一种超级电容分数阶模型参数识别方法与流程

本发明涉及超级电容的分数阶模型参数识别技术领域，具体涉及一种利用串联谐振频率响应测量超级电容的分数阶模型参数的识别方法。

背景技术：

超级电容器作为一种能量存储设备，由于其优异的特性，得到了广泛的应用。近年来，关于超级电容器的研究不断深入，为了描述多孔碳材料复杂的内部结构及相对应的电容值，前人提出了三类基本模型：传统等效电路模型、人工神经网络模型及分数阶模型。自从1695年leibnitz和l’hospital提出分数阶微积分的概念以后，分数阶模型成为种类最多的模型，与传统等效电路模型相比较，该类模型能用较少的参数取得与实验符合得很好的结果。

在国外，r.martin、andrzejdzie-linski、delevie等研究了电容器分数阶模型及其时域频域响应特性。

在国内，黄欢、刁利杰、余战波等改进了分数阶模型计算方法，研究了电阻、电容和电感串并联等不同拓扑结构的电路基本特性和规律。

但是，国内外现有研究主要集中在对超级电容分数阶模型的理论分析，而针对超级电容的实际应用中分数阶参数测量与识别方法的研究还很少。前人在参数测量实验和辨识过程中，采用标准电容元件或电感元件时，依照传统等效电路模型的假设，把电容和电感的模型参数当作是整数阶的。但是，只有理想的电容电感元件是整数阶的，而实际存在的电容和电感元件一定都是分数阶的。在实验中不可能找到理想的整数阶电感(或电容)元件，用于测量分数阶的电容(或电感)参数。因此，以前很多的参数测量和辨识方法忽略了实际上分数阶自然存在的本质，其实验和计算结果很可能是错误的。

2010年至2013年间toddj.freeborn、ahmedselwakil等基于cole-cole生物阻抗模型，采用阶跃响应的实验和最小二乘数值优化方法，提取出电容器的分数阶阻抗参数。他们只针对一阶rc电路做实验和辨识，可以得到电容器分数阶模型阶跃响应的时域数值解，但是他们没有分析二阶及以上的rlc电路。而时域上的阶跃或脉冲响应的实验方法和数值计算的缺点是：针对二阶及以上的rlc电路分数阶模型的阶跃或脉冲响应，从频域到时域的拉普拉斯反变换不一定存在解，且与整数阶相比，想要得出分数阶模型响应的时域解析解更困难，也更不易仿真实现。

综上所述，到目前为止，在实际应用中尚未见到采用分数阶rlβcα串联谐振频率响应的方法识别超级电容分数阶模型参数(电阻、电容量和分数阶阶次)的装置或仪器。

技术实现要素：

针对本领域的现有技术中存在的问题，本发明提供了一种超级电容分数阶参数识别方法，该方法基于实际电容和电感的模型参数都是分数阶的科学事实，采用测量含超级电容的分数阶串联谐振频率响应的实验方法，结合分数阶微积分理论推导公式，计算获得超级电容分数阶阻抗模型的精确参数。

为了实现上述目的，本发明采用如下技术方案。

一种超级电容分数阶模型参数识别方法，该方法包括：

步骤一，实验采集含超级电容的串联谐振电路的谐振频率响应数据；

步骤二，分析计算含超级电容的串联谐振电路的谐振频率响应数据；

步骤三，根据分数阶微积分理论推导公式，辨识得出超级电容的电容量和分数阶阶次；

该方法通过建立超级电容并联rocα分数阶阻抗模型、进行谐振频率响应实验与数值计算、设计制造超级电容分数阶模型参数识别器，获得超级电容分数阶模型的精确参数。

优选的是，所述超级电容分数阶模型参数包括电阻、电容量和分数阶阶次。

在上述任一技术方案中优选的是，所述建立超级电容的分数阶模型，设定超级电容器的并联rocα分数阶阻抗模型是由一个不变电阻ro和一个常相位元件cpe电路元件并联构成，该常相位元件的阻抗是：时域中zcpe＝1/(jω)^αc，或在频域s域中为1/s^αc，其中c是电容量，α是电容的阶数；当α＝0时，cpe是一个理想电阻；当α＝1时，cpe是一个理想电容器；而实际上电容和电感参数都是分数阶的，在数学上是可能的，则α的范围是0≤α≤1，超级电容分数阶阻抗参数是时间常数是τ＝(r0c)^1/α。

