琅禾费 全息图、傅里叶变换全息图也可适用于硬币表面光学全息图的设计，只是分析计算的具体 过程略有不同。
[0048] 如图2所示，在Z = 0平面上，已知的物体发出的光波Ojx，y)与已知的参考波 R0(x，y)沿Z轴传播到Z = z位置处后，物光波Oz(x，y)与参考光波Rz(x，y)叠加，用照相 方法记录两个波叠加以后干涉图案的强度得到复振幅反射率与曝光强度成正比的反光全 息基片。物光波的振幅和相位信息以干涉条纹的形状、疏密和强度的形式"冻结"在感光的 全息基片上，这就是波前记录的过程。
[0049] 全息基片位于Z = z平面，在全息基片H上设置x，y坐标，物体发出的光波波前 〇z(x，y)和参考光波波前Rz(x，y)到达H上的复振幅分别可表示为：
[0050] 〇z (x, y) = oz (x, y) exp [i <i> 0 (x, y) ] (1);
[0051] Rz (x, y) = rz (x, y) exp [i <i> r (x, y) ] (2)；
[0052] 式中，Oz(x，y) *Rz(x，y)分别表示全息干板H处的物光波和参考光波的波前（包 括振幅和相位），0z(x，y)和匕(1，y)分别表示全息干板H处的物光波和参考光波的振幅， Mx，y)和Mx，y)分别表示全息干板H处的物光波和参考光波的相位，i为虚数单位。
[0053] 干涉场光振幅Uz (x，y)是二者的相干叠加，H上的总光场：
[0054] Uz(x, y) = Oz(x, y)+Rz(x, y) (3)；
[0055] 干板记录的是干涉场的光强分布，其曝光光强为：
[0056]
[0057] 经线性处理后，底片的反射率函数rH(x，y)与曝光光强成正比：
[0058]rH(x, y) Iz(x, y) (5)〇
[0059] 对于制作在金属硬币表面的全息图，可令式（5)中的比例系数为1，具体加工实现 方法将在第四步详细介绍。所以，
[0060] rH(x, y) = |〇|2+|R|2+0 ? R*+0* ? R (6)，
[0061] 在金属上记录的这种反射率按式（6)分布的结构就是反射式全息照片，又称反射 式全息图。
[0062] 令I,(x，y)和IJx，y)分别为参考波和物体光波在Z = z平面的强度，全息图的 复振幅反射率又可写为：
[0063]
[0064] 式（7)给出的图案结构为复杂的余弦条纹，观察者无法从该图案中直接观察到所 记录的物体，但可通过再现光束照射该余弦条纹图案后再现出记录物体的影像。
[0065] 第二步：硬币表面光学全息图的再现过程，从原理上阐明该防伪技术的再现方法 及再现效果。
[0066] 将全息照片处照明光波的光振幅表达式写为：
[0067] Cz (x, y) = cz (x, y) ? exp [i <i> c (x, y) ] (8)；
[0068] Cz(x，y)表示全息干板H处的再现光波的波前（包括振幅和相位），c z(x，y)分别 表示全息干板H处的再现光波的振幅，（^(x，y)表示全息干板H处的再现光波的相位。
[0069] 再现光波Cz(x，y)照射到反射式全息图H后，反射光场的复振幅U'（x，y)可表示 为：
[0070]
[0071] 式（9)即为光学全息再现基本方程。为了简化公式，其中的参量均省略了（x，y) 变量。
[0072] 光学全息再现基本方程中与第一项再现光相似，第二项包含物的位相信息，第三 项包含物的共轭位相信息。
[0073] 通常物体发出的光是发散的，所以从各个方向观察都可以看到物体，只不过观察 方向不同，观察到的物体的部位也不同。为了充分地与物体发出的光形成干涉光场，参考光 应采用发散的球面波，通常可采用发散的球面波。下面分别分析采用原参考光再现（发散 的球面波）与共轭参考光（会聚的球面波）再现的再现结果。
[0074] 1)原参考光再现
[0075] 此时，再现光Cz(x，y)与参考光Rz(x，y)完全相同，即：
[0076] Cz(x,y) = Rz(x,y) (10)。
[0077] 将（10)式代入（9)式可得到再现光照射到全息图后的衍射光场表达式（11):
[0078]
[0079] 式（11)中的第一项为再现光的0级衍射光，不包含记录物的信息；第二项为再现 光的+1级衍射光，可显示出物的虚像，第三项为再现光的-1级衍射光，可显示出物的畸变 共轭实像。
