一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法与流程

本发明涉及数值模拟技术领域，尤其是一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法。

背景技术：

氯离子侵蚀是影响混凝土结构耐久性的主要原因之一，其研究的核心问题是氯离子在混凝土中的输运机理分析与建模。传统的方式是在fick扩散定律的基础上做一些修正模型来描述氯离子在混凝土中的扩散行为。然而，混凝土是一种典型的多孔材料，具有不均匀和各向异性的特征，经典的fick扩散定律在这种条件下不在适用。此时，建立新的氯离子在混凝土中反常输运的力学模型对于研究混凝土结构耐久性有重要意义。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题在于，提供一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法，能够预测氯离子扩散过程中峰值到达的时间和推进速度，为工程结构设计和防护提供可靠的指导。

为解决上述技术问题，本发明提供一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法，包括如下步骤：

(1)在所考察物质的内部和边界配置若干测试点，获得这些测试点的氯离子浓度u和边界氯离子的质量分数，确定初边条件；

(2)应用分形导数对流扩散方程，确定扩散方程的参数，包括扩散系数，或者根据经验公式确定分形导数的阶数；

(3)采用差分方法离散控制方程，空间上采用隐格式离散，根据所要数值模拟物质所分布的尺度确定网格点数，其中时间点数为nt+1，空间点数为nx+1；整理离散后控制方程，得到矩阵形式的方程组ac＝b；

(4)解线性方程组c＝a\b，得到任意点x在时刻t氯离子浓度的扩散数据；

(5)分析氯离子的扩散数据，指导工程实践。

优选的，步骤(3)中，对于描述氯离子在混凝土中反常扩散的时间分形导数对流扩散方程为

其中为分形导数，定义为

α为分形阶数，a为对流参数，d为扩散参数，c为混凝土中氯离子的质量分数，对分形导数模型一般考虑d为常数，判断混凝土是否处于水饱和状态，在水饱和混凝土中氯离子的输运以扩散作用为主，此时可以简化模型,令a＝0，而在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式；

时间分形导数的离散形式为

此处δtk＝tk+1^γ-tk^γ

空间离散采用隐格式的离散方式

其中h＝l/nx，l为空间长度，nx为总空间段，xi为第i个点的位置，tk为第k个时间节点的时刻；

由于在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数对流扩散方程的离散格式，

整理得

可写成矩阵形式的ac＝b，其中方阵a为

向量c为[c(x1,tk+1),c(x2,tk+1),…,c(xnx,tk+1),c(xnx+1,tk+1)]'，

向量b为

由于在水饱和混凝土中，氯离子的输运以扩散作用为主，此时可以简化模型,令a＝0，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数扩散方程的离散格式，

整理得

可写成矩阵形式的ac＝b，其中方阵a为

向量c为[c(x1,tk+1),c(x2,tk+1),…,c(xnx,tk+1),c(xnx+1,tk+1)]'，

向量b为

优选的，步骤(5)中，根据氯离子扩散的数值结果对应氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命，在钢筋锈蚀发展的第一阶段预备期对钢筋进行有效的维护。

本发明的有益效果为：利用分形导数模型的尺度变换效应，结合氯离子在混凝土中的反常扩散特征，得到了描述氯离子在混凝土中反常扩散的分形导数扩散方程；通过与已有的非线性模型和分数阶导数模型比较，结果显示分形导数模型结构清晰，计算简单快速，易于实施，可以较精确的模拟氯离子在混凝土中反常扩散过程和时间演化特性；通过氯离子反常扩散过程模拟和统计特性分析，预测氯离子扩散过程中峰值到达的时间和推进速度，为工程结构设计和防护提供可靠的指导。

附图说明

图1是本发明的方法流程示意图。

图2是本发明的氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命图。

图3(a)为本发明6个月时的分形模型和分数阶模型模拟氯离子在混凝土中扩散的效果示意图。

图3(b)为本发明1年时的分形模型和分数阶模型模拟氯离子在混凝土中扩散的效果示意图。

图3(c)为本发明2年时的分形模型和分数阶模型模拟氯离子在混凝土中扩散的效果示意图。

图3(d)为本发明3年时的分形模型和分数阶模型模拟氯离子在混凝土中扩散的效果示意图。

图3(e)为本发明6年时的分形模型和分数阶模型模拟氯离子在混凝土中扩散的效果示意图。

图3(f)为本发明8年时的分形模型和分数阶模型模拟氯离子在混凝土中扩散的效果示意图。

具体实施方式

如图1所示，一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法，包括如下步骤：

(1)在所考察物质的内部和边界配置若干测试点，获得这些测试点的氯离子浓度u和边界氯离子的质量分数，确定初边条件；

(2)应用分形导数对流扩散方程，确定扩散方程的参数，包括扩散系数，或者根据经验公式确定分形导数的阶数；

(3)采用差分方法离散控制方程，空间上采用隐格式离散，根据所要数值模拟物质所分布的尺度确定网格点数，其中时间点数为nt+1，空间点数为nx+1；整理离散后控制方程，得到矩阵形式的方程组ac＝b；