在上述任一技术方案中优选的是，所述谐振频率响应实验方法和参数计算方法，分数阶rlβcα串联谐振电路是由一个大功率变频可控电源vin、一个外加电阻r1、一个分数阶铁芯电抗器lβ和一个超级电容cα依次串联而成，通过可控电源vin施加频率不同的脉冲信号(或pwm波)，测量记录超级电容的输出电压vc、干路电流i1实验数据；

超级电容cα的稳态电阻r0可通过稳态实验对其施加直流信号测得，串联谐振回路中，在电源vin施加脉冲信号，则由基尔霍夫电压定律(kvl)得

vr+vl+vc＝vin(1)

式中，vr表示外加电阻r1上的电压，vr＝r1i1；vl表示分数阶铁芯电抗器lβ上的电压，vc表示超级电容cα上的电压，vc＝r0i0，i1＝i0+ic，vin表示分数阶rlβcα串联谐振回路总电压，即电源电压；

在频域中，设电源vin(s)＝vccg1，则通过串联谐振频率响应实验测量记录的超级电容的输出电压vc可表示为

串联谐振回路的干路电流i1可表示为

根据双参数mittag-leffler函数定义，

以及双参数mittag-leffler函数的拉普拉斯变换，

其中t≥0，s是拉氏域里的变量，re(s)定义了s的实值部分，λ∈r；

在时域中，当t∈[0,+∞)时，由公式(3)～(5)可得干路电流i1为

其中ml＝t^β-1eα,β(-λt^α)；

当α＝β＝1时，传统整数阶rlc串联谐振电路，其复阻抗为

式中，电阻感抗xl＝ωl，容抗电抗x＝xl-xc、阻抗角均为电源角频率ω的函数；谐振时vin(s)和i1(s)同相，即ψz＝0，所以电路谐振时应满足：x＝0，xl＝xc，谐振角频率为固有频率，谐振时的电流达到最大；

同理，从整数阶推广至分数阶谐振电路，谐振的基本原理和定义不变；

因此，所述谐振频率响应实验调节可控电源vin输出频率，当观察到干路电流达到最大值时，即分数阶rlβcα串联谐振电路达到谐振频率工作点，超级电容两端的电压与铁芯电抗器的电压大小相等、方向相反，vl＝-vc；采用波形记录仪记录分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出频率ω之间的关系曲线，即i1-ω,vc-ω谐振曲线；也可以用频率特性测试仪做实验测试频率特性，标记下谐振频率值和相位角；分数阶rlβcα向量图，分数阶电感与电阻的夹角成βπ/2，分数阶电容与电阻的夹角成απ/2；

分数阶rlβcα串联谐振电路的总阻抗可表示为

由分数阶rlβcα谐振的定义可知，当时，谐振角频率为

又定义归一化角频率

可以改变外加电阻r1的值，使得系统阻尼发生变化，得到一组超级电容cα电压vc的相频特性曲线在传统整数阶情况下，α＝1，超级电容cα电压vc的相频特性曲线与横轴交点是在电源输出频率ω达到谐振频率时ω＝ω0，而推广到分数阶一般情况下，0≤α≤1，由公式(8)中ψz＝0可知，超级电容cα电压vc的相频特性曲线与横轴交点处的频率为

超级电容cα电压的相频特性曲线与横轴交点处的相位表示为

而且因为已知实验所用的分数阶铁芯电抗器的标准参数lβ和β的值，再根据rlβcα串联谐振频率响应实验数据，测得频率特性曲线交点处的谐振频率ωs和超级电容cα电压的相位所以超级电容cα分数阶模型的阶数α值可以直接从上面公式(12)得到；

