专利名称：一种基于稳定子码的量子低密度奇偶校验码的构造方法
技术领域：
本发明涉及量子低密度奇偶校验码的构造方法，研究内容属于通信信号处理领域。
背景技术：
量子通信和量子计算理论为信息技术的发展提供一个全新方向。为了可靠地实现量子信 息的传输和处理，量子态经过一定的时空距离后必须保持不变，或者发生的错误能够正确恢 复。但是，由于量子系统不可避免地与外界环境进行相互作用，这种作用引起量子态与环境 态纠缠，从而破坏了量子态信息。不仅如此，当执行量子计算时，很难保证量子计算的每一 步都不产生错误和误差。在经过多步计算后，极小的不精确性将被放大而导致计算失败，使 得量子算法难以实施。借鉴经典纠错方法，量子纠错编码(quantum error correcting codes) 技术成为克服这一困难的有效手段。
受到经典纠错编码技术的启发，Shor在1994年提出了一种用9量子位编1量子比特纠 1量子比特的重复码。尽管这种编码方案简单、效率不高，但是Shor的方法促进了量子纠 错编码理论的产生与发展。通过借鉴经典纠错编码理论，人们提出了一系列量子纠错编码方 案，并且逐渐形成了量子纠错编码的理论体系，如稳定子码。从原理上讲，量子纠错编码是 结合了量子力学原理的经典纠错编码在希尔伯特(Hilbert)空间上的扩展。仿照经典纠错 编码技术，获得与此相应的量子纠错编码技术是研究量子纠错编码技术的常用方法。
经典低密度奇偶校验码(low density parity check, LDPC)是一类可以用稀疏矩阵或 二分图定义的线性分组纠错码,它的优异性能已引起学术界和产业界的高度重视。业己证明， 经典低密度奇偶校验码具有逼近香农(Shannon)限的性能，将经典低密度奇偶校验码的设 计思路推广到量子信息领域，依据量子稳定子码的原理，获得基于稳定子码的量子低密度奇 偶校验码(quantum low density parity check codes,量子LDPC)是完全可能的。
同时，量子LDPC码与其它量子纠错码相比，具有以下特性(l)它的经典对应码是目前 最好的纠错码，依赖于稀疏图特性；(2)量子LDPC码使得与量子纠错过程相互作用的量子位 数保持最少，每个量子比特只与有限量子位作用；(3)长和码率选择具有巨大的灵活性。因 此，量子LDPC码构造方法的获取具有重要的理论和应用价值。
发明内容
技术问题本发明的目的在于提供一种基于稳定子码的量子低密度奇偶校验码的构造 方法，通过数值分析，验证此方法的有效性，并分析由这种构造方法获得的量子LDPC码的 性能。由于量子LDPC码的校验矩阵是稀疏的，只有少量量子比特参与Pauli运算，因此可 有效地降低符号错误的传播，有望成为量子计算统一的纠错手段。技术方案量子稳定子码理论设S为"量子位Pauli算子群G,,的一个阿贝尔(Abel) 子群。由于S中的元素相互对易，它们在"量子位的Hilbert空间可同时对角化。设S中所 有元素本征值为+1的共同本征空间为Hs，则当l^〉c/Z时，对于任意的M(MES)，存在 M|^〉 = |y〉。则Hs所对应的量子码为稳定子码(Stabilizer code),子群S称为稳定子码 的稳定子，M为S的生成元。稳定子码C(S)能够用公式表示为
稳定子码也可看作是GF(4)域中基于GF4 = {0,1, ,ct}的码字，其中 l + ^y + 2=l + 6) + CT = 0。它与Pauli算子I,X，Z,Y之间存在着如下的映射关系 /o0,%O6J，Zec7，;r<^l 。此外，根据迹运算^0)=义+ ; = 1 + 12，可以计算出 如果&(^)为0，则与Pauli算子关联的a,b对易；如果&("&为1，则他们反对易。从而得到 基于GF/内积的定义为
当稳定子码的生成元被表示为一个G仄"的行向量时，所有的生成元将构成 一个矩阵M，常称为稳定子码的奇偶校验矩阵。定义稳定子码的第z'个生成元以及M矩阵 第/行的向量，都由M,所给出。应用(2)定义的内积，这些行将是正交的。因此对于任意 基于GF (4)的行正交的(n-A:)x"矩阵，都定义着一个"量子位的稳定子码。
根据以上对稳定子码的介绍及其相关性质的论证，我们可以得到基于稳定子码的量子 LDPC码，该码与一般稳定子码的不同之处在于[n,k]稳定子码的校验矩阵G:[(^ IG」为稀 疏矩阵。
基于稳定子码的量子低密度奇偶校验码的构造方法利用已生成的二元伽罗华域GF(2)上 的稀疏校验矩阵来构造四元伽罗华域GF(4)上的稳定子码的校验矩阵，完成基于稳定子码的 量子经典低密度奇偶校验码LDPC的构造；所述的"低密度"是来源于矩阵的稀疏性，即校验 矩阵中只有很少一部分的'T'元素，绝大多数都是"0";其中经典低密度奇偶校验码LDPC 的定义为("，乂'， A)码是长为"的码字，在它的奇偶校验矩阵中，每一行和列中l的个数是固 定的，其中每一列y个l ， 乂2丄每行/t个l， A:>_/;列之间l的重叠数目小于等于l;
