一种新型的非线性PID控制器的制作方法

本发明涉及一种新型的非线性PID控制器，属于自动控制领域。

背景技术：

韩京清先生在1989年的《控制理论：模型论还是控制论》一文中，首次明确的指出了控制理论的两种迥然不同的思考方式：模型论和控制论。以受控对象的数学模型为基础设计合适的控制律是模型论的主要特征，是现代控制理论的基础。以数学模型为基础的现代控制理论自诞生之日起以科学发展史上少有的速度和广度取得了丰硕的研究成果，为控制理论的发展做出了重要贡献。

虽然现代控制理论给出的控制方法在理论上近乎完美，但至今仍未能占据运动控制航天控制及其他过程控制的主导地位，现代控制理论在这些控制领域显得“力不从心”。这是由于基于模型的控制理论和方法总是不可避免“未建模动态”和“鲁棒性”这对孪生问题。没有建模现代控制理论和方法无用武之地，建模又面临“未建模动态”和“鲁棒性”的问题。为解决这对孪生问题，很多学者将神经网络、学习控制和模糊控制等技术融入现代控制理论之中。虽然这些控制技术能够解决现代控制理论的“未建模动态”和“鲁棒性”的问题，但这些控制技术的引入使得控制器的结构和参数过于复杂。另一方面，复杂和高深的数学知识及专业技能的需求使得控制工程师在设计和维护时，尤其是在控制复杂系统时，显得的力不从心和缺乏自信，理论和实际之间的距离越来越大，制约了其健康发展。

两百年来，工业控制技术在现代工业中的各个领域迅速发展，发明创造层出不穷，核心技术不断更新换代。但仍是以瓦特原理为基础的PID控制器占据着工业控制界的统治地位。正所谓“存在即合理”，PID控制器以“顽强的生命力”占据工业控制的统治地位必有其独到之处，即其是标准的无模型控制方法，属于典型的控制论范畴，控制结构简单。然而多年的理论分析和实际应用都表明，PID控制器在处理具有强非线性、时变性和具有周期扰动的系统的控制问题时其控制效果不甚理想，还不能完全适应各种工况的需求。为此，很多学者将各种非线性特征引入PID控制设计中改进和丰富传统的无模型PID控制理论，形成了众多非线性PID控制理论，如模糊PID控制、神经网络PID控制、基于遗传算法PID控制及基于经验式的非线性函数PID控制等。从理论上讲，非线性特性的引入可以为控制过程带来诸多益处，然而，当非线性为控制器设计提供新的自由度的同时，它也通常带来理论与应用研究中的复杂度。同时，PID控制器作为底层控制单元，应用模糊推理、神经网络、遗传算法及传统的经验函数等方法可能并不具备工程实践的优势。

技术实现要素：

本发明为了解决现有的传统PID控制器和现代控制理论的一些问题，提供了一种能够满足任意系统、任意初始误差、任意预设性能的非线性PID控制器和非线性比例反演控制器。

具体技术方案如下：一种新型的非线性PID控制器，包括以下步骤：S1)选择适当正严格单调递减函数(即性能函数)来保证闭环系统跟踪性能满足预设性能的要求；S2)为保证控制器对任意初始误差的有效性，采用了双性能函数设计；S3)选择适当的初等函数并结合性能函数构造出非线性函数以改进传统的PID控制器，形成非线性PID控制器；S4)为保证PID控制器对复杂系统的有效性，进一步拓展了非线性PID控制器的设计，将其与现代控制理论中的反演法结合起来以形成非线性比例反演控制器；S5)引入Nussbaum函数解决系统输入饱和受限及控制增益方向未知等问题；S6)从理论上证明了非线性PID的可行性及非线性比例反演控制器的可行性和稳定性；S7)将所发明的控制器应用于纯数值系统、Duffing-Holmes系统、直升机系统、机器人系统、近空间高超声速飞行器系统以及四旋翼飞行器等系统。

以下为本发明的附属技术方案。

所述步骤S1中，性能函数根据以下公式计算：

ρ(t)＝(ρ₀-ρ_∞)e^-lt+ρ_∞

其中，ρ₀,ρ_∞,l>0为预设定常数,ρ_∞表示预设定的稳态误差上限,l表征ρ(t)的衰减速度为系统跟踪误差的收敛速度下限,ρ₀表示跟踪误差超调量的上限。

所述步骤S2中，采用如下的双性能函数设计使得控制器能够满足系统任意初始误差的要求.

