一种求解高速角接触球轴承数值的方法与流程

本发明涉及高速机床主轴轴承设计技术领域，涉及一种求解高速角接触球轴承数值的方法。

背景技术：

随着现代制造业的发展，需要高速高精度的机床来提高生产效率，降低加工成本，改善表面加工质量。高速机床多采用电动机与主轴融合在一起的电主轴。电主轴是一种直接依赖于高速轴承、电动机、精密数控与精密制造等技术的高度机电一体化的功能单元，由于省去了中间传动环节，其转速一般可达到每分钟几万甚至十几万转。

电主轴内部的核心支承元件主轴轴承，承受较大的径向和轴向载荷，需具有较高的回转精度和较低的温升，尽可能高的径向和轴向刚度，较长的、保持精度的使用寿命。因此，主轴轴承的性能对电主轴的使用功能极为重要。

角接触球轴承可同时承受径向和轴向载荷，且刚度高、高速性能好、结构简单紧凑、摩擦系数小，维护成本低，因而在电主轴中得到广泛应用。由于轴承的受力变形在主轴变形中占到了30-50％。常采用拟静力学分析方法求解角接触球轴承在惯性效应、位移约束、外载荷和速度等边界条件下的大部分力学问题。目前，高速角接触球轴承的拟静力学模型的求解多采用Newton-Raphson方法，此方法存在初值难以确定、求解过程振荡或收敛慢、雅克比矩阵不易直接求解等问题。

技术实现要素：

为了解决上述技术问题，本发明提出了一种求解高速角接触球轴承数值的方法，以解决现有技术中存在Newton-Raphson方法初值难以确定、求解过程振荡或收敛慢、雅克比矩阵不易直接求解的技术问题。

本发明所提出来一种求解高速角接触球轴承数值的方法，其特征在于：

步骤1：根据赫兹接触理论和滚道控制理论建立高速角接触球轴承的拟静力学模型，建立几何变形方程、受力平衡方程、内圈受力平衡方程；

步骤2：在求解所述几何变形方程、所述受力平衡方程时，引入中间变量缩减未知量的数目；

步骤3：在求解所述内圈受力平衡方程时，采用简化法求解雅克比矩阵；

步骤4：在求解所述内圈受力平衡方程时，引入迭代修正因子；采用遗传优化策略和二分法优化所述迭代修正因子。

优选的，在本发明中，对于给定结构参数、材料参数的所述高速角接触球轴承，在零游隙时第j个滚动体初始状态下内外圈沟曲率中心距为：

A＝(fi+fo-1)dw (1)

其中，i表示与内滚道相关的参数，o表示与外滚道相关的参数，dw为所述滚动体直径，f为滚道曲率半径系数；

在联合载荷的作用下，采用所述外滚道控制，所述高速角接触球轴承的外沟道曲率中心固定，建立所述高速角接触球轴承的所述静力学模型，第j个所述滚动体的所述几何变形方程为：

其中，X1j为第j个所述滚动体几何中心和所述外滚道沟曲率中心距的水平分量，X2j为第j个所述滚动体几何中心和所述外滚道沟曲率中心中心距的垂直分量，δoj表示所述外滚道和第j个所述滚动体之间的弹性变形量，δij表示所述外滚道与第j个所述滚动体之间的弹性变形量；A为在无负载情况下所述高速角接触球轴承的所述内滚道、所述外滚道的沟曲率中心距，α0为所述滚动体与所述滚道的初始接触角，为任意所述滚动体的角位置，Z表示所述滚动体的总数，ux为内圈的轴向位移，uy为所述内圈的径向位移，θ为所述内圈的角位移，Ri为所述内圈的沟曲率中心轨迹半径，

设滚动体与内、外滚道之间的摩擦系数相同，则根据所述滚动体的平衡条件，建立无滚道控制假设下所述滚动体的所述受力平衡方程为：

其中，Qij为第j个所述滚动体与所述内滚道之间的接触载荷，Qoj为第j个所述滚动体与所述外滚道之间的接触载荷，αij、αoj分别为所述滚动体与所述内滚道、所述外滚道的接触角；Fcj为第j个所述滚动体的离心力，Mgj表示第j个所述滚动体的陀螺力矩，Tij为第j个所述滚动体与所述内滚道之间的摩擦力，Toj为第j个所述滚动体与所述外滚道之间的摩擦力；

其中，

Mgj＝Jωbωcsinβj (5)

在式(4)、式(5)中，m为所述滚动体的质量，dm为所述高速角接触球轴承节圆直径，ω为所述内圈的角速度，n为所述内圈的转速，J为所述滚动体的极惯性矩，β为所述滚动体的姿态角；

