一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法

一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法
【专利摘要】一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法，一般来说，需要长期测量误差数据和多次在规定的期限内对加工精度进行检测和分析，会产生复杂和庞大的数据误差。本发明为了在误差数据的基础上提出一种了加工精度保持性预测方法，首先利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构的基础上，建立起机床整体的空间误差模型进行基于拓扑结构的旋量理论误差建模，并进行了误差数据的测量，其次基于粗糙集(RS)理论对误差数据进行约简，然后基于最小二乘支持向量机(LS?SVM)方法进行加工精度保持性预测。最后用仿真方法证明本发明所提出预测方法的有效性。
【专利说明】
一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度 保持性预测方法
技术领域
[0001] 本发明提供了一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持 性预测方法，属于机床精度设计领域。
【背景技术】
[0002] 对于机床来说，加工精度是评价机床性能和特点的一个重要的指标。在现代生产 中，由于高的金属去除率，加工时间的缩短、高的生产率和较短的工件安装时间，机床在现 代制造业中发挥着重要的作用。然而，存在许多影响机床加工精度的因素，其中，几何误差 和热误差约占总加工误差的60%。由于这些误差的重复性、随机性和可测性特点，误差预测 与补偿是提高机床加工精度的有效途径。除了几何误差，由温度变化引起的热误差也有很 大的影响机床的精度，尤其是在连续长时间做重复性的工作或在一个温度变化的车间进行 加工，随着对加工精度要求的越来越高，如何使机床长时间保持较高加工精度越来越受制 造商和用户的重视，即提高机床的加工精度保持。一般来说，机床的加工精度保持性可以通 过实时测量加工误差进行预测。然而，通过这种方式，它会产生复杂和庞大的误差数据，除 了由于误差源数量众多外，测量过程是非常复杂和耗时的。为了让精度保持性预测过程简 洁有效，本发明提出了一种加工精度保持性预测的方法，该方法不仅可以减少测量工作量， 还可以提高预测精度。
[0003]因此，可靠和准确的综合误差建模是分析加工精度保持性的第一步。误差建模的 目的是建立误差源与机床加工精度的关系。它的精度设计和误差补偿的共同前提，并可以 为误差补偿打下基础。国内外专家学者一直在建立机床空间误差模型领域进行不懈的探索 和研究，开展了多方面的工作。实际测量到的误差量，主要依靠可靠的测量装置、高效的测 量方法等。国内外许多学者都对几何误差建模方法进行了研究，提出了许多有效的建模方 法。常用的建模方法有：例如三角关系建模法、误差矩阵法、二次关系模型法、机构学建模 法、刚体运动学法、多体系统建模法等。
[0004] 1982年，波兰学者Z.Pawlak提出了粗糙集理论--它是一种刻划不完整性和不确 定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致、不完整等各种不完备的信息，还可以对数 据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。
[0005] 粗糙集分析仅利用数据本身提供的信息，无须任何先验知识，也不需要任何预备 的或额外的有关数据信息，比如统计学中的概率分布、Dempster-Shaf er理论中的基本概率 赋值或者模糊集理论中的隶属度，而这些信息有时并不容易得到。此外，粗糙集还能表达和 处理不完备信息，能在保留关键信息的前提下对数据进行简化并求得知识的最小表达，能 识别并评估数据之间的依赖关系，揭示出概念简单的模式，能从经验数据中获取易被证实 的规则知识。因此，越来越多的国内外学者都对粗糙集这一方法进行关注和研究，使得粗 糙集已成为人工智能领域中一个较新的学术热点，在机器学习、知识获取、决策分析、过程 控制等许多领域得到了广泛的应用，本发明中采用粗糙集理论对温度测点进行约简。
[0006] 通过粗糙集理论对温度测点进行约简后，较少的温度测点组合都能比较完整的表 达机床温度场分布情况。为了更加准确快速的得到最佳的误差测点的组合，本发明采用灰 关联分析对其进行筛选。此时，按照对误差测点的要求，可以限定时间测点个数，本文中为 了简化误差项数量，得到8种组合。
[0007] Suykens和Vandewalle于1999年在SVM的基础上提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)，在LS-SVM中引入了损失函数和核函数方法，使其在能对时间序列进行回归拟合与预 测，并成功地用等式约束替换了 SVM中的不等式约束，把优化问题简化为线性方程组的求解 问题，很大层度上减少了计算复杂度，在保证预测精度的同时，提高了预测速度。
[0008] LS-SVM模型采用了结构风险最小化原则，在小样本的条件下就可以实现模型的训 练，并且训练效率高、泛化能力强，在非线性、非高斯时间序列预测中取得了很好的预测效 果。而LS-SVM模型采用等式约束的优化条件、求解结构简单。因此，比起其他的预测方LS-SVM优势明显，但LS-SVM模型仍存在一些有待继续研究的问题。在实际应用中，LS-SVM模型 的参数和核函数选取问题缺乏理论指导；怎样设计高效的LS-SVM在线预测算法来增强LS-SVM的实用性问题;与传统算法或技术相结合，拓展LS-SVM的应用范围等问题都亟待解决。 因此，关于LS-SVM的研究工作是一个有价值、长时间的过程。此外，在时间序列预测研究中， 怎样提高预测精度一直是最核心的问题，很多研究者对这个问题进行了大量的研究，并已 取得了很大的进展，预测的精度得到了提高，如把人工神经网络、混沌理论预测等多种方法 应用在时间序列预测中。但是时间序列的动态或实时预测是很多领域的关键技术，在很多 实际工程应用领域，对预测的实时性也要求很高，譬如民用航空发动机与装备故障实时性 能可靠性预测，实时预测交通流量等，在这些应用领域中，对于时间序列的预测效率有很高 的要求。从以上的分析中可知，到现阶段为止，虽然已经取得了一系列时间序列预测研究成 果，但在实际应用中，使用较广泛的还是人工神经网络预测法和传统统计学分析方法，虽然 这些方法的预测精度得到很大的提升，但是很难满足实际应用中对实时性与预测精度的要 求。所以，研究提高实际应用中预测精度与预测实时性，并具有适用性的预测方法，具有很 大科研与应用意义，能为各行各业的决策者提供科学依据，具有重要的理论与现实价值。 LS-SVM方法可以被用来对机床加工精度保持性的预测。通过仿真实验计算的结果表明，本 发明所提出的方法是有效的。