其中，ρ₀′,l′≥0为预设定常数，若参数ρ₀′,l′选择的足够大，则控制器能够满足系统任意初始误差的要求且系统的跟踪性能近似满足预设函数ρ(t)的限制，即-ρ(t)<z(t)<ρ(t)，其中z(t)为系统的跟踪误差即z(t)＝y(t)-y_r(t)，y(t)为系统输出，y_r(t)为系统参考输入信号，双性能函数的设计示意图如图1所示。该控制器对初始误差已知的系统依旧有效，对于初始误差已知，只需取ρ₀′＝0即可，此时的双性能函数变为单性能函数。

所述步骤S3中，采用如下的初等函数构建非线性PID控制器，具体为的初等函数Τ(*)可为：

或

基于该初等函数非线性PID控制器结构图如图2所示，其中f_p(·)、f_I(·)、f_D(·)为非线性函数即选取的初等函数Τ(*)。该非线性PID控制器的计算形式为：

其中下标P,I,D分别对应比例、积分、微分含义，K_P,K_I,K_D分别为比例、积分、微分环节增益系数。

所述步骤S4中，拓展了非线性PID控制器的设计，将其与现代控制理论中的反演法结合起来以形成非线性比例反演控制器，具体计算公式与步骤为：

系统为多输入多输出系统(MIMO)，即m×n阶系统，对于单输入单输出系统(SISO)控制器依据有效，取n＝1即可)；

双性性能函数设计为：

初等函数Τ(*)为：

或

其具体的控制器为：

其中ξ_ij＝z_ij(t)/(ρ_ij(t)ρ′_1j(t))，z₁(t)＝y(t)-y_r(t)，z_i(t)＝x_i-α_(i-1)(x₁,…,x_i,t),i＝2,…,m，K_i＝diag{K_i1,…K_in}>0,i＝1,…,m为设计的比例参数。其具体控制结构图如图3所示。

所述步骤S5中，采用Nussbaum函数解决系统输入饱和受限及控制增益方向未知等问题，其具体计算公式为：

z_m+1＝h(v)-u

z_m+1＝[z_(m+1)1,…,z_(m+1)n]^T,h(v)＝[h₁(v₁),…,h_n(v_n)]^T

N(χ)＝diag{N₁(χ₁),…,N_n(χ_n)},χ＝[χ₁,…,χ_n]^T

γ＝diag{γ₁,…,γ_n},

其中K_m+1＝diag{K_(m+1)1,…,K_(m+1)n}>0,为设计的参数，ν为实际控制输入，u_Mj为输入饱和受限的上界。

非线性PID控制器可行性分析如下：

考虑如下时变系统

η(0)＝η⁰∈Ω_η

其中，Ω_η为定义的非空开集合；并且函数f:满足如下条件：(1)关于变量t分段连续，(2)关于变量η∈Ω_η局部Lipschitz，(3)关于变量η∈Ω_η局部可积。如是对于系统(4)则存在如下引理。

引理1对于系统(4)，则在区间t∈[0,τ_max)上，存在唯一的最大解η:[0,τ_max]→Ω_η使得η(t)∈Ω_η,

定理1考虑集合Ω_η∈(-1,1)，对于满足假设1～2的任一系统，存在唯一的最大解η:[0,τ_max]→Ω_η使得η(t)∈Ω_η,即|η(t)|<1，式(5)所描述的非线性函数始终可实现。

