组合式平面直角坐标系及运用方法
【专利摘要】本发明涉及组合式平面直角坐标系及运用方法，所述的组合式平面直角坐标系是“将两个纵轴和横轴的长度单位分别相等的平面直角坐标系的纵轴反向对称组合在一起的坐标系称为组合式平面直角坐标系”。其中所说的“纵轴反向对称”是指两个原点相对中心点O成对称关系；所说的“两个纵轴和横轴的长度单位”指长度单位的大小是根据所描述的物理现象的相关参数而任意确定的。组合式平面直角坐标系主要用于描述具有两个方向、两个参照零点的物理运动现象的运行轨迹图形，如描述作直线往复运动的轨迹图形。
【专利说明】组合式平面直角坐标系及运用方法
【技术领域】
[0001]本发明涉及应用数学领域，确切的说是一种组合式平面直角坐标系及运用方法。【背景技术】
[0002]在用数学方法解决物理问题领域笛卡尔坐标系占有极为重要的地位，笛卡尔坐标系是指“在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系”，简称直角坐标系。直角坐标系通常是在“二维”空间用来描述自然界中的一些自然现象、自然规律的平面图形，是用几何方法表示和解决一些物理问题的主要工具之一。用该坐标系可以使要表示、描述和解决的问题直观、简单、易懂，从而容易从中发现其变化规律、解决具体问题。
【发明内容】
[0003]本发明涉及一种组合式平面直角坐标系及运用方法，下面就通过实例说明。
[0004]实例一，参照附图1，在图中I表示水平地面，2表示弹力球，3表示距离水平地面的高度为h的平台，4表示平台转轴，5表示平台面3旋转的方向，图1中垂直方向的箭头表示弹力球运动的方向。实验时弹力球2在平台3上瞬间顺时针旋转平台转轴4使弹力球2失去支撑，此时弹力球2便在地球引力下变为一个自由落体匀加速下落(自由落体，匀加速度为g);到达水平地面I时弹力球2在水平地面I反作用力的作用下再沿垂直方向返回，如果当弹力球2下降和上升时不考虑空气的阻力及其它因素的影响只考虑地球的引力和反作用力，那么弹力球2上升的高度与下降的高度相等其高度均等于h，弹力球2上升的速度为匀减速运动(匀减速，加速度为_g)。如此下去弹力球2将在垂直地面的方向上、连续的作直线往复运动，其单向运行的最大距离为h。
[0005]在附图1所示的实验中，要在平面内表示弹力球2的运动轨迹图形首先考虑的是用垂直的一条数轴上的点来表示；或着用“二维”空间内的直角坐标系内的图形来表示。从弹力球2的直线往复运动来看，每完成一次从最上端下落到最下端再从最下端上升到最上端为一个周期。在一个周期内弹力球2的运动有两个方向，一个垂直向上一个垂直向下，其中方向向下的起始零点在最上端；方向向上的起始零点在最下端。若用数轴上的瞬时点来表示其运行轨迹，关键在于数轴上的零点(原点)表示的位置如何确定，因为弹力球2的直线往复运动有两个方向两个起始零点。由此可见只能用两条不同方向的数轴分别表示弹力球2在一个周期内的运动，即用一条方向向下的数轴表示弹力球2向下的运动；用一条方向向上的数轴表示弹力球2向上的运动；方向向下的数轴的零点表示弹力球2向下运动的最上端，方向向上的数轴的零点表示弹力球2向上运动的最下端。如果将两个数轴反向组合在一起，使一个方向数轴的零点与另一个方向数轴上的弹力球2在这个方向运行的最大值点重合，即可建立形成一个组合式双向数轴。这样一来就可使弹力球2的直线往复运动用一幅平面图来表示了，弹力球2在一个周期内运动到任意一个位置都可以根据弹力球2运动的方向找到在组合式数轴的唯一对应瞬时点。值得注意的是，在组合式数轴内两个方向相反数轴的零点之间的任意某一点，可以分别表示任意一个数轴上的点，所以必须根据组合式数轴所描述的物理意义来确定该点表示的是在哪一个数轴上的点。另外从物理意义上，弹力球2不论是从上端向下的匀加速运动还是从最下端向上的匀减速运动，其运动过程中在任意一点的速度都是一个矢量，对于组合式数轴上的任意一点此时弹力球2的运动速度、从零点运动到该点的距离和运动方向在一个周期内都是唯一存在的，对于同等大小和相同方向的矢量只能在下一周期内再一次出现。
