一种外壳-填充结构的拓扑优化方法与流程

本发明属于结构优化设计相关领域，更具体地，涉及一种外壳-填充结构的拓扑优化方法。

背景技术：

外壳-填充结构是一种外部为实心外壳，内部为多孔填充的特殊结构，广泛应用于增材制造领域。其中外壳用于保持结构原有的外形，适用于有配合需要的零件或有空气动力学要求的结构，同时还能对内部填充结构进行防护；而内部为多孔填充可减轻结构的重量，并保持一定的力学性能，这种实心外壳结合多孔填充的结构具有较好的抗屈曲性能。

传统外壳-填充结构的设计主要基于经验式的方法，在增材制造工艺规划时，首先生产实心外壳，然后再对实心外壳的内部做多孔填充，但是这种制造工艺无法得到力学性能最优的外壳-填充结构。

近年来迅速发展的多尺度拓扑优化方法可以设计出最优的宏观结构和微观多孔结构，其设计的结构虽然接近外壳-填充结构，但依然存在两个问题：一方面多尺度拓扑优化在宏观上没有考虑外壳，没有将外壳集成到拓扑优化过程中；另一方面多尺度拓扑优化一般采用均匀化方法来进行多孔结构的设计和宏观性能的等效计算，均匀化方法的假设之一是尺度分离，该假设意味着设计的多孔结构在实际载荷位置不能保证一定分布材料，并且当使用多种类型的多孔结构时，多孔结构之间无法保证良好的连接性，使得载荷无法有效传递。

技术实现要素：

针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种外壳-填充结构的拓扑优化方法，其中通过从宏观和介观两个尺度对外壳-填充结构进行拓扑优化设计，并采用超单元技术建立宏观结构和介观结构的联系，相应可方便准确地获得最优的外壳-填充结构。

为实现上述目的，本发明提出了一种外壳-填充结构的拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

s1以结构柔度作为拓扑优化的目标函数，设定外壳厚度，并初始化宏观水平集函数和介观水平集函数；

s2根据当前迭代的介观水平集函数，将介观子结构缩减为超单元；

s3将步骤s2获得的超单元在宏观尺度组装成一个填充结构，然后对宏观水平集函数大于0的宏观结构进行有限元分析，获得当前迭代的宏观位移场；

s4根据步骤s3获得的当前迭代的宏观位移场，计算宏观结构柔度的灵敏度信息和宏观结构约束条件的灵敏度信息，从而更新宏观结构设计变量并获得下一次迭代的宏观水平集函数，进而优化所述填充结构的分布并获得厚度均匀的外壳；

s5根据宏观结构超单元边界节点位移，反算超单元内部节点位移，并计算介观结构柔度的灵敏度信息、介观结构约束条件的灵敏度信息，从而更新介观填充结构设计变量并获得下一次迭代的介观水平集函数，进而优化所述填充结构的拓扑构型；

s6根据下一次迭代的宏观水平集函数和介观水平集函数计算下一次迭代的结构柔度，并判断下一次迭代的结构柔度是否满足收敛条件，若是，则输出最优外壳-填充结构，若否，则根据下一次迭代的宏观水平集函数和介观水平集函数重复步骤s2～s6。

作为进一步优选地，所述步骤s1中结构柔度的表达式为：

式中，d^ma为宏观结构的设计域，φ^ma为宏观水平集函数，φ^me为介观水平集函数，u^ma为宏观位移场，t为矩阵的转置，k^ma(φ^ma,φ^me)为宏观结构中任意一个单元的刚度矩阵，dω^ma为宏观结构域的微分。

作为进一步优选地，所述步骤s2中缩减后超单元的刚度矩阵ki为：

式中，kmm为边界节点的刚度矩阵，kss为内部节点的刚度矩阵，kms为边界节点和内部节点耦合的刚度矩阵，ksm为内部节点与边界节点耦合的刚度矩阵。

作为进一步优选地，所述步骤s3中宏观结构中任意一个单元的刚度矩阵的表达式为：

k^ma(φ^ma,φ^me)＝ks(h(φ^ma)-h(φ^ma-q))+kih(φ^ma-q)(3)

式中，ks为实心子结构的宏观超单元刚度矩阵，q为外壳厚度，h(φ^ma)为宏观水平集函数的heaviside函数形式，h(φ^ma-q)为宏观尺度下填充结构水平集函数的heaviside函数形式。

作为进一步优选地，所述步骤s3中填充结构位于水平集函数大于q的投影区域，外壳位于水平集函数在0～q区间内的投影区域。

作为进一步优选地，所述步骤s4中宏观结构柔度的表达式为：

所述宏观结构约束条件的表达式为：

式中，t^ma为宏观尺度的时间变量，δ(φ^ma)为φ^ma的狄拉克函数，δ(φ^ma-q)为φ^ma-q的狄拉克函数，d^ma是宏观结构的设计域，d^me为介观结构的设计域，h(φ^me)表示介观水平集函数的heaviside函数形式，dω^ma为宏观结构域的微分，dω^me为介观结构域的微分，v^me表示介观子结构单胞的总体积，f^ma表示宏观体积分数，v^ma表示宏观结构设计域的总体积。