[0009] 所以，建立精确的加工精度预测模型就显得十分重要，如何利用加工精度预测模 型准确的分析出机床加工精度随时间的变化规律是本发明中的关键问题之一。

【发明内容】

[0010] 本发明的目的提供了一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精 度保持性预测方法。基于误差测量数据，利用旋量理论的指数矩阵形式，在机床的拓扑结构 的基础上，建立起机床整体的空间综合误差模型，该误差模型具有计算速度快、操作简单等 优点;基于粗糙集(RS)理论对温度测点进行约简，获得能代表机床温度场的测点组合，然后 基于最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法进行加工精度保持性改进。最后用仿真方法证明本 发明所提出方法的有效性，为精密机床的设计提供了重要的理论依据。
[0011] 为实现上述目的，本发明采用的技术方案为一种基于粗糙集理论和最小二乘支持 向量机的机床加工精度保持性预测方法，用于解决机床加工精度保持性预测过程中的技术 问题。该方法的实现过程如下，
[0012] 步骤一依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型
[0013] 根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6 XI的向量形 式;将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立 起机床的空间综合误差模型；
[0014] 步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式
[0015] 旋量理论应用到多轴机床综合误差建模。由于其运动性能，该模型可以用来描述 每个轴的运动误差和机床综合误差。垂直度误差的也可以有旋量模型详细的描述。
[0016] 然而，双频激光干涉仪测量的误差包括许多误差项，例如，几何误差、热变形误差 等，其中几何误差、热变形误差占总误差的60%。所以，测量得到误差数据可理解为综合误 差，可以表示为式(1)，即：
[0017] 8^8g+8t (1)
[0018] 其中，是几何误差项，ST是热变形误差。
[0019] 由于制造和安装缺陷，几何误差不可避免地存在于每一个运动轴。在一般情况下， 六个误差分量可以用来描述一个移动轴的几何误差，因为刚性体具有六个自由度，其中包 括三个平移误差和三个旋转误差。一般的，每个轴向的运动都会有6个方向自由度，同时会 产生3个平动的误差及3个转动的误差;Moon等人利用旋量理论，定义了误差模块m4 e，有：
[0020] me$e= [ex, ey, ez,8x,8y,8z]T
[0021] -个六维向量$也可以代表所有的误差项，即：
[0022] $ = [0T VT]T=[ 01, 02, W3,V1,V2,V3]T (2)
[0023] 刚体运动一般都包含平动及转动的，假设向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相 同的。则刚体的其次变换矩阵为：
[0025]旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为:T = e$e。当《=〇时，刚体只有平移 运动，则其其次变换矩阵可写为：
[0027]当co辛〇时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：
[0029]其中的三角级数展开式可以表示为：
[0031 ]综上所述，$是单位旋量，则刚体的指数矩阵写为：
[0033] 在|| ? ||辛0时，机械部位的旋转角表示
在II w ||=〇时，平移的 距离可以表示为
[0034]由于机床是一个开链的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：
[0036] T(0)表示其原始变换矩阵，可将其应用于机床的误差建模。
[0037]步骤1.2基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立
[0038]以X向的运动部件为例，主要分为三部分;第一部分$xx包含定位误差1,及沿该方 向的滚摆误差exx;第二部分$yx是水平面的线性误差Syx及颠摆误差e yx;第三部分$zx是垂直 面的线性误差Szx及偏摆误差ezx;
[0039] $xx，$yx和$zx可以被写为：
[0040] $xx=[exx,0,0,8xx,0,0] T (8)
[0041] $yx=[0,eyx,0,0,8yx,0] T (9)
[0042] $zx=[0,0,ezx,0,0,8zx] T (10)
[0043] X轴的空间误差表示为：
[0045] X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：
[0047]在本发明中，以一台三轴机床为例，其原理图如图1所示。多体系统理论提供了很 详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样可以进行应用，本发明所选中三轴机 床的拓扑结构图如图3所示。
[0048] 理想状态下，机床是不存在误差的。建模的顺序如下Ai-Yi-Zi。理想状态下的矩 阵变换方程可以用h表示：
[0050]实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差 旋量加入到旋量模块中；用13表示：
[0052] $f= [0,0,0，0,0,0]T 表示地基的旋量。