[0006]参照附图2和附图3，要表示附图1所示的弹力球2在一个周期内“时间一距离”轨迹图，就应该用“二维”空间内的平面直角坐标系内的图形来表示，其中直角坐标系的一条纵轴表示弹力球2运行距离、一条横轴表示弹力球2运行时所用的时间。用直角坐标系表示弹力球2的直线往复运动也涉及到直角坐标系的原点(零点)表示弹力球2运行轨迹的哪一点的问题，因为一个直角坐标系只有一个原点，而弹力球2在附图1所示的直线往复运动在Iv周期内有两个方向和两个起始零点。如果用Iv直角坐标系内的图形表不弹力球2直线往复运动在一个周期内的图形，需将直线往复运动的向上和向下的中点作为直角坐标系的原点，这样显然不符合弹力球2直线往复运动的物理意义；另外从直角坐标系的含义来讲，直角坐标系的横轴或者说原点以上纵轴上的点表示正向、原点一下纵轴上的点表示负向，这与弹力球2直线往复运动的物理意义也不相符。可见用直角坐标系内的图形表示弹力球2直线往复运动的原点不能设定在l/2h点处。所以只能用两个直角坐标系分别表示弹力球2向下的匀加速直线运动和向上的匀减速直线运动。在附图2中，弹力球2运动如~分之一周期内的 物理现象为:a.运动的起始零点在最闻点处，b.运行的最大距尚为h，c.整个运行所用时间为t，d.运动方向为垂直向下。由以上分析，hT0Tt直角坐标系的原点应设定在弹力球2向下运动的起始零点(最上端)；横轴表示弹力球2从最上端(零点)运动到最下端所用的时间；纵轴表示弹力球2从最上端运动到最下端所运行的距离及方向。在上述的实验中假设横轴表示弹力球2从最上端运动到最下端所用的时间为t且把时间t平均分为四等份并分别用tp t2、t3、t4表示,且使Wtjt4 = t并且h = t2=t3 = t4 ;弹力球2从最上端运动到最下端的距离为h ;起始零点在最高处平台3面上；运动方向垂直向下。在附图2中，Ill表示在时间h内运行的距离，h2表示在时间t2内运行的距离，h3表示在时间t3内运行的距离，h4表示在时间t4内运行的距离。如果将h和hp t2
和h2、t3和h3、t4和h4在直角坐标系内的交点与原点--连接起来便得到一条由
上到下的“时间一距离”关系曲线6a，那么在直角坐标系内的这条曲线6a称之为弹力球2下落的“时间一距离”轨迹图形。
[0007]附图3是用同样方法描述的弹力球2在后二分之一周期内的”时间一距离”轨迹图。所不同的是弹力球2的运动方向向上；速度为匀减速运动；起始点在最下端。在附图3中，弹力球2从最下端运动到最上端所用的时间也为t且把时间t平均分为四等份并分别用t5、t6、t7、t8表示,且使t5+t6+t7+t8 = t并且t5 = t6 = t7 = t8 ;弹力球2从最下端运动到最上端的距离也为h ;起始零点在最下端水平地面I处；运动方向垂直向上。在附图3中，h5表示在时间t5内运行的距离，h6表示在时间t6内运行的距离，h7表示在时间t7内运行的距离，h8表示在时间t8内运行的距离。如果将t5和h5、t6和h6、t7和h7、t8和h8在h
直角坐标系内的交点与原点一一连接起来便得到一条由下到上的“时间一距离”关系曲线6b，那么在h±0±t直角坐标系内的这条曲线6b称之为弹力球2上升的“时间一距离”轨迹图。
[0008]附图2和附图3分别描述的是弹力球2在一个周期内前后两个二分之一周期内的“时间一距离”轨迹图，如果要用一幅“时间一距离”轨迹图描述弹力球2在一个周期内的图形，可将附图2和附图3组合在一起，组合的方法参照附图4。在附图4中将附图2和附图3中表示弹力球2运动方向的纵轴反向对称组合在一起作为组合式直角坐标系的纵轴；将弹力球2运行距离h为两个横轴之间的距离；两横轴与纵轴的交点作为组合式直角坐标系的两个原点0±和0〒；00'表示中心线。其中上边的横轴与箭头向下的纵轴及上边的一个原点表示弹力球2向下的直角坐标系，下边的横轴与箭头向上的纵轴及下边的一个原点表示弹力球2向上的直角坐标系。这样就组成了一个“组合式平面直角坐标系”。组合坐标系内的连续曲线6a和6b为在一个周期内弹力球2直线往复运动的“时间一距离”轨迹图形；两条纵轴中的两个原点0±和0〒之间距离h为弹力球2运行的最大距离；两条横轴0±t和
