/?"々·〇， 且令⑷=p,(e)。
[0048] 3)误差反馈控制律设计如下：
[0049] (6)
[0050]
[0051] (7)
[0052] 其中，Iii为设定的增益系数。
[0053] 根据上述单入单出被控对象及自抗扰控制器构建的自抗扰控制系统结构框图如 附图2所示。
[0054] 1〇2、系统转换
[0055] 假设Al :跟踪微分器输入及输出均为零。
[0056] 令 X = [X1, x2,…，xn]T，Z = [Z1, z2,…，zn]τ。将方程（6)和（7)代入方程（2)，可 得
[0057]
(8)
[0058] 其中，
[0059]
▲ = [0,0，···,0,-1]τ eEn，Μ"表示 η 维空间。
[0060] 将方程（6)和（7)代入方程（4)，可得
[0064] 综合式⑶和（9)，可得[0065]
[0066] 其中，C1 = [_ 1.(),....()]1'eE"，C2 = [1，0，··.，0]τεΜ%[0067] 令 Y = AnX+A13zn+1，e = σ，可得[0068] (10)
(11)
[0069] 将式（12)进一步表示为
[0070]
(12)
[0071 ]其中，X = Z]T， E(x，u) = [-A11Ang(X1U) 0] τ，
[0072] 式（12)即为受扰的间接鲁里叶系统，其结构框图如附图3所示。将受扰的自抗扰 控制系统转换为受扰的间接鲁里叶系统，进而转入步骤二。
[0073] 本发明第二步中利用Popov判据判断标称系统是否稳定的过程为：
[0074] 利用Popov判据分析不考虑扰动的间接鲁里叶系统（标称系统）的稳定性；
[0075] 假设 Α2 : (Α，Β)可控，（A，cT)可观测；
[0076] 假设A3 :矩阵A是Hurwitz矩阵；
[0077] 假设Α4 :存在标量y > 0,使得式（13)成立：
[0078] (13)
[0079] 其中，/Z2=C1，G(j ω)是标称系统的传递函数；
[0080] 若假设Α2-Α4成立，则可判定标称系统是绝对稳定的。
[0081] 本发明第三步求解黎卡提代数方程，得到系统鲁棒稳定的界。
[0082] 令
[0083] (14)
[0084] (15)
[0085] 其中，取α = 1Λ2Ρ)，分别可求得γ、ν的取值；
[0086] 选定一个正定矩阵W和一个正实数ε，求得满足如下黎卡提代数方程的一个正定 矩阵P :
[0087]
[0088]
[0089] 进一步选择一个正定矩阵Wtl，使得成立ε W = SWtl+δ ' I，可得到δ '的值。
[0090] 假设Α6 :扰动项E (X，u)有界并且满足如下不等式：
[0091]
(17)
[0092] 其中，M代表属于空间R2" -个有界集合，I I · I I2代表向量的2范数，M · I I 12代 表矩阵的谱范数。将S '、p、r'、代入式（17)，可求得鲁棒稳定的界β。
[0093] 本发明第四步根据所述稳定的界，估计单入单出自抗扰控制系统的吸引域，的具 体过程为：
[0094] 构建如下Lyapunov李雅普诺夫函数：
[0095]
[0096] 将
及矩阵P、函数 代入式（I8)，最终可表示为状态X、Z、Zn+1的正定函数，即V (X，Z，z n+1)。
[0097] 根据约束（17)，得到
[0098] (19)
[0099] 其中，
根据式（19)即可得到一个估计的吸引域。
[0100]自此，就完成了单入单出自抗扰控制系统鲁棒稳定性分析。
[0101] 本发明亦可用于稳定性设计，主要体现在ESO中已建模线性动态fjx)的灵活运 用上。当矩阵A不是Hurwitz矩阵，无法保证标称系统的绝对稳定性时，此时调整f\(X)使 得矩阵A是Hurwitz矩阵；由于通过合适的模型补偿有可能使得原本不是Hurwitz的矩阵 A转换为Hurwitz，这就使得原本只能局部稳定的标称系统转换为全局稳定的标称系统。后 面的实例将展示如何提高系统的稳定性。
[0102] 本发明若扩张状态观测器中函数参数δ i、a i不相同，即 α# α2乒…αn+1，S2乒…Sn+1，使得 。 此时，取广乂 / =丨二…^以+丨广…+丨丨…并且令式⑷中 ，(e) J = + l都用0(e)取代，同时，式（13)中//2=5广_1，进而可分析自抗扰控制系 统的稳定性及鲁棒稳定性。
[0103] 线性自抗扰控制器指的是扩张状态观测器中仍㈦取为线性函数e，或者说当 中取Qi= 1，δ i任意值等价于奶〇) =e这样一个线性函数，因此本发 明同样适用于线性自抗扰控制器，即取·识(〃）或者'奶⑷= 且取Cii= 1，δ i 取任意值，可得μ2= 1，进而可分析自抗扰控制系统的稳定性及鲁棒稳定性。
[0104] 如果受扰的自抗扰控制系统是稳定的，且受到的扰动g(x，u)是线性的，那么该系 统是全局稳定的。
[0105] 实例：
[0106] 下面以非线性质量-弹簧-阻尼机械系统为被控对象及自抗扰控制器构成的自抗 扰控制系统鲁棒稳定性分析和设计为例，展示本发明在实际中的应用过程。按照发明步骤 依次实现：第一步、转换为受扰的间接鲁里叶系统；第二步、判定标称系统的稳定性；第三 步、求得系统鲁棒稳定的界；第四步、估计吸引域。
[0107] 第一步、转换为受扰的间接鲁里叶系统。
[0108] 1、设计自抗扰控制器
[0109] 非线性质量-弹簧-阻尼机械系统物理实现如附图4所示，其数学模型如下： [0110]
(2〇)
[0111] 其中，X1代表位置，X2代表速度，U代表控制量，y代表输出。
[0112] 鉴于跟踪微分器是一个相对独立的结构，不影响系统的稳定性，且根据假设Al不 再设计跟踪微分器。
[0113] 鉴于被控对象是二阶系统，设计一个三阶非线性ESO如下：
[0114]
(21)
[0115] 误差反馈控制律设计成如下形式：
[0116] u = kp (V1-Z1)+^ (v2-z2)-Z3 (22)
[0117] 此处，根据假设Al，Vp卩2均为零。
[0118] 仿照线性自抗扰控制器参数带宽化整定方法，令ω。= 20，ω。= 10,于是β Q1 = 3 w 〇, - 3?)〇 1 - y kP - Oc，kd= 2ω c。fal(e)函数的参数取 Q1= α 2= α 3 = 0.25，S1= δ 2= δ 3=〇·〇1。
[0119] 2、系统转换
[0120] 直接将相关变量及参数代入式（12)，可得
[0122] 第二步、判定标称系统的稳定性。
[0121] (23)
[0123] 将相关参数取值代入式（23)，满足假设A2、A3。进一步求得标称系统的传递函数：
[0124]
(24)
[0125] G(j ω)的Popov图如附图5所示。Popov直线与横坐标交于点-1/μ2+」0(1/μ2= 0.32)，其斜率满足r' <0.7时，满足假设Α4。据此，判定该标称系统是绝对稳定的。
[0126] 第三步、求得系统鲁棒稳定的界。
[0127] 取r' = 0· 1，根据式（14)、（15)得到 V = [0.783,0. 167,0·500,0·050]τ，γ = 6.03。令
[0128]
[0129] 求解黎卡提方程式（16)可得
[0130]
[0131] 令δ '= 200,根据不等式约束（17)，可取β = 0.065。
[0132] 第四步