基于波形松弛迭代的频域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法与流程

本发明涉及频域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，具体涉及一种基于波形松弛迭代的频域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法。

背景技术：

高空核爆电磁脉冲(hemp)一般由爆高在30km以上的核爆炸产生，其中的e1成分频谱覆盖范围包括中频、高频、甚高频甚至一些超高频波段的信号，具有辐射范围广，峰值场强高和频谱宽的特点，会在多导体传输线上耦合感应出幅值较高的感应电压和电流，对于由大量多导体传输线构成的各类电子、电气设备和系统具有严重威胁。hemp对电子、电气系统产生影响的本质机理是电磁场对多导体传输线的耦合。构建hemp对多导体传输线的耦合作用模型对于分析耦合响应进而开展防护研究具有非常重要的现实意义。

在emp对多导体传输线耦合作用研究中，理论建模研究是其中的重要手段，研究多导体传输线emp响应计算模型不仅有助于揭示emp对传输线的耦合机理，同时兼具经济性等优点，在当前的传输线emp响应分析中被广泛采用。但是，链参数矩阵模型等传统的多导体传输线模型由于计算步骤中包含有大量的解耦步骤，在传输线数量较多时面临着计算效率较低甚至可能无法计算的问题，而数值迭代模型等一些改进模型虽然在一定程度内有所改善，但依然面临着计算效率较低或者计算精度较低等问题。这些现存的问题使得现有的多导体传输线emp响应计算模型在实际应用中较为不便，进而制约了多导体传输线emp效应研究的发展。因此，发展新的多导体传输线emp响应计算模型，进一步提高其计算效率，对于深入的研究emp对多导体传输线的耦合作用规律进而开展防护技术研究具有非常重要的学术意义。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种基于波形松弛迭代的频域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，以克服现有技术的缺陷，本发明可以有效处理不同耦合因子、不同端接负载等各类情况，且传输线数目较多时计算效率相比传统链参数矩阵方法有大幅提高。

为达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

基于波形松弛迭代的频域多导体传输线电磁脉冲响应快速建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：列出多导体传输线的传输线模型方程组，所述传输线模型方程组是以每根线上的电流和电压为变量的2n元一阶微分方程组，其中n为线缆的根数，对方程组进行离散化，得到关于某一根线缆的方程组，将方程中线缆之间的互耦项与外界激励一起构成等效激励源；

步骤二：开始第一步迭代，且假设在第一步迭代时每根线缆只收到外界电磁场的激励，而不考虑线缆之间的互耦效应，略去方程中的互耦项；

步骤三：将迭代形式的传输线模型方程组转化为联合电压波方程，将其变量转化为线缆上的正、反向联合电压波；

步骤四：将联合电压波方程组联立，求得其通解，其通解包括两个部分，第一个部分是线缆首末端端点处的边界条件，第二个部分是联合电压波在沿线的积分；

步骤五：利用blt超矩阵方程求解边界条件，解析求解联合电压波沿线积分；

步骤六：通过线缆上的电压和电流与联合电压波的关系求得沿线响应的解析表达式，由此得到第一步迭代后的每根线缆上的电压和电流响应的解析表达式；

步骤七：得到每根线缆上的电流和电压响应之后求得线缆之间的互耦作用表达式，将该表达式带入步骤三，开始进行第二步迭代，通过步骤三至步骤六求得第二步迭代沿线的电压和电流的响应解析表达式，然后依次进行第三步以及更多步的迭代，在每次迭代中均求得沿线响应的解析表达式，经过若干步迭代即求得误差允许范围内的结果。

进一步地，所述传输线模型方程组为taylor方程或agrawal方程；

所述taylor方程如下所示：

所述agrawal方程如下所示：

式中：v——响应全电压矩阵；i——响应全电流矩阵；z'——单位长度传输线阻抗矩阵；y'——单位长度传输线导纳矩阵；vs'——taylor模型等效分布电压激励源矩阵；is'——taylor模型等效分布电流激励源矩阵；v^s——响应散射电压矩阵；vs1'——agrawal模型等效分布电压激励源矩阵；is1'——-agrawal模型等效分布电流激励源矩阵。