其中，

所述滚动体和所述滚道的接触变形方程为：

其中，Kij、Koj为所述滚动体与所述内滚道、所述外滚道之间的接触变形系数；

所述内圈的受力平衡方程为：

其中，Fa为所述高速角接触球轴承承受的轴向力，Fr为所述高速角接触球轴承承受的径向力，ri为所述内圈沟道曲率半径。

优选的，在本发明中，对于给定所述结构参数、所述材料参数的所述高速角接触球轴承，求解所述高速角接触球轴承的所述拟静力学模型，需求解方程数量为4j+3个，其中待求未知量分别为X1j、X2j、δoj、δij、ux、uy、θ。

优选的，在本发明中，具有以下步骤：

步骤21：采用分步求解，求解非线性方程组(2)、式(3)，需求解4j个方程，给定所述待求未知量ux、uy、θ的初值，以获得所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij；

步骤22：引入中间变量θ1j、θ2j来表示所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij，则几何关系如下：

X1j＝(A/2+δoj)sinαoj (10)

X2j＝(A/2+δoj)cosαoj (11)

其中：

此时，求解方程的数目减少至2j个；

步骤23：设x＝[θ1j,θ2j]，所述非线性方程组(3)则为f(x)，设定x的初值，对所述非线性方程组(3)中的所述中间变量θ1j、θ2j分别求偏导得f′(x)，采用牛顿-拉夫逊迭代法求解所述非线性方程组(3)，即求

采用迭代求解直至达到预设收敛精度，获得所述中间变量θ1j、θ2j值，进而求解所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij的值。

优选的，在本发明中，将求解得到所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij的值作为已知量，设y＝[ux,uy,θ]，非线性方程组(7)则为f(y)，设定y的初值，对所述非线性方程组(3)中的所述待求未知量ux、uy、θ分别求偏导f′(y)，即求解非线性方程组(7)的雅克比矩阵。

优选的，在本发明中，在对所述雅克比矩阵简化求解过程中，具有以下步骤：

步骤31：令

步骤32：将求解雅克比矩阵转化为求和

步骤33：直接求导得

步骤34：通过矩阵变换得到

式中：

优选的，在本发明中，在所述步骤4中，

步骤41：求解非线性方程组(7)时，待求未知量ux、uy、θ相应的初值不易确定，且在求解过程中易出现震荡现象，在式(12)中引入迭代修正因子λ，以f′(xn+x)/2(x-xn)代替f′(xn)导出：

式中，λ∈(0，1]；

步骤42：在迭代求解所述非线性方程组(7)的过程中，当不出现振荡时，则λ＝1；当出现振荡时，调整所述迭代修正因子λ直至所述非线性方程组(7)迭代收敛且达到预设迭代精度，求得所述待求未知量ux、uy、θ的值。

优选的，在本发明中，在所述步骤41中，优化所述迭代修正因子λ，采用遗传优化策略和二分法计算所述迭代修正因子λ的全局极小值λ′；

建立目标函数minF(λ)，把求解所述非线性方程组(7)的迭代收敛的次数赋予F(λ)，寻找一个λ′使得F(λ′)≤F(λ)，F(λ′)就是函数在D域的最小值。

优选的，在本发明中，还具有以下步骤：

步骤43：将所述待求未知量ux、uy、θ的值作为已知量，循环重复所述步骤2至所述步骤4，直至所述非线性方程组(2)、(3)和(7)迭代收敛且达到预设精度。

本发明有益技术效果：

1、本发明所提出的方法通过设置中间变量、迭代修正因子，简化雅克比矩阵，以应用于联合载荷下高速角接触球轴承的拟静力学模型的数值求解中，具有准确性高、可靠性强、计算简便、速度快等优点，是一种切实有效的角接触球轴承力学模型的数值求解方法。

2、本具有哦良好的可拓展性，可运用至其它角接触球轴承的数值计算中。

附图说明

图1为本发明一实施例中滚动体几何中心和内、外滚道沟曲率半径中心变化几何关系图；

图2为本发明一实施例中的滚动体受力图；

图3为本发明一实施例中采用的求解高速角接触球轴承数值的方法流程图；

图4为本发明一实施例中迭代修正因子优化的算法流程图。

具体实施方式

下面具体结合附图，对本发明的技术方案进行详细说明。

图1为本发明滚动体几何中心和内、外滚道沟曲率半径中心变化几何关系图，以图1详细表述各部件、符号的表示关系。

图2为本发明一实施例中的滚动体受力图；用于详细表述非线性方程组(3)中各符号的表示关系。

图3为本发明所提出的求解高速角接触球轴承数值的方法流程图。

本发明所提出来一种求解高速角接触球轴承数值的方法，其特征在于：

步骤1：根据赫兹接触理论和滚道控制理论建立高速角接触球轴承的拟静力学模型，建立几何变形方程、受力平衡方程、内圈受力平衡方程；

优选的，在本发明中，对于给定结构参数、材料参数的所述高速角接触球轴承，在零游隙时第j个滚动体初始状态下内外圈沟曲率中心距为：

A＝(fi+fo-1)dw (1)