[0053]在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴机床的空间 误差模型：
[0054] E = T/ -T([ (15)
[0055] 对应空间误差在三个轴向上的分量Ex，Ey，Ez可表示为：
[0056] [Ex,Ey,Ez,l]T=E ? [0,0,0,1]T (16)
[0057] 由于刀具和工件的安装误差非常小，在本发明中不予考虑。所以机床的空间误差 在三个轴向上的分量可以写为：
[0061]在公式（17)_(19)中，x代表X轴位移;y代表Y轴位移;z代表Z轴位移。步骤二误差 数据测量
[0062]在本发明中，以一台三轴机床为例，图1为其结构图。三轴机床共有21项误差，其中 包括线性定位误差、直线度误差、角度误差和垂直度误差等，这些误差在被列在表1。为处理 简单垂直误差按照已知常量对待，其数值如表2所示。本发明中的机床是连续和长期做重复 性的加工相同的阶梯形工件。阶梯型工件如图2所示。
[0063]近年来，出现了很多种测量的方法，包括22线法、15线法、12线法、九线法和矢量对 角线测量方法等。在本文中，九线法被采用来获得误差数据，因为这种方法识别理论与误差 模型无关。机床连续工作6个月，通过API 6D激光干涉仪测量实验数据。每周工作完后刚开 启机床时进行误差数据的采集，这些数据可以被认为是机床的几何误差数据，然后使机床 连续运动，逐渐升温到机床温度恒定，在机床升温过程中间隔恒定时间进行误差数据的采 集，并同时进行对应温度数据的采集，这些误差数据可以被认为是几何误差和热误差的综 合误差，将综合误差值减去几何误差值便可得到机床的热误差值。使用激光干涉仪进行误 差数据的测量，这项研究采集到了 24组数据，每组误差数据都包括18项误差项，表3为部分 测量数据。故可以得到下面数据：由激光干涉仪不同时间测量的机床的24组误差数据是{Pi (q)，P2(q)，…，P24(q)} 〇 [0064] 步骤三粗糙集理论约简准则
[0065] 1982年，波兰学者Z.Pawlak提出了粗糙集理论--它是一种刻划不完整性和不确 定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致、不完整等各种不完备的信息，还可以对数 据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。
[0066]基于粗糙集进行知识发现需要事先建立知识发现的数据对象，称为信息系统。一 个机床误差信息系统可由4元组表示酽=<轧戽匕/>，:其中讲=化，％-，％}是有限样本 集，表示有限个机床加工对象组成的论域，|沢|表示样本M个数;A ={ai，a2，…，a | a|}是一组 用以描述机床加工对象时间影响属性，表现为论域货上的一组二元关系（对完备信息系统 而言，它通常是一组等价关系），|A|表示属性个数；K = 1U&，用￥3表示属性a的值域；函 数f:沢x d ->9?满足f (x，a) G Va。对任意的aGA，其为论域汧中的每一个对象赋予唯一属性 值。
[0067] 在时变引起机床误差的系统中，属性集A可以分为时变条件属性集P (P ={ Pi， P2,…，P|k|})和时变引起的结果属性集Y(Y={Yt})，而且 息系统，则可以构造一个机床综合误差系统决策表^=<风？。￥，￥八>。《/1^表示误差属 性Y的所有等价类构成的集合，[r]Y表示包含元素 re?的货等价类。如果两个元素同属于一 个等价类，则它们之间是不可分辨的。不可分辨关系是粗糙集理论的出发点。
[0068] 在随时间变化空间综合误差系统中，加工对象子集兜H/V??弋丨可以使用时 变引起的条件属性子集P'表示，也就是说，一个任意的制造对象9T的集合，包括一个单一 的类，这个类(即这个子集)可以使用由等价类引起的随时间变化引起的条件属性子集P/ = {Pi，…，Pm}来表示。一般而言，集合谳不能被精确的表示，集合沢'中包含或排除的对象，在 属性集K的基础上没有区别，然而，集合9T可以用包含K内唯一信息的上下子集来接近，即
[0071 ]式中，是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素 ，g /?， 这是9T内包含的最大的子集。匕/9^是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类 的元素 FeP,这是此内包含的最小的子集。
[0072] 是[ri]T/中所有等价类的集合，包含在的制造对象集合中。下近似是 锔/，中一组完整的对象，这是属于集合进'的积极的分类。
[0073] 根据粗糙集理论可知，数据分析的一个重要问题是发现属性之间的依赖性。也就 是说，希望在信息系统中发现，那些时变条件属性集P和时变引起的结果属性集Y是强相关 的。定义:属性集P、Y的依赖度为y (P，Y)，有：
[0075] 其中，y (P，Y)，表示根据P能被准确分类的对象在整个系统中的比例，也称为关于 P的分类质量。
[0076] 如果y (P，Y) = 1，称为误差属性集Y完全依赖于时变属性集P，即时变属性集P都是 必须的。如果0< Y (P，Y)<1，称为误差属性集Y部分依赖于时变属性集P，时变属性集P部分 是必须的。
[0077] 决策表酽=<乳，^1/56/>的属性重要性可通过从属性集？中去掉一个属性1)￡? 后对W的分类能力的影响来测度。如前所述，Y (P，Y)表示了属性集P和Y之间的依赖性，它 也表示划分歡/F关于P的近似精度。因此，对于某个属性P的重要性可以利用T (P，Y)和y (P_ {P}，Y)之间的变化来评价 [0078]属性p的重要性定义为：
[0080]如果P，Y已知，可简记为可被解释为去掉属性p后的分类误差。重要 性系数也可对属性集合定义为：
[0082]如果P'为P的一个约简，则WP' ) = 1。如果将P的任意子集P'视为P的近似约简，则 可以定义约简近似的误差为
[0084] 简记为MP' hMP')表示属性集P'近似属性集P的精确程。如果P'为P的一个约简， 贝丨Je(P，）=0〇[0085] -般来说，可辨识矩阵是求解相对属性约简和属性核的主要方法之一。在信息系 统中，iR = {rp/w;}，设一个对象全集识按决策属性Y被分成不相 交的类族，即义=识/户=沐，弋，…，夂}，则W中P的区分矩阵M(P) = {mi,j}nXn定义为：