表示弹力球2运行一个周期所用的时间。
[0009]实例二，参照附图5，图中5a表示P点由圆的最下端绕圆心O逆时针作匀角速旋转运动的示意图。要描述P点运行的轨迹图形，首先要根据P点运动的物理意义分析开始。在图5a中，P点的运动从正面看去是匀角速旋转运动、而从旋转圆的左侧或右侧看去，P点的运动则是一个变速直线往复运动，这个直线往复运动也可看作是P点的旋转运动在一个垂直平面上的投影。P点的运动是一个周期性的运动，在图5a中，P点每旋转一周(360° )、或完成一个直线往复运动(从旋转圆的最下端到旋转圆的最上端)为一个周期。从P点作匀角速旋转运动的角度看其特点为:P点的运动具有连续性、周期性和方向性且运动中没有一个点的速度为零$点旋转时的空间瞬间位置是旋转角度和时间的函数；所谓的P点作旋转运动是以静止点圆心O点作为参照来描述的。从P点直线往复运动的角度看，P点的运动同样具有连续性、周期性和方向性，运动特点是没有一个点的运动速度单独为零。因为P点在一个方向上运动的起始零点也是P`点在另一个方向上运动的最大值点，P点在一个方向上的运行距离是旋转角度及时间的函数；所谓的P点作直线往复运动是以旋转圆的最下端点和最上端点为参照来描述的。从P点的旋转运动来讲参照点有一个;从1?点的直线往复运动来讲则有两个参照点。从P点的匀角速旋转运动来看，P点运行“时间一空间位置”的轨迹是一个三维空间内的螺旋曲线；从P点的直线往复运动来看，则是在二维空间平面内“时间一距离”的轨迹图形，但求解某一瞬时值需回到P点做匀角速旋转运动的几何关系及其它参数为依据来计算；用坐标系表示P点的运行轨迹图形实际上描述的是直线往复运动。另外因为在图5中P点的直线往复运动有两个运动方向和在两个方向上运动有两个起始零点，所以用一个平面直角坐标系内的图形不能正确表示P点运行一个周期的轨迹。只能采用一个直角坐标系来描述P点向上的运行轨迹、一个直角坐标系描述P点向下的运行轨迹。只有将两个直角坐标系和直角坐标系内的图形组合在一起，才能描绘出P点从旋转圆的最下端逆时针旋转一周也就是一个周期的图形，具体做法如下。
[0010]参照附图5，如果把P点绕圆心O逆时针匀角速旋转360°分为12等份如附图5a所示，在圆周上每个瞬间点分别用Pi>P2> P3、P4> P5、P6、P7、P8> P9> Pio、Pu、P12表示；起始点在旋转圆的最下端，箭头7表示p点旋转的方向。图5b表示分别用两个坐标系表示P点运行一个周期的轨迹图形。在图5b中、坐标系y+Ο+ ω t中的横轴0+ ω t表示P点从旋转圆的最下端旋转180°到最上端所用的时间，0+表示坐标系的原点。同时将所用时间t和旋转角度平均分为6等份,各旋转时间点分另Ij用ω?^ ω?2> ω?3> ω?4> ω?5> ω t6表示,纵轴0+y+表示P点从旋转圆的最下端旋转180°到最上端几个瞬时点在纵轴上运行距离；在图5b中、坐标系y_0_on中的横轴Ο_οη表示P点从旋转圆的最上端旋转180°所用的时间，0_表示坐标系的原点。同样将所用时间t和旋转角度平均分为6等份，同时各旋转时间点也分别用ω?7、ω?8> ω?9> ω?10> ω?η> ω t12表示,纵轴y_0_表示ρ点从旋转圆的最上端旋转180°到最上端几个瞬时点在纵轴上运行距离；图5b中O ' O "表示中心线。
[0011]在图5中，要研究P点的变速直线往复运动在一个周期内的属性必须以P点的匀角速旋转运动为基础，因为P点的直线往复运动是匀角速旋转运动在另一个角度观察的结果。如图5a所示,P点的起始点在园的最下端,此时P点的初始角为0° ,如果每旋转30°也就是从PpPyPyPpPpPe点分别向右画一条虚直线，那么该虚线分别与ω?ι、ω?2> ω t3、?t4、on5、cot6的时间旋转角度虚线在坐标系y+0+on中产生对应的一个交点，然后把这几个交点和原点0+连接起来，便得到ρ点由最下端运动到最上端(也就是旋转前半周)的“时间-距离”轨迹8a。用同样的方法可画出P点由最上端运动到最下端(也就是旋转圆旋转下半周)的“时间-距离”轨迹8b，不同的是轨迹8b所处的坐标系是y_0_cot中。图5b的坐标系便是由坐标系y+o+?t和y_o_cn组合在一起的组合式平面直角坐标系；O' O"表示P点运行轨迹的中心线；曲线8a和Sb便是ρ点作直线往复运动一个周期(也就是作匀角速旋转一个周期内)的波形图。
