针对n阶模型系统，根据线性系统理论中状态观测器的设计，连续扩展状态观测器eso如下所示：

14、

15、其中，z＝[z1 z2 … zn+1]t为观测器状态向量，l＝[β1 β2 … βn+1]t为需要确定的观测器增益矩阵，为观测器输入组合，yc为扩张状态观测器输出；

16、步骤3：扩张状态观测器可在一定频率范围内准确估计不确定扰动f′，并对扩展状态zn+1进行补偿，如图1所示。图1中控制信号的(n-2)阶微分为：

17、

18、将公式(1.40)带入公式(1.37)中，得到：

19、

20、将可用的动力学模型带入公式(1.41)中，系统排除不必要的干扰后，系统变为：

21、

22、将公式(1.42)改写为传递函数为：

23、

24、通过与公式(1.36)比较，公式(1.43)中的系统传递函数与公式(1.36)中的模型一致。这是本发明中对线性扩张状态观测器的改进。传统的线性扩张状态观测器设计方法与已知模型信息无关，系统将被简化为双积分串联标准型。

25、步骤4：采用线性二次型最优控制(lqr)以及主导极点技术相结合的方法来整定图1控制框架中pid n型控制器参数，实现对扰动补偿后的系统控制。图1中为pid n型控制器，如下所示：

26、

27、其中，x1(t)＝∫e(t)dt,x2(t)＝e(t),

28、图1中e(t)为跟踪误差信号，w(t)为外部扰动输入，r(t)和y(t)分别是参考信号和被控对象位置输出信号。假设参考信号r(t)＝0,则e(t)＝-y(t)。在此条件下，被控系统公式(1.43)可以表示为：

29、

30、根据状态空间的形式，被控系统公式(1.43)中状态变量的导数可以写成：

31、

32、其中，

33、

34、a,b,x,l分别是状态转移矩阵、控制矩阵、状态矩阵和时滞项。从公式(1.46)中可以看出：当t＜l时，控制信号是无效的，只有当t＞＝l时，控制信号有效。因此，将公式(1.46)分成两部分：如下：

35、

36、

37、公式(1.49)中um(t)为：

38、

39、通过公式(1.50)中的变化，即um(t)充当一个中间变量。从数学角度来说，公式(1.48)、公式(1.49)现在是无延迟的，可以应用无延迟过程的标准lqr方法来找到最优控制向量um(t)。

40、为了使公式(1.47)系统具备lqr的性能，需要将如下的二次型代价函数最小化：

41、

42、其中，q为半正定状态权矩阵，r为正定控制权矩阵。标准lqr方法给出了最优控制向量的(n-2)阶微分um(t)为：

43、um(t)＝-r-1btpx(t)                           (1.52)

44、其中，p为对称正定riccati系数矩阵，可通过求解如下连续代数riccati方程得到：

45、atp+pa+q-pbr-1btp＝0                       (1.53)

46、从公式(1.50)中得到：

47、

48、公式(1.54)给出了在t＞＝0整个时间范围内的控制信号，然而x(t+l)在时间t时的值是不知道的。根据文献[1](srivastava s,misra a,thakur s k,et al.anoptimal pid controller via lqr for standard second order plus time delaysystems[j].isa transactions,2016,60:244-253.)中的结论，此时最优控制向量为：

49、

50、

51、其中ac为：

52、ac＝a-br-1btp                            (1.57)

53、由于公式(1.57)中得到的系统矩阵不包含任何时间延迟，因此直接应用极点配置的方法来得到期望的闭环时间性能。为了得到最优控制信号需要计算以及ea(l-t)。将公式(1.52)带入到公式(1.49)，得到：

54、

55、然后通过建立闭环系统的特征方程δ(s)＝|si-ac|等于所要求的闭环方程。

56、当ac为2×2矩阵时，特征方程δ(s)如下所示：

57、

58、其中，ζcl、ωcl为阻尼比和固有频率。

59、当ac为(n+1)×(n+1)矩阵时，利用主导极点配置技术方法，特征方程δ(s)如下所示：

60、

61、其中，主导极点p1,p2和上述相同，非主导极点p3…p(n+1)距离主导极点位置实部m、m1、m(n-2)倍。根据相关文献结论[1]，该非主导极点应远离其他两个复(共轭)闭环主极点的实部，这样可以满足pid控制器极点配置，它的值应该选择在3或更多。

62、步骤5：在线性二次型最优控制中，标准做法是通过改变加权矩阵q和保持加权矩阵r不变来进一步设计相关控制器参数。

63、假设，

64、

65、通过公式(1.47)、(1.57)以及1.61)，得到相应的闭环系统特性方程如下：

66、

67、通过对比公式(1.60)以及公式(1.62)右边相同变量前的系数，得到：

68、(p1(n+1) p2(n+1) … p(n-1)(n+1) pn(n+1) p(n+1)(n+1))的值，加权矩阵p、q中的剩余元素可通过求解riccati方程式(1.53)得到。

69、步骤6：计算ea(l-t)。

70、

71、其中，p01和p02是公式(1.45)开环系统的极点，如下：

72、

73、f′11,f′12,f′13,f′21f′22,f′23,f′31,f′32,f′33可以通过公式(1.63)使用部分分式法进行拉普拉斯反变化计算得到。

74、步骤7：计算同理，与步骤6一样，

75、

76、步骤8：联立公式(1.47)、(1.55)、(1.61)、(1.63)以及(1.65)，计算0≤t＜l的pid参数。

77、

78、步骤9：联立公式(1.47)、(1.56)、(1.61)、(1.65)，计算t≥l的pid参数。

79、

80、步骤10：设计扩张状态观测器增益矩阵。假设误差状态变量为e(t)＝x(t)-z(t)，由公式(1.39)减去公式(1.38)，则观测器误差矩阵方程为：

81、

82、从上式可以看出，观测器误差矩阵方程中，(a-lc)决定了闭环系统的特征值。通过保证(a-lc)的特征值小于零，则观测器方程收敛。pid n型控制回路中的观测器误差矩阵方程对应得特征方程δ(s)如下所示：

83、δ(s)＝|si-(a-lc)|        (1.69)

84、根据相关文献[2](herbst g.a simulative study on active disturbancerejection control(adrc)as a control tool forpractitioners[j].electronics,2013,2(3):246-279.)结论，扩张状态观测器经过参数化，可将对应的特征方程的极点放到同一位置上(-w0，w0为观测器带宽)，如下所示：

85、|si-(a-lc)|＝(s+ωo)n+1        (1.70)

86、将公式(1.69)与公式(1.70)展开，比较右边相同变量前的系数，得到pid n型控制回路中的扩张状态观测器的增益矩阵l。

87、根据以上技术方案，可以实现以下有益效果：

88、(1)本发明将线性二次型最优控制算法以及模型信息辅助下的线性扩张状态观测器方法相结合，成功解决了延时作用下高型系统中的控制器参数整定困难的问题。图2，图3，图4中可以很明显地得出本发明方法下延时作用的高型控制器参数整定方法的有效性；

89、(2)相比于延时作用下的pid i型控制器设计方法，本发明方法下的系统具备高型控制回路的优势，即系统可以跟踪更快的参考信号，消除稳态的跟踪误差。同时，系统上升时间、调节时间等动态响应性能指标以及系统的抗干扰能力得到显著改善；

90、(3)与未带有扩张状态观测器的方法进行相比，本发明设计方法下系统的抗干扰能力得到进一步提升。