一种基于奇异值分解的二维正交匹配追踪优化算法的制作方法

本发明涉及图像处理及压缩感知成像系统技术领域，特别涉及一种基于奇异值分解的二维正交匹配追踪优化算法。

背景技术

压缩感知(compressedsensing,cs)作为一种在信息获取和处理等方面的新框架，与首先收集尽可能多的数据再通过数字压缩技术丢弃冗余数据的通用框架相比，cs试图通过减小信息采集步骤中冗余数据的收集。在获取数据的同时进行数据压缩，不仅大幅降低了信息采集量、缩短信息采集时间，同时节省了存储空间。

cs理论包括三个关键技术：信号的稀疏表示、非相干测量和重建算法。快速高效的重建算法是将压缩感知理论应用到实际成像系统的核心，是近些年研究的热点之一，其关键在于从少量线性测量值中精确高效的恢复出原始信号，利用原始信号的稀疏性或可压缩性可以从少量测量值就能精确重建出原始信号，因此将计算的负担从前端的信号采集装置转到了后端的处理器上。cs重建算法主要分为三类：第一类为基于l0范数的贪婪算法；第二类为基于l1范数的凸优化算法；第三类为非凸优化算法。

以正交匹配追踪(orthogonalmatchingpursuit,omp)算法为代表的贪婪算法是比较常用的一种重建算法，具有重建速度快，计算复杂度低等优点得到了广泛应用。其基本思想是通过迭代方法，每次基于某种贪婪准则选择原子构成待重建信号的支撑集，即找出局部的最优解逐步逼近原信号，最终重建出原始信号。通过在正交方向上寻找非零值，很好的提高了算法的收敛速度。但由于以omp为代表的每次迭代仅选择一个原子的贪婪算法，仅针对特殊的测量矩阵(如高斯随机矩阵和贝努里随机矩阵)给出获得近似重建的概率，没有精确重建的保证，且每次迭代进行支撑集的更新导致算法运行时间增加，由于迭代次数和稀疏度有关，当信号稀疏度较大时，算法将非常耗时。

2012年，fang等人提出了针对二维信号的正交匹配追踪算法，其主要思想是将二维测量值y表示为从超完备字典中选择的2d原子的加权和。每次迭代中，将样本矩阵投影到二维原子上以选择最佳匹配原子，然后通过最小二乘法更新所有已选原子的权重。与传统的算法相比，最大的区别是迭代时选择的最佳匹配原子是二维的。并且证明2domp实际上与1domp性能相当，但显著降低了恢复复杂度和内存使用量。但是，由于2domp算法中重建矩阵即为测量矩阵，未考虑重建过程对矩阵的要求，导致在重建过程中重建性能较差。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种基于奇异值分解的二维正交匹配追踪优化算法，以解决2domp算法不具有最优性能等问题。

为实现以上目的，本发明采用一种基于奇异值分解的二维正交匹配追踪优化算法，用于在压缩感知的接收端，对压缩后的二维稀疏信号进行重构，包括：

获取任一可分离的测量矩阵可分离的稀疏基测量值和稀疏度k，其中表示列测量矩阵，表示行测量矩阵，表示kronecker积，表示矩阵元素均为实数，(g)^t表示矩阵的转置操作，m＝m×m，n＝n×n，m≤n；

对测量矩阵φx、φy分别进行奇异值分解，得到其中矩阵ux和uy的列向量分别是矩阵和的特征向量，dx和dy分别为矩阵φx和φy的奇异值构成的对角矩阵，vx和vy的列向量分别是和的特征向量；

取dx和vx的1～m列分别得到矩阵d1x和矩阵v1x，取dy和vy的1～m列分别得到矩阵d1y和矩阵v1y，则有φx＝ux(d1xo)(v1xv2x)^t、φy＝uy(d1yo)(v1yv2y)^t，其中d1x和d1y均为m×m的对角方阵，o表示大小为m×(n-m)的全0矩阵；