具体构造步骤为-
步骤一根据经典低密度奇偶校验码LDPC的定义，在二元伽罗华域GF(2)域上，其中 域元素仅取0和l,构造大小为(W-"xw的稀疏校验矩阵，即n个比特编码k个码字，要求 此校验矩阵存在4环，且相应的两行只包含1个4环，即非零元重叠位的个数为2，根据校 验矩阵的性质，该稀疏校验矩阵必为满秩；
步骤二根据已生成的校验矩阵，构造四元伽罗华域GF(4)上的校验矩阵,其中域元素 取值0,1,W,CT ;主要过程是在已生成的校验矩阵中的"l"元素位置填入四元伽罗华域上的第 一非零元素《 、第二非零元素CT或第三非零元素1;
方法1):在填入第一非零元W，第二非零元素C7或第三非零元素1时，要确保每一 列中的非零元相同，如当第一列首次出现"1"时用W填充，则当其他行第一列也有"1"出现时，
其中，s= nM、6,e跳x…,"则必须填入W，而不能是CT或1;
方法2):若某两行不存在非零元的重叠位，则该两行中的非零元可以任意填写；若某 两行中包含1个非零元重叠，则该重叠位填入相同的非零元，以保证相应的两个稳定子生成 元对易；若某两行包含1个4环，则在该4环的对角位上填入相同的非零元，而同一条边上 的"l"应选择为不同的非零元；最后，检验所有的行向量是否相互独立且对易；
步骤三将[n，k]码的校验矩阵利用高斯消去法转化为标准形，可以得到编码后的相位翻
0001 乂〖0/]，和编码后的比特翻转？算子
;
转Z算子G，=
步骤四根据n-k个稳定子码生成元和编码后的Z, ^算子，代入稳定子码公式，
、"1
<formula>formula see original document page 5</formula>
将可得到每一个编码后的量子态状态lq…q、又称为逻辑态的表达形式，所有逻辑
态将张成量子码空间，因此常将逻辑态称为量子码，即通过上述步骤可得到量子码字；其中，
vw;是量子校验矩阵的每一行矢量，M为稳定子码生成元，7"是逻辑态第/位上的比特翻转
算子(Z=l，...，Ar) ,S是稳定子。
有益效果本发明通过经典LDPC码的稀疏的校验矩阵的构造方法，获得了一种基于 GF(4)域的稳定子码的校验矩阵的构造。同时，为了提高译码的性能，也提出一种改进的构 造稳定子码校验矩阵的构造方法。经数值仿真证明，这两种方法简单有效，且改进的构造方 法性能更好。这为量子LDPC码提供一种构造方法，同时也为量子计算和量子通信中发生错 误能够正确恢复提供了有效方法。
图1是第一种构造方法，(16，4)和(20，5)量子码误帧率性能。
图2是改进算法与第一种方法的性能比较，(16，4)量子码的误帧率性能。
具体实施例方式
步骤一根据经典LDPC码的构造方法，在GF(2)上构造大小为(w-A)x"的稀疏校验 矩阵。要求该校验矩阵存在4环，且相应的两行只包含1个4环，即非零元重叠位的个数为 2。依据校验矩阵的性质，该稀疏校验矩阵必为满秩。
步骤二根据构造出的稀疏校验矩阵，构造GF(4)上的校验矩阵。具体方法为在该校 验矩阵中为"1"的地方填入W, CT或1。注意，在填入非零元《， CT或1时，要确保每一列 中的非零元相同，即当第一列首次出现"l"时用《填充，则当其他行第一列也有"l"出现时， 则必须填入W,而不能是OT或1。
步骤三将["，Jt]码的校验矩阵转化为标准型，得到编码后的歹算子<formula>formula see original document page 5</formula>和编码后的歹算子<formula>formula see original document page 5</formula>
考虑[n，k]稳定子码的校验矩阵G-[G,IG」。该矩阵行对换对应于重新标记生成元，
该矩阵两边相应列的对换对应于重新标记量子比特，将两行相加对应于乘以生成元；因此，
存在具有不同生成元集合的一个等价码和矩阵G相对应。G矩阵是n-k行，首先对G,应用Gauss消去法，且在必要是对换量子比特，可得到:
<formula>formula see original document page 6</formula> (3)
其中r是G,的秩。下一步，对她行Gauss消去法，必要时对换量子比特以得到:
<formula>formula see original document page 6</formula> (4)
最后s个生成元不能与最前r个生成元对易，除非￡>2 = 0 ,因此，我们可以假定s = 0 。进而， 通过对行取适当的线性组合，我们也可使C,-0。所以，稳定子码的校验矩阵将具有如下