证明：定义对η(t)关于时间t求导可得：

假设y(t)、y_r(t)是关于时间t的连续可微函数，易知ρ(t),ρ′(t)是连续可微的，因此η(t)亦是关于时间t的连续可微的。根据引理1可得：对于满足假设1～2的系统，存在唯一的最大解η:[0,τ_max]→Ω_η使得η(t)∈Ω_η,证毕

根据上述分析可知，对任一系统，必存在η(t)∈(-1,1)使得非线性函数f_i(·)，i＝P,I,D可实现，即所设计的预设性能控制器理论上可实现。且所设计的控制器继承了传统PID控制简单有效的有点，控制器的设计仅依赖系统的I/O数据，且参数K_P、K_I、K_D只要使系统稳定，则其误差必满足预设的动态性能，参数调整更灵活。

非线性比例反演控制可行性及稳定性分析

Step 1.考虑系统(1)的第一个子系统(i＝1)，定义z_1j(t)＝y_j(t)-y_ri(t)，为该子系统选取性能函数且ξ_1j＝z_1j(t)/ρ_1j(t),j＝1,…,n。定义

根据ξ_1j,ξ_2j的定义可得：

其中，是为第二个子系统选取的性能函数，对ξ₁＝[ξ₁₁,…,ξ_1n]^T求导可得：

其中，ρ₁(t)ξ₁＝[ρ₁₁(t)ξ₁₁,…,ρ_1n(t)ξ_1n]^T，ρ₂(t)ξ₂＝[ρ₂₁(t)ξ₂₁,…,ρ_2n(t)ξ_2n]^T，ρ₁′(t)＝diag{1/ρ₁₁(t),…,1/ρ_1n(t)}，

定义

为第一个子系统选取如下Lyapunov函数：

其中ε₁＝[ε₁₁,…ε_1n]^T。从式(17)可知，对|ξ_1j|<1，V₁是严格正定可微的。V₁两边关于时间t求导可得：

其中由于ρ_1j有界，根据连续函数的极值理论易知对|ξ_1j|<1有Λ₁为正定对角矩阵且每个元素均大于零有界，因此存在未知的正常数使得利用中值定理将F₁(y_r(t)+ρ₁(t)ξ₁,α₁(ξ₁)+ρ₂(t)ξ₂)项描述为：

其中为：

其中,λ_1jl∈(0,1),j,l＝1,…,n，令矩阵Π₁为：

可将进一步表示成：

由于ρ_1j,ρ_2j,y_rj,有界以及非线性函数f_1j(·)连续，对|ξ_1j|<δ_1j,j＝1,…,n，根据极值理论可知存在未知的正常数使得：

对|ξ_1j|<δ_1j,j＝1,…,n，有对任意的非零向量ε₁∈Rⁿ，有同时由于Λ₁,K₁为正对角矩阵，易知矩阵也非奇异且对任意的非零向量ε₁∈Rⁿ，也有由于Τ₁∈R^n×n非奇异，则Τ₁可表述为实对称矩阵和反实对称矩阵Τ₁之和，即

其中，易知也非奇异且对任意的非零向量ε₁∈Rⁿ，也有又由于反对称矩阵Τ₁对角线的元素全为零，易得：

定义由于为是实对称矩阵，存在未知的常数使得其中，λ_1min,λ_1max分别为矩阵的最小和最大特征值。若ε₁≠0，有可假设存在一个正常数使得进一步可得：

其中如果ε₁满足||ε₁||>||Λ₁||||Π₁||/σ₁，则因此，闭环系统第一个子系统所有信号一致有界，且存在正常数使得因此，虚拟控制量α₁(x₁,t)也有界。对有|ξ_1j|<1，即|z_1j(t)/ρ_1j(t)|<1。进一步可得对有：

