圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法与流程

技术特征：

1.圆—自由非圆—非圆三轮同步带传动设计方法，其特征在于：该方法具体如下：

步骤一、圆型主动同步带轮为匀速转动的输入构件，切极坐标方程为：

p₁＝r (1)

s＝2π×r (2)

式中，p₁为圆型主动同步带轮节曲线的切径，r为圆型主动同步带轮节曲线的半径，s为圆型主动同步带轮节曲线的周长；

步骤二、计算自由非圆从动同步带轮节曲线方程；

确定圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线转角关系：

式中，为圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角，为自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角，i₁₂为给定的圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮传动比；

圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的切角与转角存在以下关系

式中，θ₁为p₁到动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴的转角，θ₂为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p₂到动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴的转角；

式中，L₁为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距；

p₂＝i₁₂×p₁ (6)

步骤三、计算圆型主动同步带轮、自由非圆从动同步带轮和非圆张紧同步带轮每两轮之间的公切线段长度；

初始时刻，圆型主动同步带轮节曲线的动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角自由非圆从动同步带轮节曲线的动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角根据切极坐标理论得：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\θ}}_{12}={\mathrm{\θ}}_{21}={\mathrm{\θ}}_{120}\\ {\mathrm{\θ}}_{13}={\mathrm{\θ}}_{31}={\mathrm{\θ}}_{130}\\ {\mathrm{\θ}}_{23}={\mathrm{\θ}}_{32}={\mathrm{\θ}}_{230}\\ p_2\left({\mathrm{\θ}}_{21}\right)-p_1\left({\mathrm{\θ}}_{12}\right)=-L_1\×cos\left({\mathrm{\θ}}_{120}\right)\\ p_3\left({\mathrm{\θ}}_{31}\right)-p_1\left({\mathrm{\θ}}_{13}\right)=-L_3\×cos\left({\mathrm{\θ}}_{130}\right)\\ p_3\left({\mathrm{\θ}}_{32}\right)-p_2\left({\mathrm{\θ}}_{23}\right)=-L_2\×cos\left({\mathrm{\θ}}_{230}\right)\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中，p₁(θ₁₂)和p₂(θ₂₁)分别为圆型主动同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点C₁、C₂对应的切径，p₁(θ₁₃)和p₃(θ₃₁)分别为圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C₆、C₅对应的切径，p₂(θ₂₃)和p₃(θ₃₂)分别为自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点C₃、C₄对应的切径，θ₁₂₀为圆型主动同步带轮节曲线切径p₁(θ₁₂)与自由非圆从动同步带轮节曲线切径p₂(θ₂₁)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₁₃₀为圆型主动同步带轮节曲线切径p₁(θ₁₃)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p₃(θ₃₁)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₂₃₀为自由非圆从动同步带轮节曲线切径p₂(θ₂₃)与非圆张紧同步带轮节曲线切径p₃(θ₃₂)到各自动坐标系水平轴的转角初值，θ₁₂、θ₁₃分别为圆型主动同步带轮节曲线上切点C₁、C₆对应切径到动坐标系x₁o₁y₁中x₁轴的转角，θ₂₁、θ₂₃分别为自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C₂、C₃对应切径到动坐标系x₂o₂y₂中x₂轴的转角，θ₃₁、θ₃₂分别为非圆张紧同步带轮节曲线上切点C₄、C₅对应切径到动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴的转角，L₁为圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮中心距，L₂为自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距，L₃为圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮中心距；

初始时刻，设定非圆张紧同步带轮节曲线为给定半径的圆，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T₀、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁以及圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₂分别为：

式中，p′₁(θ₁₂₀)、p′₁(θ₁₃₀)分别为p₁(θ₁₂₀)、p₁(θ₁₃₀)的一阶微分，p'₂(θ₁₂₀)、p'₂(θ₂₃₀)分别为p₂(θ₁₂₀)、p₂(θ₂₃₀)的一阶微分，p'₃(θ₁₃₀)、p'₃(θ₂₃₀)分别为p₃(θ₁₃₀)、p₃(θ₂₃₀)的一阶微分；

当圆型主动同步带轮转过角度自由非圆从动同步带轮相应转过角度圆型主动同步带轮节曲线上切点C₁、C₆对应的弧长变化量为s₁、s₆，自由非圆从动同步带轮节曲线上切点C₂、C₃对应的弧长变化量为s₂、s₃，非圆张紧同步带轮节曲线上切点C₄、C₅对应的弧长变化量为s₄、s₅；则有：

$\left\{\begin{array}{c}{s}_1={\∫}_{{\mathrm{\θ}}_{120}}^{{\mathrm{\θ}}_{12}}\left(p_1\right({\mathrm{\θ}}_1)+p_1^{\′\′}({\mathrm{\θ}}_1\left)\right){\mathrm{d\θ}}_1\\ s_2={\∫}_{{\mathrm{\θ}}_{120}}^{{\mathrm{\θ}}_{21}}\left(p_2\right({\mathrm{\θ}}_2)+p_2^{\′\′}({\mathrm{\θ}}_2\left)\right){\mathrm{d\θ}}_2\\ s_3={\∫}_{{\mathrm{\θ}}_{230}}^{{\mathrm{\θ}}_{21}}\left(p_2\right({\mathrm{\θ}}_2)+p_2^{\′\′}({\mathrm{\θ}}_2\left)\right){\mathrm{d\θ}}_2\\ s_4={\∫}_{{\mathrm{\θ}}_{230}}^{{\mathrm{\θ}}_{32}}\left(p_3\right({\mathrm{\θ}}_3)+p_3^{\′\′}({\mathrm{\θ}}_3\left)\right){\mathrm{d\θ}}_3\\ s_5={\∫}_{{\mathrm{\θ}}_{130}}^{{\mathrm{\θ}}_{31}}\left(p_3\right({\mathrm{\θ}}_3)+p_3^{\′\′}({\mathrm{\θ}}_3\left)\right){\mathrm{d\θ}}_3\\ s_6={\∫}_{{\mathrm{\θ}}_{130}}^{{\mathrm{\θ}}_{13}}\left(p_1\right({\mathrm{\θ}}_1)+p_1^{\′\′}({\mathrm{\θ}}_1\left)\right){\mathrm{d\θ}}_1\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中，p″₁(θ₁)为p₁(θ₁)的二阶微分，p"₂(θ₂)为p₂(θ₂)的二阶微分，p″₃(θ₃)为p₃(θ₃)的二阶微分，θ₃为非圆张紧同步带轮切径p₃到动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴的转角；