形式
<formula>formula see original document page 6</formula>
其中，我们已经重新标记￡2为￡, D,为Z)。不难看出，这种方法不是唯一的；但是，我 们说，具有上式形式的校验矩阵处于标准型。给定量子码的标准型后，很容易为这个码定义 得到相应的淳子。设A个编码后的遵子，我们写出校验矩阵为
G = |F 3 |F4F5F6] (6) 其中所有矩阵均具有A个行，而各自的列维数分别为/ -A"-A, r和A，我们选
取这些矩阵使得G, =
。这些编码后的Z算子与稳定子生成元的对易性是由方 程/x(乂)+ 4 =0导出的。采用类似的方法，我们可选择具有Ax2"校验矩阵
为编码后％算子。X算子将具有如下性质相互独立且与所有生成元相独立， 相互对易并与所有稳定子生成元对易；并且，^;与除2;以外的所有《对易，而与Zj反 对易。
步骤四根据/2-A个稳定子生成元和编码后的歹，7算子，编码得到量子码字。 注意，在步骤二中填入非零元CT或1时，确保每一列中的非零元相同，该做法是 为了确保用该构造方法构造的w-A个稳定子生成元是独立的，并且它们相互对易。但是，
这样做虽然可以保证所有的稳定子生成元相互对易，但对译码性能将产生不利的影响。例如，
当16位量子码字的第一位发生比特翻转错误时，所得到的量子码字与12个稳定子生成元均 对易，即差错图样五。与12个稳定子生成元均对易。因此，这类错误将无法得到纠正，从
而影响量子码的译码性能。为了克服此类缺陷，在构造稀疏校验矩阵时应尽量避免每列只包含同一类的非零元。在原构造方法基础上，现进一步提出改进算法。 具体改进算法如下
步骤一根据经典LDPC码的构造方法在GF(2)上构造大小为(w-A:)x"的稀疏校验矩 阵，要求该校验矩阵存在4环，且相应的两行只包含1个4环，即非零元重叠位的个数为2。 根据校验矩阵的性质，该稀疏校验矩阵必为满秩。
步骤二根据构造出的稀疏校验矩阵，构造GF(4)上的校验矩阵，具体方法为在该校 验矩阵中为"1"的地方填入fy， gt或1。
若某两行不存在非零元的重叠位，则该两行中的非零元可以任意填写； 若某两行中包含1个非零元重叠，则该重叠位填入相同的非零元，以保证相应的两个稳 定子生成元对易；
若某两行包含1个4环，则在该4环的对角位上填入相同的非零元，而同一条边上的 "1"应选择为不同的非零元
最后，检验所有的行向量是否相互独立且对易。
步骤三:将[n, k]码的校验矩阵转化为标准型,得到编码后的Z算子Gz =
， 和编码后的J算子
。
步骤四根据n-k个稳定子生成元和编码后的歹，亍算子，编码得到量子码字。 这样，采用步骤二中的方法填入非零元ct或1，避免了一列中出现完全相同的非
零元的情况。
为了直观显示基于稳定子码的量子LDPC码的构造过程，现以(16， 4)量子码为例加以 说明，该码可以编4个量子比特，稳定子生成元个数为16-4=12。
步骤一根据经典LDPC码的构造方法，在GF(2)域上构造大小为12xl6的稀疏校验矩 阵，要求此校验矩阵存在4环，且相应的两行只包含1个4环，即非零元重叠位的个数为2。
1100100000000000
0110110000000000
1101001000000000
0011001100000000
0010010110000000
0000000011000000
0000010011100000
0001000100110000
0000000001111000
1000001000001100
0000000000011110
0000100000001111
步骤二根据构造出的稀疏校验矩阵，构造GF(4)上的稳定子码的校验矩阵。具体方法 为在原校验矩阵为"1"的地方填入w, ct或1。1000
010
10flj00
00ST<y00
00CT00
000000
00000C7
00000
000000
ST00000
000000
00000
得到12个稳定子生成元:
/
z/z
z//
//z//
//z//z
/////
/////z
/////
//////
了////
/了///
//%/
因此得到稳定子码的校验矩阵G:
110000
011001
110000
001000
001001
000000
000001
000000
000000
100000
000000
000000
得到稳定子码的校验矩阵G:
0000000000
0000000000
000000000
STl00000000
01 0000000
00nr000000
00必C7100000
0l001C70000
0001GTa 000
00000a;l00
00000cr必lHT0
00000001C7