-ρ_j(t)<z_1j(t)<ρ_1j(t),j＝1,…,n

即系统的跟踪误差满足预设的动态和稳态性能需求。为方便下一步设计，对α₁(ξ₁)关于时间t求导可得：

其中，由于|ξ_1j|<δ_1j,j＝1,…,n，可知对必有界。

Step i＝2,…,k-1为第i个子系统选取性能函数且为第i个子系统选取如下Lyapunov函数：

其中ε_i＝[ε_i1,…ε_in]^T。类似Step 1的稳定性分析过程，可得：

如果ε_i满足||ε_i||>||Λ_i||||Π_i||/σ_i，则因此，闭环系统第i个子系统所有信号一致有界。

Step m控制输入u(ν)的出现，选取性能函数且类似Step 1的稳定性分析过程，可得：

如果ε_m满足||ε_m||>||Λ_m||||Π_m||/σ_m，则因此，闭环系统第m个子系统所有信号一致有界，

Step m+1实际控制输入v的出现

为第m+1个子系统选取如下Lyapunov函数：

并对V_(m+1)j关于时间t求导可得：

式中令两边同时乘以并在[0,t]内积分可得:

可知，V_(m+1)j和χ_j有界。进一步可知，V_(m+1),z_m+1,χ有界。

非线性PID控制器用于纯数值系统、Duffing-Holmes系统、直升机系统、机器人系统、近空间高超声速飞行器系统以及四旋翼飞行器等系统。

为验证所发明的非线性PID控制器的有效性、鲁棒性、稳定性及其具有的工程实践价值，将发明的控制器应用于下述几个系统，所采用的控制器“型号”完全相同，即相同的结构和参数。仿真时比例、积分、微分环节增益系数均选为：K_P＝4,K_I＝2.5,系统的参考输入信号均为：y_r(t)＝0.5cos(t)+sin(2t)；跟踪误差超调量的上限均为：ν₀＝1，取两种不同的性能函数进行仿真对比分析，分别选为：ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1和ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1。

数值系统

带参数扰动的Duffing-Holmes系统

其中h(x,u)＝u³+(2+cos(x₂))u+cos(0.1u)表示控制输入呈非仿射，p₁(t)＝0.2sin(10t)，p₂(t)＝0.2+0.2cos(5t)，q(t)＝5+0.1cos(t)，w(t)＝0.5+0.1sin(t)是受扰参数。

单连杆机器人系统

其中,M为负载端惯量,m为负载质量,L为连杆长度,q表示负载端角位移；u为电机驱动力矩,为系统的输入.选取的机器人具体参数为:m＝1,M＝0.5,L＝1,g＝9.8。

受外界扰动的直升机系统

其中k₁＝-1.38,k₂＝-3.33,k₃＝63.09,k₄＝11.65,k₅＝-0.14,Ω＝1200.

高超声速飞行器系统

其中L＝0.5ρv²SC_L,T＝0.5ρv²SC_T,M_yy＝0.5ρv²Sc[C_M(α)+C_M(q)+C_M(δ_e)],r＝h+R_e，C_T＝0.02318,C_L＝0.6203α,C_M(α)＝-0.035α²+0.036617α+5.3261×10^-6,C_M(q)＝(c/2v)q(-6.796α²+0.3015α-0.2289),C_M(δ_e)＝c_e(δ_e-a)。a,q,v分别表示飞行器的迎角、俯仰角速率和速度，T,D,L,M_yy分别推力、阻力、升力和纵向转动力矩，m,I_yy,S,μ,R_e分别表示飞行器的质量、纵向转动惯量，参考气动面积、重力常数和地球半径。

为验证所发明的非线性比例反演控制器具有“天生的”抗扰性和鲁棒自适应，将其直接用于双连杆机器人系统和四旋翼飞行器系统。双连杆机器人系统为

其中，D₁₁＝a₁+2a₃cosq₂+2a₄sinq₂,D₂₂＝a₂,D₁₂＝D₂₁＝a₂+a₃cosq₂+a₄sinq₂，h＝a₃sinq₂-a₄cosq₂,a₃＝m_el₁l_ce cosδ_e，a₄＝m_el₁l_cesinδ_e,m₁＝1,m_e＝2,l₁＝1,l_c1＝0.5,l_ce＝0.6,I₁＝0.12,I_e＝0.25,δ_e＝30°。若令x₁＝[q₁,q₂]^T,u＝[τ₁,τ₂]^T。实验时选取的性能函数为：

