本发明涉及信号处理技术领域，具体涉及一种基于时域稀疏性的FRI信号重构方法。
背景技术：
近年来，一种崭新的采样理论-有限新息率(FiniteRateofInnovation，FRI)理论，出现在了人们的视野，该理论能够突破采样速率和信号带宽的联系，大大降低采样速率，有望解决Nyquist采样体系的种种弊端。FRI采样理论首先由Vetterli和Marziliano等人于2002年提出，该理论不同于Nyquist采样定理，他指出：对于某些有限参数信号，如脉冲串信号、非均匀样条函数、分段正弦波等，可以由有限数目的自由参量表示，将单位时间内自由参量的个数称为信号的新息率，将新息率有限的信号称为FRI信号，对FRI信号，只要选用合适的采样核函数以高于或等于信号的新息率的速率进行采样，就可以利用一定的算法估计出自由参量，从而重建原始信号。
FRI信号是指在单位时间内能够由有限个参数唯一确定的信号，也可称为“参数化信号”，其中信号在单位时间内的自由度数称之为信号的新息率。假设有一个有限长的Dirac脉冲序列，其数学表达式如下：
其中，T为信号的时间长度，L为Dirac脉冲序列中脉冲的数量。显然在信号x(t)中的自由参数只有幅度参数al和时延参数tl。引入一个计数函数Cx(ta,tb)，用来计算信x(t)在时间间隔τ＝[ta,tb]中的自由参数的数量，那么信号x(t)的新息率ρ被定义为：
如果ρ＜∞，那么这个信号x(t)具有有限新息率，称之为FRI信号。通过公式2，可以计算出FRI信号x(t)的新息率：
根据FRI采样理论，通过选择合适的采样核对信号x(t)进行滤波之后，就能够以高于或等于信号新息率的采样速率fs≥ρ进行采样并完美的重构。
FRI采样结构如图1所示，其中，x(t)是一个连续时间的FRI信号，h(t)是信号接收设备的单位脉冲响应，采样核是h(t)的时间反转，ts＝1/fs＝1/ρ是均匀采样的采样间隔。
如果用y(t)＝x(t)*h(t)表示FRI信号x(t)通过采样核的滤波过程，那么FRI采样得到的样本为：
其中，k＝1,2,…,K表示采样值的数量，K＝T/ts表示总共得到的样本数。不同于传统的采样理论，FRI采样方案提供了多种采样核。指数再生核是指核函数及其时延的线性组合能够再生成复指数的形式，这是一种比较稳定的采样核，M阶指数再生核具有以下性质：
其中，cm,k为再生核的系数，αm＝α0+mλ且m＝0,1,…,M为可调参数。
采用指数再生核对信号x(t)滤波并采样之后，接下来的关键问题是从给出的采样值yk(k＝1,2,…,K)中重构出原信号x(t)，即FRI信号的重构问题。最初关于FRI的文献主要采用零化滤波器方法作为重构算法，然而该算法运算量速度慢，而且对噪声非常敏感；为了降低噪声的影响，提出了用Cadzow算法进行降噪预处理，然而该算法每次迭代都需要进行奇异值分解和重构，运算量相当可观；基于子空间估计思想的ESPRIT和MUSIC方法用子空间旋转不变性来估计信号的时延，运算量较小，但由于其根据数据协方差矩阵子空间的平移不变性来估计信号参数，因此需要更高的采样率。状态空间法则直接根据采样数据的傅里叶矩阵子空间的平移不变性来估计参数信息，因此需要的数据量较少，但计算量稍大一些。统计类的算法如遗传算法等这些方法在高斯白噪声的假设条件下可以得到最大似然估计，但是由于运算量过大，只能用于信号自由度较小的情况，或者用于离线数据处理。迄今为止，在有限新息率理论框架下，选择何种信号重构方法来提高重构信号的精确度，仍是一个关键问题。
技术实现要素：
针对噪声环境下的FRI信号重构问题，提出一种基于时域稀疏性的FRI信号重构方法。首先通过对模拟时间轴的量化和网格化处理，将测量向量表示为时域上的稀疏线性组合；然后通过解决一个L0范数下的最优化问题来估计输入FRI信号的时延和幅值参数，从而重构出原信号。