/////////
了/////////
/////////
////////
////////
/了z//////
/z/////
//////
///zz///
z//////
了////z/
77zz
0000 0000 00
0000 0000 00
i000 0000 00
ii00 0000 00
0i00 0000 00
0001 0000 00
0001 1000 00
0i00 1100 00
0001 1100 00
1000 0001 00
0000 0101 10
0000 0001 110100100000000000
0100100000000000
0101000000000000
0001000100000000
0000000110000000
0000000010000000
0000000010100000
0001000100100000
0000000000101000
0000000000001100
0000000000001100
0000100000000100
步骤三将稳定子码校验矩阵转化为标准形，得到编码后的乏算和7算子。 将稳定子码的校验矩阵转化为标准形
10000000000000000000000000000011
01000000000000000000000000001011
00100000000000000010000000000111
00010000000000000000000000000010
00001000000000000000100000010011
00000100000000000000010000000001
00000010000000000000000000100011
00000001000000000000000100111011
00000000000000000000000010000000
00000000000000000000000001000000
00000000000000000000000000101101
00000000000000000000000000010101
由此可以得到
0000—_001r
00001011
00000111—0000
0 00 00 00 0c=0 00 11 10 0=0 10 10 00 1
000000010101
00001110
00000011—
于是得到编码后的z算子和X算子
z,=丽/丽/z/// z2 = /蕭/層/z// 耳=皿颜層z/耳=瓜層層瓜
通过标准型变换后，稳定子校验矩阵转化为///////////z
///////////z/zz
////////////zz
/////////////z/
//////////z//zz
/////////////z
/////////z///zz
/////////zzz/zz
////////z///////
/////////z//////
//////////z/zz/z
//////////z/z
步骤四根据12个稳定子生成元和编码后的Z， X算子，根据稳定子码的编码公式
<formula>formula see original document page 10</formula>
便可得到稳定子码的全部码字。
结果分析数值计算了码率都为1/4的量子LDPC码，分别能编4和5个量子比特，编 码长度为16和20，错误模型为退极化信道，其中信息在信道传输中比特错误概率为P，即 发生比特翻转错误、相位翻转错误以及比特和相位均发生错误的概率各为P/3。
图1为(16，4)码与(20，5)码误帧率性能，纵坐标为误帧率，横坐标为比特错误的概率。从 图中可以看出，(16,4)码帧率却比(20，5)码稍好，这与之前采用稀疏矩阵编码得到的量子 LDPC码的性能相类似。但是，这里采用的是退极化信道，而不再是高斯信道，这与之前采 用稀疏矩阵编码方法相比，性能明显要差，(20，5)码在比特错误为0.025时，误帧率已超过 10"。
同样通过构造(16， 4)量子码为例加以说明改进的构造方法。根据改进构造方法的步 骤一、二、三、四得到(16,4)码的校验矩阵为
z/if//////////
/z//////////
z//%/////了///
////zz////////
//z///z///////
///////z////^z
///////%/////
///z////z////
//////了//zz///
^/////z////z/
//////////z%/
///z/////z从中可以看出该校验矩阵的每一列均包含不同的非零元，因此可克服釆用初始方法构造 检验矩阵时某些差错无法检测的缺陷。