利用d1x、ux、uy和d1y对测量值y进行更新，得到更新后的测量值ysvd；

利用v1x对测量矩阵φx进行优化、利用v1y对测量矩阵φy进行优化，分别得到优化后的重建矩阵φxs和φys；

根据重建矩阵φxs和稀疏基ψ得到优化后的列传感矩阵axs，根据重建矩阵φys和稀疏基ψ来得到优化后的行传感矩阵

基于2domp算法，对所述更新后的测量值ysvd、优化后的列传感矩阵axs以及优化后的行传感矩阵进行处理，重建出原始二维稀疏信号的估计值。

优选地，所述测量值y的计算模型为：

其中，z表示二维稀疏系数，ax表示未优化的列传感矩阵，表示未优化的行传感矩阵。

优选地，所述利用d1x、ux、uy和d1y对测量值y进行更新，得到更新后的测量值ysvd，具体为：

优选地，所述利用v1x对测量矩阵φx进行优化、利用v1y对测量矩阵φy进行优化，分别得到优化后的重建矩阵φxs和φys，具体为：

优选地，所述基于2domp算法，对所述更新后的测量值ysvd、优化后的列传感矩阵axs以及优化后的行传感矩阵进行处理，重建出原始二维稀疏信号的估计值，包括：

s101、初始化残差r＝ysvd、索引集合即λ为存储找到的原子行列索引的集合，λr为存储找到的原子行索引值，λc为存储找到原子的列索引值，迭代次数t＝1；

s102、查找使得原子和残差r内积最大时的原子索引值(i,j)；

s103、更新索引集合λr＝λrui，λc＝λcuj；

s104、利用最小二乘法计算稀疏信号的估计值以使残差的frobenius范数最小，和是存储按索引集λr和λc得到的原子集合，表示原子的加权系数；

s105、更新残差

s106、判断是否满足||r||0≤δ，δ表示停止迭代的阈值；

s107、若是，则停止迭代；

s108、若否，t＝t+1，并判断是否满足t≤k；

s109、若是，则执行步骤s102；

s110、若否，则停止循环。

与现有技术相比，本发明存在以下技术效果：本发明引入在二维上的矩阵可分离思想，在压缩感知的接收端将一个可分离的矩阵分离成行测量矩阵和列测量矩阵，并将行测量矩阵和列测量矩阵作为2domp算法的输入，然后对行测量矩阵和列测量矩阵执行奇异值分解(singularvaluedecomposition,svd)，利用行测量矩阵的分解结果、列测量矩阵的分解结果对行测量矩阵、列测量矩阵以及测量值进行优化，得到优化后的重建矩阵和测量值，然后在2domp算法中，基于优化后的重建矩阵和测量值，恢复出二维稀疏信号对应的信号估计值。与现有的2domp算法相比，本方案中一方面将可分离矩阵分离成单个矩阵作为输入，将二维矩阵降为两个维数小的矩阵，解决了大矩阵的乘积运算导致的计算量大的问题，显著降低了存储矩阵所需的内存空间以及计算复杂度，解决了传统的压缩成像中维数较大时导致的矩阵存储和计算量大的问题，可用于大尺寸图像的成像过程；另一方面，在2domp算法中引入了svd，对测量矩阵进行优化改进，优化后的测量矩阵的行之间是相互正交的，消除了测量值之间的相关性，在重建过程中优化了支撑集的选择，大大提升了2domp算法的重建性能。

附图说明

下面结合附图，对本发明的具体实施方式进行详细描述：

图1是可分离压缩感知的流程示意图；

图2是2domp-svd的二维正交匹配追踪优化方法过程示意图；

图3是原始的二维稀疏信号示意图；

图4是单个分离矩阵均是随机高斯矩阵时得到的测量值；

图5是采用传统2domp重建算法对图3的二维稀疏信号进行处理得到的重建信号示意图；

图6是采用2domp-svd重建方法对图3的二维稀疏信号进行处理得到的重建信号示意图；

图7是采用2domp得到的重建信号和采用2domp-svd得到的重建信号对比示意图；

图8是在测量数目m不变、信号稀疏度k逐渐增加时，2domp和2domp-svd的性能对比示意图；

图9是在不同测量数目下，2domp和2domp-svd的性能对比示意图；

图10是不同输入噪声干扰情况下，2domp和2domp-svd的重建成功率对比示意图。

具体实施方式

为了更进一步说明本发明的特征，请参阅以下有关本发明的详细说明与附图。所附图仅供参考与说明之用，并非用来对本发明的保护范围加以限制。

如图1至图2所示，本实施例公开了一种基于奇异值分解的二维正交匹配追踪优化算法，用于在压缩感知的接收端，对压缩后的二维稀疏信号进行信号重构。其基本思想将svd与2domp算法结合，形成一种基于奇异值分解的二维正交匹配追踪优化算法(2dompoptimizationbasedonsingularvaluedecomposition,2domp-svd)，是引入二维可分离矩阵，分离成列测量矩阵和行测量矩阵，对原始图像进行操作，在2domp算法中对分离后的两个测量矩阵执行svd分解，并利用分解结果更新测量值，更新测量矩阵得到后端的重建矩阵，从而将后端重建矩阵和前端测量矩阵分离，将svd对后端重建矩阵进行优化，使得重建矩阵的行之间是彼此正交的，满足了后端重建过程对重建矩阵正交化的要求。其具体包括如下步骤：