作为进一步优选地，所述步骤s5中反算超单元的内部节点位移的公式为：

所述介观结构柔度的表达式为：

所述介观结构约束条件的表达式为：

式中，us为内部节点位移，fs为内部节点载荷向量，um为边界节点位移，t^me为介观尺度的时间变量，m、n为二维空间中分别处理x、y方向上介观子结构的个数，i为x方向上介观子结构的标号，j为y方向上介观子结构的标号，ui,j为编号i，j的介观子结构的位移向量，k⁰表示填充结构基体材料的刚度矩阵，dω^me表示介观结构域的微分，δ(φ^me)为φ^me的狄拉克函数，f^me表示介观体积分数，v^me表示介观结构设计域的总体积。

作为进一步优选地，所述步骤s6中收敛条件为：下一次迭代的结构柔度与当前迭代的结构柔度的差值小于0.001。

作为进一步优选地，所述填充结构中介观子结构的个数优选为2～10000。

总体而言，通过本发明所构思的以上技术方案与现有技术相比，主要具备以下的技术优点：

1.本发明从宏观和介观两个尺度对外壳-填充结构进行拓扑优化设计，采用超单元技术建立了宏观结构和介观结构的联系，介观尺度的多孔填充结构可等效为宏观结构中的一个超单元，通过宏观尺度的优化可以得到最优的填充分布，并自动得到厚度均匀的外壳，同时通过介观尺度的优化可以得到最优的填充多孔结构的拓扑构型，并且在优化过程中两个尺度的优化并行进行，使得计算过程更加快速准确；

2.同时，本发明在优化过程中考虑外壳的影响，将外壳厚度值嵌入优化模型中，并用一个水平集函数的两个水平面实现对外壳-填充结构的描述，从而简化了拓扑优化灵敏度的推导过程；

3.此外，本发明采用子结构方法来等效介观填充结构的刚度属性，由于介观子结构和宏观结构具有尺度关联效应，能保证多种子结构之间的连接性，使得结构性能的计算更加准确。

附图说明

图1是本发明提供的外壳-填充结构的拓扑优化方法的流程图；

图2是本发明构造的外壳-填充结构的二维示意图；

图3是按照本发明优选实施例中构造的外壳-填充结构中外壳的三维示意图；

图4是按照本发明优选实施例中构造的外壳-填充结构中填充结构及其单胞的三维示意图；

图5按照本发明优选实施例中构造的外壳-填充结构整体的三维示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。

如图1所示，本发明提供了一种外壳-填充结构的拓扑优化方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

s1以结构柔度作为拓扑优化的目标函数，设定外壳厚度q，并初始化宏观水平集函数φ^ma和介观水平集函数φ^me，其中结构柔度j(φ^ma,φ^me)的表达式为：

式中，d^ma为宏观结构的设计域，φ^ma为宏观水平集函数，φ^me为介观水平集函数，u^ma为宏观位移场，t为矩阵的转置，k^ma(φ^ma,φ^me)为宏观结构中任意一个单元的刚度矩阵，dω^ma为宏观结构域的微分，dω^me为介观结构域的微分；

更具体地，通过调整q值的大小可以获得不同厚度的外壳，为了保证q值在整个结构上都有均匀的取值，引入重新初始化或距离正则化技术来使水平集函数具有符号距离特性；

s2根据当前迭代的介观水平集函数(初次计算时为初始化的介观水平集函数)，将介观子结构缩减为超单元，缩减后介观结构超单元的刚度矩阵ki为：

式中，kmm为边界节点的刚度矩阵，kss为内部节点的刚度矩阵，kms为边界节点和内部节点耦合的刚度矩阵，ksm为内部节点与边界节点耦合的刚度矩阵；

s3将步骤s2获得的超单元在宏观尺度组装成一个填充结构，然后对宏观水平集函数大于0的宏观结构进行有限元分析，获得当前迭代的宏观位移场，其中宏观结构中任意一个单元的刚度矩阵的表达式为：

k^ma(φ^ma,φ^me)＝ks(h(φ^ma)-h(φ^ma-q))+kih(φ^ma-q)(3)

式中，ks为实心子结构的宏观超单元刚度矩阵，q为外壳厚度，h(φ^ma)为宏观结构水平集函数的heaviside函数形式，h(φ^ma-q)为宏观尺度下填充结构水平集函数的heaviside函数形式；