[0087]决策表W的区分函数为：
[0089] 区分函数A是一个具有|P|个布尔变量的合取-析取函数，其中变量p*与属性p对 应。函数△的极小析取范式中的所有合取式是P的所有Y约简。[0090] 步骤四LS-SVM方法准则[0091] Suykens提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法。损失函数的最小二乘线性系 统的基础，其原理是不等式约束变为等式约束，并将这一组方程被视为目标。在本文中，时 变加工精度保持性提高，LS-SVM方法被应用来补偿空间误差。在LS-SVM方法中，时间（t)和 精度保持性(丄。_1)被作为模型的控制因素。[0092] 改进模型如下：
[0094] 式中，Xi是坐标位置;t代表时间；dstandard是标准尺寸;dim改善后的坐标位置;li是 剩余变量，其中liGR; <})(?)空间映射的核函数：<})(?) :Rn-Rnh; ?是权重向量，《 GRnh; y可调参数;b是偏差值。终止条件设置为| dim-dstandard | <0.05mm。
[0095]引入拉格朗日函数用在模型求解中：
[0097]式中，cu是拉格朗日乘子。
[0098]根据极值的存在，一系列方程组可以被计算。
[0100] 上式约去《和I，整理可以得到：
[0102]根据Mercer条件，LS-SVM内核函数K( (X，t，dstandard)，（XI，tl，dstandard))的回归估计 如下：
[0104]其中，a，b可以通过公式(31)计算得到。核函数满足Mercer条件的任意对称函数， 通常采用径向基函数(Radical Basis Function，RBF)。
[01 05]核函数为K (( Xi，ti，dstandard )，（ Xj，tj，dstandard ) ) - 6XP [ - ( ( Xj , t j , dstandard ) - ( Xi , t i , dstandard))2/(202)]，式中，待定参数 〇的值很大，且收敛速度很快。因此，RBF主要受正则化参 数Y和核函数的宽度〇的影响。LS-SVM方法的学习能力和泛化能力主要由这两个参数决定。 但相比选择其它类型的核函数，在样本数据较少、高维或先验知识不足的情况下，因为RBF 核函数参数较少，所以采用RBF核函数的支持向量机模型的适应性更好，总体预测效果更好 些，在实际应用中更多的实例采用RBF核函数。
【附图说明】
[0106] 图1三轴加工中心结构图。
[0107] 图2阶梯型工件。
[0108]图3三轴加工中心的拓扑结构图。
[0109]图4实际测得的时变的精度保持性。
[0110] 图5实际测得精度保持性与模型预测结果的差异性。
[0111] 图6实际测得精度保持性与模型预测结果的残差。
[0112] 图7为本方法的实施流程图。
【具体实施方式】
[0113]算例：以三轴联动数控加工机床为例（图1)
[0114]步骤一依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型
[0115]根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6 XI的向量形 式;将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立 起机床的空间综合误差模型；
[0116] 步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式
[0117] 旋量理论应用到多轴机床综合误差建模。由于其运动性能，该模型可以用来描述 每个轴的运动误差和机床综合误差。垂直度误差的也可以有旋量模型详细的描述。
[0118] 然而，双频激光干涉仪测量的误差包括许多误差项，例如，几何误差、热变形误差 等，其中几何误差、热变形误差占总误差的60%。所以，测量得到误差数据可以表示为式 (9)，即：
[0119] 8^8g+8t (32)
[0120] 其中，知是几何误差项，ST是热变形误差。
[0121 ]由于制造和安装缺陷，几何误差不可避免地存在于每一个运动轴。在一般情况下， 六个误差分量可以用来描述一个移动轴的几何误差，因为刚性体具有六个自由度，其中包 括三个平移误差和三个旋转误差。一般的，每个轴向的运动都会有6个方向自由度，同时会 产生3个平动的误差及3个转动的误差;Moon等人利用旋量理论，定义了误差模块m4 e，有：
[0122] me$e= [ex, ey, ez,8x,8y,8z]T
[0123] -个六维向量$也可以代表所有的误差项，即：
[0124] $ = [qT VT]T=[ 0l, 02, W3,V1,V2,V3]T (33)
[0125] 刚体运动一般都包含平动及转动的，假设向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相 同的。则刚体的其次变换矩阵为：
[0127]旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为:T = e$e。当《=〇时，刚体只有平移 运动，则其其次变换矩阵可写为：
[0129]当《辛0时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：
[0131]其中e30的三角级数展开式可以表示为：
[0133]综上所述，$是单位旋量，则刚体的指数矩阵可以写为：
[0135] 在II ? II辛0时，机械部位的旋转角可表示
在II ? II =0时，平移 的距离可以表示为
[0136] 由于机床是一个开链的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：
[0138] T(0)表示其原始变换矩阵，可将其应用于机床的误差建模。
[0139] 步骤1.2基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立
[0140]以X向的运动部件为例，主要分为三部分;第一部分$xx包含定位误差1,及沿该方 向的滚摆误差exx;第二部分$yx是水平面的线性误差Syx及颠摆误差e yx;第三部分$zx是垂直 面的线性误差Szx及偏摆误差ezx;
[0141] $XX，$yX和$ZX可以被写为：