s1、获取任一可分离的测量矩阵可分离的稀疏基测量值和稀疏度k，其中表示列测量矩阵，表示行测量矩阵，表示kronecker积，表示矩阵元素均为实数，(g)^t表示矩阵的转置操作，m＝m×m，n＝n×n，m≤n，且m、n均为正整数；

s2、对测量矩阵φx、φy分别进行奇异值分解，得到其中矩阵ux和uy的列向量分别是矩阵和的特征向量，dx和dy分别为矩阵φx和φy的奇异值构成的对角矩阵，vx和vy的列向量分别是和的特征向量；

s3、取dx和vx的1～m列分别得到矩阵d1x和矩阵v1x，取dy和vy的1～m列分别得到矩阵d1y和矩阵v1y，则有φx＝ux(d1xo)(v1xv2x)^t、φy＝uy(d1yo)(v1yv2y)^t，其中d1x和d1y均为m×m的对角方阵，o表示大小为m×(n-m)的全0矩阵；

s4、利用d1x、ux、uy和d1y对测量值y进行更新，得到更新后的测量值ysvd；

s5、利用v1x对测量矩阵φx进行优化、利用v1y对测量矩阵φy进行优化，分别得到优化后的重建矩阵φxs和φys；

s6、根据重建矩阵φxs和稀疏基ψ得到优化后的列传感矩阵axs，根据重建矩阵φys和稀疏基ψ来得到优化后的行传感矩阵

s7、基于2domp算法，对所述更新后的测量值ysvd、优化后的列传感矩阵axs以及优化后的行传感矩阵进行处理，重建出原始二维稀疏信号的估计值。

进一步地，如图1所示，在上述步骤s1中，假设二维信号在稀疏基ψ上是稀疏的，稀疏度为k(k＝n²)，即仅有k个非零值，稀疏系数为z∈cⁿ×ⁿ，即x＝ψzψ^t，c表示矩阵元素为常数，测量值m表示行数，n表示列数。

和分别是列和行方向上的单个分离矩阵。同样，假设可分离的稀疏基ψ^s可表示成其中在这种情况下，测量值可写为：

式中，ax和分别是列传感矩阵和行传感矩阵，分别对二维稀疏信号的列和行进行操作，即ax＝φxψ，

然后，采用2domp算法或2domp-svd算法即可从测量值y中重建出原始信号，可通过求解下式优化问题从测量值y中重建出原始信号过程为：

subjectto||vec(z)||0≤k

其中，表示使用重建算法得到的稀疏信号的估计值，vec表示向量化操作，将一个矩阵拉成列向量，表示使表达式的值最小时对应的值，||g||2表示frobenius范数，||g||0表示0-范数，α＝vec(z)。

如图2所示，采用2domp-svd算法从测量值y中重建出原始信号过程为：

(1)分别将两个测量矩阵稀疏基测量值以及信号稀疏度k作为2domp-svd算法的输入；

(2)分别对单个测量矩阵φx执行奇异值分解得到ux，dx，vx，对单个测量矩阵φy执行奇异值分解得到uy，dy，vy。其中：

(3)分别取dx的1:m列构成矩阵d1x、取vx的1:m列构成v1x，分别取dy的1:m列构成d1y、取vy的1:m列构成v1y。其中：

式中，均是正交矩阵，im和in-m均是单位矩阵，维数分别为m×m和(n-m)×(n-m)。均是半正定对角方阵，o表示维数为m×(n-m)的全0矩阵。

(4)更新测量值得到优化后的重建矩阵φxs和φys。其中：

通过对上式左乘右乘uy(d1y)^-1得到

最终得到优化后的测量值和分离重建矩阵如下：

此时，φxs和φys均是行正交矩阵，即im表示单位矩阵，维数为m×m。

(5)优化单个传感矩阵axs＝φxsψ，ays＝φysψ。

(6)基于2domp算法，对测量值ysvd、列传感矩阵axs以及行传感矩阵进行处理，重建出原始二维系数信号的估计值。

需要说明的是，基于2domp算法，对测量值ysvd、列传感矩阵axs以及行传感矩阵进行处理，重建出原始二维系数信号的估计值，具体包括如下步骤：

s101、初始化残差r＝ysvd、索引集合即λ为存储找到的原子行列索引的集合，λr为存储找到的原子行索引值，λc为存储找到原子的列索引值，迭代次数t＝1；

s102、查找使得原子和残差r内积最大时的原子索引值(i,j)：

其中，表示第(i,j)个原子，ai和aj分别是奇异值分解后的列传感矩阵axs和行传感矩阵的列向量，其中，(i',j')表示每个原子的索引值，算出每个原子与残差的内积之后找到值最大的那个原子对应的行号和列号赋值给(i,j)。