进一步地，步骤一中当采用taylor方程时，对taylor方程进行离散化，得到其离散形式，则对于第i根传输线，其电报方程为：

式中：zii'——第i根传输线的自阻抗；zij'——第i根传输线与第j根传输线的互阻抗；yii'——第i根传输线的自导纳；yij'——第i根传输线与第j根传输线的互导纳；vs,i'——第i根线所受的外场激励的等效电压分量；is,i'——第i根线所受的外场激励的等效电流分量；ω——角频率；vi——第i根传输线电压；ii——第i根传输线电流。

进一步地，步骤二中对第i根传输线的电报方程应用波形松弛，将其写为迭代形式，得到迭代形式的传输线模型方程组：

式中：rr——迭代步数；

其中：

ei,b(x,ω)＝vs,i'(x,ω)

qi,b(x,ω)＝is,i'(x,ω)

式中：vj——第j根传输线电压；ij——第j根传输线电流；

下标a部分为与每一步迭代后的电压和电流值有关的迭代项，下标b部分为一个常数项，其在每一步迭代中都相等。

进一步地，步骤三中将迭代形式的传输线模型方程组变换为联合电压波方程：

式中：wi+——沿线正向联合电压波；wi-——沿线负向联合电压波；

其中：

wi+^(rr+1)(x,ω)＝vi^(rr+1)(x,ω)+zc,iii^(rr+1)(x,ω)

wi-^(rr+1)(x,ω)＝vi^(rr+1)(x,ω)-zc,iii^(rr+1)(x,ω)

ri+,a^(rr+1)(x,ω)＝ei,a^(rr+1)(x,ω)+zc,iqi,a^(rr+1)(x,ω)

ri-,a^(rr+1)(x,ω)＝ei.a^(rr+1)(x,ω)-zc,iqi,a^(rr+1)(x,ω)

ri+,b(x,ω)＝ei,b(x,ω)+zc,iqi,b(x,ω)

ri-,b(x,ω)＝ei.b(x,ω)-zc,iqi,b(x,ω)

进一步地，步骤四中将联合电压波方程中的正、负向联合电压波的一元一阶微分方程联立，对其进行求解，得到通解如下：

通过上式能够得到沿线任一点处的正、负向联合电压波，则沿线任一点处的响应电压和电流就表示为：

进一步地，步骤五中blt方程形式如下：

w(0)＝m(i-γm)^-1ws

其中：

式中：ρ1——传输线首端的反射系数；ρ2——传输线末端的反射系数；γ——传输线的传播常数；ws——blt方程的源项；l——传输线长度；

其中：

式中：zc——传输线的特性阻抗；z1——传输线首端负载；zl——传输线末端负载；

blt方程的源项表示为：

由此能够求得沿线的响应电压和电流，由于通解和blt方程的源项中的积分都具有指数函数形式，在激励场为均匀平面波的情况下，其激励也同样为指数函数形式，则积分能够解析求出，另外，由于指数函数在积分后同样是指数函数形式，则每一步迭代后的沿线响应结果都能够通过解析推导的方式求解得到。

进一步地，步骤六中第一步迭代后，电压和电流响应的解析表达式为：

式中：fv1⁽¹⁾(n)～fv3⁽¹⁾(n)、fi1⁽¹⁾(n)～fi3⁽¹⁾(n)均为相关系数。

进一步地，步骤七中第二步迭代后，电压和电流响应的解析表达式为：

式中：fv1⁽²⁾～fv7⁽²⁾、fi1⁽²⁾～fi7⁽²⁾均为相关系数。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