图2为两种构造算法下(16，4)码的译码性能比较，从图中可以看到改进构造算法获得的 量子码在误帧率性能上比初始方法有了明显的改善。
权利要求
1.一种基于稳定子码的量子低密度奇偶校验码的构造方法，其特征在于该方法利用已生成的二元伽罗华域GF(2)上的稀疏校验矩阵来构造四元伽罗华域GF(4)上的稳定子码的校验矩阵，完成基于稳定子码的量子经典低密度奇偶校验码LDPC的构造；所述的“低密度”是来源于矩阵的稀疏性，即校验矩阵中只有很少一部分的“1”元素，绝大多数都是“0”；其中经典低密度奇偶校验码LDPC的定义为(n，j，k)码是长为n的码字，在它的奇偶校验矩阵中，每一行和列中1的个数是固定的，其中每一列j个1，j≥3，每行k个1，k＞j；列之间1的重叠数目小于等于1；具体构造步骤为步骤一根据经典低密度奇偶校验码LDPC的定义，在二元伽罗华域GF(2)域上，其中域元素仅取0和1，构造大小为(n-k)×n的稀疏校验矩阵，即n个比特编码k个码字，要求此校验矩阵存在4环，且相应的两行只包含1个4环，即非零元重叠位的个数为2，根据校验矩阵的性质，该稀疏校验矩阵必为满秩；步骤二根据已生成的校验矩阵，构造四元伽罗华域GF(4)上的校验矩阵，其中域元素取值0，1，ω， id="icf0001" file="A2008102361650002C1.tif" wi="3" he="2" top= "120" left = "42" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>；主要过程是在已生成的校验矩阵中的“1”元素位置填入四元伽罗华域上的第一非零元素ω、第二非零元素 id="icf0002" file="A2008102361650002C2.tif" wi="3" he="2" top= "127" left = "73" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>或第三非零元素1；方法1)在填入第一非零元ω，第二非零元素 id="icf0003" file="A2008102361650002C3.tif" wi="3" he="2" top= "134" left = "110" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>或第三非零元素1时，要确保每一列中的非零元相同，如当第一列首次出现“1”时用ω填充，则当其他行第一列也有“1”出现时，则必须填入ω，而不能是 id="icf0004" file="A2008102361650002C4.tif" wi="3" he="2" top= "148" left = "66" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>或1；方法2)若某两行不存在非零元的重叠位，则该两行中的非零元可以任意填写；若某两行中包含1个非零元重叠，则该重叠位填入相同的非零元，以保证相应的两个稳定子生成元对易；若某两行包含1个4环，则在该4环的对角位上填入相同的非零元，而同一条边上的“1”应选择为不同的非零元；最后，检验所有的行向量是否相互独立且对易；步骤三将[n，k]码的校验矩阵利用高斯消去法转化为标准形，可以得到编码后的相位翻转<overscore>Z</overscore>算子<maths id="math0001" num="0001" ><math><![CDATA[ <mrow><msub> <mi>G</mi> <mi>z</mi></msub><mo>=</mo><mo>[</mo><mn>000</mn><mo>|</mo><msubsup> <mi>A</mi> <mn>2</mn> <mi>T</mi></msubsup><mn>0</mn><mi>I</mi><mo>]</mo><mo>,</mo> </mrow>]]></math> id="icf0005" file="A2008102361650002C5.tif" wi="31" he="6" top= "188" left = "44" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>和编码后的比特翻转<overscore>X</overscore>算子