再由公式(9)～(12)可得超级电容cα分数阶模型的电容量cα值

在上述任一技术方案中优选的是，所述公式(6)表示干路电流i1(t)为双参数mittag-leffler函数的函数，首先可用海维赛展开定理将式(3)展开成类似式(5)的形式，然后根据双参数mittag-leffler函数的拉普拉斯反变换求得干路电流i1的时域解，再利用matlab函数工具箱中的mlf程序数值计算出干路电流i1的数值解，最后可将i1代入式(2)求得超级电容的输出电压vc的数值解，即为时域上分数阶rlβcα串联谐振电路的脉冲响应特性。

在上述任一技术方案中优选的是，所述超级电容分数阶模型参数识别器基于分数阶rlβcα串联谐振频率响应方法，该基于分数阶rlβcα串联谐振频率响应方法的超级电容分数阶模型参数识别器包括实验数据采集单元、数据转换存储单元、数据计算处理单元和数据显示输出单元。

在上述任一技术方案中优选的是，所述实验数据采集单元包括高精度的电压互感器、电流互感器和频率计；所述实验数据采集单元能够同步采集三路数据信号，分别是：分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出信号频率ω。

在上述任一技术方案中优选的是，所述数据转换存储单元包括高精度抗干扰光电隔离a/d转换芯片、i/o接口、内存卡；所述数据转换存储单元能够将采集的模拟量信号转换成数字量，并能将采集数据和计算结果都存储记录下来。

在上述任一技术方案中优选的是，所述数据计算处理单元包括arm智能芯片，能够编程计算分数阶rlβcα串联谐振频率响应；所述数据计算处理单元根据实验采集的数据和已知条件，绘制出分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出信号频率ω之间的关系曲线，即i1-ω,vc-ω谐振曲线。

在上述任一技术方案中优选的是，所述数据显示输出单元包括液晶显示触摸屏、usb接口和无限网卡；所述数据显示输出单元能够通过液晶显示触摸屏输入已知条件和参数，并实时在线显示实验采集的数据、分析计算出的i1-ω,vc-ω谐振曲线、谐振频率和相位、超级电容cα分数阶模型的电容量cα值和阶数α值，然后通过usb接口转存到u盘或移动硬盘上，或通过无限网卡上传到上位机、网络云盘或打印机上。

在上述任一技术方案中优选的是，所述基于分数阶rlβcα串联谐振频率响应方法的超级电容分数阶模型参数识别器，其运行计算流程包括：

步骤1、同步采集分数阶rlβcα串联谐振频率响应实验的3路数据信号，包括分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出信号频率ω；

步骤2、分析数据并绘制出分数阶rlβcα串联谐振电路的谐振频率特性曲线(i1-ω，vc-ω)；

步骤3、根据稳态实验数据计算得出超级电容的稳态电阻

步骤4、根据谐振频率特性曲线找出谐振频率ωs及其对应的超级电容的电压相位角

步骤5、由公式(12)计算得出超级电容cα分数阶模型的阶数

步骤6、根据输入已知的分数阶铁芯电抗器的标准参数lβ和β的值，由公式(13)计算得到超级电容cα分数阶模型的电容量

本发明上述技术方案的优点是：

与传统的阶跃、脉冲或频率响应方法相比，该方法基于实际电容和电感的模型参数都是分数阶的科学事实，采用测量含超级电容的分数阶rlβcα串联谐振频率响应的实验方法，实验简单易行，只需做一次谐振实验，不需要借用昂贵的阻抗、网络或频谱分析仪等。

根据分数阶微积分理论推导出了分数阶rlβcα串联谐振频率响应的解析解，步骤更简洁，计算结果更精确。

装置功能齐全，操作简便，性能优势在于测量精度高，计算能力强，支持嵌入式程序开发，适用性更广泛。

实验结果表明，使用提取的超级电容分数阶模型参数，模拟出的谐振频率响应曲线和实际的实验曲线非常吻合，绝对误差不超过0.1％，相对误差小于1％，达到了工程实际需要的辨识精度。该分数阶参数识别方法及装置可以为工程上含超级电容的电路设计与控制保护提供真实可靠的基础数据。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为按照本发明的超级电容分数阶模型参数识别方法的一优选实施例的流程图；