在多导体传输线电磁脉冲响应计算模型方面，传统的链参数矩阵模型由于需要进行大量的矩阵求逆运算来对彼此互耦的传输线进行解耦，其计算效率较为低下，一些其它模型例如基于数值迭代的模型由于需要将传输线分段，也面临着计算精度和计算效率等方面的问题。而本发明基于解析迭代的模型则无需将传输线分段，只需将传输线之间的互耦作用等效为沿传输线分布的分布激励源，并通过解析的方式推导得到每一步迭代后的响应表达式，具有计算效率高等优点。

本发明提出了基于解析jacobi迭代的多导体传输线emp响应计算模型，该模型将传输线之间的互耦作用等效为在传输线上分布的分布激励源，利用jacobi迭代的方式推导得到每一步迭代后的响应公式，从而不用再对传输线进行分段处理。该模型在第1步迭代时，对于每根传输线单独处理，不考虑线缆之间的耦合作用，而在第二步及以后的迭代中，不仅考虑电磁波对每根导线的作用，同时考虑线缆之间的相互作用。模型在计算临近导线的耦合作用时，将其上一步迭代后的结果带入计算，使得计算效率相比传统的链参数矩阵模型有了大幅的提高。通过一系列多种不同模型算例的验证，证明jacobi-darit-field模型可以有效处理不同耦合因子、不同端接负载等多种不同模型，通过大规模多导体传输线的算例验证，jacobi-darit-field模型相比传统链参数模型计算效率大幅提高。

附图说明

图1为地面上多导体传输线几何结构。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述：

本发明在频域建立了基于波形松弛算法和解析迭代求解电磁脉冲对多导体传输线耦合的频域计算模型，通过利用联合电压波方程和blt超矩阵方程，将传输线之间互耦的影响等效为在传输线上连续分布的虚拟激励源，推导给出了传输线沿线电压、电流响应的解析表达式，把大规模矩阵求逆运算转换为一系列的迭代过程，同时每一步迭代都可以给出解析解，避免了耗时的数值积分，提高了计算效率。

考虑如图1所示的由n根传输线组成的多导体传输线结构，图中线缆间距为d，线长为l，线径为r，首末端的端接负载分别为z1和zl。地面为有耗大地，考虑其大地阻抗，零电位参考点选取为地面以下的趋肤深度处。当传输线受到外界电磁场激励时其响应电压和响应电流由矩阵形式的电报方程所描述。根据电报方程形式的不同，目前主要存在taylor方程和agrawal方程等几种不同类型的电报方程，其中taylor方程如式(1)所示，agrawal方程如式(2)所示：

式中：v——响应全电压矩阵；i——响应全电流矩阵；z'——单位长度传输线阻抗矩阵；y'——单位长度传输线导纳矩阵；vs'——taylor模型等效分布电压激励源矩阵；is'——taylor模型等效分布电流激励源矩阵；v^s——响应散射电压矩阵；vs1'——agrawal模型等效分布电压激励源矩阵；is1'——-agrawal模型等效分布电流激励源矩阵。

式(1)中方程等式右边的等效分布电压激励源和等效分布电流源分别由沿线分布的电磁场组成，对于每一根传输线，其分布激励源公式如式(3)所示：

式中：μ0——真空磁导率；hy^ex——外界磁场在水平并与传输线垂直方向的分量；ex^ex——外界电场在沿线方向的分量；ez^ex——外界电场在垂直方向的分量；ω——角频率。

式(2)中的agrawal模型等效分布电压激励源表达式为：

vs1'(x,ω)＝ex^ex(x,0,h,ω)

is1'(x,ω)＝0(4)

由于模型中采用了有耗大地模型，则有限的的土壤电导率会对模型产生一定的影响，该影响在模型中主要体现在3个方面。首先是将零电位参考点选取为地面以下的趋肤深度处，该项影响因素已经包含在了电报方程的推导过程中，由于电报方程应用较为广泛，其推导过程在此不再赘述。其次是在大地阻抗的的计算中采用了桑德(sunde)公式的简化形式，该公式考虑了高频下的土壤电导率所产生的影响。最后是在计算地面反射波时所采用的反射系数中同样考虑了土壤电导率的影响。