[0080] 2)共轭光再现
[0081] 此时，再现光Cz(x，y)与参考光Rz(x，y)的共轭相等，即：
[0082] Cz(x,y) =Rz*(x,y) (12)。
[0083] 贝丨J :
[0084]
[0085] 将（13)式代入（9)式可得到再现光照射到全息图后的衍射光场表达式（14):
[0086]
[0087] 式（14)中的第一项为再现光的0级衍射光，不包含记录物的信息；第二项为再现 光的+1级衍射光，可显示出物的畸变虚像，第三项为再现光的-1级衍射光，可显示出物的 赝实像，该赝实像的相位与物的相位互为相反数。
[0088] 由于光是独立传播的，再现时在全息图上相互重叠的四项将分别沿三个不同方向 传播，这种全息图称为离轴全息图。
[0089] 根据第二步的分析可知，用发散的球面波及会聚的球面波照射硬币表面光学全息 图时，均会得到在不同的方向得到与记录物相同或相似的一个实像与一个虚像。
[0090] 第三步：硬币表面计算全息图的数值计算，将第一步阐述的光学全息图用计算全 息图的方法得到数值结果。
[0091] 根据第二步的方法可以实现记录物体发出的光与参考光的相干叠加，但在实验操 作及生产加工方面遇到了极大的困难。因为物体发出的光与参考光必须达到相当高的精度 与稳定度才能满足干涉条件，即曝光时间内物光与参考光的光程差的变化量不得超过记录 光波长的十分之一。若记录光波长为0. 6微米的红光，全息光路中各元件间的轴向位置误 差不能超过〇. 06微米，这在工程上及生产上是很难保证的。计算全息图的设计方法可解决 上述问题，使得全息图的分析与制作摆脱了高精度全息光路难以实现的局限。
[0092] 计算全息图的发明和成功的制作始于20世纪60年代，该技术引起了观念上的重 大变革。计算全息技术克服了光学全息的缺点，使得全息防伪技术的工程化及产业化得到 了很大的发展。因为光学全息技术借助参考光、利用光的干涉原理将物体发出光波的振幅 和相位以干涉条纹的形式记录下来，此过程称之为光学编码的方法。计算全息技术不用光 学的方法而是用人工的方法进行编码制作全息图，这就是计算全息图。计算全息图不仅可 以全面地记录光波的振幅和相位，而且能综合出复杂的或者世间根本不存在的物体的全息 图，因而具有独特的优点和极大的灵活性。从光学发展的历史来看，计算全息首次将计算机 引入光学处理领域，计算全息图成为数字信息和光学信息之间有效的联系环节，为光学和 计算机科学的全面结合拉开了序幕。在记录物理上不存在的实物时，只要知道该物体的数 学表达式就可能用计算全息记录下这个物体的光波，并再现该物体的像。这种性质非常适 宜于信息处理中空间滤波的合成，干涉计量中产生特殊的参考波面，三维虚构物理的显示 等，如图3、图4所示。与光学全息相比，计算全息技术的优点是不需要高精度的干涉光路、 可记录虚拟物体、再现精度高、抗干扰能力强、噪声小、易于复制等优点。
[0093] 计算全息的制作和再现过程分为采集、抽样、计算、编码、存储与再现六个环节。
[0094] 1)采集：采集物体发光信息。对于实际的物体（二维、三维均可）可采用扫描方 式记录物体光波复振幅函数；对于虚拟物体（二维、三维均可）可将物体光波复振幅函数直 接输入计算机。
[0095] 2)抽样：用抽样定理将物函数离散化，得到物体光波波面在离散点上的值，其抽 样单元数不超过物的空间带宽积。
[0096] 3)计算：将抽样所得的物体光波波面离散点数据与参考光波波面离散点数据代 入公式（1)~（7)，计算物光波数据与参考光波数据在全息平面上的干涉光场分布，便可得 到计算全息图的图案。
[0097] 4)编码：把全息平面上的光波复振幅分布编码成全息图的反射率变化。
[0098] 5)存储：在计算机控制下，将全息图的反射率变化在绘图设备（如打印机、绘图仪 等）上绘图。
[0099] 6)再现：计算全息的再现与光学全息的再现无本质区别，直接用再现光照射计算 全息图即可实现。
[0100] 但计算全息技术在工程化及产业化过程中遇到了两大技术难点：一是计算全息 技术记录在存储介质上的图案信息是光强幅度调制信息，即反射式计算全息图的图案是反 光区域与不反光区域交替出现的微观结构，光强衍射效率约为50%，再现物的图案亮度很 低；二是计算全息图的制作是利用打印机在胶片上打印出黑白交替的条纹图案，加工精度 不高，且无法在硬币上打印出反射式的计算全息图。计算