[0012]如附图5所示，曲线8a和Sb是ρ点作直线往复运动一个周期内的波形图，下面再来进一步说明P点在组合式平面直角坐标系内瞬时值的计算方法:在图5a中，P点由圆的最下端旋转至P1点处，实际上就是求P12到O1的值。由直线P12O1的几何意义知，P12 O1 =sin( Z O1 P1 p12) Xp1 P12，因为 P1 P12 = sin( Z P1 p6 P12) Xp12 P6,所以 P12 O1 = sin( Z O1Pi Pi2) Xsin( Z P1 p6 p12) Xp12 P6,原因为Zp1 p6 p12 =Z O1 P1 p12 = 1/2 Z p12 Op1 (Ap1P6 p12和AO1 P1 P12为相似三角形,且圆周角Zp1 p6 p12和ZO1 P1 P12是同弧上圆心角ZP12Op1 的一半)，所以 P12 O1 = sin2l/2 Z p12 Op1Xp12 p6。
[0013]如果设旋转圆直径P12 p6` = Em, p12 O1 = G1,另外Z p12 Op1 = ω L,由此可得W1=Em sin2 (1/2 ω.同理可得:e2 = Em sin2 (1/2 ω t2)、e3 = Em sin2 (1/2 ω t3)、e4 = Emsin2 (1/2 ω?4)、e5 = Em sin2 (1/2 ω t5)、e6 = Em sin2(l/2cot6),设 PpPyPpPpPpPj；在纵轴上的投影点到P12的距离分别用e^e^e^epe^ej；表示。在图5中，由于Cot1 = 30。、ω t2=60。、ω t3 = 90。、ω t4 = 120。、ω t5 = 150。、ω t6 = 180。，所以 G1 = Em sin2 π /12、e2 = Em sin2 π /6、e3 = Em sin2 π /4、e4 = Em sin2 π /3、e5 = Em sin22 π /3、e6 = Em sin2 π.[0014]用同样的方法可求得p点由旋转圆的最上端旋转到圆的最下端时在组合式平面直角坐标系内的对应瞬时值:在附图5中，设p6 p12 = Em,从p7、p8、p9、p1(l、pn、p12在纵轴上的投影点到 P6 的距离分别用 e7、e8、e9、e1(l、en、e12 表示,那么 e7 = Em sin2(l/2cot7)、e8 = Emsin2 (1/2 ω t8)、e9 = Em sin2 (1/2 ω t9)、e10 = Em sin2 (1/2 ω t10)、en = Em sin2 (1/2 ω tn)、e12 = Em sin2 (1/2 (Ot12)。需要说明的有一下几点:a.ρ点由旋转圆的最上端旋转到圆的最下端时瞬时值e7、e8、e9、e10> en、e12的方向向下,是在一个周期内的后二分之一周期,旋转角度也是180°，旋转的初始角为零度。b.在旋转第一个二分之一周期内，如果P点旋转的初始角不在旋转圆的最下端，即初始角不为零(设初始角用β表示)时，那么求瞬时值的解析式为e = Em sin2l/2(cot+0 )。c.从上述的分析可以看出，作匀角速旋转运动其圆周上的点，在“二维”空间内所描述的是该点作直线往复运动的波形；所用的数学工具应该为组合式平面直角坐标系；求瞬时值的解析式为e = Em 8?η21/2(ω?+β);该瞬时值应该是一个分段正弦函数。d.若描述作匀角速旋转运动其圆周上的点的“时间一空间位置”的图形，应该用三维空间的图形来表示，该轨迹图形是一个随时间逐渐延伸成螺旋状的立体轨迹图形。
