一种混合不确定系统保性能鲁棒Kalman滤波器设计方法与流程

本发明涉及一种滤波方法，具体涉及一种混合不确定系统保性能鲁棒kalman滤波器设计方法。

背景技术：

kalman滤波广泛应用于目标跟踪、信号处理、gps定位、机器人、遥感、无人机、卫星测控等领域，其基本前提为假设系统模型参数和噪声方差精确已知。但实际应用中，由于模型简化、未建模动态及不确定干扰等因素，使得此假设常常不成立。这将导致系统滤波性能恶化，甚至滤波发散。同时，经典的kalman滤波假定包含了被估状态或信号的信息，而在网络化系统中，由于网络的通信带宽有限，传感器故障，以及各种外部随机扰动，导致观测仅包含噪声信息。这种情况称为观测丢失。观测噪声不是白噪声的情况也是广泛存在的。混合不确定系统是指由上述不确定性混合构成的不确定系统。

对噪声方差不确定系统，应用lyapunov方程方法，基于极大极小鲁棒估计原理，设计鲁棒kalman滤波器。模型参数不确定包括确定的不确定性和随机不确定性(乘性噪声)。确定的不确定参数是指参数是不确定的但属于某一已知确定的有界集，例如范数有界不确定参数。对于带范数有界不确定参数系统，可通过riccati方程方法或lmi方法设计鲁棒kalman滤波器。对于乘性噪声系统，可以使用虚拟噪声补偿方法，将原系统转化为带确定参数阵和虚拟噪声的系统，进而利用经典kalman滤波方法解决滤波问题。丢失观测可以使用伯努利分布随机变量来描述。对于带有色观测噪声的系统，可以使用扩维方法或观测差分方法，将系统转化为带白噪声的系统。

对于所容许的不确定性，鲁棒kalman滤波器能够确保所设计的滤波器的实际滤波误差方差有最小上界。进一步考虑所设计的鲁棒kalman滤波器满足预置的性能指标的约束，这称为保性能鲁棒kalman滤波。对带不确定噪声方差的线性离散定常多传感器系统，应用基于lyapunov方程方法的极大极小鲁棒kalman滤波方法和噪声方差扰动的参数化表示方法，用lagrange乘数法和线性规划方法，设计了两类保性能鲁棒融合kalman估值器。但对丢失观测、乘性噪声和有色观测噪声的混合不确定系统的保性能鲁棒融合滤波问题还未被解决，以及更复杂的带混合不确定的网络化系统的保性能鲁棒融合滤波问题也还未被解决。

技术实现要素：

鉴于以上所述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种混合不确定系统保性能鲁棒kalman滤波器设计方法。

为实现上述目的及其他相关目的，本发明提供一种混合不确定系统保性能鲁棒kalman滤波器设计方法，该方法包括：

将带混合不确定系统转化为仅带噪声方差不确定系统；

确定所述混合不确定系统的不确定噪声方差的扰动域；

计算最大参数扰动。

可选地，所述带混合不确定系统包括：

带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统与带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统。

可选地，将带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统转化为仅带噪声方差不确定系统，具体包括：

确定滑动平均有色观测噪声的等价状态空间模型；

将所述带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的状态方程和所述滑动平均有色观测噪声的等价状态空间模型进行扩维；

对所述带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的观测方程进行转换。

可选地，采用扩维方法对所述带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的状态方程和所述滑动平均有色观测噪声的等价状态空间模型进行扩维。

可选地，应用虚拟噪声技术对所述带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的观测方程进行转换。

可选地，将带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统转化为仅带噪声方差不确定系统，具体包括：

对带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的状态方程和有色观测噪声方程进行扩维；

对带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的观测方程进行转换。

可选地，采用扩维方法对所述带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的状态方程和色观测噪声方程进行扩维。

可选地，应用虚拟噪声技术对带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统中的观测方程进行转换。

如上所述，本发明的一种混合不确定系统保性能鲁棒kalman滤波器设计方法，具有以下有益效果：

本发明对混合不确定系统的保性能鲁棒kalman滤波的研究，扩展了保性能鲁棒kalman滤波的研究范围。通过提供精度偏差的最大下界和最小上界，改进了现有鲁棒kalman滤波的仅给出精度偏差的最大下界或最小上界。以上两方面的发展和改进，进一步丰富了保性能鲁棒kalman滤波理论。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需说明的是，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

对不确定系统设计鲁棒kalman滤波器，需要考虑如何衡量鲁棒估计精度的问题。将滤波误差方差阵的迹定义为精度指标，迹的值越小意味着精度越高。定义实际估值误差方差的迹为实际精度，定义实际估值误差方差最小上界的迹为鲁棒精度。定义鲁棒精度和实际精度的偏差为精度偏差。