更具体地，填充结构由介观子结构组成，子结构拓扑构型采用介观水平集函数φ^me隐式地描述，填充结构中介观子结构的个数优选为2～10000，在填充域内可定义单一的子结构，也可定义多种类型的子结构，由于采用子结构法来进行介观等效计算，多种类型的子结构在优化后依然可以保持较好的连接性；

在宏观尺度采用具有符号距离特性的水平集函数进行描述，并定义填充结构位于水平集大于q的投影区域，外壳位于0水平和q水平之间的投影区域，小于0水平的投影区域为空白区域，具体如式(9)所示：

式中，x表示水平集函数的空间坐标向量，t表示时间变量，ωi表示填充域，γi表示外壳和填充的边界，ωs表示外壳域，γs表示外壳和空白区域的边界，ωv表示空白区域；

s4根据步骤s3获得的当前迭代的宏观位移场，计算宏观结构柔度的灵敏度信息和宏观结构约束条件的灵敏度信息，从而更新宏观结构设计变量并获得下一次迭代的宏观水平集函数，进而优化所述填充结构的分布并获得厚度均匀的外壳，其中：

所述宏观结构柔度的表达式为：

所述宏观结构约束条件的表达式为：

式中，t^ma为宏观尺度的时间变量，δ(φ^ma)为φ^ma的狄拉克函数，δ(φ^ma-q)为φ^ma-q的狄拉克函数，d^me为介观结构的设计域，h(φ^me)表示介观结构水平集函数的heaviside函数形式，dω^me为介观结构域的微分，v^me表示介观子结构单胞的总体积，f^ma表示宏观体积分数，v^ma表示宏观结构设计域的总体积；

s5根据宏观结构超单元边界节点位移um，反算超单元内部节点位移us，介观子结构的位移向量ui,j由um和us组成，并且由于子结构之间的无关性，反算时可采用并行计算提高计算速度，然后计算介观结构柔度的灵敏度信息、介观结构约束条件的灵敏度信息，从而更新介观填充结构设计变量并获得下一次迭代的介观水平集函数，进而优化所述填充结构的拓扑构型，其中：

反算超单元内部节点的位移的公式为：

所述介观结构柔度的表达式为：

所述介观结构约束条件的表达式为：

式中，us为内部节点位移，fs为内部节点载荷向量，um为边界节点位移，t^me为介观尺度的时间变量，m、n为二维空间中分别处理x、y方向上介观子结构的个数，i为x方向上介观子结构的标号，j为y方向上介观子结构的标号，ui,j为编号i，j的介观子结构的位移向量，k⁰表示填充结构基体材料的刚度矩阵，dω^me表示介观结构域的微分，δ(φ^me)为φ^me的狄拉克函数，f^me表示介观体积分数，v^me表示介观结构设计域的总体积；

s6根据下一次迭代的宏观水平集函数和介观水平集函数计算下一次迭代的结构柔度，并判断下一次迭代的结构柔度与当前迭代的结构柔度的差值是否小于0.001，若是，则输出最优外壳-填充结构，若否，则根据下一次迭代的宏观水平集函数和介观水平集函数重复步骤s2～s6。

进一步，所述步骤s2中将介观子结构缩减为超单元过程中，一个有限元平衡方程(10)可分开写为式(11)的形式：

ku＝f(10)

式中，k为刚度矩阵，u为位移向量，f为载荷向量，下标“m”表示边界节点，下标“s”表示内部节点；

式(11)的第二行可进一步写为如下形式：

将式(6)带入式(11)的第一行得到式(12)：

式(12)可重写为：

ksubusub＝fsub(13)

式中，ksub、usub和fsub分别表示缩减后的刚度矩阵，位移向量和载荷向量，即：

usub＝um(15)

如图2所示，按照本发明的一个优选实施例，该结构宏观设计域是一个六面体，长宽比为2:1.2，左面四个顶点在xyz方向的自由度全部约束，即自由度上的位移为0，右面的中心处施加一个f＝-1的集中载荷，载荷方向朝下，宏观设计域被划分为20×10×20个八节点六面体单元，宏观体积分数为0.3，外壳厚度q＝1；介观填充单胞的设计域是一个立方体，介观结构设计域被划分为14×14×14个八节点六面体单元，介观体积分数为0.8；

采用本发明提供的方法进行拓扑优化，收敛后得到如图3～5所示的在外壳厚度q＝1的情况下性能最优的外壳-填充结构，图3所示的是水平集函数0＜φ^ma＜1的投影区域，即外壳结构，图4所示的是水平集函数φ^ma＞1的投影区域，即填充结构，局部放大图为单胞的结构示意图。

本发明提供一种外壳-填充结构的拓扑优化方法，是一类系统的设计方法，需同时考虑外壳及其厚度、填充单胞构型、不能宏观载荷及边界条件对宏观外壳及介观填充结构的影响等关键因素，基于仿真、试验和经验的设计方法无法实现或实现成本过高，且无法找到最优设计方案。

本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。