一种基于Hamming公式预测铣削稳定性的方法与流程

技术特征：

1.一种基于Hamming公式预测铣削稳定性的方法，其特征是运用Hamming公式将强迫振动周期离散成间隔相等小区间从而得到铣削系统的传递矩阵，通过Floquet理论判定铣削系统传递矩阵的特征值预测铣削系统的稳定性。

2.根据权利要求1所述的一种基于Hamming公式预测铣削稳定性的方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1)：建立考虑再生颤振的系统动力学模型：

$M\stackrel{\·\·}{q\left(t\right)}+C\stackrel{\·}{q\left(t\right)}+Kq\left(t\right)=-a_p{K}_c\left(t\right)\[q\left(t\right)-q(t-T)\]---\left(1\right)$

式(1)中，M为刀具的模态质量矩阵；C为模态阻尼矩阵；K为模态刚度矩阵；q(t)为刀具模态坐标；K_c(t)为周期系数矩阵，且K_c(t)＝K_c(t+T)；T为时滞量且T＝60/(NΩ)，N为刀具齿数，Ω为主轴转速，单位为rpm；

令和通过变换，式(1)转换为如下空间状态形式：

$\stackrel{\·}{x\left(t\right)}=A_{0}x\left(t\right)+A\left(t\right)\[x\left(t\right)-x(t-T)\]---\left(2\right)$

式(2)中，A₀表示系统时不变常数矩阵；A(t)表示周期为T的考虑再生效应的系数矩阵，且A(t)＝A(t+T)；

其中:

步骤2)：假设切削初始条件为t₀,刀齿切削周期T分为自由振动时间间隔t_f和强迫振动时间间隔T-t_f；

当刀具处于自由振动时刻时，即t∈[t₀,t₀+t_f]，状态值有如下关系：

$x\left(t\right)=e^{A_0(t-t_0)}x\left(t_0\right)---\left(4\right)$

加工时刀具处于强迫振动时刻，即t∈[t₀+t_f,T]，将切削时间T-t_f平均分成m个时间间隔，则每个时间间隔可表示为h＝T-t_f/m；对于强迫振动的切削时间，相应的离散点表示为：

t_i＝t₀+t_f+(i-1)h,i＝1,2,…,m+1 (5)

当t∈[t_i,t_i+1]时，方程(2)转化为如下表达式：

$x\left(t\right)=e^{A_0(t-t_i)}x\left(t_i\right)+{\∫}_{t_i}^t{e}^{A_0(t-\mathrm{\τ})}A\left(\mathrm{\τ}\right)\[x\left(\mathrm{\τ}\right)-x(\mathrm{\τ}-T)\]d\mathrm{\τ}---\left(6\right)$

步骤3)：通过构造线性多步法获得离散点处的状态项的值x(t_i)(i＝1,2,…,m+1)；

步骤4)：构建系统的传递矩阵：

$P\left[\begin{array}{c}x\left(t_1\right)\\ x\left(t_2\right)\\ x\left(t_3\right)\\ .\\ .\\ .\\ x\left(t_m\right)\\ x\left(t_{m+1}\right)\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}x(t_1-T)\\ x(t_2-T)\\ x(t_3-T)\\ .\\ .\\ .\\ x(t_m-T)\\ x(t_{m+1}-T)\end{array}\right]---\left(7\right)$

其中：

其中：G(t_i-2)＝0,

$G\left(t_{i+1}\right)=-\frac{3h}{8}A\left(t_{i+1}\right),i=3,4,...,m$

获得铣削系统的传递矩阵为：

Φ＝P^-1Q； (10)

步骤5)：计算铣削系统传递矩阵特征值的模，根据Floquet理论判定铣削系统的稳定系；其判定准则如下：

3.根据权利要求1所述的一种基于Hamming公式预测铣削稳定性的方法，其特征在于铣削系统的自由度分为下述两种情况：

第一种情况：单自由度系统，其模型由下列方程表示：

$m_t\stackrel{\·\·}{x\left(t\right)}+2{\mathrm{\ζ\ω}}_n{m}_t\stackrel{\·}{x\left(t\right)}+{{\mathrm{\ω}}_n}^2{m}_{t}x\left(t\right)=-a_{p}h\left(t\right)\[x\left(t\right)-x(t-T)\]$

式中，m_t为刀具的模态质量，单位为kg；ζ为刀具的自然圆频率，单位为rad/s；ω_n为阻尼比；a_p为轴向切削深度，单位为m；T为时滞量，单位为s，即T＝60/(NΩ)。

h(t)为切削力系数：

$h\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}g\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\[K_t\cos \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)+K_n\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\]$