本发明一种基于时域稀疏性的FRI信号重构方法的具体步骤如下：
步骤1，初始化：假设FRI信号为x(t)，且有t∈[0,T)；FRI采样核为M阶的指数再生核系数为cm,k，且有m＝0,1,…,M；FRI均匀采样间隔为ts≤1/ρ；FRI采样值为yk(k＝1,2,…,K)；
其中，
其中，ρ为FRI信号x(t)的新息率；T为信号的时间长度，t为时间变量；L为Dirac脉冲序列中脉冲的数量；al为幅度参数；tl为时延参数；K为采样值的数量；M为可调参数；
步骤2，获取测量向量：根据指数再生核的性质，M阶再生核能够再生出M+1个复指数，采用系数cm,k对FRI采样值yk(k＝1,2,…,K)进行加权并求和，得到M+1个测量值τm(m＝0,1,…,M)，对应的测量向量为Γ＝[τ0,τ1,…,τM]T：
步骤3，将模拟时间轴量化和网格化：将模拟时间轴上的区间[0,T)分为N等份，即量化单位Δ＝T/N，使得任意时间变量t都可以用集合U＝{0,Δ,2Δ,…,(N-1)Δ}中的元素来近似，即t≈nΔ，且有n＝0,1,…,N-1；
构建集合V＝{n0Δ,n1Δ,…,nL-1Δ}，使得FRI信号x(t)中的时延参数可近似为tl≈nlΔ；
步骤4，将测量方程离散化：将公式(3)中的时延参数用tl＝nlΔ来近似，即将测量向量表示为集合V中所有元素的线性组合，从而将测量方程离散化；
采用矩阵形式表示为：
步骤5，将测量向量稀疏表示：由于集合测量向量可以扩展为集合U中所有元素的线性组合：
上述公式可简化为：
Γ＝AX(7)
由于L＜＜N，向量X中的很多元素都为零，是一个稀疏度为L的稀疏向量；
步骤6，求稀疏解：对稀疏向量X的求解可以转换为求解一个最小L0范数下的优化问题：
步骤7，参数估计与信号重构：在求得稀疏解X之后，非零元素的位置对应时延参数，即原信号的时延参数可用来估计；非零元素的值对应幅值参数，即原信号的幅度参数可用来估计；最后，重构出原信号
优选地，步骤1中所述的指数再生核的阶数M与FRI信号x(t)之间的关系为M＝2L-1，其中L为Dirac脉冲的数目；所述采样核能够再生出M+1个复指数(m＝0,1…M)，其中αm＝α0+jmλ，而且参数复数α0和实数λ可自由设定。
优选地，步骤2中所述的系数cm,k的计算方式为：
其中，函数为指数再生核的对偶函数，为准正交函数。
优选地，步骤3中将模拟时间轴量化和网格化，网格的数目远大于脉冲个数，即N＞＞L。
本发明具有如下有益效果：本发明方法的重构精度高，且抗噪声干扰能力强，适用噪声环境下的FRI信号重构问题。
附图说明
图1是FRI采样结构框图；
图2是不同采样率下，本发明方法的重构效果示意图；
图3是相同采样率下，不同算法的重构效果示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步说明：
本发明实施例提供一种基于时域稀疏性的FRI信号重构方法的具体步骤如下：
步骤1，初始化：假设FRI信号为x(t)，且有t∈[0,T)；FRI采样核为M阶的指数再生核系数为cm,k，且有m＝0,1,…,M；FRI均匀采样间隔为ts≤1/ρ；FRI采样值为yk(k＝1,2,…,K)。
其中：
其中，ρ为FRI信号x(t)的新息率；T为信号的时间长度，t为时间变量；L为Dirac脉冲序列中脉冲的数量；al为幅度参数；tl为时延参数；K为采样值的数量；M为可调参数；
步骤2，获取测量向量：根据指数再生核的性质，M阶再生核能够再生出M+1个复指数。用系数cm,k对FRI采样值yk(k＝1,2,…,K)进行加权并求和，即可得到M+1个测量值τm(m＝0,1,…,M)，对应的测量向量为Γ＝[τ0,τ1,…,τM]T：