s103、更新索引集λr＝λrui，λc＝λcuj；

s104、利用最小二乘法计算稀疏信号的估计值以使残差的frobenius范数最小，得到新的信号近似和是存储按索引集λr和λc得到的原子集合，表示原子的加权系数；

s105、更新残差

s106、判断是否满足||r||0≤δ，δ表示停止迭代的阈值；

s107、若是，则停止迭代，执行步骤s102；

s108、若否，t＝t+1，并判断是否满足t≤k；

s109、若是，则执行步骤s102；

s110、若否，则停止循环。

本方案中通过将一个可分离矩阵分离成行方向上的测量矩阵和列方向的测量矩阵，将二维大矩阵降维为两个维数较小的矩阵，解决了大矩阵的乘积运算导致的计算量大问题，进而解决了传统的压缩成像方法中维数较大时导致的矩阵存储和计算量等问题，可分离的cs设计显著降低了成像矩阵的实现、存储和计算使用所涉及的复杂度。同时，在2domp算法中引入了奇异值分解方法，对测量矩阵进行优化改进，优化后的测量矩阵的行之间是相互正交的，消除了测量值之间的相关性，在重建过程中优化了支撑集的选择，大大提升了2domp算法的重建性能。

如图3至图7所示，为比较2domp算法与2domp-svd算法的重建性能，进行单次重建试验，测试相同的测量矩阵和测量值分别使用2domp和2domp-svd时的重建性能：

图3为原始的二维稀疏信号，其维数32×32，稀疏基为标准正交基，信号稀疏度k＝150。对2domp算法来说，若要保证高精度重建，测量数目一般为稀疏度的3～5倍，但在测量矩阵的设计中，可分离算子的引入使得复杂度的降低，但需要更多的测量值。本次实验中，为了更好的对比重建算法中奇异值分解对实验结果的影响，测量数目选择为2domp算法重建难度较高的测量。测量值20×20，单个分离测量矩阵φx和φy的大小为20×32的高斯矩阵，其元素满足标准正态分布。

图4为单个分离矩阵均是随机高斯矩阵时得到的测量值，图5为使用2domp作为重建算法时得到的重建信号，图6为使用2domp-svd优化算法得到的重建信号。图7-(e)和7-(f)为2domp和2domp-svd重建信号的对比结果。

如图7所示，通过信噪比(signal-to-noiseratio,snr)作为客观度量，图7中，2domp算法只有部分被精确重建，很大一部分的重建结果有较大误差，重建结果的信噪比仅为8.601db，而对同一组稀疏信号和测量矩阵，采用2domp-svd优化算法的重建信噪比达到了20.3042db，得到了明显提高。

在测量值不变、信号稀疏度k的逐渐增加的情况下分别对2domp算法和2domp-svd算法的性能测试，测试对比结果如图8所示。稀疏度k的值逐渐从30增加至180，步长设置为10；二维信号维数大小为32×32；稀疏基为标准正交基；二维测量值大小为20×20。在每组参数下，随机生成稀疏信号和测量矩阵。分别对同一组稀疏信号和测量矩阵采用2domp和2domp-svd进行重建，计算重建结果与原始信号之间的snr值。每组参数设置下，实验独立执行1000次，对每次的重建snr进行统计。snr阈值设为25db，即若重建snr大于25db，则认为成功重建出信号，否则，则失败。统计在每组参数下的重建成功率如图4所示。可以看出相同的条件下，2domp-svd相比于未进行优化的2domp都有着较为明显的优势。

如图9所示为测试在不同的测量数目下，2domp和2domp-svd重建算法的性能对比示意图。信号维数为32×32；稀疏度k＝50；稀疏基为标准正交基；测量数目设置为m＝m×m，m设置为10到24，步长为1。同样，在每组参数下，随机生成稀疏信号和测量矩阵，然后对比同一个稀疏信号和测量矩阵采用2domp和2domp-svd的重建结果和原始信号之间的snr值。每组参数设置下，独立执行1000次，snr阈值设为25db，即若snr大于25db，则成功重建出信号，否则，失败。1000次重复实验绘制的重建成功率曲线如图5所示。从图9中可以看出，同样的一组测量矩阵和测量值，采用2domp-svd算法重建效果获得了显著的改善。

在相同测试次数时，分别进行2domp和2domp-svd的鲁棒性测试实验。结果如图10所示，其中信号的维数为32×32；测量值数目20×20；稀疏度k＝40；输入噪声值的大小设为12db到30db，步长为1db。然后计算同一组系数信号和测量矩阵使用2domp和2domp-svd作为重建算法时的重建结果和原始信号之间的snr值。在每组参数设置下，独立执行1000次，snr阈值设为25db，即若snr大于25db，则成功重建出信号，否则，失败。1000次重复实验绘制的重建成功率曲线如图6所示，明显看出，优化后的2domp-svd可以明显提高系统的鲁棒性。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。