一种基于科瑟拉弹性杆模型的线缆的建模方法及装置的制造方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及机械工程领域，特别涉及一种基于科瑟拉弹性杆模型的线缆的建模方 法及装置。
【背景技术】
[0002] 作为能量和信号的传输通道，线缆在机电产品中应用广泛，而线缆的布局和敷设 安装质量直接影响机电产品的质量及可靠性。近年来，在虚拟环境中进行线缆布局设计与 敷设过程仿真逐渐成为国内外的研宄热点。
[0003]柔性线缆的模型表达是进行虚拟环境下线缆敷设过程仿真的基础，该模型不仅要 能支持电缆的几何和拓扑特性，还要能支持线缆的物理特性表达，并满足虚拟现实系统特 有的实时性要求。与布料和人体组织等柔性体不同，线缆最大的特点在于其长度通常远大 于直径，工程中通常以线缆的中心线为扫描路径，以一定的截面信息扫描来形成线缆的三 维模型，因此中心线的确定是线缆建模的关键，最早提出的方法有采用折线段，或自由曲线 如贝塞尔曲线等表示线缆的中心线，但这些方法属于线缆的几何建模，没有考虑线缆的物 理属性，进行线缆敷设过程仿真时缺乏真实性。
[0004]由于柔性物体的形状不像刚体那样固定不变，而是随着外界条件的不同发生改 变，因此建模难度很大。线缆物理建模是典型的柔性体的物理建模，由于线缆敷设过程中， 线缆整体的运动与机器人机械臂的运动具有相似性，基于该思想，魏发远等提出了一种基 于蛇形机器人的线缆建模与敷设仿真方法，将来源于机器人理论的逆运动学方法应用于线 缆建模中。德国Hergenrother等开发的虚拟装配系统中采用了类似的模型，通过一系列相 连接的刚性杆表示线缆，每个连接处称为关节，在关节处加入扭簧和质点以考虑抗弯刚度 和重力这两个物理属性，当线缆端部移动到某一位置时，采用能量优化法和逆运动学方法， 求解出每一关节所应有的变量并且系统具有的能量最小。以上建模方法能够体现线缆在敷 设仿真过程中"长度不变"的性质，但考虑的线缆物理参数较少，真实性不足。
[0005]又由于线缆在敷设过程中的局部应变很小，基本保持在材料的弹性范围内，因此 有学者将其本构关系抽象为弹性关系，并用弹性杆模型进行线缆物理建模。弹性细杆静力 学理论是Kirchhoff在1859年建立的，工程中绳索、钻杆、纤维等都曾将弹性细杆作为其力 学模型。刘检华等提出的以Kirchhoff弹性细杆非线性力学理论为基础的虚拟环境下活动 线缆建模与运动仿真方法，对活动线缆的仿真取得了较好效果，但该方法需要求解微分方 程组的边界值问题，并利用"打靶法"在已知两端的位置和朝向基础上对线缆的整体外形进 行求解，其存在问题是求解所需要的初值往往难以给定，而且求解时间所需较长，无法满足 线缆敷设过程仿真的实时性需求。
[0006]科瑟拉理论作为Kirechhoff理论的改进，考虑了弹性杆的轴向线应变和弯曲剪 应变等物理参数，建立更精确的平衡方程。科瑟拉理论首先由Pai等用于弹性杆这类细长 的可变形结构的建模，该方法同样通过"打靶法"数值求解微分方程得到杆的静态外形；由 于数值解法在初始条件上难以确定，同时在处理自接触和与其他物体接触的问题上也存在 困难，之后的方法多关注于模型的离散表达。Jonas Spillmann等提出用于柔性杆动力学 模型，该模型以科瑟拉理论为基础导出杆件的连续能量表达式，通过对杆的离散计算出杆 的每个单元具有的能量，进而由拉格朗日方程得到杆的动力学微分方程，数值求解该微分 方程得到杆的动态变化。由于动力学模型需要较长时间进入稳定状态，黄劲等提出了一个 稳定快速的优化策略对线缆进行形变模拟，并着重研宄了大步长、准静态模拟过程中的接 触处理这一关键问题。MireilleGr' egoire等提出了通用弹簧质点模型表达线缆这类柔 性零件的外形，并以科瑟拉理论对其弯曲和扭转进行建模，通过能量最小化过程求解线缆 的平衡状态，这种方法避免了动力学模型中的振动现象，因此具有较好的稳定性。但该方 法采用比例积分控制实现模型的定长约束，引入了约束力变量，通过迭代的方法确定约束 力，这使得模型变得复杂也降低了求解效率；四元数标准化约束中，为了避免线缆外形出现 "V"形的异常形变，改变了约束表达式，将四元数的模变为其倒数，这使得雅克比矩阵变得 复杂，降低了求解效率；在优化问题求解中级联使用了多种优化方法以保证算法收敛，但初 值的选择仍对求解效率和算法收敛性影响较大。