[0142] $xx=[exx,0,0,8xx,0,0] T (39)
[0143] $yx=[0,eyx,0,0,8yx,0] T (40)
[0144] $zx=[0,0,ezx,0,0,8zx] T (41)
[0145] X轴的空间误差可表示为：
[0147] X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：
[0149] 在本发明中，以一台三轴机床为例，其原理图如图1所示。多体系统理论提供了很 详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中也同样可以进行应用，本发明所选中三轴机 床的拓扑结构图如图4所示，
[0150] 理想状态下，机床是不存在误差的。建模的顺序如下Ai-Yi-Zi。理想状态下的矩 阵变换方程可以用h表示：
[0152]实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差 旋量加入到旋量模块中；用13表示：
[0154] $f= [0,0,0，0,0,0]T 表示地基的旋量。
[0155] 在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴机床的空间 误差模型：
[0156] ￡ = 7;'_7； (46、
[0157] 对应空间误差在三个轴向上的分量Ex，Ey，Ez可表示为：
[0158] [Ex,Ey,Ez,l]T=E ? [0,0,0,1]T (47)
[0159]由于刀具和工件的安装误差非常小，在本发明中不予考虑。所以机床的空间误差 在三个轴向上的分量可以写为：
[0163] 在公式(48)_(50)中，x代表X轴位移;y代表Y轴位移;z代表Z轴位移。步骤二误差 数据测量
[0164] 在本发明中，以一台三轴机床为例，图1为其结构图。三轴机床共有21项误差，其中 包括线性定位误差、直线度误差、角度误差和垂直度误差等，这些误差在被列在表1。为处理 简单垂直误差按照已知常量对待，其数值如表2所示。本发明中的机床是连续和长期做重复 性的加工相同的阶梯形工件。阶梯型工件如图2所示。
[0165] 近年来，出现了很多种测量的方法，包括22线法、15线法、12线法、九线法和矢量对 角线测量方法等。在本文中，九线法被采用来获得误差数据，因为这种方法识别理论与误差 模型无关。机床连续工作6个月，通过API 6D激光干涉仪测量实验数据。每周工作完后刚开 启机床时进行误差数据的采集，这些数据可以被认为是机床的几何误差数据，然后使机床 连续运动，逐渐升温到机床温度恒定，在机床升温过程中间隔恒定时间进行误差数据的采 集，并同时进行对应温度数据的采集，这些误差数据可以被认为是几何误差和热误差的综 合误差，将综合误差值减去几何误差值便可得到机床的热误差值。如图3所示为使用激光干 涉仪进行误差数据的测量，这项研究采集到了 24组数据，每组误差数据都包括18项误差项， 表3为部分测量数据。故可以得到下面数据：由激光干涉仪不同时间测量的机床的24组误差 数据是{Pi(q)，P2(q)，…，P 24(q)}。
[0166] 步骤三误差数据处理
[0167] 3.1粗糙集理论约简准则
[0168] 1982年，波兰学者Z. Pawlak[57 ]提出了粗糙集理论--它是一种刻划不完整性和 不确定性的数学工具，能有效地分析不精确，不一致、不完整等各种不完备的信息，还可以 对数据进行分析和推理，从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。
[0169] 基于粗糙集进行知识发现需要事先建立知识发现的数据对象，称为信息系统。一 个机床误差信息系统可由4元组表示灰=<巩冼F，/>，其中识=忟…，化}是有限样本 集，表示有限个机床加工对象组成的论域，|货j表示样本沢个数;A= {ai，a2，…，a |a| }是一组 用以描述机床加工对象时间影响属性，表现为论域況上的一组二元关系（对完备信息系统 而言，它通常是一组等价关系），IA |表示属性个数；F =^ljFa，用￥3表示属性a的值域；函 数满足f (x，a) GVa。对任意的aGA，其为论域沢中的每一个对象赋予唯一属性 值。
[0170] 在时变引起机床误差的系统中，属性集A可以分为时变条件属性集P (P ={ Pi， P2,…，P|k|})和时变引起的结果属性集Y(Y={Yt})，而且(TUY=A，i?nF = 0)。通过该信息 系统，则可以构造一个机床综合误差系统决策表酽。识/F表示误差属性 Y的所有等价类构成的集合，[r]Y表示包含元素reH的等价类。如果两个元素同属于一个 等价类，则它们之间是不可分辨的。不可分辨关系是粗糙集理论的出发点。
[0171] 在随时间变化空间综合误差系统中，加工对象子集A匕別可以使用时 变引起的条件属性子集K表示，也就是说，一个任意的制造对象的集合，包括一个单一的 类，这个类（即这个子集)可以使用由等价类引起的随时间变化引起的条件属性子集P / = {Pi，…，Pm}来表示。一般而言，集合此不能被精确的表示，集合兜中包含或排除的对象，在 属性集K的基础上没有区别，然而，集合9T可以用包含K内唯一信息的上下子集来接近，即
[0174] 式中，UJI')是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素Fe戶， 这是9T内包含的最大的子集。是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类 的元素，gP，这是9T内包含的最小的子集。
[0175] iU敗j是[ri]r中所有等价类的集合，包含在的制造对象集合中。下近似是 沢/产中一组完整的对象，这是属于集合9T的积极的分类。
[0176] 根据粗糙集理论可知，数据分析的一个重要问题是发现属性之间的依赖性。也就 是说，希望在信息系统中发现，那些时变条件属性集P和时变引起的结果属性集Y是强相关 的。定义:属性集P、Y的依赖度为y (P，Y)，有：
[0178]其中，y (P，Y)，表示根据P能被准确分类的对象在整个系统中的比例，也称为关于 P的分类质量。
[0179] 如果y (P，Y) = 1，称为误差属性集Y完全依赖于时变属性集P，即时变属性集P都是 必须的。如果0< Y (P，Y)<1，称为误差属性集Y部分依赖于时变属性集P，时变属性集P部分 是必须的。