在考虑大地阻抗的情况下，单位长度的传输线阻抗由三个部分组成，即单位长度传输线电感、单位长度传输线电阻以及单位长度大地阻抗，而单位长度传输线导纳由单位长度传输线电容和单位长度大地导纳所组成，其表达式如式(5)所示：

z'＝jωlw'+zw'+zg'

式中：lw'——单位长度传输线电感矩阵；zw'——单位长度传输线电阻矩阵；zg'——单位长度传输线大地阻抗矩阵；cw'——单位长度传输线电容矩阵；yg'——单位长度传输线地面导纳矩阵。

由于线缆结构为多导体传输线，以上单位长度参数都是矩阵形式，其结构为分为对角线元素与非对角线元素。则对于其中的对角线元素，即第i根传输线单位长度自感、单位长度大地自阻抗和单位长度电阻的计算公式为：

式中：σw——传输线电导率；γg——大地传播系数；hi——第i根传输线高度；ri——第i根传输线半径。

大地传播系数的公式为：

式中：σg——土壤电导率；εg——土壤介电常数。

而对于矩阵中的非对角线元素来说，即第i根传输线与第j根传输线之间的互感与大地互阻抗表达式为：

式中：dij——第i根传输线与第j根传输线的距离。

传输线单位长度电容矩阵和单位长度大地导纳矩阵可由，单位长度电感矩阵和单位长度大地阻抗矩阵求得，其表达式为：

cw'＝μ0ε0lw'^-1(12)

yg'＝γg²zg'^-1(13)

电报方程中的激励源由辐照在传输线上的电磁场所组成，而该电磁场由入射波和经过大地反射的反射波叠加而成。当外界来波为均匀平面波时，其入射电磁场和反射电磁场矢量分别为：

e^inc＝e0(ω)[(cosαsinψcosφ+sinαsinφ)x+

(-cosαsinψsinφ+sinαcosφ)y+cosαcosψz]e^{-jkxcosψcosφ}e^jkzsinψ(14)

e^ref＝e0(ω)[(-cosαsinψcosφrv+sinαsinφrh)x+

(cosαsinψsinφrv+sinαcosφrh)y+cosαcosψrvz]e^{-jkxcosψcosφ}e^-jkzsinψ(16)

式中：e0——电磁场波形；e^inc——入射电场矢量；h^inc——入射磁场矢量；e^ref——反射电场矢量；h^ref——反射磁场矢量；rv——垂直方向的费涅尔反射系数；rh——水平方向的费涅尔反射系数；α——电磁波极化角，描述了电场矢量方向与入射面所成的夹角；ψ——入射仰角，入射平面波矢量与其在地面投影矢量之间的夹角；——入射方位角，入射平面波在地面的投影矢量与x轴的夹角。

费涅尔反射系数表达式为：

对于有限长传输线两端接负载的情况，要求得式(1)中的微分方程唯一解还应知道方程的初始条件，初始条件为：

v(0)＝-z1i(0)

v(l)＝zli(l)(20)

在利用agrawal模型求解传输线问题时，初始条件变为：

taylor模型与agrawal模型完全等价，在求解具体问题时，只需要根据线路特点以及所在位置处的环境特点应用相应的方程即可。以下以taylor方程为例，引出基于解析迭代的建模方法。

由于式(1)为矩阵形式，首先将式(1)写为离散形式，对于第i根传输线，其电报方程为：

式中：zii'——第i根传输线的自阻抗；zij'——第i根传输线与第j根传输线的的互阻抗；yii'——第i根传输线的自导纳；yij'——第i根传输线与第j根传输线的的互导纳；vs,i'——第i根线所受的外场激励的等效电压分量；is,i'——第i根线所受的外场激励的等效电流分量；ω——角频率；vi——第i根传输线电压；ii——第i根传输线电流。