[0007] 综上所述，目前不能真实、稳定、高效地对线缆进行物理建模。
【发明内容】
[0008] 本发明实施例的目的在于提供一种基于科瑟拉弹性杆模型的线缆的建模方法及 装置，能真实、稳定、高效地对线缆进行物理建模。
[0009] 为了达到上述目的，本发明的实施例提供了一种基于科瑟拉弹性杆模型的线缆的 建模方法，该建模方法包括：
[0010] 对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条中心线段；
[0011] 建立待建模线缆的弹性势能与每条中心线段中点的四元数和每条中心线段的端 点的坐标的第一函数关系式；
[0012] 根据第一函数关系式，确定出待建模线缆的每条中心线段的端点的坐标。
[0013] 其中，在对待建模线缆的中心线进行离散处理，得到多条中心线段之前，建模方法 还包括：
[0014] 获取待建模线缆的长度、截面形状及尺寸、杨氏模量、切变模量以及用于固定待建 模线缆的各接头的安装位置。
[0015] 其中，建立待建模线缆的弹性势能与每条中心线段中点的四元数和每条中心线段 的端点的坐标的第一函数关系式，具体包括：
[0016] 根据待建模线缆的长度和各接头的安装位置，分别建立每条中心线段的拉伸形变 的弹性势能与每条中心线段的端点的坐标的第二函数关系式以及每相邻两条中心线段的 两个中点之间的中心线段的弯曲及扭转变形的弹性势能与每条中心线段的中点的四元数 的第三函数关系式；
[0017] 根据第二函数关系式和第三函数关系式，计算得到第一函数关系式。
[0018] 其中，分别建立每条中心线段的拉伸形变的弹性势能与每条中心线段的端点的坐 标的第二函数关系式以及每相邻两条中心线段的两个中点之间的中心线段的弯曲及扭转 变形的弹性势能与每条中心线段的中点的四元数的第三函数关系式，具体包括：
[0019] 通过公式
[0020]
[0021] 建立每条中心线段的拉伸形变的弹性势能与每条中心线段的端点的坐标的第二 函数关系式，其中Vs[i]表示第i条中心线段的拉伸形变的弹性势能，1,表示当待建模线缆 处于自然状态时，第i条中心线段的长度，匕表示抗拉刚度，r 1+1和r i分别表示在参考坐标 系中第i条中心线段的两个端点的坐标；
[0022] 通过公式< =?计算得到每相邻两条中心线段的两个中点之间的中心线 J lj 段的任一点处的四元数对弧坐标s的微分，其中^表示第j+1条中心线段的中点与第 j条中心线段的中点之间的中心线段的任一点处的四元数对弧坐标S的微分，\+1表示第 j+1条中心线段的中点的四元数，\表示第j条中心线段的中点的四元数，L表示当待建 模线缆处于自然状态时，第j条中心线段和第j+1条中心线段的和的一半；
[0023] 通过公式f计算得到每相邻两条中心线段的两个中点之间的中心线 I 2 段的任一点处的四元数，其中X.表示第j + 1条中心线段的中点与第j条中心线段的中点之 间的中心线段的任一点处的四元数；
[0024] 通过公式
[0025]
[0026] 建立每相邻两条中心线段的两个中点之间的中心线段的弯曲及扭转变形的弹性 势能与每条中心线段的中点的四元数的第三函数关系式，其中V b[j]表示第j+1条中心线 段的中点与第j条中心线段的中点之间的中心线段的弯曲及扭转变形的弹性势能，k bl、kb2 以及kb3分别表示在三个坐标轴方向上的抗弯和抗扭刚度，且当待建模线缆的截面为圆形 时，
，E表示杨氏模量，G表示切变模量，:r表示待建模线 缆的截面半径，表示第j+1条中心线段的中点与第j条中心线段的中点之间的中心线 段的任一点处的四元数的第一个参数，^表示第j+1条中心线段的中点与第j条中心线 段的中点之间的中心线段的任一点处的四元数的第二个参数，表示第j+1条中心线段 的中点与第j条中心线段的中点之间的中心线段的任一点处的四元数的第三个参数， 表示第j+1条中心线段的中点与第j条中心线段的中点之间的中心线段的任一点处的四元 数的第四个参数，X ' cu表示第j + 1条中心线段的中点与第j条中心线段的中点之间的中 心线段的四元数的第一个参数对弧坐标S的微分，X ' u表示第j+1条中心线段的中点与 第j条中心线段的中点之间的中心线段的四元数的第二个参数对弧