符号说明：rⁿ表示n维euclidean空间；trp表示方阵p的迹。

对带混合不确定系统设计保性能鲁棒kalman滤波，首先可通过扩维方法和虚拟噪声技术进行系统转换，将原始带混合不确定系统转化为仅带噪声方差不确定的系统。然后基于极大极小鲁棒估计原理，应用不确定噪声方差参数化方法、lagrange乘数法和lyapunov方程方法，设计两类保性能鲁棒kalman滤波器。以下讨论两种混合不确定系统的转换过程，如下所示：

(1)带缺失观测、滑动平均有色观测噪声和不确定噪声方差系统

x(t+1)＝φx(t)+γw(t)(1)

yi(t)＝γi(t)hix(t)+η(t)+ei(t),i＝1,…,l(2)

其中，x(t)∈rⁿ为系统状态，为第i个子系统的观测，w(t)∈r^r为过程噪声，为第i个子系统的观测噪声，η(t)为有限步自相关的滑动平均有色观测噪声，随机参数ci(t)为

其中为常参数，ξi(t)为零均值、带已知方差rξi的白噪声。q^-1为单位滞后算子，q^-1α(t)＝α(t-1)，ct(q^-1)为引入q^-1的多项式矩阵，nc为滑动平均有色观测噪声的阶数。α(t)为零均值白噪声。

φ，γ和hi为适当维数的矩阵。bernoulli标量白噪声γi(t),i＝1,…,l表示缺失观测，其取值为1或0的概率分别为

prob{γi(t)＝1}＝πi,prob{γi(t)＝0}＝1-πi

其中0≤πi≤1,i＝1,…,l,且γi(t)与w(t),ei(t)和α(t)是不相关的。

对混合不确定系统(1)-(3)进行转换，步骤如下：

1)滑动平均有色观测噪声η(t)有等价的状态空间模型

xη(t+1)＝φηxη(t)+γηα(t)(5)

扩维矩阵φη和γη分别为

其中为(nc-1)×(nc-1)维单位阵。

将式(4)带入式(6)，有

其中

的第u个元素为1，其他元素为0。

2)利用扩维方法对状态方程(1)和(5)进行扩维。

下面对式(1)和式(5)使用扩维方法，有扩维状态和矩阵

其中，为扩维状态,na＝n+nc,0表示适当维数的零矩阵。则有扩维的状态方程

xa(t+1)＝φaxa(t)+γawa(t)(9)

3)应用虚拟噪声技术和扩维方法对观测方程进行转换

定义虚拟白噪声υ0i(t)＝γi(t)-πi，则式(2)的观测方程yi(t)可变化为

其中

vai(t)＝ei(t)+α(t),i＝1,...,l

它有保守和实际的噪声方差raij和分别为

其中，rei和分别为白噪声ei(t)的保守和实际噪声方差。rα和分别为白噪声α(t)的保守和实际噪声方差。δij为克罗内克函数，δii＝1，δij＝0(i≠j)。

定义扩维矩阵和

其中hi为系统观测矩阵，0为适当维数零矩阵。则观测方程(10)可转化为

再定义矩阵

则式(10)转化为

因为υ0i(t)和ξu(t)是不相关的白噪声，则可引入虚拟观测噪声，有最终的观测方程

yi(t)＝haixa(t)+vβi(t)(15)

其中vβi(t)为引入的虚拟观测白噪声.

转换后的系统(9)和(15)是仅带不确定噪声方差的系统，保性能鲁棒kalman滤波算法可用于该系统的保性能鲁棒滤波器的设计。

(2)带乘性噪声、有色观测噪声和不确定噪声方差系统

xc(t+1)＝φxc(t)+γw(t)(17)

ηi(t+1)＝aiηi(t)+αi(t)(19)

其中xc(t)∈rⁿ为公共状态，为第i个子系统的观测，w(t)∈r^r为过程噪声，和为白噪声。为有色观测噪声。ξiμ(t)∈r¹为标量白噪声序列，且与w(t)、ei(t)和αi(t)不相关。φ,γ,hi0,hiμ和ai为适当维数的矩阵。

对混合不确定系统(17)-(19)进行转换，步骤如下：

1)利用扩维方法对(17)和(19)进行扩维

为系统(17)和(19)引入扩维的状态和矩阵，有

其中，为mi×mi维单位矩阵，0表示适当维数的零矩阵。则有扩维后的带乘性噪声的多传感器多模型(不同局部模型)系统

xi(t+1)＝φaixi(t)+γiwi(t)(20)

其中ni＝n+mi,是局部模型的状态，称为局部状态。

从式(17)和式(20)可得，xc(t)是所有局部状态的公共状态,即

xc(t)＝cxxi(t),cx＝[in0](22)

2)应用虚拟噪声技术对观测方程进行转换

为(21)引入虚拟观测白噪声，则扩维后的系统(20)和(21)可转换为

xi(t+1)＝φaixi(t)+γiwi(t)(23)