任意时刻，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁₂、自由非圆从动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₂₃以及圆型主动同步带轮与非圆张紧同步带轮两切点之间的公切线段长度T₁₃分别为：

式中，p′₁(θ₁₂)、p′₁(θ₁₃)分别为p₁(θ₁₂)、p₁(θ₁₃)的一阶微分，p'₂(θ₂₁)、p'₂(θ₂₃)分别为p₂(θ₂₁)、p₂(θ₂₃)的一阶微分，p'₃(θ₃₂)、p'₃(θ₃₁)分别为p₃(θ₃₂)、p₃(θ₃₁)的一阶微分，为非圆张紧同步带轮节曲线动坐标系x₃o₃y₃中x₃轴到静坐标系xo₁y中x轴的转角；

步骤四、计算任意时刻同步带周长；

圆型主动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C₆，任意时刻C₁与C₆间的弧长为c₁₁，圆型主动同步带轮与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C₂，自由非圆从动同步带轮节曲线与非圆张紧同步带轮节曲线公切线上切点记为C₃，任意时刻C₂与C₃间的弧长为c₂₂，非圆张紧同步带轮节曲线与自由非圆从动同步带轮节曲线公切线上切点记为C₄，非圆张紧同步带轮节曲线与圆型主动同步带轮节曲线公切线上切点记为C₅，任意时刻C₄与C₅间的弧长为c₃₃；

$\left.\begin{array}{c}{c}_{11}=\underset{{\mathrm{\θ}}_{12}}{\overset{{\mathrm{\θ}}_{13}}{\∫}}\[p_1\left({\mathrm{\θ}}_1\right)+p_1^{\′\′}\left({\mathrm{\θ}}_1\right)\]{\mathrm{d\θ}}_1\\ c_{22}=\underset{{\mathrm{\θ}}_{23}}{\overset{{\mathrm{\θ}}_{21}}{\∫}}\[p_2\left({\mathrm{\θ}}_2\right)+p_2^{\′\′}\left({\mathrm{\θ}}_2\right)\]{\mathrm{d\θ}}_2\\ c_{33}=\underset{{\mathrm{\θ}}_{31}}{\overset{{\mathrm{\θ}}_{32}}{\∫}}\[p_3\left({\mathrm{\θ}}_3\right)+p_3^{\′\′}\left({\mathrm{\θ}}_3\right)\]{\mathrm{d\θ}}_3\end{array}\right\}---\left(11\right)$

任意时刻，同步带周长为：

C＝T₁₂+T₁₃+T₂₃+c₁₁+c₂₂+c₃₃ (12)

步骤五、非圆张紧同步带轮自由节曲线计算；

迭代算法如下：

(a)设定非圆张紧同步带轮转动中心，非圆张紧同步带轮的半径设置为变量，非圆张紧同步带轮半径初始值给定，记为r_3-0，根据式(12)计算带长初始值记为C₀；

(b)圆型主动同步带轮转过1°，根据传动比要求计算自由非圆从动同步带轮转过相应的角度，非圆张紧同步带轮的转角与圆型主动同步带轮相同；在保证C不变的前提下，根据式(12)反求圆型主动同步带轮转过1°时对应的非圆张紧同步带轮半径r_3-1，即对应时刻的p₃；

(c)重复(b)358次，得到圆型主动同步带轮转过2°，3°，…，359°时对应的非圆张紧同步带轮半径分别为r_3-2，r_3-3，……，r_3-359；

(d)至此得到360个同心圆，按(a)、(b)和(c)中的非圆张紧同步带轮半径，每隔1°取一个圆的半径，顺次取360个半径，以设定非圆张紧同步带轮转动中心为圆心，将所取360个半径的外端点顺次连接，组成一个封闭的非圆；

(e)将(d)中得到的非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等；

(f)将(e)所求得的各个时刻的半径值代入式(12)计算各个时刻的带长；

(g)若各个时刻的带长与初始带长之差的绝对值均小于预设值，则进行步骤(k)，否则进行步骤(h)；

(h)在带长最大位置对应时刻点的前后5°，减小非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，在带长最小位置对应时刻点的前后5°，增加非圆非圆张紧同步带轮各自向径值的1～5％，然后用B样条进行拟合得到新的非圆非圆张紧同步带轮；

(i)将经(h)后的非圆非圆张紧同步带轮各时刻的向径按比例放大或缩小，使得新得到的非圆非圆张紧同步带轮的周长与圆型主动同步带轮及自由非圆从动同步带轮的周长均相等；

(j)将经(i)后的非圆非圆张紧同步带轮向径代入式(12)计算得到各时刻对应同步带带长，若各时刻对应同步带带长与同步带周长初始值之差的绝对值均小于预设值，进行步骤(k)，否则回到(h)；

(k)建立非圆非圆张紧同步带轮的各时刻的向径与对应转角关系即为非圆张紧同步带轮节曲线方程。