由式(22)可看出，该式由式(1)的矩阵方程变为了关于单根传输线的电报方程，方程右边的求和项代表了临近传输线对第i根传输线的耦合效应总和。则若要对该线上的电压响应和电流响应进行求解，应当先求解其它线上的沿线电流和电压响应值。对于这个问题，darit方法采用了迭代的方法来进行求解。对方程(22)应用波形松弛，将其写为迭代形式为：

式中：rr——迭代步数。

其中：

ei,b(x,ω)＝vs,i'(x,ω)(24)

qi,b(x,ω)＝is,i'(x,ω)(25)

式中：vj——第j根传输线电压；ij——第j根传输线电流；

由上述方程可以看出，迭代公式等式的右边分为两部分，第一部分(下标a部分)为与每一步迭代后的电压和电流值有关的迭代项，第二部分(下标b部分)为一个常数项，其在每一步迭代中都相等。由于上述微分方程为二元一阶微分方程，为了求解，将方程(23)变换为联合电压波方程：

式中：wi+——沿线正向联合电压波；wi-——沿线负向联合电压波。

其中：

wi+^(rr+1)(x,ω)＝vi^(rr+1)(x,ω)+zc,iii^(rr+1)(x,ω)

wi-^(rr+1)(x,ω)＝vi^(rr+1)(x,ω)-zc,iii^(rr+1)(x,ω)(27)

ri+,a^(rr+1)(x,ω)＝ei,a^(rr+1)(x,ω)+zc,iqi,a^(rr+1)(x,ω)

ri-,a^(rr+1)(x,ω)＝ei.a^(rr+1)(x,ω)-zc,iqi,a^(rr+1)(x,ω)(28)

ri+,b(x,ω)＝ei,b(x,ω)+zc,iqi,b(x,ω)

ri-,b(x,ω)＝ei.b(x,ω)-zc,iqi,b(x,ω)(29)

式中：zc,i——第i根传输线的特征阻抗；γi——第i根传输线的传播常数。

以上公式中，ri,ei和qi等变量皆为算子，不具有特定的意义，其表达式已在式中列出。

式(26)为两个分别关于正、负向联合电压波的一元一阶微分方程，对其进行直接求解，可得通解如式(31)所示：

由式(31)可求得沿线任一点处的正、负向联合电压波，则沿线任一点处的响应电压和电流就可以表示为：

式(31)中的首末端边界条件可由blt方程求得，blt方程是由baum等人提出的一种形式较为简单紧凑的解法，专门用于求解单根传输线端点处的响应问题，联合电压波的blt方程形式如式(33)所示：

w(0)＝m(i-γm)^-1ws(33)

对于式(26)中的迭代表达式，式(33)中参数为：

式中：ρ1——传输线首端的反射系数；ρ2——传输线末端的反射系数；γ——传输线的传播常数；ws——blt方程的源项。

式(34)中的参数定义如下：

式中：zc——传输线的特性阻抗，其表达式如式(36)所示：

blt方程的源项可表示为：

由此可求得沿线的响应电压和电流。注意到式(31)和式(37)中的积分都具有指数函数形式，在激励场为均匀平面波的情况下，其激励也同样为指数函数形式，则积分可以解析求出。另外，由于指数函数在积分后同样是指数函数形式，则每一步迭代后的沿线响应结果都可以通过解析推导的方式求解得到。

第一步迭代以后，沿线响应的表达式为：

其中fv1⁽¹⁾(n)～fv3⁽¹⁾(n)、fi1⁽¹⁾(n)～fi3⁽¹⁾(n)均为相关系数。

第二步迭代后，沿线响应的表达式为：

其中fv1⁽²⁾～fv7⁽²⁾、fi1⁽²⁾～fi7⁽²⁾均为相关系数。

整个迭代的通式如式(26)和(31)所示，可按照以上流程分别对每步迭代后的表达式进行推导。对于一般架空线情形，只要三、四步迭代就就可以得到比较准确的结果。