(4)解线性方程组c＝a\b，得到任意点x在时刻t氯离子浓度的扩散数据；

(5)分析氯离子的扩散数据，指导工程实践。

步骤(3)中，对于描述氯离子在混凝土中反常扩散的时间分形导数对流扩散方程

其中为分形导数，定义为

α为分形阶数，a为对流参数，d为扩散参数，c为混凝土中氯离子的质量分数，对分形导数模型一般考虑d为常数，判断混凝土是否处于水饱和状态，在水饱和混凝土中氯离子的输运以扩散作用为主，此时可以简化模型,令a＝0，而在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式。

时间分形导数的离散形式为

此处δtk＝tk+1^γ-tk^γ

空间离散采用隐格式的离散方式

其中h＝l/nx，l为空间长度，nx为总空间段，xi为第i个点的位置，tk为第k个时间节点的时刻。

由于在非饱和混凝土中，扩散和对流则构成了氯离子输运的主要形式，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数对流扩散方程的离散格式，

整理得

可写成矩阵形式的ac＝b，其中方阵a为

向量c为[c(x1,tk+1),c(x2,tk+1),…,c(xnx,tk+1),c(xnx+1,tk+1)]'，

向量b为

由于在水饱和混凝土中，氯离子的输运以扩散作用为主，此时可以简化模型,令a＝0，将公式(2)和(3)代入控制方程(1)得到时间分形导数扩散方程的离散格式，

整理得

可写成矩阵形式的ac＝b，其中方阵a为

向量c为[c(x1,tk+1),c(x2,tk+1),…,c(xnx,tk+1),c(xnx+1,tk+1)]'，

向量b为

解线性方程组c＝a\b，得到任意点x在时刻t氯离子浓度的扩散的数值结果。

根据氯离子扩散的数值结果对应氯离子侵蚀作用下的钢筋混凝土结构使用寿命图(图2)，在t1时间段即钢筋锈蚀发展的第一阶段预备期对钢筋进行有效的维护。

考虑如下氯离子在水饱和混凝土中输运问题，采用thomas等在1987年用普通波特兰水泥混凝土水灰比0.66条件下制作的钢筋混凝土试块在英格兰东南沿海的海洋浪溅区进行多年的暴露实验的实验数据，分别用分数阶模型和分形模型拟合实验数据，分形模型方程为：

分数阶模型方程为

其中扩散系数d＝21.14mm²/month^0.9，对流系数a＝0，此处分数阶和分形导数的阶数α＝0.9。

拟合结果见图3(a)至图3(f)，从图中可以看出分形导数模型可以对实验结果进行有效的拟合和预测，从而知道工程实践工作。并且表格1的运行条件为inter(r)core(tm)i5-5490cpu@3.30ghz，显示了分形模型和分数阶模型在不同点数下的运行时间，从中可以发现分形导数模型在计算效率上明显优于分数阶导数模型。因此，本发明所提出的一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数建模具有精确模拟氯离子在混凝土中的反常扩散行为和较高的计算效率的优势。

表1对流系数a＝1.0,扩散系数d＝1.0,分数阶阶数和分形阶数α＝0.65.

本发明是一种氯离子在混凝土中反常扩散动态数据重构的分形导数模拟方法。该发明的特点是：利用了分形导数模型的尺度变换效应，可以有效的描述反常扩散现象的特性，结合氯离子在混凝土中扩散表现的反常扩散特征，扩展了经典的扩散方程，得到了描述氯离子在混凝土中反常扩散的分形导数扩散方程。相比较非线性模型和分数阶模型，分形导数模型结构清晰，计算简单快速，易于实施，可以较精确地模拟氯离子在混凝土中反常扩散行为。

分形导数从尺度变换的角度出发，可以有效的描述反常扩散现象。本发明基于该分形导数的数学理论，提出了一种新的数学模型来描述氯离子在混凝土中的反常扩散行为。分数阶导数模型是氯离子在混凝土中反常输运的新力学模型，可以很好地描述粒子在复杂介质中的反常扩散行为，并且成功的应用在氯离子在混凝土中扩散的数学建模。相比于已有的分数阶导数模型和非线性模型，分形导数模型具有结构清晰，没有卷积计算，计算简单快速，易于实施的优势，同样可以较精确地模拟氯离子在混凝土中反常扩散的行为，可以预测氯离子扩散过程中峰值到达的时间和推进速度，为工程结构设计和防护提供可靠的指导。

尽管本发明就优选实施方式进行了示意和描述，但本领域的技术人员应当理解，只要不超出本发明的权利要求所限定的范围，可以对本发明进行各种变化和修改。