FRI信号的重构问题是估计未知的参数，即时延参数tl和幅度参数al且l＝0,1,…,L-1。因此只要提供的测量值的数量M+1≥2L，则这些参数就能够被精确的恢复。
步骤3，将模拟时间轴量化和网格化：将模拟时间轴上的区间[0,T)分为N等份，即量化单位Δ＝T/N，使得任意时间变量t都可以用集合U＝{0,Δ,2Δ,…,(N-1)Δ}中的元素来近似，即t≈nΔ，且有n＝0,1,…,N-1。同理可构建集合V＝{n0Δ,n1Δ,…,nL-1Δ}，使得FRI信号x(t)中的时延参数可近似为tl≈nlΔ。
步骤4，将测量方程离散化：将公式三中的时延参数用tl＝nlΔ来近似，即将测量向量表示为集合V中所有元素的线性组合，从而将测量方程离散化。
写成矩阵形式为：
步骤5，将测量向量稀疏表示：由于集合测量向量可以扩展为集合U中所有元素的线性组合：
可以简化为：
Γ＝AX(7)
由于L＜＜N，向量X中的很多元素都为零，是一个稀疏度为L的稀疏向量。因此，公式(7)可认为是对测量向量的稀疏表示。
步骤6，求稀疏解：对稀疏向量X的求解可以转换为求解一个最小L0范数下的优化问题：
求解这个优化问题的方法有很多，常见的有正交匹配追踪OMP算法和基追踪BP算法等。
步骤7，参数估计与信号重构：在求得稀疏解X之后，非零元素的位置对应时延参数，即原信号的时延参数可用来估计；非零元素的值对应幅值参数，即原信号的幅度参数可用来估计。最后，重构出原信号
下面详细描述一下验证本发明方法的性能的方法:
采用几个在白噪声环境下的仿真实验进行验证，并与现有的FRI重构方法进行比较。仿真实验设置如下：输入的FRI信号采用Dirac脉冲序列，幅值参数al～U[0,1]，脉冲之间的时间间隔即时延参数tl在区间[0,T)内随机选择；信号时长T＝1s；模拟时间轴的最小量化单位为Δ＝0.001s，因此划分的网格数为N＝T/Δ＝1000。
为了从数值上评估各重构方法的性能，采用均方误差作为评价指标，为了方便比较对均方误差取对数：
其中L是脉冲的数量，tl是真实的时延参数，是估计的时延参数。由于幅值参数的误差与时延参数的误差成正比，因此只需要用时延参数的均方误差来衡量各FRI重构方法的性能。
实验一，如图2所示，在不同信噪比的高斯白噪声环境下(SNR由0增加到100)，采用本发明方法在不用采样率时的重构效果进行比较。输入信号是由L＝2个Dirac脉冲组成的FRI信号。其中时延参数tl＝[0.256,0.38]，幅值参数al＝[0.8,1]，新息率为ρ＝2L/T＝4。仿真实验重复执行100次，平均重构结果对比如图2所示。从图2可以看出，本发明方法在高斯白噪声存在的情况，采样率大于或等于新息率ρ，即取4Hz、8Hz和16Hz时，FRI信号重构效果良好。而且随着采样率的提高，重构精度也随之提高，可见本发明方法是有效的。
实验二，如图3所示，在不同信噪比的高斯白噪声环境下(SNR由0增加到100)，采用本发明方法与现有的基于B-spline和E-spline的重构方法进行比较。输入信号由L＝4个Dirac脉冲组成的FRI信号。其中时延参数tl＝[0.213,0.452,0.664,0.754]，幅值参数al＝[1,0.9,0.]。新息率为ρ＝2L/T＝8，采样率取新息率的3倍即24Hz。仿真实验重复执行100次，平均重构结果对比如图3所示。从图3可以看出，在相同信噪比SNR下，本发明方法比基于B-spline的重构算法和基于E-spline的重构算法重构精度更高，而且更稳定，体现了较强的抗噪声干扰能力。
本发明方法的重构精度高，且抗噪声干扰能力强，适用噪声环境下的FRI信号重构问题。