一种基于级数展开的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法与流程

本发明涉及含连续体结构的拓扑优化设计领域，特别涉及考虑材料弹性模量和载荷的不确定性对结构的刚度的影响以及基于位移的非概率可靠度指标约束下连续体结构的可靠性拓扑优化方案的制定。

背景技术：

结构优化设计集计算力学、数学规划、计算机科学以及其他工程学科于一体，是综合性、实用性很强的理论、方法和技术，是近代设计方法的重要发展。目前，结构优化设计应用的领域涉及航空、航天、机械、土木、水利、桥梁、汽车、铁路、船舶、轻工、纺织、能源以及军事工业等诸多领域，使得结构优化设计变得越来越重要。结构优化设计分为三个层次：尺寸优化、形状优化和拓扑优化。与尺寸优化和几何优化相比，结构拓扑优化取得的经济效益更大。因此，针对连续体结构的拓扑优化研究具有重要的理论意义和工程实用价值。

然而，随着科技水平的不断进步，工程结构系统的复杂程度在不断增加，不确定性的表现也越来越突出。一方面，材料的制造加工工艺造成的材料属性的分散性不可避免，另一方面，结构服役的环境也越来越恶化，这些不确定因素对结构的性能会产生重要的影响。拓扑优化作为结构优化设计的概念设计阶段，其优化设计结果对最终的结构形式有着决定性的影响，因此在拓扑优化设计阶段考虑不确定性的影响是十分必要的。实际结构中，结构的使用性能往往要求结构具有一定的刚度，这种对结构刚度的要求可以体现为对结构某位置的位移量大小的要求。因此，研究位移约束下的连续体结构非概率可靠性优化设计方法具有重大意义。

当前，国内外学者与工程技术人员对考虑连续体结构的拓扑优化分析与设计研究主要集中在两个方面：(1)以结构柔顺度为目标函数，以结构体积为约束的确定性拓扑优化问题；(2)以结构重量为目标函数，以结构位移为约束的非概率可靠性拓扑优化问题。上述工作一定程度上丰富了连续体结构的拓扑优化设计研究。但是上述工作主要是针对确定性的拓扑优化问题，对考虑不确定性的结构拓扑优化问题研究较少，而且已经提出的非概率可靠性拓扑优化设计方法使得结构的安全余量过大，结构的经济效益受损，大大限制了其理论的工程实用化进程。

由于实际工程中贫信息、少数据的情况时有发生，建立以非概率理论框架为基础的位移约束下的连续体结构拓扑优化设计方法具有显著的现实意义。目前，相关研究工作尚不成熟，现有连续体结构的拓扑优化设计方案经常无法严格满足所需的应用要求，亦或是安全冗余度过大，造成严重的资源浪费与时间成本损耗。

技术实现要素：

本发明要解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于级数展开的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。本发明充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，以提出的非概率可靠性度量指标作为优化模型的约束条件，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案实现步骤如下：一种基于级数展开的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，该方法包括如下步骤：

第一步：考虑结构材料的弹性模量和载荷的不确定性，采用带罚因子的固体各向同性微结构/材料插值模型(Solid Isotropic Material with Penalization，简称SIMP)，以结构的最小重量为优化目标，以结构的某些位置位移的非概率可靠性指标作为约束，建立相应的非概率可靠性拓扑优化模型如下：

其中，V是优化区域的体积，ρ_i和V_i分别为第i个单元的相对密度和体积，N为优化区域划分的单元总数，ρ为单元相对密度的下限。K为单元的总体刚度矩阵，u为单元的总体位移列向量，F为总体载荷列向量。是第j个位移约束点的实际位移区间值，是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数。R_s是非概率集合可靠性指标，是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度。对于SIMP模型，单元的弹性模量是材料相对密度的函数：

其中P＞1是惩罚因子，用于实现对中间密度单元的惩罚。按照经验，一般取P＝3，E₀是完全实心材料的弹性模量。

第二步：以区间量来表征材料的弹性模量和载荷的不确定性，由材料弹性模量的名义值和载荷的名义值得到相应的位移的名义值，并运用泰勒级数展开定理将结构位移在名义位移值处进行一阶泰勒展开，得到位移关于材料弹性模量和载荷的线性表达式，从而得到考虑材料弹性模量和载荷不确定性下的结构位移的上下界和上下界所对应的材料弹性模量和载荷值；

第三步：由第二步得到的位移上下界，计算相应的非概率可靠性指标，并判定结构位移约束的可靠性指标是否达到要求，非概率可靠性指标的计算如下：

其中，R^I为位移的容许区间值，S^I为位移的实际区间值。R为位移的容许区间值的下界，为位移的容许区间值的上界。S为位移的实际区间值的下界，为位移的实际区间值的上界。