图2为按照本发明的超级电容分数阶模型参数识别方法的一优选实施例的超级电容器的分数阶阻抗模型图；

图3为按照本发明的超级电容分数阶模型参数识别方法的一优选实施例的分数阶rlβcα串联谐振实验电路图；

图4为按照本发明的超级电容分数阶模型参数识别方法的一优选实施例的分数阶rlβcα向量图；

图5为按照本发明的超级电容分数阶模型参数识别方法的一优选实施例的分数阶参数识别器的基本构成图；

图6为按照本发明的超级电容分数阶模型参数识别方法的一优选实施例的分数阶参数识别器的运行计算流程图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

针对本领域的现有技术中存在的问题，本发明实施例提供一种超级电容分数阶参数(电阻、电容量和分数阶阶次)识别方法及装置，该方法基于实际电容和电感的模型参数都是分数阶的科学事实，采用测量含超级电容的分数阶rlβcα串联谐振频率响应的实验方法，结合分数阶微积分理论推导公式，计算获得超级电容分数阶阻抗模型的精确参数(电阻、电容量和分数阶阶次)。

如图1所示，本实施例所述的超级电容分数阶模型参数识别方法包括：

步骤一，实验采集含超级电容的rlβcα串联谐振电路的谐振频率响应数据；

步骤二，分析计算含超级电容的rlβcα串联谐振电路的谐振频率响应数据；

步骤三，根据分数阶微积分理论推导公式，辨识得出超级电容的电容量和分数阶阶次。

为了实现本实施例的上述技术方案，采用如下具体实施措施，分为3部分：1、建立超级电容并联rocα分数阶阻抗模型；2、进行谐振频率响应实验与数值计算；3、设计制造超级电容分数阶模型参数识别器。

首先，建立超级电容的分数阶模型。

超级电容器的并联rocα分数阶阻抗模型，假设是由一个不变电阻ro和一个常相位元件(cpe)电路元件并联构成，如图2所示。该常相位元件的阻抗是，时域中zcpe＝1/(jω)^αc，或在频域s域中为1/s^αc，其中c是电容量，α是电容的阶数。当α＝0时，cpe是一个理想电阻；当α＝1时，是一个理想电容器。而实际上电容和电感参数都是分数阶的，在数学上是可能的。因此，我们讨论α的范围是0≤α≤1。超级电容分数阶阻抗参数是时间常数是τ＝(r0c)^1/α。

其次，进行谐振频率响应实验和参数计算。

谐振频率响应实验方法和参数计算方法：

分数阶rlβcα串联谐振电路实验方法，是由一个大功率变频可控电源vin、一个外加电阻r1、一个分数阶铁芯电抗器lβ和一个超级电容cα依次串联而成，如图3所示。通过可控电源vin施加频率不同的脉冲信号(或pwm波)，测量记录超级电容的输出电压vc、干路电流i1等实验数据。

超级电容的稳态电阻r0可通过稳态实验对其施加直流信号测得，

如图3所示的串联谐振回路中，在电源vin施加脉冲信号，则由基尔霍夫电压定律(kvl)得

vr+vl+vc＝vin(1)

式中，vr表示外加电阻r1上的电压，vr＝r1i1；vl表示分数阶铁芯电抗器lβ上的电压，vc表示超级电容cα上的电压，vc＝r0i0，i1＝i0+ic，vin表示分数阶rlβcα串联谐振回路总电压，即电源电压。