其中虚拟观测白噪声为

转换后的系统(23)和(24)是仅带不确定噪声方差的系统，保性能鲁棒kalman滤波算法可用于该系统的保性能鲁棒滤波器的设计。

2、对上述转换后的仅带不确定噪声方差的不确定系统，可使用下述的方法设计相应的保性能鲁棒kalman滤波器。首先对上述两个带混合不确定的系统做如下假设：

假设1w(t)，ei(t)和αi(t)是带零均值，不确定实际方差为q,rei和rαi的不相关白噪声，和分别为实际噪声方差的保守上界，满足关系

因此有

注1.特别说明，第一种不确定系统的模型中白噪声α(t)的保守和实际方差分别为rα和可分别视为rαi和的特例，因此后续的计算仅提及rαi和

假设2φ和ai分别是稳定矩阵。

假设3方差扰动δq，δrei，δrαi可参数化为

其中，εk≥0,和表示不确定参数扰动。扰动方位阵qk≥0,和是已知的半正定对称阵。

对转换后的两种仅带不确定噪声方差的系统，应用极大极小鲁棒估计原理，对带保守上界方差情形的系统，可得相应的保守和实际的kalman滤波器以及相应的保守(鲁棒)误差方差p和实际误差方差定义为鲁棒方差和实际方差的偏差，定义鲁棒方差和实际方差的迹分别为鲁棒精度trp和实际精度鲁棒精度和实际精度的偏差为精度偏差

下面给出设计保性能鲁棒kalman滤波器的步骤，具体如下：

(1)对精度偏差trδp进行参数化，并确定不确定方差扰动域

误差方差的偏差满足lyapunov方程，且由假设2可知存在唯一解。通过假设3，并对δp取迹运算，可得trδp参数化形式如下：

其中bk，cij，dij是计算过程中对得到的矩阵取迹运算得来的。

注2.因计算过程中，得出的bk，cij，dij的具体表示形式虽不同，但后续理论推导无关他们的具体形式，因此这里统一表示。

由假设1可得不确定噪声方差的扰动域ω^m为

最大噪声方差扰动为

接下来寻找最大参数扰动和并得到最大噪声方差扰动域δq^m,和则有不确定方差的最大干扰域ω^m，对此域中的所有扰动(δq,δrei,δrαi)∈ω^m，精度偏差trδp都被保证在预置的指标范围内r＞0。

(2)计算最大参数扰动

由式(33)-式(38)可知，寻找最大扰动域ω^m等价于寻找最大的参数扰动域

问题转化为极大化超立方体式(39)的体积

因此，由式(31)问题又等价于在如下约束条件下极大化j的最优化问题。

lnj是j的单调递增函数，因此lnj和j有相同的极大值点。那么问题又等价于在约束下求

应用lagrange乘数法，引入乘子λ，则问题转化为无约束下求极大值

对式(43)两边取偏导数，并令可得

(3)第一类保性能鲁棒klaman滤波器

上述两种混合不确定系统(1)-(3)和(17)-(19)在假设1-3下，对预置的精度偏差指标r＞0，存在相应的不确定噪声方差的最大扰动域ω^m，对此域中的所有容许扰动(δq,δrei,δrαi)∈ω^m，相应的实际kalman滤波器的精度偏差始终在指定范围内，即

且精度偏差的最大下界为零，最小上界为r。则称相应的实际kalman滤波器为第一类保性能鲁棒kalman滤波器，并称式(48)为其保性能鲁棒性。

(4)第二类保性能鲁棒kalman滤波器

给定不确定噪声方差的扰动域ω^m为式(32)-(35)，问题转化为寻找精度偏差的最大下界和最小上界。这是第一类保性能鲁棒kalman滤波器设计的逆问题。

由式(32)-(35)给定的不确定噪声方差的扰动域ω^m，等价于给定不确定噪声方差的参数扰动域

根据式(31)可知，对给定不确定噪声方差的参数扰动域保性能指标将取trδp的最大值，

上述两种不确定系统(1)-(3)和(17)-(19)在假设1-3下，给定不确定噪声方差的参数扰动域对于此域中的所有容许扰动，相应的实际kalman滤波器的精度偏差具有最大下界零，最小上界rm，即

其中最小上界rm由下式给出

则称相应的实际kalman滤波器为第二类保性能鲁棒kalman滤波器，并称式(51)为其保性能鲁棒性。

上述实施例仅例示性说明本发明的原理及其功效，而非用于限制本发明。任何熟悉此技术的人士皆可在不违背本发明的精神及范畴下，对上述实施例进行修饰或改变。因此，举凡所属技术领域中具有通常知识者在未脱离本发明所揭示的精神与技术思想下所完成的一切等效修饰或改变，仍应由本发明的权利要求所涵盖。