第四步：在原非概率可靠性指标的基础上建立优化特征位移指标，从而改善原问题的收敛性。优化特征位移定义为实际失效平面到目标失效平面的移动位移，而目标失效平面是与原实际失效平面平行，其可靠度等于目标非概率可靠度的失效平面。在第三步的基础上，计算相应的优化特征位移。利用优化特征位移可以将原优化模型改写为：

其中，d为优化特征位移；

第五步：根据第二步得到的结构位移的表达式，对设计变量进行求导，并运用基于技术展开的伴随向量法得到位移上下界对设计变量的灵敏度。然后利用复合函数的求导法则，先求解优化特征位移关于位移上下界的灵敏度，然后再求解位移上下界关于设计变量的灵敏度，将两者相乘即得到位移的优化特征位移对设计变量的灵敏度；

第六步：利用第四步中得到的优化特征位移值以及第五步中得到的优化特征位移对设计变量的灵敏度代入MMA算法中，设置相关的经验参数并对原拓扑优化问题进行求解，得到新的设计变量；

第七步：判定新的设计变量是否满足收敛性条件。收敛性的两个条件为结构的位移可靠度满足约束以及设计变量迭代前后的变化量小于一个给定的值。若满足收敛性条件，则将已经完成的迭代次数增加一，并返回第二步，否则，迭代过程结束。

本发明与现有技术相比的优点在于：

本发明提供了位移约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化新思路，在对连续体结构进行拓扑优化设计时，可以充分考虑不确定性对结构性能的影响，在保证结构刚度满足可靠度约束的前提下可大大降低结构重量，提高性能的同时，降低设计周期和经济成本。与传统的拓扑优化方法相比，本方法提出了基于级数展开的伴随向量法，本方法和实际工程结合更加紧密，具有更加重大的意义。

附图说明

图1是本发明基于级数展开的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法的流程图；

图2是本发明提出的非概率可靠性模型中的应力-强度非概率集合干涉模型示意图；

图3是应力-强度干涉模型的标准化空间示意图；

图4是本发明提出的优化特征位移的临界斜率示意图。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种基于级数展开的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法，包括以下步骤：

(1)考虑结构材料的弹性模量和载荷的不确定性，采用带罚因子的固体各向同性微结构/材料插值模型(Solid Isotropic Material with Penalization，简称SIMP)，以结构的最小重量为优化目标，以结构的某些位置位移的非概率可靠性指标作为约束，建立相应的非概率可靠性拓扑优化模型如下：

其中，V是优化区域的体积，ρ_i和V_i分别为第i个单元的相对密度和体积，N为优化区域划分的单元总数，ρ为单元相对密度的下限。K为单元的总体刚度矩阵，u为单元的总体位移列向量，F为总体载荷列向量。是第j个位移约束点的实际位移区间值，是第j个位移约束的容许位移区间值，m为位移约束的个数。R_s是非概率集合可靠性指标，是第j个位移约束对应的目标非概率可靠度。对于SIMP模型，单元的弹性模量是材料相对密度的函数：

其中P＞1是惩罚因子，用于实现对中间密度单元的惩罚。按照经验，一般取P＝3，E₀是完全实心材料的弹性模量。

(2)以区间量来表征材料的弹性模量和载荷的不确定性，由材料弹性模量的名义值和载荷的名义值得到相应的位移的名义值，并运用泰勒级数展开定理将结构位移在名义位移值处进行一阶泰勒展开，得到位移关于材料弹性模量和载荷的线性表达式，从而得到考虑材料弹性模量和载荷不确定性下的结构位移的上下界和上下界所对应的材料弹性模量和载荷值，具体实施方式如下：

假设材料参数和载荷环境在一个范围较小的区间范围内变化，其不确定参数设为a＝(a₁,a₂,…,a_m)，不确定参数的中心值为μ＝(μ₁,μ₂,…,μ_m)。

对某点位移进行泰勒展开，有：

令则(3)式转化为：

对于静力平衡方程：

KU＝F (5)

在(5)式两边同时对某个不确定参数a_i求导，得到：

对(6)式中的不确定参数取中心值，得到：

令则有：

利用差分法，对(7)进行分析，可得：

式中，为参数μ_i的摄动，为不确定参数为时对应的刚度矩阵(载荷列向量)，。K_μ(F_μ)为中心值处的刚度矩阵(载荷列向量)。

将(9)式代入(7)式，有：

从式(10)中解出β_i，有：

将(11)式代入(8)式，可得：

将式(12)代入(4)式，可得：

根据(a_i-μ_i)前面多项式的符号的正负可以确定位移上下界所对应a_i的取值。例如要求位移u的上界，如果为正，则a_i应取上界；若为负，则a_i应取下界。此时代入计算可得位移u的上界。