[0015]综合实验一和实验二，所述的组合式平面直角坐标系是“将两个纵轴和横轴的长度单位分别相等的平面直角坐标系，沿纵轴反向对称组合在一起的坐标系称为组合式平面直角坐标系”。其中所述的“纵轴反向对称”是指两个原点相对中心点O '成对称关系；所述的“两个纵轴和横轴的长度单位分别相等”指长度单位的大小是根据所描述的物理现象的相关参数而任意确定的。组合式平面直角坐标系主要用于描述具有两个方向、两个参照零点的物理运动现象的平面运行轨迹图形，如描述由作匀角速旋转运动旋转矢量点产生的该旋转点作变速直线往复运动的轨迹图形就应该用组合式平面直角坐标系，该旋转点作变速直线往复运动的瞬时值是一个分段正弦函数，求解该瞬时值的解析式为e = Efflsin2l/2 (ω t+ β )。
【专利附图】
【附图说明】
[0016]附图1是表示作弹力球垂直下落装置的示意图。
[0017]附图2是描述弹力球在下落时，用直角坐标系描述其运行轨迹的示意图形。
[0018]附图3是描述弹力球落在地面上被弹回上升时，用直角坐标系描述其运行轨迹的示意图形。
[0019]附图4是表示弹力球完成一个周期用组合式直角坐标系描述运行轨迹的示意图形。
[0020]附图5是表示作逆时针匀角速旋转运动圆周上的任意一点作直线往复运动，在“两维”空间内用组合式直角坐标系描述其运行轨迹及求解某一点的瞬时值的示意图形。
【具体实施方式】
[0021]本发明所提供的组合式平面直角坐标系及运用方法，是将两个纵轴和两个横轴的长度单位分别相等的平面直角坐标系，其中将纵轴反向对称组合在一起的方法建立起来的。
[0022]在什么情况下运用组合式平面直角坐标系，可参照附图5来说明。ρ点绕圆心O逆时针匀角速旋转，从旋转圆的正面看去其运动属性为P点是一个匀角速旋转矢量，旋转时具有周期性、方向性和连续性、P点在圆周上没有一个点为零，P点运动有一个参照点(圆心)；ρ的瞬时位置是旋转角度和时间的函数。然而从左侧(或右侧)看P的运动是一个直线往复运动矢量，其运动属性也具有周期性、方向性、连续性；没有一个点单独为零，是因为一个方向的最大值点也是另一个方向的起始零点；Ρ点的运动有两个参照点(上下两个端点)；Ρ的瞬时值是旋转角度和时间的分段正弦函数，所说的分段函数是指当P点的初始位置在旋转圆的最下端旋转180°到最上端为前段函数，从最上端再旋转180°回到旋转圆的最下端为后一段函数，描述P点的直线往复运动的轨迹图形应该用组合式直角坐标系内的图形来表示。[0023]在附图5中，从P点直线往复运动的情况来看，P点的运动方向有两个，一个垂直向上一个垂直向下，其中向上运动时可用箭头向上的一条纵轴来表示，P点向下运动时可用箭头向下的一条纵轴来表示；箭头向上的纵轴原点处向左引一条直线为组合式平面直角坐标系的一条横轴，箭头向下的纵轴原点处向左引一条直线为组合式平面直角坐标系的另一条横轴；P点的运行轨迹波形可根据P点旋转的瞬时点和相应的在横轴上旋转角度及所用时间线的交点，画出P点作直线往复运动的波形图。
【权利要求】
1.本发明所提供的组合式平面直角坐标系及运用方法，所述的组合式平面直角坐标系是“将两个纵轴和横轴的长度单位分别相等的平面直角坐标系，沿纵轴反向对称组合在一起的坐标系称为组合式平面直角坐标系”;其中所述的“纵轴反向对称”是指两个原点相对中心点O丨成对称关系；所述的“两个纵轴和横轴的长度单位分别相等”指长度单位的大小是根据所描述的物理现象的相关参数而任意确定的；组合式平面直角坐标系主要用于描述具有两个方向、两个参照零点的物理运动现象的平面运行轨迹图形，如描述由作匀角速旋转运动旋转矢量点产生的该旋转点作变速直线往复运动的轨迹图形就应该用组合式平面直角坐标系，该旋转点作变速直线往复运动的瞬时值是一个分段正弦函数，求解该瞬时值的解析式为 e = Emsin2l/2(cot+3 )。
【文档编号】G09B23/04GK103514785SQ201210215573
【公开日】2014年1月15日 申请日期:2012年6月21日 优先权日:2012年6月21日
【发明者】丁士来, 丁磊 申请人:丁士来