[0180] 决策表，=<风户^^/>的属性重要性可通过从属性集？中去掉一个属性!)￡? 后对W的分类能力的影响来测度。如前所述，Y (P，Y)表示了属性集P和Y之间的依赖性，它也 表示划分货/F关于P的近似精度。因此，对于某个属性P的重要性可以利用Y (P，Y)和^⑶-{P}，Y)之间的变化来评价
[0181] 属性p的重要性定义为：
[0183]如果P，Y已知，可简记为可被解释为去掉属性p后的分类误差。重要 性系数也可对属性集合定义为：
[0185]如果P'为P的一个约简，则〇(P' ) = 1。如果将P的任意子集P'视为P的近似约简，则 可以定义约简近似的误差为
[0187] 简记为hMP')表示属性集K近似属性集P的精确程。如果K为P的一个约简， 贝丨Je(P，）=0〇
[0188] -般来说，可辨识矩阵是求解相对属性约简和属性核的主要方法之一。在信息系 统妒=<风/^1)/，/>中，货={/^-, ?；}，设一个对象全集11按决策属性￥被分成不相交 的类族，gp X =贝1JW中P的区分矩阵M(P) = {nu,山Xn定义为：
[0192] 区分函数A是一个具有|P|个布尔变量的合取-析取函数，其中变量p*与属性p对 应。函数△的极小析取范式中的所有合取式是P的所有Y约简。
[0193] 3.2粗糙集理论约简
[0194] 把所测的24组随时间变化作为条件属性C，即C^PKqhMq)，…，P24(q)}，所测 的机床误差数据作为结果属性D，即D= {Y(q) }，从而建立了一个系统决策表 K =(凡d D)。根据粗糙集理论方法，对决策系统K进行条件属性的化简后将得到最小条 件属性约简。数据约简后，测量周的组合被得到，如表6所示。
[0195] 根据表6可知，通过测量周约简可以得到129种组合，这些误差测量周组合都能比 较完整的表达机床加工误差分布情况。为了更加准确快速的得到最佳的误差测量周的组 合，本文采用灰关联分析对其进行筛选。此时，按照对误差测点的要求，可以限定时间测点 个数，本文中为了简化误差数据数量，得到8种组合：
[0196] {1，2,7，10，11，14，17，19}，{1，8，10，11，13，14，15,22}，{1，6,9，10，11，14，19,22， 24}，{1，8，10，11，14，19,22,24}，{1，10，11，13，14，17，18，19}，{1，4,8，10，11，14，15，19}， {1，10，11，14，18，19,20,24}，{1，10，11，14，17，18，19,24}，{1，9，10，11，14，15，18，19}。其 中组合{1，10，11，14，18，19,20,24}是被选来使用的。
[0197] 3.3实时加工精度计算
[0198] 被选为实例的机床连续很长一段时间进行加工同样的工件。这一工作模式中机床 的精度保持性和影响工件精度因素是最值得关注的问题。为了对这一问题进行研究，每周 都对机床进行误差的测量，每月对工件精度进行抽样检验。根据粗糙集理论，最有效的组合 被选择。在这一节中，我们使用这些组合进行实时加工精度分析。如上述第说，体积误差分 布可以被计算，由体积误差的分布可知，三轴机床的精度一直在下降，刚开始工作时，体积 误差范围在"-22.68m至32.77議"。到第24周体积误差范围在"-83.52m至43.89議"。机床 连续长时间工作而没有维维护，机床精度是天天降低的，对工件的尺寸精度检测也揭示了 这一问题，如图4所示，实际测得的精度保持性越来越低。符号k代表工件的精度。如果k接近 1，意味机床的精度保持性较好，有：
[0200] 式中，dstandard代表要求的尺寸；
[0201] dactuai代表实际加工出来的尺寸。
[0202] 步骤四时变精度保持性的提高
[0203] 前文对时变精度保持性进行了研究。结果表明，由于持续的长时间的重复加工，精 度保持性不能保持不变，机床需要维修和调整，只有这样的机床才可以正常的工作。因此， 如何提高机床的时变精度保持性是厂家和用户面对的难题。在这一部分中，依据约简后的 误差数据组合，基于最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法提出了一种时变加工精度保持性预 测方法。
[0204] 4.1 LS-SVM 方法准则
[0205] Suykens提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法。损失函数的最小二乘线性系 统的基础，其原理是不等式约束变为等式约束，并将这一组方程被视为目标。在本文中，时 变加工精度保持性提高，LS-SVM方法被应用来补偿空间误差。在LS-SVM方法中，时间（t)和 精度保持性(丄。_1)被作为模型的控制因素。
[0206] 改进模型如下：
[0208] 式中，Xi是坐标位置;t代表时间；dstandard是标准尺寸;dim改善后的坐标位置;li是 剩余变量，其中liGR; <})(?)空间映射的核函数：<})(?) :Rn-Rnh; ?是权重向量，《 GRnh; y可调参数;b是偏差值。终止条件设置为I dim-dstandard I <0.05mm。
[0209] 引入拉格朗日函数用在模型求解中：
[0211]式中，ai是拉格朗日乘子。
[0212]根据极值的存在，一系列方程组可以被计算。
[0214] 上式约去《和整理可以得到：
[0216]根据Mercer条件，LS-SVM内核函数K( ( X，t，dstandard )，（ XI，tl，dstandard ))的回归估计 如下：
[0218]其中，a，b可以通过公式(31)计算得到。核函数满足Mercer条件的任意对称函数， 通常采用径向基函数(Radical Basis Function，RBF)。
[021 9]核函数为K(( Xi，ti，dstandard )，（ Xj，tj，dstandard ) ) - 6XP [ - ( ( Xj , t j , dstandard ) - ( Xi , ti , dstandard))2/(202)]，式中，待定参数 〇的值很大，且收敛速度很快。因此，RBF主要受正则化参 数Y和核函数的宽度〇的影响。LS-SVM方法的学习能力和泛化能力主要由这两个参数决定。 但相比选择其它类型的核函数，在样本数据较少、高维或先验知识不足的情况下，因为RBF 核函数参数较少，所以采用RBF核函数的支持向量机模型的适应性更好，总体预测效果更好 些，在实际应用中更多的实例采用RBF核函数。