其中，i表示与内滚道相关的参数，o表示与外滚道相关的参数，dw为所述滚动体直径，f为滚道曲率半径系数；

在联合载荷的作用下，采用所述外滚道控制，所述高速角接触球轴承的外沟道曲率中心固定，建立所述高速角接触球轴承的所述静力学模型，第j个所述滚动体的所述几何变形方程为：

其中，X1j为第j个所述滚动体几何中心和所述外滚道沟曲率中心距的水平分量，X2j为第j个所述滚动体几何中心和所述外滚道沟曲率中心中心距的垂直分量，δoj表示所述外滚道和第j个所述滚动体之间的弹性变形量，δij表示所述外滚道与第j个所述滚动体之间的弹性变形量；A为在无负载情况下所述高速角接触球轴承的所述内滚道、所述外滚道的沟曲率中心距，α0为所述滚动体与所述滚道的初始接触角，为任意所述滚动体的角位置，Z表示所述滚动体的总数，ux为内圈的轴向位移，uy为所述内圈的径向位移，θ为所述内圈的角位移，Ri为所述内圈的沟曲率中心轨迹半径，

设滚动体与内、外滚道之间的摩擦系数相同，则根据所述滚动体的平衡条件，建立无滚道控制假设下所述滚动体的所述受力平衡方程为：

其中，Qij为第j个所述滚动体与所述内滚道之间的接触载荷，Qoj为第j个所述滚动体与所述外滚道之间的接触载荷，αij、αoj分别为所述滚动体与所述内滚道、所述外滚道的接触角；Fcj为第j个所述滚动体的离心力，Mgj表示第j个所述滚动体的陀螺力矩，Tij为第j个所述滚动体与所述内滚道之间的摩擦力，Toj为第j个所述滚动体与所述外滚道之间的摩擦力；

其中，

Mgj＝Jωbωcsinβj (5)

在式(4)、式(5)中，m为所述滚动体的质量，dm为所述高速角接触球轴承节圆直径，ω为所述内圈的角速度，n为所述内圈的转速，J为所述滚动体的极惯性矩，β为所述滚动体的姿态角；

其中，

所述滚动体和所述滚道的接触变形方程为：

其中，Kij、Koj为所述滚动体与所述内滚道、所述外滚道之间的接触变形系数；

所述内圈的受力平衡方程为：

其中，Fa为所述高速角接触球轴承承受的轴向力，Fr为所述高速角接触球轴承承受的径向力，ri为所述内圈沟道曲率半径。

步骤2：在求解所述几何变形方程、所述受力平衡方程时，引入中间变量缩减未知量的数目。

优选的，在本发明中，对于给定所述结构参数、所述材料参数的所述高速角接触球轴承，求解所述高速角接触球轴承的所述拟静力学模型，需求解方程数量为4j+3个，其中待求未知量分别为X1j、X2j、δoj、δij、ux、uy、θ。

优选的，在本发明中，具有以下步骤：

步骤21：采用分步求解，求解非线性方程组(2)、式(3)，需求解4j个方程，给定所述待求未知量ux、uy、θ的初值，以获得所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij；

步骤22：引入中间变量θ1j、θ2j来表示所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij，则几何关系如下：

X1j＝(A/2+δoj)sinαoj (10)

X2j＝(A/2+δoj)cosαoj (11)

其中：

此时，求解方程的数目减少至2j个；

步骤23：设x＝[θ1j,θ2j]，所述非线性方程组(3)则为f(x)，设定x的初值，对所述非线性方程组(3)中的所述中间变量θ1j、θ2j分别求偏导得f′(x)，采用牛顿-拉夫逊迭代法求解所述非线性方程组(3)，即求

采用迭代求解直至达到预设收敛精度，获得所述中间变量θ1j、θ2j值，进而求解所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij的值。

步骤3：在求解所述内圈受力平衡方程时，采用简化法求解雅克比矩阵。

优选的，在本发明中，将求解得到所述待求未知量X1j、X2j、δoj、δij的值作为已知量，设y＝[ux,uy,θ]，非线性方程组(7)则为f(y)，设定y的初值，对所述非线性方程组(3)中的所述待求未知量ux、uy、θ分别求偏导f′(y)，即求解非线性方程组(7)的雅克比矩阵。