四旋翼飞行器具有多变量、非线性、强耦合和干扰敏感的特性，飞行控制系统的设计难度较大，具有一定的代表性。令y₁＝x₁＝[φ,θ,ψ]^T,u＝[τ_φ,τ_θ,τ_ψ]^T，四旋翼飞行器系统为：

其中，绕X,Y,Z轴的转动惯量j_x,j_y,j_z分别为6.23×10^-3Nm·s²/rad,6.23×10^-3Nm·s²/rad和1.12×10^-3Nm·s²/rad，φ,θ,ψ分别表示飞行器的滚转角、俯仰角和偏航角，τ_φ,τ_θ,τ_ψ分别表示飞行器的滚转、俯仰和偏航力矩，是控制输入量，实验时性能函数选取为：

附图说明

图1是本发明实施的双性能函数设计示意图。

图2是本发明实施的非线性PID控制器结构图。

图3是本发明实施的非线性比例反演控制器结构图。

图4是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的纯数值系统实验结果。

图5是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的纯数值系统实验结果。

图6是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的Duffing-Holmes系统实验结果。

图7是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的Duffing-Holmes的系统实验结果。

图8是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的单连杆机器人系统实验结果。

图9是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的单连杆机器人系统实验结果。

图10是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的直升机系统实验结果。

图11是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的直升机系统实验结果。

图12是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.03)e^-t+0.03,ρ′(t)＝1的近空间飞行器系统实验结果。

图13是本发明实施的预设性能为ρ(t)＝(1-0.01)e^-4t+0.01,ρ′(t)＝1的近空间飞行器系统实验结果。

图14是本发明实施的双连杆机器人实验结果(e₁₁＝y_r1-x₁₁)。

图15是本发明实施的双连杆机器人实验结果(e₁₂＝y_r2-x₁₂)。

图16是本发明实施的四旋翼飞行器系统实验结果(e₁₁＝φ_r-φ)。

图17是本发明实施的四旋翼飞行器系统实验结果(e₁₂＝θ_r-θ)。

图18是本发明实施的四旋翼飞行器系统实验结果(e₁₂＝ψ_r-ψ)。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明。

如图1所示，选取双性能函数

并基于C语言或Matlab程序设计语言实现该性能函数。

如图2所示，基于Matlab Simulink或C语言编程实现非线性PID控制器。其中非线性函数满足通过C语言和Matlab程序设计实现该非线性函数，并调用该函数。

如图3所示，基于Matlab Simulink或C语言编程实现非线性比例反演控制器，其中非线性函数足或通过C语言和Matlab程序设计实现该非线性函数并调用该函数。饱和受限处理函数满足：

z_m+1＝h(v)-u

z_m+1＝[z_(m+1)1,…,z_(m+1)n]^T,h(v)＝[h₁(v₁),…,h_n(v_n)]^T

N(χ)＝diag{N₁(χ₁),…,N_n(χ_n)},χ＝[χ₁,…,χ_n]^T

γ＝diag{γ₁,…,γ_n},

通过C语言和Matlab程序设计实现该非线性函数并调用该函数。

基于上述编写的程序对发明的软件实现，再通过C语言或Matlab程序设计对纯数值系统、Duffing-Holmes系统、直升机系统、机器人系统、近空间高超声速飞行器系统以及四旋翼飞行器的软件实现，即可实现最终的试验研究。并将试验数据保存成相关的文件。

基于C语言或Matlab程序设计编写程序读取相关文件中的数据，并编写绘图程序即可获的图4～图18的试验结果。