(3)由第二步得到的位移上下界，计算相应的非概率可靠性指标，并判定结构位移约束的可靠性指标是否达到要求，非概率可靠性指标的计算如下：

其中，R^I为位移的容许区间值，S^I为位移的实际区间值。R为位移的容许区间值的下界，为位移的容许区间值的上界。S为位移的实际区间值的下界，为位移的实际区间值的上界。

(4)在运用MMA算法求解拓扑优化问题时，第2节所述非概率可靠度的梯度信息存在缺陷，即在设计域中存在梯度信息为零的区域(可靠度为0或1)，会造成一定的数值困难，在原非概率可靠性指标的基础上建立优化特征位移指标，从而改善原问题的收敛性。

优化特征位移d的定义为：原失效平面到目标失效平面的移动位移。其中目标失效平面是与原失效平面平行的平面，并且其可靠度为目标值。由于可靠度一般接近1，故目标失效平面一般位于不确定域的右下角，图4为两种临界情况。

首先计算临界情况下失效平面的斜率，设η为目标可靠度。对于k₁，有(2×2/k₁×1/2)/4＝1-η，解得k₁＝1/2(1-η)，同理可得k₂＝2(1-η)，针对原失效平面斜率k取值的不同情况，使用直线间的距离公式，并定义原失效平面在目标失效平面上方的距离为正，反之为负，给出距离d的表达式为：

当d＞0时，失效平面在与目标非概率可靠度η对应的目标失效平面上方，此时由于安全区域的面积小于目标值，对应的非概率可靠度R_s＜η，不满足要求。当d≤0时，失效平面在与目标非概率可靠度η对应的目标失效平面下方，此时由于安全区域的面积大于等于目标值，对应的非概率可靠度R_s≥η，满足设计要求。

(5)根据第二步得到的结构位移的表达式，对设计变量进行求导，并运用基于技术展开的伴随向量法得到位移上下界对设计变量的灵敏度。然后利用复合函数的求导法则，先求解优化特征位移关于位移上下界的灵敏度，然后再求解位移上下界关于设计变量的灵敏度，将两者相乘即得到位移的优化特征位移对设计变量的灵敏度。

将(4)式对某个单元密度求导，有：

等式(14)右边第一项可以通过传统的伴随向量法进行求解。在式(5)两端同时对x求导，可得：

对(15)式中的刚度矩阵取中心值，有：

计算可得：

利用复合函数的求导法则，有：

引入伴随向量λ₁，满足：

将式(19)代入式(18)，并且利用刚度矩阵的对称性，可得：

等式(14)右端第一项求解完成。下面求解等式右端第二项，主要求解部分。

在(10)式两边同时对x求导，可得：

将式(16)代入式(21)进行化简，可得：

从式(22)中解出有：

利用复合函数求导法则，并将式(23)代入，有：

将式(17)代入式(24)，可得：

对于等式(25)右端的第一项和第二项中的部分，可利用伴随向量法进行求解，引入伴随向量λ₂，满足：

可得：

对于等式(25)右端的第三项中的部分，可引入伴随向量λ₃，满足：

可得：

将式(27)和式(29)代入式(25)，有：

下面介绍如何求解伴随向量λ₃，引入中间伴随向量满足：

将式(31)与式(28)结合考虑，有：

将式(32)两端同时左乘以可得：

在式(33)中，虚拟载荷为可作为虚拟载荷；

由于：

故有：

将式(20)式(30)代入式(14)，有：

根据(36)式，代入位移上下界所对应的a_i的取值，可得位移上下界关于设计变量的灵敏度。

根据复合函数的求导法则，其约束函数d对设计变量的灵敏度为：

其中：

式中而A,B中的X为

(6)利用第四步中得到的优化特征位移值以及第五步中得到的优化特征位移对设计变量的灵敏度代入MMA算法中，设置相关的经验参数并对原拓扑优化问题进行求解，得到新的设计变量；

(7)判定新的设计变量是否满足收敛性条件。收敛性的两个条件为结构的位移可靠度满足约束以及设计变量迭代前后的变化量小于一个给定的值。若满足收敛性条件，则将已经完成的迭代次数增加一，并返回第二步，否则，迭代过程结束。

综上所述，本发明提出了一种基于级数展开的连续体结构非概率可靠性拓扑优化方法。首先，根据Qiu的非概率可靠性模型建立位移约束下的连续体结构非概率可靠性拓扑优化模型；其次，运用泰勒级数展开法得到位移约束点位移的上下界；运用基于级数展开的伴随向量法求解位移上下界的灵敏度；采用优化特征位移代替原来的可靠性指标来改善问题的收敛性，并利用复合函数求导法则得到优化特征位移关于设计变量的灵敏度；最后，利用已有信息构造原问题的近似模型，采用MMA算法进行迭代计算，直至满足约束条件和收敛条件。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制；其可扩展应用于位移约束下的连续体结构拓扑优化设计领域，凡采用等同变换或者等效替换而形成的技术方案，均落在本发明权利保护范围之内。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。