优选的，在本发明中，在对所述雅克比矩阵简化求解过程中，具有以下步骤：

步骤31：令

步骤32：将求解雅克比矩阵转化为求和

步骤33：直接求导得

步骤34：通过矩阵变换得到

式中：

步骤4：在求解所述内圈受力平衡方程时，引入迭代修正因子；采用遗传优化策略和二分法优化所述迭代修正因子。

优选的，在本发明中，在所述步骤4中，

步骤41：求解非线性方程组(7)时，待求未知量ux、uy、θ相应的初值不易确定，且在求解过程中易出现震荡现象，在式(12)中引入迭代修正因子λ，以f′(xn+x)/2/(x-xn)代替f′(xn)导出：

式中，λ∈(0，1]；

步骤42：在迭代求解所述非线性方程组(7)的过程中，当不出现振荡时，则λ＝1；当出现振荡时，调整所述迭代修正因子λ直至所述非线性方程式(7)迭代收敛且达到预设精度，求得所述待求未知量ux、uy、θ的值。

优选的，在本发明中，在所述步骤41中，优化所述迭代修正因子λ，采用遗传优化策略和二分法计算所述迭代修正因子λ的全局极小值λ′；

建立目标函数minF(λ)，把求解所述非线性方程组(7)的迭代收敛的次数赋予F(λ)，寻找一个λ′使得F(λ′)≤F(λ)，F(λ′)就是函数在D域的最小值。

优选的，在本发明中，还具有以下步骤：

步骤43：将所述待求未知量ux、uy、θ的值作为已知量，循环重复所述步骤2至所述步骤4，直至所述非线性方程组(2)、(3)和(7)迭代收敛且达到预设精度。

一具体实施例

选取7008C型角接触球轴承为算例，其结构参数和材料参数如下：

dw＝7.5mm、dm＝53.6mm、fi＝fo＝0.52、αo＝15°、Z＝19、υ＝0.29、ρ'＝7810kg/m³、E＝205GPa

高速角接触球轴承的工况条件由人为设定：轴向力为1000N、径向力为500N，转速n为30000rpm。

其次，利用引入中间变量的方法求解方程组(2)和(3)。

给定所述待求未知量ux、uy、θ的初值，由于同时求解的方程数目较多，用Newton-Raphson迭代法进行数值求解未知量的初值不易确定且不易收敛。

用中间变量θ1j、θ2j来表示待求未知量X1j、X2j、δoj、δij，用Newton-Raphson迭代法求解方程组(3)，获得θ1j、θ2j的值，从而求解得到待求未知量X1j、X2j、δoj、δij的值。引入中间变量前后求解结果对比如下表1所示，对比结果表明：待求未知量的数目为4时，初值难以确定且不易收敛；当待求未知量数目减小到2个时，初值的选取对迭代次数的影响较小，且收敛迭代次数明显减少。

表1

然后，用本发明方法计算得到的待求未知量X1j、X2j、δoj、δij的值，带入非线性方程组(7)。由于Newton-Raphson算法求解方程组时收敛速度较慢，且易出现振荡现象，导致迭代结果不收敛，采用本发明提出的方法和雅克比矩阵的简化求解方法求解此方程组，获得待求未知量ux、uy、θ，此方法降低了非线性方程组的求解难度和雅克比奇异矩阵的发生概率，抑制了迭代过程中的振荡，加快了收敛速度；循环上述两个步骤，直至非线性方程组(7)收敛。从而获得所述高速角接触球轴承高速时的接触载荷、接触角、离心力以及轴承内圈的位移等相关参数以及迭代修正因子λ的值。

最后，优化迭代修正因子λ。

迭代修正因子λ的值不是非线性方程组(7)迭代收敛的唯一值，为了进一步提高收敛速率，需要对迭代修正因子λ的值进行优化。采用二分法来优化迭代修正因子λ的值，对不同迭代修正因子λ下的迭代次数进行最小值比较，使方程组(7)的解收敛速度最快，获得最优的迭代修正因子λ的值。由于目标函数只存在一个全局极小值，图4表示优化算法的具体求解过程，得到迭代修正因子λ的最优值，进一步加快了角接触球轴承的拟静力学模型数值求解速度。迭代修正因子λ，优化前后求解结果对比如下表所示，对比结果表明：迭代修正因子λ的最优值不受初值的影响，优化后的迭代次数显著减少，角接触球轴承非线性方程组的求解速率进一步加快。

表2

以上实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明的保护范围之内。