在频域中，设电源vin(s)＝vccg1，因此，通过串联谐振频率响应实验测量记录的超级电容的输出电压vc可表示为

串联谐振回路的干路电流i1可表示为

根据双参数mittag-leffler函数定义，

以及双参数mittag-leffler函数的拉普拉斯变换，

其中t≥0，s是拉氏域里的变量，re(s)定义了s的实值部分，λ∈r。

在时域中，当t∈[0,+∞)时，由公式(3)～(5)可得干路电流i1为

其中ml＝t^β-1eα,β(-λt^α)。

说明：式(6)表示干路电流i1(t)为双参数mittag-leffler函数的函数，首先可用海维赛展开定理将式(3)展开成类似式(5)的形式，然后根据双参数mittag-leffler函数的拉普拉斯反变换求得干路电流i1的时域解，再利用matlab函数工具箱中的mlf程序数值计算出干路电流i1的数值解，最后可将i1代入式(2)求得超级电容的输出电压vc的数值解，即为时域上分数阶rlβcα串联谐振电路的脉冲响应特性。

当α＝β＝1时，图3为传统整数阶rlc串联谐振电路，其复阻抗为

式中，电阻感抗xl＝ωl，容抗电抗x＝xl-xc、阻抗角均为电源角频率ω的函数。谐振时vin(s)和i1(s)同相，即ψz＝0，所以电路谐振时应满足：x＝0，xl＝xc，谐振角频率为固有频率，谐振时的电流达到最大。

同理，从整数阶推广至分数阶谐振电路，谐振的基本原理和定义不变。

因此，实验调节可控电源vin输出频率，当观察到干路电流达到最大值时，即分数阶rlβcα串联谐振电路达到谐振频率工作点，超级电容两端的电压与铁芯电抗器的电压大小相等、方向相反，vl＝-vc。采用波形记录仪记录分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出频率ω之间的关系曲线，即i1-ω,vc-ω谐振曲线。也可以用频率特性测试仪做实验测试频率特性，标记下谐振频率值和相位角。如图4所示为分数阶rlβcα向量图，分数阶电感与电阻的夹角成βπ/2，分数阶电容与电阻的夹角成απ/2。

分数阶rlβcα串联谐振电路的总阻抗可表示为

由分数阶rlβcα谐振的定义可知，当时，谐振角频率为

又定义归一化角频率

可以改变外加电阻r1的值，使得系统阻尼发生变化，得到一组超级电容cα电压vc的相频特性曲线在传统整数阶情况下，α＝1，超级电容cα电压vc的相频特性曲线与横轴交点是在电源输出频率ω达到谐振频率时ω＝ω0，而推广到分数阶一般情况下，0≤α≤1，由公式(8)中ψz＝0可知，超级电容cα电压vc的相频特性曲线与横轴交点处的频率为

超级电容cα电压的相频特性曲线与横轴交点处的相位表示为

而且因为已知实验所用的分数阶铁芯电抗器的标准参数lβ和β的值，再根据rlβcα串联谐振频率响应实验数据，测得频率特性曲线交点处的谐振频率ωs和超级电容cα电压的相位所以超级电容cα分数阶模型的阶数α值可以直接从上面公式(12)得到。

说明：可根据本申请人的另一项专利技术测量辨识得到分数阶铁芯电抗器的标准参数lβ和β的值，“梁志珊，夏鹏程，李应坤，谭程.一种铁芯电抗器参数识别方法[p].中国发明专利，申请号：201610287104.4”，并且该方法测量分数阶铁芯电抗器的标准参数不会用到电容器，所以可以先测得分数阶电感参数，然后将其用于测量辨识待测的分数阶电容参数。

再由公式(9)～(12)可得超级电容cα分数阶模型的电容量cα值

最后，装置超级电容分数阶模型参数识别器。

基于分数阶rlβcα串联谐振频率响应方法的超级电容分数阶模型参数识别器，主要是由实验数据采集单元、数据转换存储单元、数据计算处理单元和数据显示输出单元等4部分构成的，如图5所示。

其中，实验数据采集单元是由高精度的电压互感器、电流互感器和频率计等元件构成，能够同步采集3路数据信号，分别是：分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出信号频率ω。

数据转换存储单元是由高精度抗干扰光电隔离a/d转换芯片、i/o接口、内存卡等元件构成，能够将采集的模拟量信号转换成数字量，并能将采集数据和计算结果都存储记录下来。