[0220] 4.1加工精度保持性改进仿真
[0221]前文提供了提高加工精度保持性的方法，本节的主要目是如何预测加工精度保持 性。改进的LS-SVM模型表明，选择RBF函数为核函数，根据经验值取y = 49.8，〇2 = 0.2。机床 的实际精度保持性通过每周测量工件尺寸获得，然后基于第1到第12周实际加工精度保持 性数据预测第13周到第24周的加工精度保持性，图5为实际测得精度保持性与模型预测结 果的差异性，图6为实际测得精度保持性与模型预测结果的残差，如图5所示，通过每周测量 工件的尺寸精度可知，机床的加工精度逐渐降低，精度保持性的值K也逐渐变大，由图6知， 精度保持性K的值通过实际测得工件获得的结果与通过模型预测获得的结果最大差值为 0.021，差值非常小，因此本模型预测准确性比较高，故本发明提出的预测方法在预测机床 加工精度保持性方面很有效，同时对机床误差补偿方面具有重要指导意义。
[0222]表1三轴机床的误差
[0224]表2垂直度误差数值
[0226]表3 24组测量数据中的部分数据
[0227] X向的6项几何误差数据(第一周）
[0228]
[0229] Y向的6项几何误差数据(第一周）
[0231] Z向的6项几何误差数据(第一周）
[0233] X向的6项几何误差数据(第十五周）
[0234]
[0235] Y向的6项几何误差数据(第十五周）
[0236]
[0237] Z向的6项几何误差数据(第十五周）
[0239]表4基于粗糙集理论的误差测点约简组合

【主权项】
1. 一种基于粗糙集理论和最小二乘支持向量机的机床加工精度保持性预测方法，其特 征在于:该方法的实现过程如下， 步骤一依据旋量理论建立机床的空间综合误差模型 根据旋量理论的指数矩阵形式，将机床的每个运动部分抽象为一个6 XI的向量形式； 将运动形式及综合误差模块化处理，并用指数矩阵形式表述，根据机床的拓扑结构建立起 机床的空间综合误差模型； 步骤1.1旋量理论的指数矩阵形式 旋量理论应用到多轴机床综合误差建模；由于其运动性能，该模型能够用来描述每个 轴的运动误差和机床综合误差;垂直度误差的也有旋量模型详细的描述； 然而，双频激光干涉仪测量的误差包括许多误差项，所述误差项包括几何误差、热变形 误差，其中几何误差、热变形误差占总误差的60%;所以，测量得到误差数据可以表示为式 ⑴，即： 8^8g+8t (1) 其中，Sc是几何误差项，ST是热变形误差； 由于制造和安装缺陷，几何误差不可避免地存在于每一个运动轴;在一般情况下，六个 误差分量用来描述一个移动轴的几何误差，因为刚性体具有六个自由度，其中包括三个平 移误差和三个旋转误差;一般的，每个轴向的运动都会有六个方向自由度，同时会产生三个 平动的误差及三个转动的误差利用旋量理论，定义了误差模块m4e，有： IIle$e 一 [￡x，￡y，，Sx，5y，5z] 一个六维向量$也代表所有的误差项，即： $=[〇T VT]T=[ 〇1, 〇2, W3,V1,V2,V3]T (2) 刚体运动一般都包含平动及转动的，假设向量q在刚体坐标系及参考坐标系是相同的； 则刚体的其次变换矩阵为：旋量的指数形式对应的其次变换矩阵可以写为:T = e$e;当《=0时，刚体只有平移运 动，则其其次变换矩阵可写为：当CO辛〇时，对于刚体来讲也存在着旋转运动，此时指数矩阵的可被写成：其中eS&的三角级数展开式表示为：综上所述4是单位旋量，则刚体的指数矩阵可以写为：在II W II辛〇时，机械部位的旋转角表示.在II W II =〇时，平移的距离由于机床是一个开链的机械结构，用指数矩阵表述其结构则有：T(0)表示其原始变换矩阵，将其应用于机床的误差建模； 步骤1.2基于拓扑结构下的三个轴方向误差模型的建立 X向的运动部件主要分为三部分;第一部分$xx包含定位误差Sxx及沿该方向的滚摆误差 exx;第二部分$yx是水平面的线性误差Syx及颠摆误差eyx;第三部分$ zx是垂直面的线性误差 Szx及偏摆误差￡zx; $XX，$yX和$ZX被写为： $XX= [eXx,0,0,8Xx,0,0]T (8) $yx= [〇 , eyx Syx , 0 ] (9) $zx= [0,0, ezx,0,0,8zx]T (10) X轴的空间误差表示为：X轴的误差模型用指数矩阵形式，表示为：在三轴机床中，多体系统理论提供了很详细关于机床的拓扑结构模型，在指数矩阵中 也同样能够进行应用； 理想状态下，机床是不存在误差的；建模的顺序如下;理想状态下的矩阵变 换方程用1\表示：实际情况下，由于机床部件自身的误差和部件之间位置的误差，将整体部件误差旋量 加入到旋量模块中；用Ta表示：$f= [〇,〇,〇，〇,〇,〇]T表示地基的旋量； 在工件坐标系中，根据实际与理想状态下的矩阵变换方程，得到多轴机床的空间误差 模型： E = Ti-、Ta (15) 对应空间误差在三个轴向上的分量Ex，Ey，Ez表示为： [Ex,Ey,Ez,l]T = E ? [0,0,0,1]T (16) 由于刀具和工件的安装误差非常小，在本方法中不予考虑;所以机床的空间误差在三 个轴向上的分量可以写为：在公式(17)-(19)中，x代表X轴位移;y代表Y轴位移;z代表Z轴位移； 步骤二误差数据测量 在三轴机床中，三轴机床共有21项误差，其中包括线性定位误差、直线度误差、角度误 差和垂直度误差等，这些误差在被列在表1;为处理简单垂直误差按照已知常量对待，其数 值如表2所示;本方法中的机床是连续和长期做重复性的加工相同的阶梯形工件； 在本文中，九线法被采用来获得误差数据，因为这种方法识别理论与误差模型无关;机 床连续工作6个月，通过API 6D激光干涉仪测量实验数据;每周工作完后刚开启机床时进行 误差数据的采集，这些数据可以被认为是机床的几何误差数据，然后使机床连续运动，逐渐 升温到机床温度恒定，在机床升温过程中间隔恒定时间进行误差数据的采集，并同时进行 对应温度数据的采集，这些误差数据可以被认为是几何误差和热误差的综合误差，将综合 误差值减去几何误差值便可得到机床的热误差值;使用激光干涉仪进行误差数据的测量， 这项研究采集到了 24组数据，每组误差数据都包括18项误差项，表3为部分测量数据;故可 以得到下面数据：由激光干涉仪不同时间测量的机床的24组误差数据是{PKqhPdq)，…， P24(q)}; 步骤三粗糙集理论约简准则 基于粗糙集进行知识发现需要事先建立知识发现的数据对象，称为信息系统；一个机 床误差信息系统可由4元组表示妒=<:艽為F,/ >，其中沉={^2，…，化丨是有限样本集，表 示有限个机床加工对象组成的论域，|货|表示样本、.