；步骤四根据n-k个稳定子码生成元和编码后的<overscore>Z</overscore>，<overscore>X</overscore>算子，代入稳定子码公式，<maths id="math0002" num="0002" ><math><![CDATA[ <mrow><mo>|</mo><msub> <mi>c</mi> <mn>1</mn></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub> <mi>c</mi> <mi>k</mi></msub><msub> <mo>></mo> <mi>L</mi></msub><mo>=</mo><mrow> <mo>(</mo> <munderover><mi>Π</mi><mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn></mrow><mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mi>k</mi></mrow> </munderover> <mrow><mo>(</mo><mi>I</mi><mo>+</mo><msub> <mi>M</mi> <mi>i</mi></msub><mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo></mrow><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mn>1</mn> <msub><mi>c</mi><mn>1</mn> </msub></msubsup><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mi>k</mi> <msub><mi>c</mi><mi>k</mi> </msub></msubsup><mo>|</mo><mn>0</mn><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mn>0</mn><mo>></mo><mo>=</mo><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mn>1</mn> <msub><mi>c</mi><mn>1</mn> </msub></msubsup><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msubsup> <mover><mi>X</mi><mo>‾</mo> </mover> <mi>k</mi> <msub><mi>c</mi><mi>k</mi> </msub></msubsup><mrow> <mo>(</mo> <munder><mi>Σ</mi><mrow> <mi>M</mi> <mo>∈</mo> <mi>S</mi></mrow> </munder> <mi>M</mi> <mo>|</mo> <mn>0</mn> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mo>.</mo> <mn>0</mn> <mo>></mo> <mo>)</mo></mrow> </mrow>]]></math></maths>将可得到每一个编码后的量子态状态|c1…ck＞L又称为逻辑态的表达形式，所有逻辑态将张成量子码空间，因此常将逻辑态称为量子码，即通过上述步骤可得到量子码字；其中，Mi是量子校验矩阵的每一行矢量，M为稳定子码生成元， id="icf0007" file="A2008102361650002C7.tif" wi="5" he="5" top= "234" left = "117" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/>是逻辑态第i位上的比特翻转算子(i＝1，...，k)，S是稳定子。
全文摘要
基于稳定子码的量子低密度奇偶校验码的构造方法利用已生成的二元伽罗华域GF(2)上的稀疏校验矩阵来构造四元伽罗华域GF(4)上的稳定子码的校验矩阵，完成基于稳定子码的量子经典低密度奇偶校验码LDPC的构造；所述的“低密度”是来源于矩阵的稀疏性，即校验矩阵中只有很少一部分的“1”元素，绝大多数都是“0”；其中经典低密度奇偶校验码LDPC的定义为(n，j，k)码是长为n的码字，在它的奇偶校验矩阵中，每一行和列中1的个数是固定的，其中每一列j个1，j≥3，每行k个1，k＞j；列之间1的重叠数目小于等于1；由于量子LDPC码的校验矩阵是稀疏的，只有少量量子比特参与Pauli运算，因此可有效地降低符号错误的传播，有望成为量子计算统一的纠错手段。
文档编号H03M13/11GK101409564SQ20081023616
公开日2009年4月15日 申请日期2008年11月25日 优先权日2008年11月25日
发明者浩 孙, 王超一, 赵生妹, 郑宝玉 申请人:南京邮电大学