数据计算处理单元是由arm等智能芯片构成，能够编程计算分数阶rlβcα串联谐振频率响应，根据实验采集的数据和已知条件，绘制出分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出信号频率ω之间的关系曲线，即i1-ω,vc-ω谐振曲线。

数据显示输出单元是由液晶显示触摸屏、usb接口和无限网卡构成，能够通过液晶显示触摸屏输入已知条件和参数，并实时在线显示实验采集的数据、分析计算出的i1-ω,vc-ω谐振曲线、谐振频率和相位、超级电容cα分数阶模型的电容量cα值和阶数α值等，然后通过usb接口转存到u盘或移动硬盘上，或通过无限网卡上传到上位机、网络云盘或打印机上。

如图6所示，基于分数阶rlβcα串联谐振频率响应方法的超级电容分数阶模型参数识别器的运行计算流程如下：

步骤1、同步采集分数阶rlβcα串联谐振频率响应实验的3路数据信号，包括分数阶rlβcα串联谐振电路的干路电流i1、超级电容的电压vc与电源输出信号频率ω。

步骤2、分析数据并绘制出分数阶rlβcα串联谐振电路的谐振频率特性曲线(i1-ω，vc-ω)。

步骤3、根据稳态实验数据计算得出超级电容的稳态电阻

步骤4、根据谐振频率特性曲线找出谐振频率ωs及其对应的超级电容的电压相位角

步骤5、由公式(12)计算得出超级电容cα分数阶模型的阶数

步骤6、根据输入已知的分数阶铁芯电抗器的标准参数lβ和β的值，由公式(13)计算得到超级电容cα分数阶模型的电容量

上述计算流程都可以基于arm嵌入式系统编程实现。通过上述精确的实验测量和计算步骤，终于成功识别出超级电容的并联r0cα分数阶模型的3个阻抗参数：r0、cα和α。

进一步的，可以利用已经识别出的超级电容分数阶模型参数代入公式(2)～(3)中，仿真计算出分数阶rlβcα串联谐振频率响应特性曲线，并与实际的实验曲线做对比，观察两者的误差，从而验证参数辨识方法的正确性和精确度。如果仿真结果与实验曲线还存在一定误差，可以改变外加电阻做多次谐振实验，并应用最小二乘法、灵敏度分析法等优化算法，对上述的参数识别计算过程反复迭代优化，从而提高超级电容分数阶模型参数识别的精确度。与之相对应的，可以在参数识别器中基于arm嵌入式系统编程，添加合适的优化算法，因此，此处不再赘述。

本发明技术的优点是：与传统的阶跃、脉冲或频率响应方法相比，该方法基于实际电容和电感的模型参数都是分数阶的科学事实，采用测量含超级电容的分数阶rlβcα串联谐振频率响应的实验方法，实验简单易行，只需做一次谐振实验，不需要借用昂贵的阻抗、网络或频谱分析仪等。根据分数阶微积分理论推导出了分数阶rlβcα串联谐振频率响应的解析解，步骤更简洁，计算结果更精确。还有，该装置功能齐全，操作简便，性能优势在于测量精度高，计算能力强，支持嵌入式程序开发，适用性更广泛。

实验结果表明，使用提取的超级电容分数阶模型参数，模拟出的谐振频率响应曲线和实际的实验曲线非常吻合，绝对误差不超过0.1％，相对误差小于1％，达到了工程实际需要的辨识精度。该分数阶参数识别方法及装置可以为工程上含超级电容的电路设计与控制保护提供真实可靠的基础数据。

以上所述的方案仅是对本发明的优选实施方式进行描述，并非是对本发明的范围进行限定，在不脱离本发明设计精神的前提下，本领域普通工程技术人员对本发明的技术方案作出的各种变形和改进，均应落入本发明的权利要求书确定的保护范围内。

本发明专利得到北京市自然科学基金资助项目(3162025)和国家重点研发计划项目(2016yfc0303703)的支持。