丨?个数;A={ai，a2,…，a| A|}是一组用以描 述机床加工对象时间影响属性，表现为论域洱上的一组二元关系(对完备信息系统而言，它 通常是一组等价关系），|A|表示属性个数；F = 用￥3表示属性a的值域；函数 - !R_满足f (x，a) GVa;对任意的aGA，其为论域货中的每一个对象赋予唯一属性 值； 在时变引起机床误差的系统中，属性集A可以分为时变条件属性集P (P ={Pi，P2，…， P|k|})和时变引起的结果属性集Y(Y= {Yt})，而且（f = 4，.#n.F_=0通过该信息系 统，则构造一个机床综合误差系统决策表，況/F.表示误差属性Y的所 有等价类构成的集合，[r]Y表示包含元素 re货的讲等价类;如果两个元素同属于一个等价 类，则它们之间是不可分辨的;不可分辨关系是粗糙集理论的出发点； 在随时间变化空间综合误差系统中，加工对象子集此叫〔二《可以使用时变引 起的条件属性子集P'表示，也就是说，一个任意的制造对象的集合，包括一个单一的类， 这个类（即这个子集）可以使用由等价类引起的随时间变化引起的条件属性子集P'= 沾，…，P m}来表示;一般而言，集合究不能被精确的表示，集合9T中包含或排除的对象，在 属性集P'的基础上没有区别，然而，集合9T可以用包含P'内唯一信息的上下子集来接近， 即式中，是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素，这是 兜内包含的最大的子集；<?丫9〇是一组必须随时间变化引起的条件属性集被分类的元素 笋￡尸，这是究内包含的最小的子集； 是[n]r中所有等价类的集合，包含在的制造对象集合中；下近似是饵/F 中一组完整的对象，这是属于集合9T的积极的分类； 根据粗糙集理论可知，数据分析的一个重要问题是发现属性之间的依赖性;也就是说， 希望在信息系统中发现，那些时变条件属性集P和时变引起的结果属性集Y是强相关的；定 义:属性集P、Y的依赖度为y (P，Y)，有：其中，y (P，Y)，表示根据P能被准确分类的对象在整个系统中的比例，也称为关于P的 分类质量； 如果y (p，y) = i，称为误差属性集Y完全依赖于时变属性集P，即时变属性集P都是必 须的；如果〇< y (P，Y)<1，称为误差属性集Y部分依赖于时变属性集P，时变属性集P部分是 必须的； 决策表r =<贺，P u Y，V，f >的属性重要性可通过从属性集P中去掉一个属性p G P后对w 的分类能力的影响来测度;如上所述，Y (P，Y)表示了属性集P和Y之间的依赖性，它也表示 划分汎/F关于P的近似精度；因此，对于某个属性P的重要性可以利用Y (P，Y)和Y (P_{p}， Y)之间的变化来评价 属性P的重要性定义为：如果P，Y已知，可简记为〇(T,Y)(p);〇(p)可被解释为去掉属性p后的分类误差；重要性系 数也可对属性集合定义为：如果P'为P的一个约简，则Wpz ) = 1 ;如果将P的任意子集P'视为P的近似约简，则可以 定义约简近似的误差为简记为e (P7 )，e (P7 )表示属性集P'近似属性集P的精确程;如果P'为P的一个约简，则e (P7 )=〇； 一般来说，可辨识矩阵是求解相对属性约简和属性核的主要方法之一；在信息系统 F=<m,PuF,F,/ >4，沢= {r15r2，…,以，设一个对象全集沢按决策属性Y被分成不相交的 类族，即X = 9?/ P =沐，x2，…，xj，则W中P的区分矩阵M(P) = {mi, j}nXn定义为：决策表W的区分函数为：区分函数△是一个具有I P I个布尔变量的合取-析取函数，其中变量P*与属性P对应;函 数A的极小析取范式中的所有合取式是P的所有Y约简； 步骤四LS-SVM方法准则 Suykens提出了最小二乘支持向量机(LS-SVM)方法;损失函数的最小二乘线性系统的 基础，其原理是不等式约束变为等式约束，并将这一组方程被视为目标;在本文中，时变加 工精度保持性提高，LS-SVM方法被应用来补偿空间误差;在LS-SVM方法中，时间（t)和精度 保持性(丄。_1)被作为模型的控制因素； 改进模型如下：式中，Xi是坐标位置;t代表时间；dstandard是标准尺寸;dim改善后的坐标位置;li是剩余 变量，其中?)空间映射的核函数：巾（?）：Rn-Rnh;?是权重向量， 调参数;b是偏差值;终止条件设置为| dim-dstandard | <0.05mm ; 引入拉格朗日函数用在模型求解中：式中，C4是拉格朗日乘子； 根据极值的存在，一系列方程组被计算； 根据Mercer条件，LS-SVM内核函数K( ( X，t，dstandard )，（ XI，11，dstandard ))的回归估计如 下：其中，a，b可以通过公式(31)计算得到；核函数满足Mercer条件的任意对称函数，通常 采用径向基函数（Radical Basis Function，RBF);核函数为K( (xi，ti，dstandard)，（xj，tj， dstandard ) ) - exp [ _( ( Xj，tj，dstandard ) _ ( Xi，ti，dstandard )) /(2〇 )]，式中，{寸疋参数〇 的值很大， 且收敛速度很快；因此，RBF主要受正则化参数y和核函数的宽度〇的影响;LS-SVM方法的学 习能力和泛化能力主要由这两个参数决定。 表1三轴机床的误差表2垂直度误差数值表3 24组测量数据中的部分数据
【文档编号】G05B13/04GK106054597SQ201610077390
【公开日】2016年10月26日
【申请日】2016年2月3日 公开号201610077390.1, CN 106054597 A, CN 106054597A, CN 201610077390, CN-A-106054597, CN106054597 A, CN106054597A, CN201610077390, CN201610077390.1
【发明人】程强, 孙丙卫, 李广朋, 李伟硕, 王荔
【申请人】北京工业大学