式中，K_t为切向切削力系数，K_n为法向切削力系数；φ_j(t)为第j个刀齿的位置角，且N为刀具齿数，Ω为主轴转速(rpm)；

φ_j(t)函数定义为：

式中，φ_st表示刀具的切入角，φ_ex表示刀具的切出角；

顺铣时，φ_st＝arccos(2a/D-1)，φ_ex＝π；

逆铣时，φ_st＝0，φ_ex＝arccos(1-2a/D)，其中a表示为径向切深，D表示为刀具直径；

令通过变换，则式可改写为：

矩阵A₀、A(t)分别为：

$\begin{array}{cc}{A}_0=\left[\begin{array}{cc}-{\mathrm{\ζ\ω}}_n& 1/m_t\\ m_t{\mathrm{\ζ}}^2{{\mathrm{\ω}}_n}^2-m_t{{\mathrm{\ω}}_n}^2& -{\mathrm{\ζ\ω}}_n\end{array}\right]& A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -a_{p}h\left(t\right)& 0\end{array}\right]\end{array};$

第二种情况：两自由度系统，其模型可由下列方程表示：

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{m}_t& 0\\ 0& m_t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x\left(t\right)}\\ \stackrel{\·\·}{y\left(t\right)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{\ζ\ω}}_n{m}_t& 0\\ 0& 2{\mathrm{\ζ\ω}}_n{m}_t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x\left(t\right)}\\ \stackrel{\·}{y\left(t\right)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_n}^2{m}_t& 0\\ 0& {{\mathrm{\ω}}_n}^2{m}_t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ y\left(t\right)\end{array}\right]\\ =-a_p\left[\begin{array}{cc}{h}_{xx}\left(t\right)& h_{xy}\left(t\right)\\ h_{yx}\left(t\right)& h_{yy}\left(t\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)-x(t-T)\\ y\left(t\right)-y(t-T)\end{array}\right]\end{array}$

式中周期系数矩阵K_c(t)可表示为：

$K_c\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}{h}_{xx}\left(t\right)& h_{xy}\left(t\right)\\ h_{yx}\left(t\right)& h_{yy}\left(t\right)\end{array}\right]$

其中：

$h_{xx}\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}g\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\[K_t\cos \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)+K_n\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\]$

$h_{xy}\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}g\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\cos \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\[K_t\cos \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)+K_n\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\]$

$h_{yx}\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}g\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\[-K_t\sin \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)+K_n\cos \left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\]$

$h_{yy}\left(t\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\Σ}}g\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)cos\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\[-K_{t}sin\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)+K_{n}cos\left({\mathrm{\φ}}_j\right(t\left)\right)\]$

两自由度系统模型中相关参数与单自由度相同；

令

通过矩阵变换，则式

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}{m}_t& 0\\ 0& m_t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{x\left(t\right)}\\ \stackrel{\·\·}{y\left(t\right)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2{\mathrm{\ζ\ω}}_n{m}_t& 0\\ 0& 2{\mathrm{\ζ\ω}}_n{m}_t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x\left(t\right)}\\ \stackrel{\·}{y\left(t\right)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{{\mathrm{\ω}}_n}^2{m}_t& 0\\ 0& {{\mathrm{\ω}}_n}^2{m}_t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)\\ y\left(t\right)\end{array}\right]\\ =-a_p\left[\begin{array}{cc}{h}_{xx}\left(t\right)& h_{xy}\left(t\right)\\ h_{yx}\left(t\right)& h_{yy}\left(t\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\left(t\right)-x(t-T)\\ y\left(t\right)-y(t-T)\end{array}\right]\end{array}$

可改写为：

$\stackrel{\·}{x\left(t\right)}=A_{0}x\left(t\right)+A\left(t\right)\[x\left(t\right)-x(t-T)\]$

其中：

$A_0=\left[\begin{array}{cccc}-{\mathrm{\ζ\ω}}_n& 0& 1/m_t& 0\\ 0& -{\mathrm{\ζ\ω}}_n& 0& 1/m_t\\ m_t{{\mathrm{\ω}}_n}^2({\mathrm{\ζ}}^2-1)& 0& -{\mathrm{\ζ\ω}}_n& 0\\ 0& m_t{{\mathrm{\ω}}_n}^2({\mathrm{\ζ}}^2-1)& 0& -{\mathrm{\ζ\ω}}_n\end{array}\right]$

$A\left(t\right)=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -a_p{h}_{xx}\left(t\right)& -a_p{h}_{xy}\left(t\right)& 0& 0\\ -a_p{h}_{yx}\left(t\right)& -a_p{h}_{yy}\left(t\right)& 0& 0\end{array}\right].$